2024年湖南省長沙市初中學業(yè)水平考試沖刺數(shù)學試卷

長沙市2024年初中學業(yè)水平考試沖刺試卷（一）

數(shù)學

溫馨提示：

1.答題前，請考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼

上的姓名、準考證號、考室和座位號；

2.必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；

3.答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；

4.請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；

5.答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；

6.本學科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分.

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符

合題意的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.某班期末考試數(shù)學的平均成績是83分，小亮得了90分，記作+7分，小英的成績記

作一3分，表示得了（）分.

A.86B.83C.87D.80

2.下列計算正確的是（）

A.3a+2b=5abB.2a—a=1

C.2a3+3a2=5a5D.-a2b+2a2b=a2b

3.一種納米材料的直徑約為0.00000011米，數(shù)據(jù)“0.00000011”用科學記數(shù)法表示為（

A.1.1x10-6B.1.1x10-7c.1.1x10-8D.11x10-

4.剪紙藝術是中國民間藝術之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學中的對稱美.如圖，蝴蝶

剪紙是一幅軸對稱圖形,將其放在平面直角坐標系中，如果圖中點E的坐標為（2m,-九），

其關于y軸對稱的點尸的坐標為（3—珥—zn+1）,則爪-n的值為（）

EF

A.-9B.-1C.0D.1

5.如圖，固定木條6,c,使41=85。，旋轉(zhuǎn)木條a,要使得a||b,貝叱2應調(diào)整為（）

6.農(nóng)科院為了解某種小麥的長勢，從中隨機抽取了部分麥苗，對苗高（單位：cm）進

行了測量.根據(jù)統(tǒng)計的結果，繪制出如圖所示的統(tǒng)計圖.這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分

別是（）

A.16,15B.16,15.5C.16,16D.17,16

7.勞動課上，八（1）班同學分成兩組練習包餃子，女生組包300個餃子與男生組包

200個所用的時間相同，已知女生組每分鐘比男生組多包30個，若設女生組每分鐘包x

個，則可列方程為（）

.300200_300200

A.—=-----B.—=-----

xx-30x%+30

C―.-3-00-=—200D—.-3-00-=—200

x-30xx+30x

8.如圖，在△力BC中，點。、E.F,G、H分別為4B、BC、AC,DE、EF的中點，則4

EGH與AABC的面積之比為（）

A.1:4B.1:8C.1:16D.1:32

9.如圖，將半徑為6的。。沿折疊，使得折痕AB垂直半徑。C,當力B恰好經(jīng)過C。的

三等分點D（靠近端點。）時，折痕力B長為（）

A.8V2B.4V15C.8D.4V5

10.把2,4,7,K四張牌分發(fā)給四人，每人按牌面數(shù)字分（K記13分）記分，然后收

回重洗，再分發(fā)和記分，…，若干次后，發(fā)現(xiàn)四人累計各得16,17,21和24分.已知

得16分者最后一次得2分，則他第一次所得分數(shù)是（）分.

A.2B.4C.7D.13

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.分解因式：a/—a=.

12.如圖為一個五角星圖案，將此圖案繞中心旋轉(zhuǎn)一定角度后要與原圖重合，則旋轉(zhuǎn)

的最小角度為.

13.從同一副撲克牌中抽出a張紅桃，b張黑桃，10張方塊，然后洗勻，再從洗勻的這

疊撲克牌中抽取一張牌，如果抽出的牌是方塊的概率與不是方塊的概率相同，那么a、b

之間的關系是.

14.如圖，在平面直角坐標系中，點力是函數(shù)y=<0）圖象上的點，過點力作y軸的

垂線交y軸于點B,點C在久軸上，若k的值為-8,則△ABC的面積為.

15.課本第78頁閱讀材料《從勾股定理到圖形面積關系的拓展》中有如下問題：如圖

①分別以直角三角形的三條邊為邊，向形外分別作正三角形，則圖中的Si，S2,S3滿足

的數(shù)量關系是.現(xiàn)將AABF向上翻折，如圖②，已知S尹=6,Sz=5,S丙=4,則

16.已知拋物線y=ax2+b%+c（aW0,a,b,c是常數(shù)）開口向上，過/（m—1,0）,

8（3-犯0）兩點（其中mW2）,下列四個結論：

①b<0；②若c=—3a,則TH=4；③對于任意實數(shù)/，總有。尸—aNb—況；

④關于x的一元二次方程a/+力％+。=n（n>0）必有兩個不相等的數(shù)根.

