2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元速記-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（知識歸納+題型突破）（解析版）

第五章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(知識歸納+題型突破)

基礎(chǔ)知識歸納

1、平均變化率

(1)變化率

事物的變化率是相關(guān)的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.

(2)平均變化率

一般地，函數(shù)/(X)在區(qū)間上，/］上的平均變化率為：:二.

(3)如何求函數(shù)的平均變化率

求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：

①作差：求出Ay=/(x2)-/(xj和Ax=%-西

Ay/(x)-/(x)

②作商：對所求得的差作商，即j二J2，八L

2、導(dǎo)數(shù)的概念

(1)定義：函數(shù)/(X)在X=/處瞬時變化率是lim電=lim/(/+.)-/(X。),我們稱它為函數(shù)

心一。Ax以一0Ax

^^/("在工二/處的導(dǎo)數(shù)八己作/'々。)或山門即/(%)=lim電=lim/(/+&)-/(/).

°-oAx-。Ax

(2)定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：

①求函數(shù)的增量：A_y=/(x0+Ax)-/(x0)；

4一Ay/(x+Ax)-/(x)

2求平均變化率：—=2-L-n2-----..---n-；

AxAx

x

3求極限，得導(dǎo)數(shù)：/'(x0)=lim=lim/(o+Ax)-/(xo)

-Ax以―。Ax

3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在點x=x。處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=/(x)在點P(飛,為)處的切線的斜率左，即

左=/'(%).

4、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)

/(X)=c(c為常數(shù))/'(x)=0

/(x)=x"(〃eR)/'(x)=〃X"T

f(x)=sinx/'(x)=cosx

f(x)=cosXf\x)=-sinx

/(X)=e'/'(X)=e，

/(x)=/(a>0)f\x)-ax\na

/(x)=lnxr(x)=-

X

/(x)=log；(a〉0,awl)/'(X)=

xina

/(x)=Vx

/w=-/'(X)=__T

XX

5、導(dǎo)數(shù)的運算法則

若/'(X)，g'(x)存在,則有

⑴[/(X)土g(x)]'=7'(x)土g'(x)

(2)[/(%)?g(x)]'=/'(X)?g(x)+/(x)?g'(x)

...「/(x)YJ(x)?g(x)-/(x)?g'(X)

(3)W=Pw

6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/Q),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為久=立4,即V對x的導(dǎo)數(shù)等

于y對M的導(dǎo)數(shù)與M對X的導(dǎo)數(shù)的乘積.

7、曲線的切線問題

(1)在型求切線方程

已知：函數(shù)/(X)的解析式.計算：函數(shù)/(X)在X=X?；蛘?4,/(%))處的切線方程.

步驟：第一步：計算切點的縱坐標(biāo)/(%)(方法：把X=X。代入原函數(shù)/(X)中)，切點(4,/(%)).

第二步：計算切線斜率《=/'(》).

第三步：計算切線方程.切線過切點(%,/(%)),切線斜率左=/'(4)。

根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：J-/(XO)=/'(x0)(x-x0).

(2)過型求切線方程

已知：函數(shù)/(X)的解析式.計算：過點4(占,%)(無論該點是否在v=/(x)上)的切線方程.

步驟：第一步：設(shè)切點片(玉),外)

第二步：計算切線斜率左=/'(/);計算切線斜率左=近二比；

X］-%

第三步：令：后=/'(%)=乂電,解出/，代入左=/'(%)求斜率

石一/

第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-y0=f'Mx-x0).

8、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(導(dǎo)函數(shù)看正負，原函數(shù)看增減)

條件恒有結(jié)論

r(x)>oJ=/(X)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增

函數(shù)V=/(x)在區(qū)

r(x)<oV=/(x)在伍,瓦)內(nèi)單調(diào)遞減

間(a,Z?)上可導(dǎo)

r(x)=oV=/(x)在伍力)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)

9、求已知函數(shù)(不含參)的單調(diào)區(qū)間

①求了=/(x)的定義域

②求/'(X)

③令/'(x)〉0,解不等式，求單調(diào)增區(qū)間

④令/'(x)<0,解不等式，求單調(diào)減區(qū)間

注：求單調(diào)區(qū)間時，令/'(x)〉0(或/'(x)<0)不跟等號.

10、函數(shù)的極值

一般地，對于函數(shù)y=/(x),

(1)若在點》=。處有/'(a)=0,且在點x=a附近的左側(cè)有/'(x)<0,右側(cè)有/'(x)〉0,貝I］稱x=a

為/(x)的極小值點，/(a)叫做函數(shù)/(x)的極小值.

