2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-壓軸題（含答案）

2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)——壓軸題

決勝2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)特訓(xùn):壓軸題

，、12

c,g(x)=—x+X

1.已知函數(shù)〃x)__2xlnx,2.

⑴求/(x)的極值;

(2)證明：當(dāng)工>1時(shí)，/(x)+g(x)>0.(參考數(shù)據(jù)：In2。0.69)

/(x)=—x2-x\nx+t(teR)

2.已知函數(shù)2

(l)g(x)是/(無)的導(dǎo)函數(shù)，求g(x)的最小值;

…J<e

(2)證明：對任意正整數(shù)都有(其中e為自然

對數(shù)的底數(shù))；

⑶若X'-xInx+(2-4)x-12°恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3.已知函數(shù)/G)=e一渡，曲線,=在。,”1))處的切線方程為,量力］

⑴求“力的值：

⑵求,(X)在［°，”上的最值；

(3)證明：當(dāng)x>0時(shí)，6工+(1-e..xlnxNO

4.已知函數(shù)/(x)=flnr+a(x+l),fleR

⑴若。=1,求函數(shù)/GO的單調(diào)區(qū)間；

(2)右關(guān)于*的不等式/(x)W2a在［2,+8)上恒成立，求o的取值范圍.

(3)若實(shí)數(shù)b滿足。<一/+1且6>1,證明/(x)<l-21n〃

E:--H--——1(Q>6>0)---M(yfl1、

5.橢圓〃b2的離心率是2,點(diǎn)C1是橢圓E上一點(diǎn)，過點(diǎn)

夕(°」)的動(dòng)直線/與橢圓相交于"，8兩點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程；

(2)求”08面積的最大值；

QA_PA

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)尸不同的定點(diǎn)°,使3恒成立？存在,

求出點(diǎn)°的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.已知函數(shù)""Lx""",g(x)="x)-2"eR)

(1)當(dāng)a=0時(shí)，

(i)求曲線丁=/(')在點(diǎn)(2J。))處的切線方程；

(ii)求/(X)的單調(diào)區(qū)間及在區(qū)間1e'」上的最值；

(2)若對"'€(1，+8),gG)<°恒成立，求.的取值范圍.

211

7.拋物線""宣j與X軸交于"6°),8(8，°)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線

歹=區(qū)-6經(jīng)過點(diǎn)也點(diǎn)尸在拋物線上，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為

(2)如圖1,連接NC,AP,PC,若A4PC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

⑶如圖2,若點(diǎn)尸在直線BC上方的拋物線上，過點(diǎn)尸作尸。1BC,垂足為0,求

CQ+-PQ

2的最大值.

8.已知集合/={123/一，2〃}(">0,對于人的一個(gè)子集s,若存在不大于〃的正整數(shù)叫

使得對S中的任意一對元素卬$2,都有卜1-52上加，則稱S具有性質(zhì)尸.

(1)當(dāng)〃=10時(shí)，試判斷集合8={xe/1x>9MC={xe/|x=3"l#eN}是否具有性質(zhì)產(chǎn)？

并說明理由；

(2)當(dāng)時(shí),=1010,若集合S具有性質(zhì)產(chǎn)，

①判斷集合？={202171xeS}是否一定具有性質(zhì)尸？并說明理由；

②求集合中S元素個(gè)數(shù)的最大值.

9.某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究了="/(〃>0)型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所

示，該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)4J的距離|吹|,始終等于它到定直線

'4a上的距離1MAi(該結(jié)論不需要證明)，他們稱：定點(diǎn)尸為圖象的焦點(diǎn)，定直線/

1

y------

為圖象的準(zhǔn)線，4a叫做拋物線的準(zhǔn)線方程.其中原點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

\FH\=2\OF\y=—x2尸Z:y=--

2“例如，拋物線2,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為I2),準(zhǔn)線方程為-2.其中

\MF\=\MN\,\FH\=2\OH\=1

(1)【基礎(chǔ)訓(xùn)練】請分別直接寫出拋物線夕=2—的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程；

y=-x2

(2)【技能訓(xùn)練】如圖2所示，已知拋物線.8上一點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離為6,求點(diǎn)P的坐

標(biāo);

(3)【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線，=如2">°)的焦點(diǎn)廠的直線依次交拋物線及準(zhǔn)

線/于點(diǎn)月、BC,若忸。=2網(wǎng)，朋=4求0的值;

(4)【拓展升華】古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”

問題：點(diǎn)C將一條線段分為兩段/C和C3,使得其中較長一段/C是全線段與另一

AC_BCV|-l

段C8的比例中項(xiàng)，即滿足：ABAC2,后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”，把

y=—X2

點(diǎn)C稱為線段的黃金分割點(diǎn).如圖4所示，拋物線4的焦點(diǎn)/(°，1),準(zhǔn)線/與>軸

交于點(diǎn)￡為線段近的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn).當(dāng)

皿行

\MF\時(shí)，求出的面積值.

