廣東省珠海市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)第一階段考試數(shù)學(xué)試題

珠海市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期第一階段考試

高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題

考試時(shí)間：120分鐘，總分150分

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.假設(shè)P（A）=0.3,P（3）=0.4且A與2相互獨(dú)立，則尸（AB）=（）

A.0.3B.0.4C.0.7D.0.58

2.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有g(shù)的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)lh,這些人近視率約

為;，其余學(xué)生的近視率約為。，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是（）

17「27

A.—B.—C.—D.一

51658

3.己知某種疾病的某種療法的治愈率為90%.若有1000位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互

獨(dú)立，設(shè)其中被治愈的人數(shù)為X,P（X=k）>P（X=lOOO-k）,則（）

A.ZV499B.^<500

C.k>500D.^>501

,

4.已知（x-l）（x+2）6=4+4%+。2尤？++a1x,則%+4+%+生+%的值為（）

A.-66B,-65C.-63D.-62

5.若A,B,C,D,E,E六人站隊(duì)照相，要求人B相鄰且C、。不相鄰，則所有不同的站法有（）

A.36B.72C.108D.144

6.（1—2x+y）6的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-480B.-60C.20D.60

7.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地

均相同）.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A，4和4表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的

事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以3表示由乙罐中取出的球是紅球的事件.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

4Q4

①事件A與&相互獨(dú)立②p（5l4）=石③尸（2）=藥④尸（蜀8）=3

A.1B.2C.3D.4

8.甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)分別有x%、（x+1）%、（x+2）%的人患了流感，已知這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為5:3:2,

現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人,在此人患了流感的條件下,此人來(lái)自甲地區(qū)的概率最大,則x的可能取值為（）

A.1.21B.1.34C.1.49D.1.51

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，按比例給分）

9.已知二項(xiàng)式（x'"+L）"（x>0且xHl,〃eN*,〃22）的展開(kāi)式中第n-1項(xiàng)為15,則下列結(jié)論中正確的是（）

X

A.n=6B.m=2C.C；；\+C'^=10D.=4C；；'

10.下列命題中，正確的命題是（）

9

A.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布5（〃,同，若E（X）=30,D（X）=20,則p=§

B.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X?5（10,0.7）,當(dāng)X=7時(shí)概率最大

C.設(shè)隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N（o,l）,若尸C>1）=。，則P（_l<J<0）=；一p

D.已知尸網(wǎng)=（，可中）=；$何可=；,則P（3）=g

11.拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的

性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.設(shè)A8是拋物線C:f=4y上兩個(gè)不同的點(diǎn)，以A&,%）,3（孫力）為切點(diǎn)的切線交于尸點(diǎn).

若弦A3過(guò)點(diǎn)尸（0,1）,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.=-4

B.若%=2,則A點(diǎn)處的切線方程為x-V-l=0

C.存在點(diǎn)P,使得ELM〉。

D.7^45面積的最小值為4

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.教育扶貧是我國(guó)重點(diǎn)扶貧項(xiàng)目，為了縮小教育資源的差距，國(guó)家鼓勵(lì)教師去鄉(xiāng)村支教，某校選派了5名教師

到A、&C三個(gè)鄉(xiāng)村學(xué)校去支教，每個(gè)學(xué)校至少去1人，每名教師只能去一個(gè)學(xué)校,不同的選派方法數(shù)有

種（用數(shù)字作答）.

13.如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸是正方體ABC。-AAGA的底面4月G2上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），。是棱CG的中點(diǎn)，①若保持NPQC|=60,則點(diǎn)尸在底面

4與G2內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為；三棱錐D「PBQ體積的最大值

為。

14.已知雙曲線C：^-^=1(?>0,/7>0),K，居分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，/是雙曲線右支上一點(diǎn)，連

ab

接“久交雙曲線C左支于點(diǎn)N,若MN且是以工為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為

四、解答題（本大題共5小題，共77分）

15.(本題滿分13分)

已矢口a=(Gsinx,—cosx),〃=(cosx,cosx),f(x)=a-b.