(2)若在點x=b處有/'(b)=0,且在點x=b附近的左側(cè)有/'(X)〉0,右側(cè)有了'(X)<0,則稱x=b

為/(x)的極大值點，/3)叫做函數(shù)/(x)的極大值.

(3)極小值點與極大值點通稱極值點，極小值與極大值通稱極值.

注：極大(小)值點，不是一個點，是一個數(shù).

11、函數(shù)的最大(小)值

一般地，如果在區(qū)間切上函數(shù)>=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.

設(shè)函數(shù)/(x)在［a向上連續(xù)，在伍/)內(nèi)可導(dǎo)，求/(x)在［a向上的最大值與最小值的步驟為：

(1)求/(x)在(見人)內(nèi)的極值；

(2)將函數(shù)/(x)的各極值與端點處的函數(shù)值/(a),/(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一

個是最小值.

重要題型

題型一：平均變化率與瞬時變化率

例題1.（2023下?上海普陀?高二上海市晉元高級中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)y=/卜），其中/（x）=2Y,函數(shù)/（x）

在區(qū)間民,%+-］上的平均變化率為左，在［x0-Ax,%］上的平均變化率為左2，則匕與匕的大小關(guān)系是

【答案】k［>k2

22

【詳解】依題意％=2（/+AX）-2X；=4x0Ax+2Ar=,

x0+AX-X0AX

k2=2"干?！薄?4小-2"=4%_2Ax,

xQ-（x0-Ax）Ax

所以左-左2=4AX,而AX>0,所以色.

故答案為：K>k2

例題2.（2023上?高二課時練習(xí)）自由落體運動的位移”（單位：m）與時間/（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系d=

（g為重力加速度）.

⑴分別求［4,4』、［4,4.01］、［4,4.001］這些時間段內(nèi)自由落體的平均速度；

（2）求”4時的瞬時速度；

（3）求公時的瞬時速度；

（4）借助（3）的結(jié)果，求f=g時的瞬時速度.

【答案】（l）4.05gm/s；4.005gm/s；4.0005gm/s

（2）4gm/s；

（3）agm/s；

5

（4）-gm/s；

【詳解】（1）在［4,4』時間內(nèi)，平均速度一一gg（4」）2一gg（4『m/s；

在［4,4.01］時間內(nèi)，平均速度一.2g（4°l）〈2g（4）2m/s；

'%=加N=4.00匆

在［4,4.001］時間內(nèi)，平均速度及鼻（4。叫一—-（4）；000m/s；

3-4.001-4一?田

A2

⑵瞬時速度-由理=1mJgS')Tg’〔Hm且也+%L麗L%",；

4fo△/加-oAZ加-o\t4-0［2)

所以"4時瞬時速度為4gm/s；

(3)由(2)知，/=。(。>0)時的瞬時速度為"=8，=咫111/5；

(4)當(dāng)/=1■時的瞬時速度丫=8/=1^m/s；

例題3.(2023上?高二課時練習(xí))從橋上將一小球擲向空中，小球相對于地面的高度力(單位：m)和時

間，(單位：s)近似滿足函數(shù)關(guān)系力=-5〃+15/+12.問：

(1)小球的初始高度是多少？

(2)小球在f=0至1卜=1這段時間內(nèi)的平均速度是多少？

(3)小球在t=1時的瞬時速度是多少？

(4)小球所能達到的最大高度是多少？何時達到？

【答案】(l)12m；

(2)10m/s；

(3)5m/s；

93

(4)最高高度為了m,在1.5秒時達到.

【詳解】(1)當(dāng)f=0時，"0)=12,即初始高度為12m；

(2)當(dāng)f=l時，A(l)--5xl2+15xl+12=22,

所以平均速度為"=彳22-存12=10m/s；

1-0

+-5(1+A/)2+15(1+A42^2/、

(3)由lim」----lim—-------------------------------------1------------lini-&t將)苔，

Af->0A/△tTAZA心,

即f=1時的瞬時速度是5m/s；

1593

(4)由〃=一5產(chǎn)+15/+12可得，當(dāng)'=-可書=L5時，4Mx=/?(L5)=1,

小球的最高高度為”93m,在1.5秒時達到.

4

鞏固訓(xùn)練

1.(2023上?高二課時練習(xí))自由落體運動中，物體下落的距離4(單位：m)與時間，(單位：s)近似滿

足函數(shù)關(guān)系d=5?.

⑴求物體在［2,4］時間段內(nèi)的平均速度；

(2)求物體在t=3時的瞬時速度；

(3)求物體在/時的瞬時速度.