C----=1(62>0,Z)>0)^

10.已知雙曲線?b2的一條漸近線方程的傾斜角為6A0O°,焦距為4.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)/為雙曲線C的右頂點(diǎn)，為雙曲線C上異于點(diǎn)/的兩點(diǎn)，且

①證明：直線龍W過定點(diǎn)；

②若M，N在雙曲線的同一支上，求A/MN的面積的最小值.

11.設(shè)圓。的弦PQ的中點(diǎn)為過點(diǎn)M任作兩弦/瓦沖，弦/。與分別交P。于點(diǎn)

(1)試用解析幾何的方法證明：”為石尸的中點(diǎn);

⑵如果將圓分別變?yōu)闄E圓、雙曲線或拋物線，你能得到類似的結(jié)論嗎？

12.定義在R上的函數(shù)/(*)滿足：①對V』，x2eR,當(dāng)尤1*超時(shí)，總有

[/a)-/5)]a-X2)>0；②對VxeR,/(“X)-9-3)13.

⑴求“x)；

/■6)+("1)3』

⑵若對任意-，*2,WeR,均存在以了(項(xiàng))，/。2)

/(X3)

為三邊長的三角形，求實(shí)數(shù)后的取值范圍.

13.對于數(shù)集'={一1，*，X2，-一,％}("22為給定的正整數(shù))，其中0<玉氣<…<x"，如果

對任意“SeX,都存在GdeX,使得這+仄/=。，則稱X具有性質(zhì)P

0<x<—

⑴若2,且集合〔2J具有性質(zhì)產(chǎn)，求x的值；

(2)若X具有性質(zhì)P,求證：leX；且若%>1成立，則玉=1；

(3)若X具有性質(zhì)產(chǎn)，且%=2023,求數(shù)列和孫…，毛的通項(xiàng)公式.

14.已知/Oe、*,/'(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù),其中—R.

(1)討論函數(shù)/'(X)的單調(diào)性；

⑵設(shè)g3="x)+x(eT)+al,尸g。)與、軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)尸，尸g。)在點(diǎn)?

處的切線方程為戶'(X).

①求證：對于任意的實(shí)數(shù)X,都有g(shù)(x)N〃(x)；

②若關(guān)于X的方程g(x)='C>°)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根且看<2證明：

z(l-2e)

—X]W1+

1-e

“I一，u|x=—

15.在平面直角坐標(biāo)系》伽中，一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)12J且與直線2相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心

的軌跡為曲線K,P是曲線K上一點(diǎn).

⑴求曲線K的方程；

(2)過點(diǎn)/且斜率為左的直線/與曲線K交于8、C兩點(diǎn)，若〃/。尸且直線。尸與直線％=1交

網(wǎng)

于。點(diǎn).求的值；

⑶若點(diǎn)。、E在y軸上，D尸DE的內(nèi)切圓的方程為卜一1)+/=1,求口PDE面積的最小值.

22(八(八

XV耳(1,1),6(0,1),6-1.,41.

=1(。＞6〉0)

16.已知橢圓C：四點(diǎn)IJIJ中恰有三

點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線/不經(jīng)過巳點(diǎn)且與C相交于/，8兩點(diǎn)，若直線8/與直線的斜率的和為-1,

證明：/過定點(diǎn).

(3)如圖，拋物線M：V=4x的焦點(diǎn)是尸，過動(dòng)點(diǎn)G(TJ)的直線人與橢圓。交于p,。兩點(diǎn),

與拋物線M交于4月兩點(diǎn)，且G是線段P。的中點(diǎn)，是否存在過點(diǎn)尸的直線4交拋物線M

于7,。兩點(diǎn)，且滿足47〃片。，若存在，求直線4的斜率后的取值范圍；若不存在，說明

理由.