(1)若X￡(0,?),求函數(shù)/⑺的零點(diǎn)；

⑵設(shè)二ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為若/(8)=g且6=6.求的取值范圍.

16.(本題滿分15分)

當(dāng)前新能源汽車(chē)已經(jīng)走進(jìn)我們的生活，主要部件是電池，一般地電池的生產(chǎn)工藝和過(guò)程條件要去較高，一般一塊

電池充滿電后可連續(xù)正常工作的時(shí)間(小時(shí))X~N(20,16),若檢測(cè)到X218則視為產(chǎn)品合格，否則進(jìn)行維護(hù)，

維護(hù)費(fèi)用為3萬(wàn)元/塊，近一年來(lái)由于受極端天氣影響，某汽車(chē)制造公司技術(shù)部門(mén)加急對(duì)生產(chǎn)的一大批汽車(chē)電池

隨機(jī)抽取10個(gè)進(jìn)行抽樣檢測(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)P(X>22)=0.3.

(1)求出10個(gè)樣品中有幾個(gè)不合格產(chǎn)品；

(2)若從10個(gè)樣品中隨機(jī)抽取3件，記抽到的不合格產(chǎn)品個(gè)數(shù)為求其分布列；

(3)若以樣本頻率估計(jì)總體，從本批次的產(chǎn)品中再抽取200塊進(jìn)行檢測(cè)，記不合格品的個(gè)數(shù)為F,預(yù)計(jì)會(huì)支出

多少維護(hù)費(fèi)〃元？

17.(本題滿分15分)

如圖，已知斜三棱柱ABC-AgG中，底面AABC是正三角形，=AB==NA]AC,,點(diǎn)O是

點(diǎn)Ai在下底面內(nèi)的正投影.

(1)求證：BC_LA4]；

(2)若點(diǎn)O是AABC的中心，求高度AQ；

(3)在(2)的條件下求二面角4-5的余弦值.

18.(本題滿分17分)

某半導(dǎo)體公司打算對(duì)生產(chǎn)的某批蝕刻有電源管理芯片的晶圓進(jìn)行合格檢測(cè)，已知一塊直徑為120mm的完整的晶

圓上可以切割若干塊電源芯片，檢測(cè)方法是：依次檢測(cè)一塊晶圓上的任意4塊電源芯片.若4塊電源芯片均通過(guò)

檢測(cè)，再檢測(cè)該晶圓其他位置的1塊電源芯片，若通過(guò)檢測(cè)，則該塊晶圓合格；若恰好3塊電源芯片通過(guò)檢測(cè),

再依次檢測(cè)該晶圓其他位置的2塊電源芯片，若都通過(guò)檢測(cè)，則該塊晶圓也視為合格，其他情況均視為該塊晶圓

不合格.假設(shè)晶圓上的電源芯片通過(guò)檢測(cè)的概率均為g，且“各塊芯片是否通過(guò)檢測(cè)”相互獨(dú)立.

(1)求一塊晶圓合格的概率；

(2)己知檢測(cè)每塊電源芯片所需的時(shí)間為10秒，若以“一塊晶圓是否合格”為標(biāo)準(zhǔn)，記檢測(cè)一塊晶圓所需的時(shí)間為X

(單位：秒)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

19.(本題滿分17分)

22

己知耳，耳分別是橢圓C：土+匕=1的左、右焦點(diǎn)，是c上位于X軸上方的兩點(diǎn)，MF"/NF],且MF?與NF\

42一一

的交點(diǎn)為P,MFi的延長(zhǎng)線與C交于Q點(diǎn)

(1)證明：QN關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；

⑵求四邊形9的面積S的最大值；

(3)證明：|P制+|P可為定值.

參考答案:

1.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件的概率公式及概率的基本性質(zhì)計(jì)算即得.

【詳解】由尸(A)=0.3,P(B)=0.4,且A與B相互獨(dú)立，<P(AB)=P(A)P(B)=0.12,

所以P(A。3)=尸(A)+P(B)_尸(AB)=0.58.