【答案］⑴30m/s

⑵30m/s

(3)10?m/s；

【詳解】(1)由d=5/可知，第4s時的距離為1(4)=5x42=80；

第2s時的星巨離為“(2)=5x2?=20；

所以平均速度為丫=一"(2)=辿二型=30m/s

4-24-2

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知

Ad5。+加y-5*10心+5(助2

v=lim——=lim-----------------=hm----------------=lim10Z+5Ar=10;

△—oxo2△一oM△小7

所以物體在，=3時的瞬時速度為v=10/=30m/s；

(3)由(2)的結(jié)論可知，物體在，="。＞0)時的瞬時速度v=10am/s；

2.(2023上?高二課時練習(xí))已知車輛啟動后的一段時間內(nèi)，車輪旋轉(zhuǎn)的角度和時間(單位：秒)的平方

成正比，且車輛啟動后車輪轉(zhuǎn)動第一圈需要1秒.

(1)求車輪轉(zhuǎn)動前2秒的平均角速度；

(2)求車輪在轉(zhuǎn)動開始后第3秒的瞬時角速度.

【答案】⑴4兀

(2)12兀

【詳解】(1)設(shè)車輪旋轉(zhuǎn)的角度為V,車輛啟動后車輪轉(zhuǎn)動的時間為f秒，

貝!］y=kf,

由題意得f=l時，y=2n,

即2兀=F左，解得k=2n,

故y=2加2,車輪轉(zhuǎn)動前2秒的平均角速度為2兀x2］：無＞。2=4兀,

(2)y-2nt2,y'=4KZ,

由導(dǎo)函數(shù)的意義可得車輪在轉(zhuǎn)動開始后第3秒的瞬時角速度為4兀x3=12兀.

3.(2023上?高二課時練習(xí))將石子投入水中，水面產(chǎn)生的圓形波紋不斷擴散.

(1)當(dāng)半徑r從?增加到。＞0)時，求圓周長相對于半徑的平均變化率；

(2)當(dāng)半徑廠=。時，求圓周長相對于半徑的瞬時變化率.

【答案】(1)2兀

(2)2死

【詳解】(1)當(dāng)半徑『從。增加到。+〃(〃＞0)時，圓周長相對于半徑的平均變化率為

2兀(°+〃)-2政

二2兀；

a+h-a

(2)當(dāng)半徑廠=。時，求圓周長相對于半徑的瞬時變化率為

2K(a+A)-27ra°

hm——---------------=hm2兀=2兀.

a+h-a2°

題型二：定義法求導(dǎo)數(shù)

例題1.(2023上?上海?高三上海中學(xué)?？计谥?若/'(x)=Y+sin無，貝!HimZ^=.

…h(huán)----

【答案】1

【詳解】因為/(乃=/+5出三所以〃0)=0,/'(x)=2x+cosx,

則lim"=lim/(A+0)-/(0)

=r(o)=i.

h->QhA-?0h

故答案為：1.

例題2.(2023上?高二課時練習(xí))已知在使用某種殺菌劑t小時后室內(nèi)的細菌數(shù)量為［⑺=1。5+10=703戶.

⑴求廣(10)；

(2)/'(10)的實際意義是什么？

【答案】(1)-10000

(2)答案見解析

【詳解】⑴解：由函數(shù)/■(，卜及+及”4/,

當(dāng)人0時,在使用殺菌劑10小時附近的時間段［10,10+修僅＞0)內(nèi)，

可得細菌數(shù)量關(guān)于時間的平均變化率為10°+牛八⑼

h

54325432432

10+10(10+/?)-10(10+A)-^0+10xl0-10xl0)_-10A-10A__jn4_,03A

hh,

當(dāng)h趨近于0,就得到/,(10)=lim(-104-103A)=-104=-10000.

(2)解：(10)的實際意義是細菌數(shù)量在，=10時的瞬時變化率，它表明在"10附近，細菌數(shù)量大約以每

小時IO”的速率減少.

鞏固訓(xùn)練

L(2。23下?上海松江?高二上海市松江一中?？茧A段練習(xí))計算：盛辿±"=()

A.0B.2cosxC.cos2xD.2cos2x

【答案】B

.sin(x+2/z)—sinxsin(x+2。-sinx,

【詳解】由lim—--------1--------=2lim—--------1---------=2(sinv)=2cosc.

20hh-02h

故選：B

2.(2023下?上海浦東新?高二?？计谀?設(shè)函數(shù)y=/(x)在x=x。處導(dǎo)數(shù)存在，若

hr。h

則;"(x°)=.

