2023年高考第一次模擬考數(shù)學試卷（新高考Ⅱ卷A卷）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE12023年高考第一次模擬考試卷（新高考Ⅱ卷A卷）數(shù)學第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由題知，，由，即，解得，所以，所以.故選:.2．（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗.故選：D.3．我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使得三行、三列、對角線的三個數(shù)之和都等于15，便得到一個3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和都相等，這個正方形叫作n階幻方．記n階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為，如，那么10階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為（

）A．555 B．101 C．505 D．1010〖答案〗C〖解析〗由題意得：，故10階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為.故選：C.4．已知，且，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由，得，所以，故選：D.5．某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區(qū)居民的日常生活，選派名志愿者到甲、乙、丙三個社區(qū)進行服務(wù)，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種〖答案〗A〖解析〗首先將名志愿者分成組，再分配到個社區(qū)，可分為種情況，第一類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，第二類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，第三類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，所以共（種）選派方案，故選：A.6．已知，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D..7．如圖，在三棱錐的平面展開圖中，四邊形是菱形，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗三棱錐的直觀圖，如圖所示，則，，所以，，則，，取的中點，連接，，則，所以為三棱錐外接球的球心，半徑，故三棱錐外接球的表面積．故選：B．.8．若對，．有，則函數(shù)在，上的最大值和最小值的和為（

）A．4 B．8 C．6 D．12〖答案〗B〖解析〗，．有，取，則，故，取，則，故，令，則，故為奇函數(shù)，，設(shè)，則，，故為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，故函數(shù)在上的最大值和最小值的和是0，而是將函數(shù)的圖像向上平移4個單位，即在上最大值和最小值均增加4，故函數(shù)在上的最大值和最小值的和是8，故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知，，則下列表達式正確的是（

）A．， B．的最小值為3C．的最小值為8 D．的最小值為4〖答案〗ACD〖解析〗對A選項，，即，則，則，且解得，，則則，且，解得，故A正確；對B選項，，兩邊同除得，則，當且僅當，且，即時等號成立，故B錯誤；對C選項，，，解得，故，當且僅當，且，即時等號成立，故C正確；對D選項，由A選項代入得，當且僅當，，即時，此時時，等號成立，故D正確.故選：ACD.10．設(shè)圓O，直線，P為l上的動點．過點P作圓O的兩條切線PA，PB，切點為A，B，則下列說法中正確的是（

）A．直線l與圓O相交B．直線AB恒過定點C．當P的坐標為時，最大D．當最小時，直線AB的方程為〖答案〗BCD〖解析〗圓O的半徑.設(shè)圓心O到直線的距離為d，則.對于A：因為，所以直線l與圓O相離.故A錯誤；對于B：P為上的動點，可設(shè).因為PA，PB為過點P作圓O的兩條切線，所以.所以四點共圓，其中為直徑.設(shè)的中點為,則,所以圓D為，即.所以直線AB為圓D和圓O的相交弦，兩圓方程相減得：.即直線AB：.由解得：，所以直線AB恒過定點.故B正確；對于C：因為和為直角三角形，且,所以，所以，所以.要使最大，只需最大.在直角中，.要使最大,只需最小，所以當時，最小，此時，所以，所以直線.由，解得：，即當P的坐標為時，最大.故C正確；對于D：因為直線AB為圓D和圓O的相交弦，所以，且被平分.所以四邊形的面積為.而四邊形的面積還可以表示為所以.要使最小，只需最小，即時，得到P的坐標為.所以圓,兩圓相減得到直線AB：.故D正確.故選：BCD.11．如圖，正四棱錐的底面邊長與側(cè)棱長均為，正三棱錐的棱長均為，（

