2024年廣東省梅州市中考數(shù)學一模試卷

2024年廣東省梅州市豐順縣龍泉中學中考數(shù)學一模試卷

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）如圖是我國幾家銀行的標志，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

C0）

C.0）D

2.（3分）在黨的二十大報告中總結(jié)了新時代十年的非凡成就，包括我國建成世界上規(guī)模

最大的社會保障體系，基本養(yǎng)老保險覆蓋10.4億人，其中10.4億用科學記數(shù)法可表示為

（）

A.10.4X108B.10.4X109C.1.04X108D.1.04X109

3.（3分）如圖是由6個大小相同的正方體搭成的幾何體，從左面看得到的形狀圖是（）

&

至面

A.____B.Fb°田D.

4.（3分）下列式子正確的是（）

A-V（-3）2=-3B.V25=±5

CV（-l）3=-lD.4V2-2V2=2

5.（3分）下列運算正確的是（）

A.m64-m2=m3B.（2x+l）2=4/+l

C.（-3m3）2=-9m6D.2a3.q4=2q7

6.（3分）為籌備班級聯(lián)歡會,班長對全班同學愛吃哪幾種水果做了民意調(diào)查，然后決定

買什么水果，最值得關(guān)注的應該是統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)的（)

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.方差

7.（3分）分式方程上=_J-_2的解是（）

x-22-x

A.x=-1B.x=0C.x=lD.x=2

8.（3分）如圖所示，在RtaACB中，ZACB=90°,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，可以判斷以

下結(jié)論錯誤的是（）

BDC

A.ED=CDB.AC^AEC.ZEDB=ZCABD.NDAC=NB

x-3（x-2）<a

9.（3分）已知不等式組|i+2x、僅有2個整數(shù)解，那么a的取值范圍是（）

3x-1

A.B.a<4C.2Wa<4D.2<aW4

10.（3分）如圖，在正方形ABC。中，點E、尸分別在A。、CD±,>AE^DF,連接AF

與BE相交于點G.若AG+BG=6,空白部分面積為10.5,則AB的長為（）

A.372B.V19C.275D.V26

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）能使有意義的龍的取值范圍是.

12.（3分）分解因式：以2_25。=.

13.（3分）在平面直角坐標系中，A（-1,m）,8（-4,0）,C（1,0）,D（a、m）,

若以點A、2、C、D為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標

為_______________________

14.（3分）函數(shù)y=2（x>0）和>=-x+4的圖象的交點在第象限.

15.（3分）如圖，矩形A3C。的對角線相交于0,AE平分N84。交BC于E,若NCAE

16.（3分）如圖是一組有規(guī)律的圖案，按照這個規(guī)律，第〃（“為正整數(shù)）個圖案由

個▲組成.

▲▲▲▲

▲▲▲▲

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

▲▲

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

三.解答題（共9小題，滿分72分）

17.（6分）計算：2cos45°-（IT-3）-1|.

18.（6分）先化簡，再求值：（』+」_）1或二I其中。

2

aa+1a+a2

19.（6分）某學校擬舉辦演講比賽、文藝匯演、書畫展覽、知識競賽四種活動，為了解學

生對活動的喜愛情況，學校隨機抽取了200名學生進行調(diào)查（每人只能選擇一種方案），

將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)以下兩幅圖所給的信息解答下列

問題.

（1）在抽取的200名學生中，選擇“演講比賽”的人數(shù)為,在扇形統(tǒng)計圖

中，相的值為;

（2）根據(jù)本次調(diào)查結(jié)果，估計全校2000名學生中選擇“文藝匯演”的學生大約有多少

人？

（3）現(xiàn)從喜愛“知識競賽”的四名同學a、b、c、d中，任選兩名同學參加學校知識競

賽，請用樹狀圖或列表法求出a同學參加的概率.

A：演講比賽

20.（8分）如圖（1）是一臺實物投影儀，圖（2）是它的示意圖，折線A-8-C表示可

轉(zhuǎn)動支架，支架8C可以伸縮調(diào)節(jié)，投影探頭始終垂直于水平桌面MN,AB與BC始

終在同一平面內(nèi).已知投影儀的底座高3厘米，支架A8=30厘米，探頭CQ=10厘米.