【答案】6

【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可得/'(%)=網(wǎng)〃*弋”=網(wǎng)小上，叫=6.

2°x0-(x0-h)2°h

故答案為：6.

題型三：導(dǎo)數(shù)的運算

例題1.(2023下?上海普陀?高二?？计谀?下列求導(dǎo)運算正確的是()

A.=~+~TB?(x%)=2xex

C.(e“cos2x)=e'(cos2x—2sin2x)D.^ln—+\nx^'=2+—

【答案】C

【詳解】flnx+-^=L_',A錯；

IX)XX

(x2eT)'=(x2)V+x2(e)=2xex+x2e，B錯；

(e*cos2x)=(ex),cos2x+ejr(cos2x),=excos2x-2-exsin2x=ex《os2x-2sin2x)>C正確；

1In；+Inx]=—>D錯.

故選：C.

例題2.(2023上海?高二課時練習(xí))已知g(x)=lnx,計算下列函數(shù)y=〃(x)在點x=1處的導(dǎo)

數(shù)值：

(l)/z(x)=3/(x)-5g(x)；

(2)/z(x)=/(x)g(x)；

(3)3)=猾

(4)A(x)=/(2x+1)+g(3x-1).

【答案】(l)3e-5

⑵e

(3)不存在

3

(4)2e3+-

【詳解】(1)因為〃(x)=3/(x)-5g(x)=3e-51nx,

所以〃(無)=3e，-《，所以〃⑴=3e-5.

(2)因為/z(x)=e*Inx,

所以〃(x)=e'lnx+《，所以"6=e.

(3)因為％(x)=f—，定義域為(0,i)U(l,+8),

Inx

所以函數(shù)了="x)在點x=1處的導(dǎo)數(shù)值不存在.

(4)因為“x)=/(2尤+l)+g(3x-l)=e2'M+ln(3x-l),

所以\("=2/2+五、，所以〃(l)=2e3+].

例題3.(2023上海?高二課時練習(xí))求下列函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù):

2

⑴〃x)=，sinx；(2)/(x)=-^(3)/(耳=('-

【答案】(l"'(x)=2xsinx+x2cosx

，/、X2+4X

(2)/3;中

(3)#(X)=2X-4

【詳解】(1)/'(%)-(%?sinx)=(%2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx

2

/x2(J)(工+2)一%2(%+2)2x(x+2)-x2

X+4X

(2)r(x)=

、x+2(尤+2)2(X+2)2(x+)~2'

(3)/'(x)==(%2_4X+4)=(/)_(4x)'+4'=2x-4.

鞏固訓(xùn)練

1.(2023下?上海黃浦?高二格致中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)＞=/(力導(dǎo)函數(shù)為y=/(x),且

/(x)=2/(3)x-2x2+31nx,則/⑴=()

A.21B.20C.16D.11

【答案】B

a

【詳解】由/(力=2/(3卜-2/+31!?,得/(力=2/13)-4x+：,

則/'⑶=2/'⑶一11,所以/■'(3)=11,貝！)/⑴=2〃3)-2=22-2=20,

故選：B

7

2.(2023下?上海黃浦?高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)/(尤)=2八3)，-§/+山，則/(1)=,

【答案】j

741

【詳解】因為〃x)=2/⑶.x-^xz+lnx,所以/口)=2/")-2》+：,

則r(3)=2/(3)-§+針解得：/'⑶=1,

所以/(x)=2尤_g/+in尤，貝|]/(1)=2_§+1111=互.

故答案為：

3.(2023上?高二課時練習(xí))求下列函數(shù)V=/(x)的導(dǎo)數(shù)：

(l)/(x)=2xe-e2；(2)/(x)=e'cosx；(3)/(x)=jX-^-；(4)/(x)=-^.

x-2smx

【答案】⑴/'(x)=2exi⑵F(x)=ex(cosx-sin龍)(3)/'(x)=-?2

Inx-cosx

(4)/'(無)=

xsinxsinx

【詳解】(1)f\x)=(2xey-(e2)'=2e￡/—o=2exe-1；

/'(%)=(ex)fcosx+ex(cosx)r=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx；

(x-l/(x-2)-(x-l)(x-2/_x-2-x+l

f

(Inx)sinx-Inx(sinx)'x1Inx-cosx

sinxxsi,nxsi,n2x

題型四：求切線方程

例題1.(2023上?上海普陀?高三上海市晉元高級中學(xué)校考期中)曲線j，=e'在點(l,e)處的切線斜率

為.