）A．B．正四棱錐的內(nèi)切球半徑為C．，，，四點共面D．平面平面〖答案〗ACD〖解析〗對于A，取的中點，連接，，則，，又，平面，，所以平面，因為平面，所以，又，所以，故A正確.對于B，設(shè)內(nèi)切球半徑為，易求得四棱錐的一個側(cè)面的面積為，所以，解得，故B錯誤.對于C，取的中點，連接，，，，易知，，，所以，分別是二面角，二面角的平面角，易求得，所以，，又，，所以與互補，所以，，，共面，故C正確因為，，，共面，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，故D正確．故選：ACD.12．函數(shù)，則（

）A．的定義域為R B．的值域為RC．是偶函數(shù) D．在區(qū)間上是增函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗因為函數(shù)，所以函數(shù)的定義域為R，故A正確；因為，又，當且僅當，即取等號，所以，故B錯誤；因為，所以是偶函數(shù)，故C正確；因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)隨機變量，若，則_________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以對稱軸為，所以，．故〖答案〗為：.14．已知，，且，則的最大值為__________〖答案〗16〖解析〗因為，，且，所以，當且僅當時等號成立.故〖答案〗為：15．1766年，德國有一位名叫提丟斯的中學數(shù)學老師，把數(shù)列0，3，6，12，24，48，96，……經(jīng)過一定的規(guī)律變化，得到新數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科學家發(fā)現(xiàn)，新數(shù)列的各項恰好為太陽系行星與太陽的平均距離，并據(jù)此發(fā)現(xiàn)了“天王星”、“谷神星”等行星，這個新數(shù)列就是著名的“提丟斯-波得定則”．根據(jù)規(guī)律，新數(shù)列的第8項為______．〖答案〗〖解析〗原數(shù)列，從第項起，每一項是前一項的兩倍，所以其第項為，新數(shù)列，是將原數(shù)列的對應(yīng)的項：先加，然后除以所得，所以，新數(shù)列的第項為.故〖答案〗為：16．已知橢圓與拋物線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且軸，則橢圓的離心率是___________.〖答案〗〖解析〗由題意知：是橢圓的焦點，；軸，或，代入橢圓方程得：，，又橢圓的離心率，，解得：，又，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．解：（1）∵，，成等差數(shù)列，∴，∴，設(shè)數(shù)列的公差為，∴，∴，∵，解得：，∵，∴，，∴；（2）∵，∴數(shù)列的前n項和為．18．在中，，，所對的邊為，，，滿足.（1）求的值；（2）若，，則的周長.解：（1）由，，，.（2），，，，根據(jù)正弦定理，得，解得，；因此三角形周長為.19．2022年國際籃聯(lián)女籃世界杯已經(jīng)落下帷幕，中國女籃獲得亞軍，時隔28年再次登上大賽領(lǐng)獎臺，追平隊史最好成績，中國觀眾可以通過中央電視臺體育頻道觀看比賽實況，某機構(gòu)對某社區(qū)群眾觀看女籃比賽的情況進行調(diào)查，將觀看過本次女籃世界杯中國女籃4場比賽的人稱為“女籃球迷”，否則稱為“非女籃球迷”，從調(diào)查結(jié)果中隨機抽取50份進行分析，得到數(shù)據(jù)如下表所示：女籃球迷非女籃球迷總計男2026女l4總計50（1）補全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為是否為“女籃球迷”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的“女籃球迷”人群中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，然后從這6人中，隨機抽取2人，記這2人中男“女籃球迷”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.附：，0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）列聯(lián)表如下：女籃球迷非女籃球迷總計男20626女10l424總計302050，沒有的把握認為是否為“女籃球迷”與性別有關(guān)．（2）從抽取的“女籃球迷”人群中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，這6人中男“女籃球迷”有4人，女“女籃球迷”有2人，的可能值是0，1，2，，，，的分布列為：012．20．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為，是的中點，所以，在直角中，，，所以.在矩形中，，，所以.又因為，所以在中，，即，而，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，平面，取中點，連接，易知，，兩兩相互垂直，如圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.21．已知，橢圓的兩個焦點，橢圓上的任意一點P使得，且的最大值為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點．求證直線l過定點，并求出該定點的坐標．解：（1）依題意，，由于的最大值為，所以，所以，所以橢圓的標準方程是.（2）橢圓的右頂點為，當直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，則，由于以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點，所以，，解得，所以直線過.當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，，即①.設(shè)，則，由于以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點，所以，，，，，，，整理得，或，若，代入①得，成立，若，代入①得成立，所以直線的方程為，過點；或，過點，不符合題意，舍去.綜上所述，直線過定點.22．已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明，對，均有.（1）解：因為所以，，，則切線方程為，即.則曲線在點處的切線方程為.（2）證明：若證，即證，令，則.當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，即.令，，則，可知在上單調(diào)遞減，所以，即當時，，從而，所以當時，，，當時，，，綜上所述，對，均有.2023年高考第一次模擬考試卷（新高考Ⅱ卷A卷）數(shù)學第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由題知，，由，即，解得，所以，所以.故選:.2．（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗.故選：D.3．我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使得三行、三列、對角線的三個數(shù)之和都等于15，便得到一個3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和都相等，這個正方形叫作n階幻方．記n階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為，如，那么10階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為（