（1）當支架與水平線的夾角為75°,與支架BC的夾角為90°,且時,

求探頭的端點。到桌面的距離.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

（2）為獲得更好的投影效果，調(diào)節(jié)支架A8,如圖（3）所示，使得48與水平線的夾角

為53。，同時調(diào)節(jié)支架BC,使得探頭端點。與點B在同一水平線上，且從點?？袋cA

的俯角為63°,此時支架BC的長度為多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin75。

-0.97,cos75°心0.26,tan63°七2,sin53°心0.8,A/1Q^3.16）

21.（8分）某文具店最近有A,3兩款畢業(yè)紀念冊比較暢銷，近兩周的銷售情況是：第一

周A款銷售數(shù)量是10本，8款銷售數(shù)量是5本，銷售總價是140元；第二周A款銷售數(shù)

量是20本，B款銷售數(shù)量是15本，銷售總價是320元.

（1）求A,8兩款畢業(yè)紀念冊的銷售單價；

（2）若某班準備用不超過500元購買這兩種款式的畢業(yè)紀念冊共60本，求最多能夠買

多少本A款畢業(yè)紀念冊.

22.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形。4BC的兩邊OC、0A分別在坐標軸上,

且0A=2,0C=4,連接02.反比例函數(shù)y=&■(尤＞0)的圖象經(jīng)過線段的中點。，

x

并與A3、BC分別交于點E、F.一次函數(shù)＞=加+6的圖象經(jīng)過E、尸兩點.

(1)分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

(2)點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，點P的坐標

為_______________________.

23.(8分)如圖，△ABC為。。的內(nèi)接三角形，尸為BC延長線上一點，ZE4C=ZB,AD

為。。的直徑，過C作CG_LAD交AO于E,交48于F,交。。于G.

(1)判斷直線必與O。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)求證：AG2=ABMF.

24.(10分)如圖1,在矩形ABCD中，理■二G點G,X分別在邊42,OC上，且H4=

AD

HG,點E為AB邊上的一個動點，連接把△A”E沿直線"E翻折得到△PHE.

(1)如圖1,當￡＞8=ZM時，

①填空：/HGA=度；

②若EF//HG,請直接寫出的度數(shù)以及a的最小值；

(2)如圖2,ZAEH=60a,EG=2BG,連接尸G交邊。C于點尸，MFGLAB,G為垂

足，求。的值.

F

圖2

25.（12分）如圖1,在平面直角坐標系中，0為坐標原點，AD為等腰直角AABC底邊

8c上的高，拋物線y=a（尤-2）2+4的頂點為點A,且經(jīng)過8、C兩點，B、C兩點在x

軸上.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖2,點￡為拋物線上位于直線AC上方的一點，過點E作ENLx軸交直線AC

于點N,求線段EN的長度最大值及此時點E的坐標；

（3）如圖2,點M（5,b）是拋物線上的一點，點P為對稱軸上一動點，在（2）的條

件下，當線段EN的長度最大時，求PE+PM的最小值.

圖1圖2

參考答案與試題解析

選擇題(共10小題，滿分30分，每小題3分)

1.解：4不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確；

。、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：C.

2.解：10.4億=1.04X109,

故選：D.

3.解：從左面看，有兩列，分別有2個，1個正方體，

故選：B.

2

4.解：A、7(_3)=3＞故本選項錯誤，不符合題意；

B、V25=5＞故本選項錯誤，不符合題意；

C、印(_])3=_],故本選項正確，符合題意；

D、4-72-272=272.故本選項錯誤，不符合題意；

故選：D.

5.解：A.m64-m2=m4,故本選項錯誤，不符合題意；

B.(2x+l)2=4X2+4X+L故本選項錯誤，不符合題意；

C.(-3m3)2=9加6,故本選項錯誤，不符合題意；

D2Q3?Q4=2Q7,故本選項正確，符合題意.

故選：D.

6.解：由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，故班長最值得關(guān)注的應該是統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)

的眾數(shù).

故選：C,

7.解：分式方程整理得：

x-2x~2

去分母得：-1-2(x-2),

去括號得：x=-1-2x+4,

解得：尤=1,

經(jīng)檢驗x=l是分式方程的解.

故選：C.

8.解：：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知是/BAC的角平分線，ABIDE,

：.ED=CD,ZDAC=ZDAB,NEDB=9Q°-ZB,

在RtAAEZ)和RtAACD中，

[ED=CD,

lAD=AD，

RtAA￡￡)^RtAAC￡>(HL),

：.AC=AE,

：△ABC是直角三角形，

：.ZCAB=90°-ZB,

:./EDB=/CAB,

,：ABIDE,但。E不一定平分AB,

ZDAB不一定等于

，ZDAC不一定等于/B,

故選：D.

x-3(x-2)<a①

解①得：x>3-L,

2

解②得：尤<4,

則不等式組的解集是：3-la<x<4.

2

不等式組僅有2個整數(shù)解，則是2,3.

則1W3--La<2.

2

解得：2<aW4.

故選：D.