故選：D

2.D

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的概率列出尸(X=Q,尸(X=1000-幻的表達(dá)式，由題意可得不等式，化簡(jiǎn)并結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，即

可求得答案.

【詳解】由題意知X5(1000,0.9),

故P(X=幻=Ch。。。.9axO.l1000^,P(X=1000-k)=//。.泗00^xO.l",

00

由P(X=k)>P(X=1000-k)得C：0co0.「x>C；罌尸0.910Tx0心,

即ogiooo>0_pt-iooo,即921。。。>],則2左一1000>0,.?>500,

由于上eN*,故左2501,

故選：D

3.C

【分析】

根據(jù)全概率公式計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)事件A為“任意調(diào)查一名學(xué)生，每天玩手機(jī)超過(guò)lh”，事件B為“任意調(diào)查一名學(xué)生，該學(xué)生近視”，

則尸(A)=g,P(B|A)=1,

所以P?=1-尸(A)=]P(B|A)=|

則P(B)=尸(A)P(B|A)+P(B閭P⑷=+=]

j2JoJ

故選：c

4.C

【分析】

根據(jù)賦值法，先代入％=0,得。0=-2‘，代入4=1,%=—1可得4+〃3+。5+。7=1,進(jìn)而可得.

27

【詳解】設(shè)g(%)=(%-1)(%+2)6=a0+alx+a2x+■■?+^i7x,

當(dāng)％=0時(shí)，可得8@=(0-1)(0+2)6=%,得％=-26,

當(dāng)x=l時(shí)，可得g(l)=(1—1)(1+2)6=%+q+%++%,得％+4+%+%+%+%+。5+紇+%=。，

當(dāng)x=-1時(shí)，可得g(—l)=(—1—1)(—1+2)6=4+(一<^)+02++(—%),得%—4+%—43+”4—45+。6—%=—2，

故g(1)-g(-1)=2°]+2/+2a$+2aq=2,得q+%+%+%=1，

旬+q+/+生+%=—2，+1=—63,

故選：C

5.D

【分析】

根據(jù)相鄰元素的捆綁法與不相鄰元素的插空法即可得不同的站法數(shù).

【詳解】由于48相鄰捆綁再一起有A；種方法，

再與E,F一起安排有A；種方法，最后插空安排不相鄰的C、。有A：種方法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得所有不同的站法有A；A；A：=2x6x12=144種.

故選：D.

6.B

【分析】由題意利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得展開(kāi)式中含/的項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】(2x-《葉的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為2=晨7-『.，

令6-日=3,求得r=2,可得中含/的項(xiàng)的系數(shù)為C；x2,=240,

故選：B.

7.C

【分析】

根據(jù)獨(dú)立事件的概念判斷①，計(jì)算條件概率判斷②，根據(jù)全概率公式求解判斷②④，即可回答.

5171

【詳解】顯然，A，4，4是兩兩互斥的事件，S.P(A1)=-^—=~,P(A)=-^—-=p

而P(A4)=0WP(A>P(4),①錯(cuò)誤；

"4)="48)=9.=尚，所以p(3|4)=(，②正確；

尸(3)=尸修⑷.尸⑷+p(B|4).尸(4)+尸(叫4).尸(4)=。1+今:+]*=2③正確；

乙LALIJAULA乙乙

j_x￡

「(A⑻=今黑=2gU=g，④錯(cuò)誤，綜上：結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為2.

22

故選：C.

8.D

【分析】設(shè)事件2、。2、2分別為“此人來(lái)自甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)”，事件G為“此人患了流感”.利用條件概率

公式計(jì)算出「（R|G）U=1,2,3）,根據(jù)題中條件可得出關(guān)于X的不等式組，即可解得尤的取值范圍，即可得解.

【詳解】設(shè)事件2、2、4分別為“此人來(lái)自甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)”，

事件6、居、品分別為“此人患了流感，且分別來(lái)自甲、乙、丙地區(qū)”,

事件G為“此人患了流感”.