）A．555 B．101 C．505 D．1010〖答案〗C〖解析〗由題意得：，故10階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為.故選：C.4．已知，且，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由，得，所以，故選：D.5．某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區(qū)居民的日常生活，選派名志愿者到甲、乙、丙三個社區(qū)進行服務(wù)，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種〖答案〗A〖解析〗首先將名志愿者分成組，再分配到個社區(qū)，可分為種情況，第一類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，第二類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，第三類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，所以共（種）選派方案，故選：A.6．已知，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D..7．如圖，在三棱錐的平面展開圖中，四邊形是菱形，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗三棱錐的直觀圖，如圖所示，則，，所以，，則，，取的中點，連接，，則，所以為三棱錐外接球的球心，半徑，故三棱錐外接球的表面積．故選：B．.8．若對，．有，則函數(shù)在，上的最大值和最小值的和為（

）A．4 B．8 C．6 D．12〖答案〗B〖解析〗，．有，取，則，故，取，則，故，令，則，故為奇函數(shù)，，設(shè)，則，，故為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，故函數(shù)在上的最大值和最小值的和是0，而是將函數(shù)的圖像向上平移4個單位，即在上最大值和最小值均增加4，故函數(shù)在上的最大值和最小值的和是8，故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知，，則下列表達式正確的是（

）A．， B．的最小值為3C．的最小值為8 D．的最小值為4〖答案〗ACD〖解析〗對A選項，，即，則，則，且解得，，則則，且，解得，故A正確；對B選項，，兩邊同除得，則，當且僅當，且，即時等號成立，故B錯誤；對C選項，，，解得，故，當且僅當，且，即時等號成立，故C正確；對D選項，由A選項代入得，當且僅當，，即時，此時時，等號成立，故D正確.故選：ACD.10．設(shè)圓O，直線，P為l上的動點．過點P作圓O的兩條切線PA，PB，切點為A，B，則下列說法中正確的是（

）A．直線l與圓O相交B．直線AB恒過定點C．當P的坐標為時，最大D．當最小時，直線AB的方程為〖答案〗BCD〖解析〗圓O的半徑.設(shè)圓心O到直線的距離為d，則.對于A：因為，所以直線l與圓O相離.故A錯誤；對于B：P為上的動點，可設(shè).因為PA，PB為過點P作圓O的兩條切線，所以.所以四點共圓，其中為直徑.設(shè)的中點為,則,所以圓D為，即.所以直線AB為圓D和圓O的相交弦，兩圓方程相減得：.即直線AB：.由解得：，所以直線AB恒過定點.故B正確；對于C：因為和為直角三角形，且,所以，所以，所以.要使最大，只需最大.在直角中，.要使最大,只需最小，所以當時，最小，此時，所以，所以直線.由，解得：，即當P的坐標為時，最大.故C正確；對于D：因為直線AB為圓D和圓O的相交弦，所以，且被平分.所以四邊形的面積為.而四邊形的面積還可以表示為所以.要使最小，只需最小，即時，得到P的坐標為.所以圓,兩圓相減得到直線AB：.故D正確.故選：BCD.11．如圖，正四棱錐的底面邊長與側(cè)棱長均為，正三棱錐的棱長均為，（