17.已知函數(shù)/(x)=lnx-〃zx(加為常數(shù)).

(1)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求曲線了=/0)在點(diǎn)(1J。))處的切線方程；

、3行

m之---2

⑵當(dāng)-2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)=2/(x)+x的兩個(gè)極值點(diǎn)3，％?＜三)恰滿足關(guān)系式

In土

b=——y=^-x2)(------6)

再一工2,求尤1+尤2的最小值.

18.給定正整數(shù)后，m,其中24加4左，如果有限數(shù)列｛“"｝同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件.則稱

｛%｝為（匕⑼一數(shù)列.記⑸⑼-數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最小值為G@,m）.

條件①：總｝的每一項(xiàng)都屬于集合｛I2…眉；

條件②：從集合AZ…上｝中任取m個(gè)不同的數(shù)排成一列，得到的數(shù)列都是業(yè)■｝的子列.

注：從｛“」中選取第力項(xiàng)、第4項(xiàng)....第彳項(xiàng)（2—八）形成的新數(shù)列

唯，%???，歿稱為｛%｝的一個(gè)子列.

（1）分別判斷下面兩個(gè)數(shù)列，是否為（3,3）一數(shù)列.并說明理由！

數(shù)列4:123,L2,3,1,2,3.

數(shù)列4-1,2,3,2,1,3,1

（2）求G&2）的值;

“，、k2+3k-4

G（k,k）＞---------

⑶求證2.

答案:

2

1.(1)極大值為無極小值

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號結(jié)合極值的定義即可得解;

F(x)=/(x)+g(x)=—x2+jc-2xlnx(x>1)

(2)構(gòu)造函數(shù)27,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，再

p、n—x+1-2Inx>0(x>1)

證明幾n>u即可或者轉(zhuǎn)換不等式為2,通過構(gòu)造函數(shù)可得證.

【詳解】(1)/(X)的定義域?yàn)?°，+◎,r(x)=-2(l+lnx),

當(dāng)°”、時(shí),小)>0,當(dāng)時(shí)，/'(x)<0,

所以函數(shù),(X)在0,-—,+co

e上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

_￡

故/(%)在“="處取得極大值

2

所以“刈的極大值為e,無極小值；

F(x)=/(x)+g(x)=^-x2+x-2xlnx(x>1)

解法一：則尸(x)=x-21nx-l,

2x-2

.令/?(無)=x-21nx-l(x>l)/?，W=l--=^—

當(dāng)l<x<2時(shí)，"(x)<0,力(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>2時(shí)，h\x)>0；〃(x)單調(diào)遞增,

又〃⑵=1—ln4<0,〃(1)=0,〃(4)=3—21n4>0,

所以存在“"億4),使得以％)=0,gpxo-21nxo-l=O,

當(dāng)時(shí)，〃(x)<0,即尸'(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí)，〃(x)>0,即/'(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x>l時(shí)，"x)在x=x。處取得極小值，即為最小值,

11

F(x)>F(x)=-x2+x(l-21nx)=--x2+2x

故02000200

設(shè)。(％)=-*+2?因?yàn)?e(2,4),

p(jc)=—xi+2x

由二次函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)n2n在(2,4)上單調(diào)遞減，

故。(％)>。(4)=0,

所以當(dāng)X〉1時(shí),尸(x)>0,即/(x)+g(x)>0.

解法二：要證尸(M>°,即證27,

因?yàn)镻。)一5J2x6>1),所以當(dāng)xe(l,4)時(shí)，p(x)<0>°(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(4,+")時(shí)，〃(x)>0,p(x)單調(diào)遞增，

所以p(x"p(4)=2+l_21n4=3-41n2>0,所以尸(x)>0,即/(x)+g(x)>0.

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(“)(或/(*)(g(x))轉(zhuǎn)化為證明

/G)-g(x)>。(或/GO-g(x)<。),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)2)=/3-g”

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

2.(1)°

(2)證明詳見解析

⑶aV2

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求得gG)的最小值.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到<")"一，利用放縮法以及裂項(xiàng)求和法證得不等式成立.