尸（昨贏尸㈤擊藍(lán)2z_2x+4

由題可知,

1000~1000

10x+7

P（G）=P（耳）+尸（8）+尸（鳥(niǎo)）=

1000

由條件概率公式可得P（'K）=窗=簫=

〕P（RG”P(pán)（%G）5x>3x+33

由題意可得5出2x+4,解得記5,

尸（川G）“（2|G）'

故選：D.

9.BD

【分析】

首先根據(jù)系數(shù)和公式求“，再根據(jù)二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，判斷選項(xiàng).

【詳解】由題意可知，當(dāng)尤=1時(shí)，X=128,所以"=7,

二項(xiàng)式（3尤-1）’的展開(kāi)式共有8項(xiàng)，所有的二項(xiàng)式系數(shù)的和為27=128,

其中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為C；和C"為第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（-1）7=-1,

其中只有BD正確.

故選：BD

10.BCD

【分析】

A選項(xiàng)，由二項(xiàng)分布的期望和方差公式，列方程組求解；B選項(xiàng)，由二項(xiàng)分布的概率公式求解；C選項(xiàng)，由正態(tài)

分布的對(duì)稱性求解；D選項(xiàng)，由全概率公式求解.

【詳解】隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布3（",P）,若E（X）=30,D（X）=20,

即=3021

則秋(1-力2。,解得f即P=SA選項(xiàng)錯(cuò)誤;

X5（10,0.7）,則尸（*=左）=（200.7*-0.383

P（X=k）ZP（X=k+l）

設(shè)當(dāng)x=M%、i)時(shí)概率最大，則有一產(chǎn)（X=%）NP（X=A:-l）'

C^-0.7*-0.310^>C^1-0.7t<!-0.39-i:

o，解得6.7V"7.7,

C：0?07?Ogx>C僅O7i?0.3""

由左eZ,所以當(dāng)X=7時(shí)概率最大，B選項(xiàng)正確；

隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N(O,1),正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為4=0,有尸C>O)=g,

若P(J>1)=0,則P(-l<J<O)=P(O<J<l)=PC>O)_PC>l)=g_p,C選項(xiàng)正確；

己知尸(A)=；,p伍忸)=；,尸(司邛=g,則尸(Z)=g,由全概率公式，P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B),即

|=*)+如「⑻)，

解得P(8)=：D選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

11.ABD

【分析】聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判定A正確；求得/=gx,得到切點(diǎn)坐標(biāo)得出切線方程

y=jx1x-j^,進(jìn)而可判定B正確；由直線AP的斜率為3再，直線3尸的斜率為gxz，得到:%％=T，可判定

C錯(cuò)誤；由過(guò)點(diǎn)8的切線方程為y竹131-；c石，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，得到S?=4(1+用3"可D正確.

Y=]^Y+]

.「”,整理得/一4立一4=0,

{x2=4y

再設(shè)4(占,另),3(%2，%),則占+%=4上占-9=-4，所以A正確；

對(duì)于B中，由拋物線f=4y.可得y=1/,則/

42

則過(guò)點(diǎn)A的切線斜率為且％=：玉2,即

則切線方程為：y-%；=g±(x-X|),即丫=；取-卜；，

若玉=2時(shí)，則過(guò)點(diǎn)A的切線方程為：x-y-l=O,所以B正確；

對(duì)于C中，由選項(xiàng)B可得：直線AP的斜率為:王，直線3尸的斜率為g4，

因?yàn)?；%尤2=T，所以即PA-P2=0，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，由選項(xiàng)B可知，過(guò)點(diǎn)5的切線方程為y=g尤2尤-;只，

聯(lián)立直線PAPB的方程可得P(2k「l),kPF=-^-,kPF-kAB=-1,PF±AB,

K

所以sABP=^B\-\PF\,

2

IAB\=yjl+k1%1-x2|=J]+F/為+聲）2_4尤「馬=J1+/J16/+16=4（1+F）,

IPF\=7（2jt-0）2+（-l-l）2=J軟2+4=2^/l+k2,

3

則s?=4(1+l2)5,當(dāng)％=0時(shí)，有最小值為4,所以D正確.