）A．B．正四棱錐的內(nèi)切球半徑為C．，，，四點共面D．平面平面〖答案〗ACD〖解析〗對于A，取的中點，連接，，則，，又，平面，，所以平面，因為平面，所以，又，所以，故A正確.對于B，設(shè)內(nèi)切球半徑為，易求得四棱錐的一個側(cè)面的面積為，所以，解得，故B錯誤.對于C，取的中點，連接，，，，易知，，，所以，分別是二面角，二面角的平面角，易求得，所以，，又，，所以與互補，所以，，，共面，故C正確因為，，，共面，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，故D正確．故選：ACD.12．函數(shù)，則（

）A．的定義域為R B．的值域為RC．是偶函數(shù) D．在區(qū)間上是增函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗因為函數(shù)，所以函數(shù)的定義域為R，故A正確；因為，又，當且僅當，即取等號，所以，故B錯誤；因為，所以是偶函數(shù)，故C正確；因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)隨機變量，若，則_________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以對稱軸為，所以，．故〖答案〗為：.14．已知，，且，則的最大值為__________〖答案〗16〖解析〗因為，，且，所以，當且僅當時等號成立.故〖答案〗為：15．1766年，德國有一位名叫提丟斯的中學數(shù)學老師，把數(shù)列0，3，6，12，24，48，96，……經(jīng)過一定的規(guī)律變化，得到新數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科學家發(fā)現(xiàn)，新數(shù)列的各項恰好為太陽系行星與太陽的平均距離，并據(jù)此發(fā)現(xiàn)了“天王星”、“谷神星”等行星，這個新數(shù)列就是著名的“提丟斯-波得定則”．根據(jù)規(guī)律，新數(shù)列的第8項為______．〖答案〗〖解析〗原數(shù)列，從第項起，每一項是前一項的兩倍，所以其第項為，新數(shù)列，是將原數(shù)列的對應(yīng)的項：先加，然后除以所得，所以，新數(shù)列的第項為.故〖答案〗為：16．已知橢圓與拋物線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且軸，則橢圓的離心率是___________.〖答案〗〖解析〗由題意知：是橢圓的焦點，；軸，或，代入橢圓方程得：，，又橢圓的離心率，，解得：，又，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．解：（1）∵，，成等差數(shù)列，∴，∴，設(shè)數(shù)列的公差為，∴，∴，∵，解得：，∵，∴，，∴；（2）∵，∴數(shù)列的前n項和為．18．在中，，，所對的邊為，，，滿足.（1）求的值；（2）若，，則的周長.解：（1）由，，，.（2），，，，根據(jù)正弦定理，得，解得，；因此三角形周長為.19．2022年國際籃聯(lián)女籃世界杯已經(jīng)落下帷幕，中國女籃獲得亞軍，時隔28年再次登上大賽領(lǐng)獎臺，追平隊史最好成績，中國觀眾可以通過中央電視臺體育頻道觀看比賽實況，某機構(gòu)對某社區(qū)群眾觀看女籃比賽的情況進行調(diào)查，將觀看過本次女籃世界杯中國女籃4場比賽的人稱為“女籃球迷”，否則稱為“非女籃球迷”，從調(diào)查結(jié)果中隨機抽取50份進行分析，得到數(shù)據(jù)如下表所示：女籃球迷非女籃球迷總計男2026女l4總計50（1）補全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為是否為“女籃球迷”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的“女籃球迷”人群中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，然后從這6人中，隨機抽取2人，記這2人中男“女籃球迷”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.附：，0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）列聯(lián)表如下：女籃