(3)由不等式x'-xlnx+(2-a)x-12°分離參數(shù)。，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得。的取

值范圍.

f(x}=—x2-xlnx+t(tGR,x>0)

【詳解】(1)依題意，2

所以g(x)=/'(x)=x-(lnx+l)=x-lnx-l(x>0)

SG)=l丁丁,所以g(x)在區(qū)間(°」)上g'(x)<°，g(x)單調(diào)遞減;

在區(qū)間（L+°°）上g'（x）>°，g（X）單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時(shí)g（x）取得最小值為g（l）=lTnl-l=O.

（2）要證明：對任意正整數(shù)〃（〃22）,都有〔Timm

1+J<lne

+ln"

+…++

即證明

由(1)得/'(x)=g(x)?g(l)=O,gpx-lnx-l>O,lnx<x-l

元=1+二,"22,"eN*+41+3-1=3

令n-，所以I〃J獷"，

+山l+f111

所以

11111111i

<----1-----F…+------=1---1-----F???H---------i/]

1x22x3(H-1)H223n-\n~n

所以對任意正整數(shù)〃（心2）,都有+*上，

(3)若不等式x*_xlnx+(2-a)x_lWO恒成立，此時(shí)x>0,

xx-x]nx+2x-l

a<---------------

則X恒成立，

zx_xx-xlnx+2x-l

令⑺一,

人〃(x)=e*-x-1(x>O),M(x)=ex-1>0

所以"(x)在區(qū)間他+動(dòng)上單調(diào)遞增，

xx

所以“(x)>e°-O-l=O,e-x-l>O,e>x+l當(dāng)x=0時(shí)等號成立,

,z、exln'-xln^+2x-lxlnx+l-xlnx+2x-l,

h(x)=---------------->--------------------=2

所以XX

當(dāng)xlnx=O,x=l時(shí)等號成立，所以a<2.

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟：求導(dǎo)：對函數(shù)/（X）進(jìn)行求導(dǎo)，得到它的導(dǎo)函數(shù)/（X）.導(dǎo)函數(shù)

表示了原函數(shù)在不同點(diǎn)處的斜率或變化率.找出導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)：解方程/'(x)=°,找到使得導(dǎo)

數(shù)為零的點(diǎn)，這些點(diǎn)被稱為臨界點(diǎn)，可能是函數(shù)的極值點(diǎn)(包括最大值和最小值)，檢查每個(gè)

臨界點(diǎn)以及區(qū)間的端點(diǎn)，并確認(rèn)它們是否對應(yīng)于函數(shù)的最值.

3.b=e-2

⑵/(X)max=e[/Wmin=l

(3)證明見解析

【分析】(1)利用切點(diǎn)和斜率列方程組，由此求得0涉.

(2)利用多次求導(dǎo)的方法求得,(X)在區(qū)間網(wǎng)11上的單調(diào)性，由此求得/(X)在[°閨上的最值.

(3)先證明x>0時(shí)，/(x)“e-2)x+l,再結(jié)合口)轉(zhuǎn)化為e*+(2-e)x-l2xlnx+x,從

而證得不等式成立.

【詳解】(1)/'(x)=e.2ax,

1/'0)=e-2a=6

」/(l)=e-"6+1,解得i=i,』-2；

⑵由⑴得："x)=e=x2,

f'(x)=ex-2x令"x)=e'_2x則如尸一

'(X)是增函數(shù)，令"(x)=°解得X=ln2.

hG),也即尸(X)在山2)上〃(x)<0,力(x)單調(diào)遞減,

在(ln2,+8)上〃(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

,h(In2)=f(ln2)=2-21n2>0,J(x)在“遞增，

.../Ox=/⑴=eT；=/(0)=l；

(3)由(2)得/(X)過(LeT),

且了=10)在x=l處的切線方程是>=傘一2六+1,

故可猜測x>0且xwl時(shí)，/(X)的圖象恒在切線了二G一2卜+1的上方，

下面證明x>0時(shí)，/(x)“e-2)x+l,設(shè)g(x)=/(x)_(e-2)x-l,(x>0),

...g'(x)=e*-2x-(e-2),令他(x)=g'(x)=e*-2x-(e-2),

*(%)=ex-2

由(2)得：8'3在(°1112)遞減，在g,+8)遞增,

..g'(0)=3-e>0g'(l)=O<ln2<l,^(M<0

?，，0f，

...存在x°e(O，l),使得g'(x)=°,

...xe(0,Xo)u(l,+co)時(shí)，g'(x)>0,xe(xo，l)時(shí)，g'(x)<0,

故g(x)在(O，%)遞增，在(%」)遞減，在&+°0)遞增.