故選：ABD.

12.150

【分析】

按照分類分步計(jì)數(shù)原理可先將5人分成3組，再將3組人員分配到3個(gè)學(xué)校去，即可計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】由題意可知，先將5人分成三組有2類分法,

第一類：各組人數(shù)分別為1,1,3,共有C；種分法;

Cc2c2

第二類：各組人數(shù)分別為1,2,2,共有種分法,

再將三組人員分配到A、B、C三個(gè)鄉(xiāng)村學(xué)校去，共有A；種,

(m

所以不同的選派方法共有C；+y產(chǎn)A；=150種.

IA2

故答案為：150

13.①②④

【分析】對(duì)于①，易知點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，半徑為廠=6的圓在底面內(nèi)的四分之一圓，即可知①正確；對(duì)

于②，的面積以頌〃="為定值，建立空間直角坐標(biāo)系求得P到平面BQQ的距離最大值為昔，可得②

正確；對(duì)于③，若尸由空間向量可得二面角瓦-PQ-G的余弦值的最大值為即③錯(cuò)誤；異面直線A5

與PQ所成角的余弦值的最大值為：，即④正確.

【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意可知平面AMGR,所以△PQG為直角三角形，即NP￡Q=90,且QG=1

若保持APQC,=60,可知PC\=6

所以點(diǎn)P的軌跡是以C1為圓心，半徑為，=尸6=6的圓在底面內(nèi)的部分，即為四分之一圓,

因此點(diǎn)P在底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為工x2“=&x百=且，即①正確；

422

對(duì)于②，以R為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為％y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示：易知R（0,0,0）,3（2,2,2）,Q（0,2,1）,則0。=（0,2,1）,3。=（一2,0,-1）,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為"=（x,y,z）,

可得',令z=2,可得x=-l,y=T,即a=

n-BQ=-2x-z=0

nJ^P（m,n,0）,0<m<2,0<n<2,則DXP=,

所以P到平面的距離為"d=易知當(dāng)機(jī)="=2時(shí)，距離最大值為亞；

\n\y[63

又在BQR中，易知BQ=DQ=后,BD\=26，所以8R邊上的高為應(yīng)；

其面積為定值，即4B2q=gx26xa=#；

所以尸到平面BQD｝的距離最大時(shí)，三棱錐A-P3。體積的最大為:sBp。,?d=gx痛x半=《，即②正確；

對(duì)于③，根據(jù)正方體性質(zhì)可知a51平面A4。。，又。是棱CG的中點(diǎn)，尸

所以可得點(diǎn)尸在平面441cC，又點(diǎn)尸在底面4月G2內(nèi)，平面A41Gc平面A瓦G2=AG，所以「6人1；

根據(jù)B中的坐標(biāo)系可知，所以可得P（八2-7%O）,OW機(jī)V2,4（2,2,0）,C1（0,2,0）,Q（0,2,l）；

則4Q=（-2,0,1）,用P=（加一2,-機(jī),0）,

/、uB.Q=-2x,+%=0

設(shè)平面B/Q的一個(gè)法向量為"=（&%zj,可得,、，

u-BlP=（m-2）xi-myi=0

令網(wǎng)=m,貝。乂=〃z-2,Zi=2根，gpu=（m,m-2,2rnj；

易知平面PQC1的一個(gè)法向量為DB=（2,2,0）,

所以cos即=—f+2（*2）=4（*1）=時(shí)1

20xJ蘇+（祖_2）2+4療2A/2xV6m2-4m+443ml-2m+2'

易知當(dāng)機(jī)=1時(shí)，cosDB,w=0,

*2

當(dāng)相￡(1,2]時(shí)，cosDB,u=m—2m+l

3m2—2m+2

令"〃')=先工'i4

可得:(⑼=

2＞。在。,2］上恒成立，即/(向在(1,2］上單調(diào)遞增;