【答案】e

【詳解】因為V=e"則j/=e，，

可知曲線廣^在點(l,e)處的切線斜率斤=y'L=e.

故答案為：e.

例題2.(2023下?上海嘉定?高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥?已知曲線/卜)=2/_3無，過點(0,0)作

曲線的切線，則切線方程.

【答案】P-

【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為(%,-3%),

由〃x）=2/一3x,得/'（x0）=64一3,

所以曲線/（x）在點（%,2町-3%）處的切線方程為y-（2%-3%）=（6焉-3）（x-x。）.

因為切線過點（0,0）,所以一2x；+3x°=（6x；-3）（-%）,解得％=0.

所以切線方程為y=-3x.

故答案為:y=-3x.

例題3.（2023上?上海寶山?高三?？计谥校┮阎▁）=xlnx.

⑴求/（x）的導(dǎo)函數(shù)以及駐點.

（2）求平行于），=x-5的切線方程；

【答案】⑴/'（力=—,駐點為L

e

（2）y=x-i

【詳解】（1）,.?/（x）=xlnx,.,./,（x）=l+lnx,

令無）=0即l+lnx=0,解得x=（,

所以函數(shù)〃x）的駐點為L

e

（2）由y=x-5,切線的斜率左=1,設(shè)切點坐標(biāo)為（％,%）,

則/'伉）=1，解得%=1,

則No=xolnxo=0,切點坐標(biāo)為（1,0）,

所以切線方程為y=x-i.

例題4.（2023?上海虹口?華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)〃x）=a/-6e-，-（a+l）x（。、

fteR）.

⑴當(dāng)忻2,6=0時，求函數(shù)圖象過點（0,7（0））的切線方程；

【答案】（l）x+y-2=0

【詳解】⑴當(dāng)。=2,6=0時,/（無）=2e-3xJ（x）=2d-3,

/（0）=-1,/（0）=2

所以切線方程為V-2=-（工-0）,即為x+y-2=0.

鞏固訓(xùn)練

1.（2023下?上海浦東新?高三上海市實驗學(xué)校校考開學(xué)考試）已知曲線/（x）=2/-3x,過點M（0,32）作

曲線的切線，則切線的方程為.

【答案】25-尸32=0

【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為N（%,2焉-3%）,/'（x）=6/-3,則切線的斜率上=/缶）=6X；-3,

故切線方程為y=（6x；-3）尤+32,又因為點N（尤°,2x；-3%）在切線上，

所以2月-3%=（6x；-3）%+32,整理得到x；=-8,

解得升=-2,所以切線方程為＞=21尤+32.

故答案為：21x-y+32=0.

2.（2023上?上海?高二?？茧A段練習(xí)）（1）已知函數(shù)/（x）=/--一：/,（_］卜，求/'（-1）；

（2）已知曲線〃X）=X3-2X2+X,求曲線y=f（x）在x=2處的切線方程.

【答案】⑴/（-1）=3；（2）5x-y-8=0.

【詳解】解：⑴因為/（X）=X3_X2_：/（_1）尤，

等式兩邊求導(dǎo)可得/'（"=3/-

所以，r（-i）=3+2-jr（-i）,即）=5,解得八T=3；

（2）因為/'（尤）=X，-2尤2+x,貝！=3x?-4x+l,

所以，/（2）=23-2X22+2=2,/（2）=3X22-4X2+1=5,

所以，曲線V=/（x）在x=2處的切線方程為＞-2=5（》-2）,即5x-y-8=0.

3.（2023上?高二課時練習(xí)）已知/1x）=3尤2,分別求曲線y=/（x）在點尸和點。（1,3）處的切線方程.

【答案】〃無）在點尸（T3）處的切線方程為：6x+y+3=0;〃x）在點。（1,3）處的切線方程為：6x-y-3=0.

【詳解】由題，/'（x）=6x,

\/（x）在點尸（T3）處的切線斜率為左==-6,

可得“X）在點尸（-1,3）處的切線方程為：y-3=-6（x+l）,即為6x+y+3=0；

同樣，/（“在點0。,3）處的切線斜率為4=/''⑴=6,

可得“X）在點。（1,3）處的切線方程為：y-3=6（x-l）,即為6x7-3=0.

4.（2023下?上海浦東新?高二上海市川沙中學(xué)?？奸_學(xué)考試）（1）曲線y=l-二在點處的切線

方程.

（2）曲線/（x）=x3+x-2的一條切線平行于直線y=4x-l,求切點《的坐標(biāo).

【答案】（1）y=2x+l；（2）（1,0）或（一1,-4）

722?