又g(O)=g(l)=O,..苫卜展。當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取“=，，,g(x)=ejr-x2-(e-2)x-l>0

ex+(2-e)x-l

故x-x,x>0,由⑵得：ex>x+l,故x?ln(x+l),

ex+(2-e)x-l

-------------->x>lux+1

...x-lNlnx,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)取，i,x,

QX+(2—e)x—1

gp->lnx+1.e%+(2—e)x-1>xlnx+x

即e"+(1-e)x-xlnx-1"成立，當(dāng)且僅當(dāng)％=i時(shí)“=，，成立.

求解切線的有關(guān)的問題，關(guān)鍵點(diǎn)就是把握住切點(diǎn)和斜率.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，如果一

次求導(dǎo)無法求得函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以考慮利用多次求導(dǎo)來進(jìn)行求解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒

成立，如果無法一步到位的證明，可以先證明一個(gè)中間不等式，然后再證得原不等式成立.

4.⑴單調(diào)增區(qū)間為(°』)，單調(diào)減區(qū)間為a+8)；

(2)(-*21n2]

(3)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可得解；

,xlnxxInx_

a<----g(zx)x=-----,x>2

(2)分離參數(shù)可得x-l,構(gòu)造函數(shù)x-1,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小

值即可得解；

(3)由得。-1<-方2,貝|」/(》)4/(6"7)=61+。<—"-62+1,要證

小)<1-21而，即證e"_/+i<i_2in/,即證/+2M6-6<0,構(gòu)造函數(shù)

〃(x)=(21nx-x)e，(x>l),證明即可

【詳解］(1)當(dāng)°=1時(shí)，/(x)=_xlnx+x+l,x>0,

/(x)=-lnx；由/(x)>0,得0<x<l,由/''(x)<0,得x>l,

故/G)的單調(diào)增區(qū)間為(°』)，單調(diào)減區(qū)間為&+00):

---f(x)<2a,:.a<

⑵V7"In",

xlnx、八

入g(x)=-■------,x>2

令x-1

x-1-Inx

g'(x)=

則(1)2,

|1一V

令()=lnx-x+l,貝/3==1=?，

由f'(x)>0,得0<x<l,由f'(x)<。,得，>1,

故O在(0J)遞增,在(1，+°°)遞減，?)max=/(l)=。,

/.t(x)<0所以InxWx-l,

00

二?g(工)>°送(、)在［2，+)上單調(diào)遞增，「遭(%)血11=8(2),

/.a<g(2)=2In2

二°的取值范圍(一叫21n2］；

(3)/+1,-1<—Z)2

又/(x)-/(e°i)=e"1+ay=ca】+Q在QWR上遞增,

所以/(x)W/(ea-1)=e"T+a<e^-^+l,

下面證明：-b2+l<\-2lnb2,

-+2\nb2-b2<0

即證e",

----F2Inx-x<0

令x=b>1,則e、,

即(21nx-x)-ex<-l

令Mx)=(21nxr)e%x>l),則

222-fx-lY-1

(p(x)=2lnx-x+——l(x>l)(p(x)=——1y=―/—<O(x>l)

令X，則XXX,

...函數(shù)。(x)在(1，+8)上單調(diào)遞減，

???夕(X)<夕⑴=0,

.?.”3<0,/心)在(1,+00)遞減，

/z(x)</z(l)=-e<-1

所以21加.

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或/(x)(g(x))轉(zhuǎn)化為證明

/(x)-g(x)>0(或/(x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)“x)=/(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

22

工+匕=1

5.(1)42

(2)也

(3)存在,°(").

【分析】(1)由離心率及過點(diǎn)“6"列方程組求解“力.

S_J_.I

(2)設(shè)直線/為了=息+1與橢圓方程聯(lián)立，將"0*一2"121表達(dá)為上的函數(shù)，由基本不

等式求最大值即可.