10.解：:四邊形A3CD為正方形，

：.ZD=ZBAD=90°,AD=ABf

在△AOb和△比1￡中,

'AD二AB

<NADF=NBAE，

DF=AE

AADF^ABAE(SAS),

??S/^ADF=S/\BAEfNDAF=/ABE,

9：ZBAG+ZDAF=90°,

：.ZBAG+ZABE=90°,

AZAGB=90°,即BG_LAG,

S/\ADF=S/\BAE，

SAADF-S^AEG=SABAE-SAAEG,BP5四邊形QEG尸=S4ABG,

AG+3G=6,

(AG+BG)2=AG2+BG2+2AG^BG=36,

222

&ABG=^"AG?BG，^B=AG+BG9

2

=9

A4+4SAABG=36,§PSAABG^4-

_AD2

S空白=S正方形ABCD-S四邊形DEGF-S^ABG=S正方形ABC。-2S/\ABG=-2(9一-)

10.5,

解得：AB=V19(負值已舍去).

故選：B.

填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

11.解：由題意得：-2x20,

解得：xWO,

故答案為：xW0.

12.解：原式=〃(x+5)(x-5),

故答案為：a(x+5)(x-5)

13.解：①點。在點A的右邊，過。作于M如圖1所示:

VA(-1,加)、3(-4,0)、C(1,0)、。(。，m),且機>0,

J.AD//BC,08=4,OC=1,

???5C=1+4=5,

???四邊形A5CD是菱形,

：.AD=CD=BC=5,

：.0M=5-1=4,

：.CM=OM-OC=3,

JDM=7CD2-CM2=V52-32=4,

點。的坐標為(4,4)或(4,-4)；

②點。在點A的左邊時，過A作于如圖2所示：

VA(-1,m)、B(-4,0)、C(1,0)、。(a,相)，且加＞0,

J.AD//BC,08=4,OC=1,

，BC=1+4=5,

?.?四邊形ACBD是菱形，

A￡)=AC=2C=BD=5,

：.OM=5+l=6,

C.BM^OM-OB=2,

；?VBD2-BM2=752-22=^21，

...點D的坐標為（-6,721）或（-6,-屈）；

故答案為：（4,4）或（4,-4）或（-6,屈）或（-6,-721）.

圖1

14.解：根據(jù)題意反比例函數(shù)在一、三象限,

而y=-x+4的圖象過一、二、四象限.

故其交點應在第一象限.

15.解：在矩形ABC。中,

AO=BO=CO=DO,ZABC=90°,

VZCAE=15°,AE平分NBA。，

：.ZBAE=ZBEA=45°,

；.AB=BE,

：.ZBAC=60°,OA=OB,

...△AOB是等邊三角形，

：.ZBAC=6Q°,

：.ZBCA=30°,AB=^AC=BO,

2

：.BE=BO,

又?.?/OBC=/AC8=30°,

在△BOE中

ZBOE=(180°-/DBC)+2=75°,

AZCO￡=180°-60°-75°=45°.

故答案為：45.

16.解：由所給圖案得，

第1個圖案需要▲的個數(shù)為：4=1+1X3；

第2個圖案需要▲的個數(shù)為：7=1+2X3

第3個圖案需要▲的個數(shù)為：10=1+3X3

所以第"個圖案需要▲的個數(shù)為：3?+1,

故答案為：(3”+1).

三.解答題(共9小題，滿分72分)

17.解：原式=2X"1+工一(&一1),

22

=V2-1+--(V2-1)，

2

=工

~2

18.解：原式=2a+l=(2a+l)(2a-l)

a(a+1)a(a+1)

=2a+l.a(a+1)

a(a+1)(2a+l)(2a-l)

=1.

2a-l'

當°=返±1時，

2

=_!_=返.

19.解：（1）在抽取的200名學生中，選擇“演講比賽'的人數(shù)為200X20%=40（人）,

則選擇“書畫展覽”的人數(shù)為200-（40+80+20）=60（人）,

在扇形統(tǒng)計圖中，iriK=^-X100%=30%）

即機=30,

故答案為：40,30；

（2）估計全校2000名學生中選擇文藝匯演”的學生大約有2000X磊=800（人）；

（3）列表如下：

abcd

a(b,(c,(d,

a)a)Q)

b(4,(c,(d,

b)b)b)

c(a,(b,(d,

c)c)c)

d(a,(b,(c,

d)d)d)

由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中a同學參加的有6種結(jié)果，所以。同學參加的概

率為

2

20.解：（1）如圖，連接AC,延長CD交過點A的水平線于點￡.

（2）

由題意得：8C=A8=30厘米，/BAF=75°,ZABC=90°,

.,.AC=30&（厘米），ZBAC=45°.