(3m2-2m+2

此時(shí)根=2時(shí)，cosDB,u=最大,

10

當(dāng)相￡[0,1),cosDB,u—~.二一2",易知〃回在［0」)上單調(diào)遞減,

3m—2m+2

所以m=0時(shí)，cosDB,u--Y2,

2

又由圖可知，當(dāng)m=0時(shí)，尸(0,2,0)點(diǎn)與G重合,

綜上二面角B.-PQ-G的余弦值的取值范圍為0,,故③錯(cuò)誤;

對(duì)于④，根據(jù)選項(xiàng)C易知AB=(O,2,O),PQ=(-叫私1),

ABPQ2mm

可得cosA氏PQ=

AB\\PQ\2xJ蘇+療+1V2m2+1'

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，cosAB,PQ=0,

n?11

cosAB,PQ=,=,,2

當(dāng)〃wzO時(shí)，,2加+iLj_,易知當(dāng)加=2時(shí)，2+JL取到最大值為.，

Vm~Vm2

綜上可知，48與PQ所成角的余弦值的最大值為］,即④正確；

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:在求解二面角以及線面角最值問(wèn)題時(shí)，一般需要借助空間向量得出空間角余弦值的表達(dá)式,

再利用基本不等式或函數(shù)單調(diào)性求出最值即可.

14.布

【分析】

根據(jù)雙曲線的定義、余弦定理列方程，求得,=抽，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.

【詳解】

設(shè)|吟|=機(jī)，因?yàn)?“鶴是以工為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,

所以|肱V|=J^2,\NF2\^m,由雙曲線的定義知，1Tmi=2。，|7VE|-|7VF；|=2?,

所以|町|=2。+九，\NF\=m-2a,又|必|=|岫|一|嶼|,

所以'Jim=（2a+2a）=4a,即m=242a，

在8中，由余弦定理知，閨心崢「+眼耳「-2|〃7訃|〃巴卜05N不明,

所以4c2=（2a+〃。-+m2—2（2a+〃z”ncos45°=4/+4am+2m2—yl2m（2a+m）,

即4c2=4/+4G2缶+2-（2缶『-0-2缶（2。+2缶），整理得，c?=3a2,

即°=扃，所以離心率e=￡=退.

a

故答案為：6

【點(diǎn)睛】求解雙曲線離心率有關(guān)的問(wèn)題，可以利用直接法來(lái)進(jìn)行求解，也即通過(guò)已知條件求得。和。，從而求得

雙曲線的離心率.也可以利用構(gòu)造齊次式的方法來(lái)進(jìn)行求解，也即通過(guò)已知條件求得。2,02或/的等量關(guān)系式,

由此來(lái)求得離心率.

15.（l）x=—+—,/ceZ

23

⑵（后2間

【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角恒等變換，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可;

（2）由正弦定理可得a+c=2gcos（A-?,然后結(jié)合三角函數(shù)值域的求法求解即可.

【詳解】(1)已矢口G=(6sinx,—cosx),b=(cosx,cosx),

貝!Jf(x]=a-b=A/3sinxcosx-cos2x=sin2x~—cos2x~—=sin(2x-2)一二,

v722262

t-兀.jc,_、/口krcTC._、

由2%---=kitH—(左￡Z),倚x------1—(%￡Z),

6223

即函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x=g+gaez)；

(2)由/(8)=:，得sin(25—：)=1,又23一、￡(一),^^),即25-二=彳

2606662

所以8=5,又6=6，

ahc

由正弦定理上-=’L=/一，得，=2sinA,c=2sinC,

sinAsmBsinC

BPa+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin（學(xué)一A）=26cos（A-g）

又0<A<g,所以

所以班cos（A弋）e（G,2同即a+c的取值范圍為（62間.