(3)先討論直線水平與豎直情況，求出°(°2),設(shè)點(diǎn)8關(guān)于〉軸的對稱點(diǎn)"，證得

PA

PB

0,4"三點(diǎn)共線得到QB成立.

c_V|

a2r

<Q2=Tb2.+c26Z=4

2仔=2x2

【詳解】⑴根據(jù)題意，得田b-,解得1,一，橢圓C的方程為42

（2）依題意，設(shè)/（再，必）*（々，%）,直線/的斜率顯然存在，

y=kx+\

<J+y2Tz2

故設(shè)直線/為尸丘+1,聯(lián)立E萬一，消去九得（1+23”+4米-2=0

_4k2

因?yàn)橹本€/恒過橢圓內(nèi)定點(diǎn)尸（°」），故A>°恒成立，西+七一|+2小卒2-]+2左2,

VLJ1+4左2

S"OB-4x

-1+2P-

故3（一3）

S.AOB=叵X；：]=也*2]￡72

令t="+4kJ21,所以'+/,當(dāng)且僅當(dāng)（=1,即左=0時(shí)取得

等號，

綜上可知：003面積的最大值為行.

（3）當(dāng)/平行于x軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于°，°兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)°滿足條件，

\QC\

\PC\ZA

則有311尸。,即1。。卜1。必,所以。點(diǎn)在了軸上，可設(shè)。的坐標(biāo)為（°，為）；

當(dāng)/垂直于X軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)。滿足條件，

%一^72-1

\QM\JPM\——

則有3「網(wǎng)|,即％+C"+1,解得%=1或%=2,

所以若存在不同于點(diǎn)尸的定點(diǎn)。滿足條件，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（°'2）；

當(dāng)/不平行于x軸且不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線1方程為了=履+1,

-4左—2

由（2）知一1+2產(chǎn)-1+2產(chǎn)，

又因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于V軸的對稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（一%，％）,

左“="2="匚=左一1人=及二2=鋁二1=一左+1_

又X]%!M-X2-X2x2

則――J

\QA\\QAx,PA

所以則。,48’三點(diǎn)共線，所以|。0\QB'超PB

QA_PA

綜上：存在與點(diǎn)尸不同的定點(diǎn)。，使308恒成立，且°(0,2).

—+2-=1

方法點(diǎn)睛：直線Nx+8y+C=°與橢圓/b2交于M，N,當(dāng)且僅當(dāng)

ab

a2/2+/82_2c2=0時(shí)，SMON取得最大值2.

6.(1)(i)3x+2j-21n2-2=0.(ii)答案見解析

￡j_

2,2

⑵

【分析】(1)(i)求出/。"二+為？，求導(dǎo)得到'(2)--5,由點(diǎn)斜式寫出切線方程；

(ii)求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的極值，最值情況；

—<2a-fa-y^lxVxen+oo)/z(x)=—,xe(1,+co)

(2)變形為xI2)對八41,+叼恒成立問題，令一x'，求導(dǎo)

y=1a-[a-^\x1)h(x)=~

得到其單調(diào)性，并畫出函數(shù)圖象，求出I2>恒過點(diǎn)'(41人且無在

(1，°)處的切線方程為kxT,"°』)剛好在切線上，結(jié)合圖象kX-1在

=e(1,+co)

x'上方，再由圖象及直線斜率得到不等式，求出。的取值范圍.

【詳解】⑴⑴當(dāng)"0時(shí)，4)=丁+1廣"2)=-2+ln2,

/，3=r+5r(2)=-2+1=-|

故曲線J=/（X）在點(diǎn)（2/（2））處的切線方程為'一（一2+In2）=-2）

即3x+27一2In2—2=0.

（ii）/（%）=_；/+后二xe（0,+oo）

令“W>°,解得“武叫,令八解得I42)

xe_,e/(x)=f(1)=--

當(dāng)l_e「時(shí)，/、辰J1/2,

f(e)=-—e2+lne=e2+1

v722

其中

±jOn=/（e）=-#+l

故2,

故〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（°」），單調(diào)遞減區(qū)間為（L+00）；

ffy\―，e——e2+1

在區(qū)間Le」上的最大值為2,最小值為2；

g（x）=|tz-—|x2+Inx-2ax

（2）I2＞，

2

對Vxe(l,+oo),x+Inx-2ax<0

恒成立,

Inx-

——<2a-X“Vx€(1,+oo)L4。

變形為X對''〃恒成U,

令什『5）,則"審,

當(dāng)x《l,e）時(shí)，〃（x）＞0,'。）一丁單調(diào)遞增,

當(dāng)x?e，+8）時(shí),〃（x）＜0/（x）一丁單調(diào)遞減,

其中〃（＞。，”力等4,當(dāng)m時(shí)，乎＞°恒成立,

2）=皿

故回出X的圖象如下：

N（2，l）

其中

〃⑴=9=1=%（I。）,

又1，故x在處的切線方程為歹=xT,

又2（2」）在y=x-l上，

A（x）=e（1,+co）

結(jié)合圖象可得此時(shí)y=x-i在x“上方，

另外由圖象可知當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，滿足要求，當(dāng)?shù)男甭市?/p>

于。時(shí)，不合要求,

Inx31

-----<2a-——ae[。，1]

故要想滿足X需要2

ae——

解得122」，

。的取值范圍是I2'2.