【詳解】（1）因為丁=1——所以了=1一右，所以左?＞2=2,所以曲線歹=1——^在點（―L—1）

x+2（x+2）（-1+2）X+2

處的切線方程為y-(-D=2[x-(-1)],即y=2x+1；

(2)設(shè)1的坐標(biāo)為(冽,")，貝！］〃=疝+%-2,

f(x)=x3+x-2的導(dǎo)數(shù)為尸(x)=3/+1,在點《處的切線斜率為3川+1,

由切線平行于直線y=4x-l,可得3/+1=4,解得加=±1,

所以切點分的坐標(biāo)為(1,0)或(T,-4).

題型五：根據(jù)切線的斜率求參數(shù)

例題1.(2023上?上海青浦?高三?？计谥?已知aeR,曲線了=/卜)經(jīng)過點(L2)且在該點處的切線方程

為ax+y-5=0,貝!］+~~-=_______.

〃->oh

【答案】-3

【詳解】由點(L2)在直線以+y-5=0上，得。=3,又曲線y=/(x)在點(1,2)處的切線方程為以+y-5=0,

則((1)=一a=-3,而/(1)=2,所以1面-'(1+)-2=limAMzZO=/'(,=—.

20h20hV7

故答案為：-3

例題2.(2023下?上海楊浦?高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí))已知。,6為實數(shù)，函數(shù)y=lnx+@在x=l處的切

X

線方程為4y-x-b=0,則浦的值為.

3

【答案】1/1.5

【詳解】因為y=ln無+巴，所以!一二，

XXX

則丹1=1一。，由X=1處的切線方程為4y-x-b=0,

得切線的斜率為左=所以1-。=：,得。=：，

444

所以y=lnx+：,當(dāng)x=l時，y=|,所以切點為

4x4<4)

將［11代入切線方程得：4x|-l-/>=0,

解得6=2,所以附=：3x2=3；.

42

故答案為：!3

例題3.(2023上?上海嘉定?高三?？计谥?已知函數(shù)〃x)=a(e'+a)-x.

⑴當(dāng)“=1時，求函數(shù)尸f(x)的圖像在點(0,7(0))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)J，=〃x)的單調(diào)性；

【答案】⑴尸2.

(2)見解析.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時，/(x)=er-x+l,所以_T(x)=e'-l.

得/(o)=2,點(0j(o))處的切線斜率為r(o)=0,

所以函數(shù)了=f(x)的圖像在點(0,/(0))處的切線方程為：y=2.

(2)由/(x)="(e"+(7)-x得/<x)=ae*-l,

當(dāng)aV0時，/''(》)<0恒成立，則/(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)。>0時，令/'(x)=0得x=ln^,

a

當(dāng)*In：］時，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xebn±+co］時，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

綜上所述，

當(dāng)aVO時，/⑴在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，/⑴在卜co,In上單調(diào)遞減，在(in：,+coj上單調(diào)遞增.

鞏固訓(xùn)練

1.(2023下?上海松江?高二上海市松江二中?？计谥?已知函數(shù)了=/(無)的圖象在點加(1,7(1))處的切線

方程是V=2x+1,貝!］/(1)+/(1)=.

【答案】5

【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得/'⑴=2,將點/的坐標(biāo)代入切線方程可得/⑴=2xl+l=3,

因此，/(l)+r(l)=5.

故答案為：5.

2.(2023?上海?高二專題練習(xí))函數(shù)/'(x)=x3-ainx在點0J⑴)處的切線與直線2》+歹+1=0平行，則實

數(shù)a=?

【答案】5

【詳解】???/(無)=xJaln尤，則/卜)=3/-￡,

"⑴=3-a,

若切線與直線2x+y+l=0平行，貝!］/(1)=3-。=-2,解得a=5.

故答案為：5.

題型六：函數(shù)的單調(diào)性與圖象

例題1.(2023上?上海松江?高三統(tǒng)考期末)函數(shù)>=/(x)的圖象如圖所示，y=/'(x)為函數(shù)］，=f(x)的

導(dǎo)函數(shù)，則不等式△?<()的解集為()

C.(-3,-l)u(0,l)D.(-甩-3)U(l,+s)

【答案】C

【詳解】由圖象可知，在區(qū)間(-8,-3),(-1,1)上/(力<0,

在區(qū)間(T一1),(1,+⑹上H(x)>0,

所以不等式△“<0的解集為(-3,-1)u(0,l).

X

故選：C

例題2.(2023下?高二單元測試)已知函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)圖像如圖所示，則“X)的圖像是圖四個圖

像中的().