16.（1）y=0.32^+0.08,20000人.（2）（011萬(wàn)元，6.85）13.6萬(wàn)元

【解析】(1)利用最小二乘法得出回歸方程，并將『=6代入回歸方程，即可預(yù)測(cè)2020年6月份(月份編號(hào)為6)

參與競(jìng)價(jià)的人數(shù)；

(2)(0由頻數(shù)表中數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)和方差的求解方法求解即可；

(泊由題意得出競(jìng)拍成功的概率，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，即可確定最低成交價(jià).

【詳解】解：(1)根據(jù)題意，得：7=3,歹=1.04

55

Z片=55,￡”,=18.8

i=\i=l

5

.bZ'jT'.y18.8-5x3x1.04

ft555-5X32

i=l

則G=?-加=1.04-0.32x3=0.08

從而得到直線的回歸方程為J=0.32/+0.08

當(dāng)r=6時(shí)，y=2.

所以預(yù)測(cè)2020年6月份(月份編號(hào)為6)參與競(jìng)價(jià)的人數(shù)為20000人.

(2)(z)根據(jù)表中給的數(shù)據(jù)求得平均值和方差為

八至X7+里x9+幽xll+網(wǎng)X13+至X15+生

xl7=ll（萬(wàn)元）.

200200200200200200

220/八260/7八30520422

s=---X（-4）+-----x（-2）+0+-----x2+-----x4+—X6=6.8.

200200200200200

3174

（拓）競(jìng)拍成功的概率為尸=焉而=01587

由題意知X~N(11,6.8)

所以P（〃一bvX<//+cr）=0.6826

所以P（X*+b）=l_0：826=o]587

所以2020年6月份的預(yù)測(cè)的最低成交價(jià)M+b=13.6萬(wàn)元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求線性回歸方程，正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用，計(jì)算平均數(shù)和方差，屬于中檔題.

17.(1)證明見(jiàn)解析；(2)2".

7

【解析】(1)證明AO，BC、AO13C即可推出3cl平面AA。，從而證明兩平面垂直；(2)建立空間直角坐

標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)及平面C|AB與平面ABC的法向量，利用空間向量法求平面夾角的余弦值.

【詳解】(1)證明：A在下底面上的射影是A5C的中心O,

.1AQ_L底面ABC,..A.OLBC,

。為ASC的中心，且ASC為等邊三角形，r.AOLBC,

AOu平面4A0,AOu平面AA。，AOcAO=O,

平面AA。,

_BCu平面BCC14，.■.平面AAOJ_平面8CC]_B[.

(2)取A2中點(diǎn)E,連接OE,。為ABC的中心，且，ABC為等邊三角形，

s.OELAB,

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，OE所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)。作平行于A8的直線為y軸，。4所在直線為z軸建立如圖所示空

間直角坐標(biāo)系，

(16)

?B——,0,C(—1,0,0),4(0,0,6)，

.也斗,(22J

,C]吟,C、A=Q,-區(qū)-后),AB=(0,V3,0),

設(shè)平面QAB的一個(gè)法向量為4=(x,y,z),

%?GA=0=02:&一導(dǎo)=0,取片百可得平面CXAB的一個(gè)法向量為%=(73,0,2)

'\AB=Q=73y=0

且平面ABC的一個(gè)法向量巧=(0,0,1),

設(shè)二面角G-AB-C平面角為e,4,“所成角為夕，顯然。為銳角,

22不

：.COS0=|COS(P|=

同?同幣7

【點(diǎn)睛】利用空間向量法求二面角的方法:

(1)分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要

注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角;

(2)分別在二面角的兩個(gè)平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面

角的大小.

以上兩種方法各有利弊，要善于結(jié)合題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń忸}.

18.(1)—

32

⑵分布列見(jiàn)解析，￡儂)=7爺95

O

【分析】

(1)根據(jù)題意，由全概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由條件可知X的可能取值為20,30,40,50,60,然后分別計(jì)算其對(duì)應(yīng)概率，即可得到分布列，再

由期望的計(jì)算公式即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)第一次取出的4