對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法，使不等式一端是

含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿

足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為

兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.

y=——x2+—x-6k=—

7.(I)-44,t=3,4

“。,-3

⑵12)

169

⑶16

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可;

PA/*=_in加+6/%,與

（2）作尸軸于點(diǎn)M,可求得44,AM=m-3,證明ACO/~ANMP,

OAPC

可得尸70-M4,進(jìn)而可得出答案；

（3）作PN'x軸交8c于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NE,y軸于點(diǎn)E,通過證明RMP0N~RMBOC,

3455

QN=—PN,PQ=—PNCN=-EN=-m

求出55,再通過證明△CNE?△C30,可得44,再根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

211

/?僅。、尸QX+—x—6

【詳解】（1）???I'J在拋物線4上，

64a+—x8-6=0

4,

1

a=——

4,

1H於

V=----X2H----X—O

???拋物線解析式為44,

?--t2+-t-6=0

當(dāng)y=0時(shí)，44,

J=3,t2=8（舍），

?,?,=3,

/（8,0）在直線尸履一6上，

...8左-6=0,

4；

（2）如圖，作尸M'x軸于點(diǎn)

y=-x~Hx_6?

對于44,令尤=0,則》二-6,

.點(diǎn)。（0,-6）,即℃=6,

J（3,0）

?,

,?Q=3,

,??點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

D（12H/

???I44J,

1

PDM”=-m2---1-1-m+6u,,。

...44AMr=m—3,

..ZCAP=90°f

-,ZOAC+ZPAM=90°f

...AAPM+NPAM=90°,

...ZOAC=ZAPM,

.,.ZAOC=ZAMP=90\

...△CCU-^AMP,

OA_PC

...PM-MA,

3（m—3）=6-|—m2——m+6

；.OAMA=OCPM,gp144

:.叫=3（舍），%=10,

...加=10,

(3)如圖，作尸"Lx軸交8c于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)石,

N\m,-m-6

I4

???點(diǎn)

PN=--m2+—m-6--m-6——m"+2m

4444

...PN_Lx軸，

.-.PN//OC,

.ZPNQ=ZOCB,

...RUPQN~RtABOC,

PN_NQ_PQ

：^BC~~OC~~OB,

..O8=8,OC=6,8C=10

34

QN=-PN,PQ=-PN

55

軸，

.?.NE7/x軸,

..CNEfCBO,

CN=-EN=-m

44.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練的掌握三角形相似的判斷及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

8.(1)詳見解析；

⑵①具有性質(zhì)尸；理由見解析；②1346

【分析】(1)當(dāng)〃=10時(shí)，先求得集合A,由題中所給新定義直接判斷即可；

(2)當(dāng)〃=101。時(shí)，先求得集合A,

①根據(jù)，={2°21-x|xeS},任取'=2021-x()e7,其中%cS,可得1,2021-x。工2020,

利用性質(zhì)P的定義加以驗(yàn)證，即可說明集合T具有性質(zhì)P；

②設(shè)集合S有《個(gè)元素，由⑴可知，任給xeS,1<x<2020,貝口與2021-x中必有1個(gè)

不超過1°1°,從而得到集合S與T中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過1010,然后利

用性質(zhì)尸的定義列不等式，由此求得人的最大值.

【詳解】⑴當(dāng)〃=10時(shí)，/={1,2,…,19,20},

5={相川》>9}={10,11,12,一、19,20}不具有性質(zhì)?，

因?yàn)閷θ我獠淮笥?°的正整數(shù)加,

都可以找到該集合中的兩個(gè)元素4=1°與4=10+切，使得向心|=加成立，

集合C={x—"1,hN*}具有性質(zhì)尸，

因?yàn)榭扇〖訉τ谠摷现腥我辉兀?/p>

q=34-Ig=3僅-1（后u^eN*）都有忖-c2]=3%一上*1

（2）當(dāng)〃=1010時(shí),集合"={L2,3,--,2019,2020},7M41010（meN*）

①若集合S具有性質(zhì)尸，那么集合7={2021-x|xe必一定具有性質(zhì)P.