【答案】A

【詳解】由題意可知，當(dāng)-2<x<0時，/%)>0,則〃x)在(-2,0)上單調(diào)遞增,

當(dāng)0<X<2時,r(x)<0,則〃x)在(0,2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)-2〈尤<-1時，/(X)單調(diào)遞增，則在(-2,-1)上增的越來越快，

當(dāng)T<x<0時，/'(x)單調(diào)遞減，則/(x)在(TO)上增的越來越慢，

當(dāng)0<x<l時，/'(x)單調(diào)遞減，則/⑺在(0,1)上減的越來越快，

當(dāng)l<x<0時,r(無)單調(diào)遞增，則“X)在(1,2)上減的越來越慢，

只有A選項符合.

故選：A.

例題3.(2022下?上海浦東新?高二?？计谀?已知函數(shù)y=47x)的圖象如圖所示(其中/'(X)是函數(shù)/(x)

的導(dǎo)函數(shù))，則下面四個圖象中，了=/(力的圖象大致是()

【詳解】由題給函數(shù)y=M'(x)的圖象，可得

當(dāng)尤<-1時，礦(x)<0,則/'(x)>0,則"X)單調(diào)遞增；

當(dāng)-l<x<0時,當(dāng)(x)>0,則/V)<0,則/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)0<x<l時,當(dāng)(x)<0,則/(x)<0,則。(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>l時，xf'(x)>0,則/*)>0,則/⑴單調(diào)遞增；

則/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-甩-1),(1,+?)；單調(diào)遞減區(qū)間為

故僅選項C符合要求.

故選：C

鞏固訓(xùn)練

1.(2023下?上海浦東新?高二上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí))定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),

如圖是/'(X)的圖像，下列說法中不正確的是()

y/k

A.［T,3］為函數(shù)〃x)的單調(diào)增區(qū)間

B.［3,5］為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間

C.函數(shù)/(x)在尤=0處取得極大值

D.函數(shù)/(x)在x=5處取得極小值

【答案】C

【詳解】對選項A：x?T,3］時,r(x)>0,單調(diào)遞增，正確；

對選項B：xe［3,5］時，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，正確；

對選項C：xe［-l,3］時，“X)單調(diào)遞增，錯誤；

對選項D：x?3,5］時，/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(5,+s)時，/(x)單調(diào)遞增，函數(shù)/(x)在尤=5處取得極小

值，正確；

故選：C.

2.(2023下?上海松江?高二上海市松江一中?？计谀?設(shè)函數(shù)的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)/'(X)的圖

【答案】c

【詳解】解：由〃解的圖像知:當(dāng)時,“X)單調(diào)遞減，r(x)<o,

當(dāng)xe(l,4)時，“X)單調(diào)遞增，戶小)>0,

當(dāng)xe(4,+e)時,〃x)單調(diào)遞減，_f(x)<0,

由選項各圖知：選項C符合題意，

故選：C.

3.(2023下?上海?高二專題練習(xí))已知函數(shù)卜=-移。)的圖象如圖所示，其中/'(X)是函數(shù)"X)的導(dǎo)函數(shù),

則函數(shù)y=/(x)的大致圖象可以是

【答案】A

【詳解】分析：討論x<-1,-IVxVO,OVxVLx>l時，/'(X)的正負，從而得函數(shù)/(x)的單調(diào)性,

即可得解.

詳解：由函數(shù)，=-礦(尤)的圖象得到：

當(dāng)xV-1時，F(xiàn)(x)<0,f(x)是減函數(shù)；

當(dāng)-1<XV0時，r(x)>0,f(x)是增函數(shù)；

當(dāng)0<x〈i時，r(x)>0,f(X)是增函數(shù)；

當(dāng)x>i時，r(x)<o,f(x)是減函數(shù).

由此得到函數(shù)y=f(x)的大致圖象可以是A.

故選A.

題型七：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(小題)

例題1.(2023上?上海靜安?高三上海市市西中學(xué)校考期中)函數(shù)/'("=尤3+"在區(qū)間卜2,3］上是單調(diào)函數(shù),

則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】（一叫一27］60,+勸

【詳解】因為函數(shù)/（"=/+如在區(qū)間［-2,3］上是單調(diào)函數(shù)，

則/'⑺=3/+.在卜2,3］上有f\x）20或，（x）40恒成立，

2

當(dāng)了'（x）20時，Bpfl>-3x,則aNO,

當(dāng)/（無）40時，BP?<-3x2,貝?。輆W-27,

綜上：實數(shù)a的取值范圍是（-甩-27］D［0,+8）.