：.ZCAE=60°.

,：CD始終垂直于水平桌面MN,

：.ZE=90Q.

.?.CE=AC.sinZCAE=15V6^36.7（厘米）.

:投影儀的底座高3厘米，

探頭的端點。到桌面MN的距離=36.7-10+3=29.7（厘米）.

答：探頭的端點。到桌面的距離約為29.7厘米；

（2）如圖，作于點E.

視線

（3）

/.ZAEB=ZAED=90°.

由題意得：BD//AF,ZBAF=53°.

AZAB￡=53°.

：AB=30厘米，

AB?sinZABE^30Xsin53°仁30X0.8=24（厘米）,

；.BE=q研2_比2=18（厘米）.

由題意得：ZBDA=63°.

:.DE=—邂—g21=12（厘米）.

tan6302

.*.08=12+18=30（厘米）.

由題意得：NCDB=90°,

10X3.16=31.6(厘米)?

/.BC=^CD2+BD2=^102+302=IO710^

答：支架8C的長度大約為31.6厘米.

21.解：(1)設(shè)A款畢業(yè)紀念冊的銷售單價為x元，B款畢業(yè)紀念冊的銷售單價為y元,

根據(jù)題意得：(i°x+5y=i4°,

l20x+15y=320

解得：［x=10.

Iy=8

答：A款畢業(yè)紀念冊的銷售單價為10元，8款畢業(yè)紀念冊的銷售單價為8元；

(2)設(shè)購買根本A款畢業(yè)紀念冊，則購買(60-加)本8款畢業(yè)紀念冊，

根據(jù)題意得：10;〃+8(60-m)W500,

解得:mWlO,

：.m的最大值為10.

答：最多能夠買10本A款畢業(yè)紀念冊.

22.解：(1):四邊形O4BC為矩形，0A=8C=2,0C=4,

：.B(4,2).

由中點坐標公式可得點。坐標為(2,1),

?反比例函數(shù)(尤＞0)的圖象經(jīng)過線段08的中點。，

X

ki=xy=2X1=2,

故反比例函數(shù)表達式為y=2.

X

令y=2,則x=l；令x=4,則y=

-2

故點E坐標為(1,2),F(4,1).

2

設(shè)直線EF的解析式為代入E、尸坐標得：

，2=k+b

2k2=-y

'1,解得：＜.

1—2=4鉆kc2+bD.5

故一次函數(shù)的解析式為＞=蔣x^.

(2)作點E關(guān)于x軸的對稱點E,連接E尸交了軸于點P,則此時PE+尸尸最小.如圖.

由E坐標可得對稱點E(1,-2),

設(shè)直線ET的解析式為＞=??+%代入點E、P坐標，得：

5

-2=m+nm=7r

6

1,解得：，

-=4m+n17'

n-~

則直線EF的解析式為尸包x』，

66

令y=0,則x=』Z_.

5

，點尸坐標為(工，0).

5

故答案為：(衛(wèi)，0).

23.(1)解：直線出與。。的位置關(guān)系：直線B4與OO相切，理由:

連接。，OC,如圖，

為。。的直徑，

ZAC￡>=90°,

：.ZD+ZDAC=90°.

:/B=ND,/MC=/B,

：.ZD=APAC.

：.ZF^C+ZDAC^90°,

4P=90°,

C.OALPA,

:。4為O。的半徑，

.,.直線以與O。相切；

(2)證明：連接BG,

為。。的直徑，CGJ_A。，

***AC=AG?

???ZABG=ZAGC,

'：ZGAF=ZBAG,

，AAFG^AAGB,

?AGAF

"AB=AG，

/.AG2=ABMF.

24.解：（1）①：四邊形ABC。是矩形，

ZADH=90°,

"：DH=DA,

：.ZDAH=ZDHA=45°,

：.ZHAE^45°,

?：HA=HG,

：.ZHAE=ZHGA=45°；

故答案為：45；

②分兩種情況討論：

a、如圖1,?；//MG=/HGA=45°,

AZA//G=90°,

由折疊可知：ZHAE=ZF=45°,ZAHE=ZFHE,

■:EF//HG,

；./FHG=NF=45°,

ZAHF=ZAHG-NFHG=45°,

即/AHE+NFH￡=45°,

/.ZAHE=22.5°,

此時，當8與G重合，”為。C中點，DA=DH=ADC=IAB,

22

此時修殳=a=2,

AD

：.a的最小值是2；

b、如圖1-1,'JEF//HG,

：.ZHGA^ZFEA^45

即NAEH+/FE”=45°,

由折疊可知：ZAEH^ZFEH,

：.ZAEH