首先因?yàn)椋?{2°217口€5},任取:2021-X。eT,其中與?s.

因?yàn)镾u4,所以與e{1,2,3,…,2020}.

從而142021_/<2020,即法4,所以TuZ.

由S具有性質(zhì)尸，可知存在不大于101。的正整數(shù)加，

使得對s中的任意一對元素$”$2,都有N一$2上機(jī).

對于上述正整數(shù)加，從集合？={2°21一劃^S}中任取一對元素4=2021-再,

t2=2021-X2）其中占,乙€5,則有,一"二卜】一$2〔工機(jī).

所以，集合T={2°217EeS}具有性質(zhì)P；

②設(shè)集合S有左個(gè)元素，由（1）可知，若集合S具有性質(zhì)產(chǎn)，

那么集合？={2021一刈xeS}一定具有性質(zhì)尸.

任給x￡S,1<x<2020,則x與2021-x中必有一個(gè)不超過1010.

所以集合S與T中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過1010.

不妨設(shè)S中有I2J個(gè)元素4也，…抱不超過1010.

由集合S具有性質(zhì)尸，可知存在正整數(shù)加41010.

使得對S中任意兩個(gè)元素S，$2，都有N”

所以一定有4+加,&+機(jī)，…，2+加史s

yZ?.+m<1000+1000=2000故4+加,優(yōu)+加，…，4+加￡%

即集合A中至少有/個(gè)元素不在子集S中，

k+-<k+t<2020?t+-<2020

因此2，所以2,得女41346.

當(dāng)5={1,2,…,672,673,…,1347,…,2019,2020}時(shí)，取用=673

則易知對集合S中的任意兩個(gè)元素乂，%,都有%一為設(shè)673,即集合S具有性質(zhì)尸.

而此時(shí)集合S中有1346個(gè)元素，因此，集合S元素個(gè)數(shù)的最大值為1346.

解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.

⑵重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法歸納

“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

1

y=一

9.(1)48

(2)(@)或"4)

1

Q=-

⑶4

⑷君T或3-石

【分析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；

(2)先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,然后代入到拋物線解析式中求解即可；

(3)如圖所示，過點(diǎn)3作2。J^軸于。，過點(diǎn)/作/EL'軸于E,證明推

\FD\=—\OD\=\OF\-\DF\=——\BD\=—

出6a,貝丁12a,點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為12a,從而求出16a,證明

[-2后2+；]

△AEFSABDF,即可求出點(diǎn)/的坐標(biāo)為I4",再把點(diǎn)/的坐標(biāo)代入拋物線解析式

中求解即可；

(4)如圖，當(dāng)￡為靠近點(diǎn)尸的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過點(diǎn)〃作W/于N,貝,〃初=1九〃1,

先證明△何/是等腰直角三角形，得到加印=|兒四，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為I"'加工則

\MN\=-m2+1=—m=IHA^IIu-ri_/7_i

4,求出加=-2,然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出岸口一"T,則

SAHME=-HE-NH=y/5-1

2；同理可求當(dāng)點(diǎn)￡是靠近，的黃金分割點(diǎn)時(shí)超的面積.

2fo,-ly=--

【詳解】（1）由題意得拋物線夕=2》的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程分別為I8；8.

y=—x2y=——=—2

（2）由題意得拋物線.8的準(zhǔn)線方程為’4"，

因?yàn)辄c(diǎn)P到準(zhǔn)線1的距離為6,所以點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4,

...當(dāng)了=4時(shí)，=4,解得±4百，...點(diǎn)P的坐標(biāo)為G匯9或（-4四,4）

（3）如下圖所示：

過點(diǎn)3作BO'y軸于。，過點(diǎn)/作/E'y軸于總

由題意得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為直線/的解析式為：＞二一5,

1BDFD_FB

...BDHAEHCH,但川一五，...&FDBfFHC,...HCJH~^C

BD_FD_FB1

-因

\BC\=2\BF\.\CF\=3\BF\,^C-THFC-36a,

\OD\=\OF\-\DF\=^-1

??點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為12。,

-L*、=皂

.?.12a,解得6a（負(fù)值舍去），.??