故答案為：（-S,-27］U［0,+8）

例題2.（2019下?上海徐匯?高二上海市第二中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)j，=f-4ax在［1,3］上單調(diào)遞增，則

實數(shù)。的取值范圍.

【答案】,8，；

【詳解】解：因為了=f-4ax,所以y'=2x-4a,

因為函數(shù)了=1-4依在［1,3］上單調(diào)遞增,所以回=2x-4aN0在xe［l,3］恒成立,

即■在xe［l,3卜恒成立，

又當(dāng)x=l時，］取最小值

即Q4—,

2

故答案為.

例題3.（2023上?上海?高三?？计谥校┤艉瘮?shù)/（x）=sinx+acosx在（1,V［上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)

a的取值范圍為.

【答案】，百

【詳解】/'（x）=cosx-tzsinx,

（27r7TTA

函數(shù)/（力=$也》+。85X在［7,可）上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，

所以/'（x）20,或/。）40,

當(dāng)X=7t時，/'（無）=-1,/'（力20不符合題意；

由廣（力40時，得d!sinx>cosx,

口時,(2兀

當(dāng)xesinx>0,所以。2------在XG——,71上恒成立,

tanx(3

即求,因為所以tanxe(-6,0),」一e

v

Itanx41ax<3)'tanx13

所以a1";

3

當(dāng)x/兀,?］時，sinx<0,所以aV」一在xe(兀,?］上恒成立，

I6JtanxI6J

即求a?(」一］,因為XJTI,?1,所以tanxe0,g,」一e(G,+oo),

即a?百;

綜上所述，一如<avVL

3

故答案為：

例題4.（2023下?上海松江?高二上海市松江一中?？计谀┖瘮?shù)了=》3+（"1）/+（后+5）x_1在他,3）上不

單調(diào)，則實數(shù)A的取值范圍是.

【答案】（-5,-2）

【詳解】因為了=X3+（"1.2+（左+5）x-l,所以/'（x）=3f+2（"l）x+（左+5）,

又因為函數(shù)“X）在區(qū)間（0,3）上不單調(diào)，所以/'（x）=0在（0,3）內(nèi)有實數(shù)根，且無重根，

即3/+2（4-1）x+（萬+5）=0有兩個不相等的實數(shù)根，且至少有一個實數(shù)根在區(qū)間（0,3）內(nèi)，

①若/'（0）=左+5=0,貝!U=-5,/'（X）=3X2-12X=3X（X-4）,

方程/'（x）=0的兩個實根0和4均不在區(qū)間（0,3）內(nèi)，所以無?5；

②若/'⑶=7左+26=0,則左=一空，/'（X）=3（X_3）、_；|,

方程/'（無）=0在區(qū)間（0,3）內(nèi)有實根;，所以上可以為-2；

③若方程/（x）=0有一個實根在區(qū)間（0,3）內(nèi)，另一個實根在區(qū)間［0,3］外，

則/'⑼了⑶<0，即優(yōu)+5）（7無+26）〈0,-5<k<-i

④若方程/'（x）=0在區(qū)間（0,3）內(nèi)有兩個不相等的實根，

/⑶=7左+26>026

k7>-----

/（0）=左+5>07

則：；_k—\_k>—5

0<------<3

3一8<左<1

A=4（^-l）2-12（^+5）>0（左+2）（左一7）>0

綜合①②③④得上的取值范圍是(-5,-2).

故答案為：(-5,-2)

鞏固訓(xùn)練

1.(2023下?上海浦東新?高二上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí))若函數(shù)了=-/+。尤在[1,+8)上嚴(yán)格減，則"

的取值范圍是.

【答案】(F,3]

【詳解】由題意知/'(耳=-3/+°,則/(同40在[1,+8)恒成立，即。V3/,故OW3.

故答案為：(F,3]

2.(2023上?上海浦東新?高三?？计谥?已知函數(shù)〃x)=ae，-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則。的最小值

為.

【答案】e-1/-

e

【詳解】因為〃x)=ae-lnx(x>0),

所以/'(x)=ae-，

所以函數(shù)/(X)="e*-Inx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，

即/(無)20在(1,2)上恒成立，

顯然。>0,所以問題轉(zhuǎn)化為xe,N!在(1,2)上恒成立，

a

設(shè)g(x)=xe",xe(l,2),

所以g[x)=e、+xe，=(l+x)e'>0,

所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(l)=e,

,,11

故eN—naN-,

ae

所以。的最小值為：

e

故答案為：

e

3.(