其中正確的是（填寫序號）.

三、解答題（本大題共9小題，第1779題每小題6分，第20-21題每小題8分，第

22-23題每小題9分，第24-25題每小題10分）

17.計算：（2024-TT）°-|1一&|+（―52-V8.

18.先化簡，再求值.2（a2。+3a6）—3（2&2。一+1），其中a=—b=1.

19.某學校有一棟教學樓AB,小明（身高忽略不計）在教學樓一側(cè)的斜坡底端C處測

得教學樓頂端A的仰角為68。，他沿著斜坡向上行走到達斜坡頂端E處，又測得教學樓

頂端A的仰角為45。.已知斜坡的坡角（/ECD）為30。，坡面長度CE=6m,求樓房

AB的高度.（結果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：tan68%2.48,仔1.73）

□

□

□

□

□

□

20.為弘揚向善、為善優(yōu)秀品質(zhì)，助力愛心公益事業(yè)，我校組織“人間自有真情在，愛

心助力暖人心”慈善捐款活動，八年級全體同學參加了此次活動.隨機抽查了部分同學捐

款的情況，統(tǒng)計結果如圖①和圖②所示.

我校八年級同學“慈善捐款活動”調(diào)查統(tǒng)計圖

（1）本次共抽查了人；并補全上面條形統(tǒng)計圖;

（2）本次抽查學生捐款的中位數(shù)為；眾數(shù)為；

（3）全校有八年級學生H00人，估計捐款金額超過15元（不含15元）的有多少人?

21.如圖，點4B,C,D在同一條直線上，點E,F分別在直線4B的兩側(cè)，=BF,^A=

Z.B,Z.DCE=Z.CDF.

(1)求證：△力CEmzkBDF；

(2)若ZB=11,AC=3,求CD的長.

22.學校為了“弘揚傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著“，計劃給學校圖書館添置書籍，已知購買

3本能語》和5本儲經(jīng)》共需140元，購買8本能語》和1本儲經(jīng)》共需176元.

(1)求每本能語》和每本儲經(jīng)》各多少元？

⑵學校決定購買能語)和《詩經(jīng)》共200本，總費用不超過3500元，那么該學校最多

可以購買多少本能語》？

23.在正方形紙片4BCD中，點M、N分別是BC、4D上的點，連接MN.

(1)問題探究：如圖1,作DD'IMN,交4B于點D',求證：MN=DD'；

(2)問題解決：如圖2,將正方形紙片4BCD沿過點M、N的直線折疊，點。的對應點。恰

好落在4B上，點C的對應點為點C，，若B?=12,CM=4,求線段MN的長.

圖1

24.如圖1,△ABC是。。的內(nèi)接三角形，點。在。。上，A是弧BD的中點，點E在BC上,

連接BD、AE,BD與2E于點F,AAEB=^BAC.

⑴求證：AF=BF；

（2）如圖2,延長4E交。。于點G,連接4。，交BD于點、H,求證：AG=2DH-,

⑶如圖3,在（2）的條件下，作直徑BM交力G于點K,連接4M交8D于點N,當4c是。。

的直徑時，MN=2逐KF,EG=3,求弦BC的長.

25.定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個交點，并且都在坐標軸上，則稱

二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點函數(shù).

【初步理解】

（1）現(xiàn)有以下兩個函數(shù)：①y=%2—1：②y=x2—x,其中，為函數(shù)y=x—1

的軸點函數(shù).（填序號）

【嘗試應用】

（2）函數(shù)y=x+c（c為常數(shù),c>0）的圖象與x軸交于點4其軸點函數(shù)y=ax2+bx+c

與K軸的另一交點為點B.若。B=求6的值.

【拓展延伸】

（3）如圖，函數(shù)y=[x+t（t為常數(shù)，t>0）的圖象與無軸、y軸分別交于M,C兩點，

在x軸的正半軸上取一點N,使得。N=0c.以線段MN的長度為長、線段M。的長度為寬,

在x軸的上方作矩形MNDE.若函數(shù)y=3x+t（t為常數(shù)，t>0）的軸點函數(shù)y=zn/+

nx+t的頂點P在矩形MNDE的邊上，求的值.

參考答案與解析

、選擇題

題號12345678910

選項DDBDCCACAC

二、填空題

11.a(x+l)(x-1)12.72。/72度13.a+6=10

14.415.+S2=S3716.①③④

三、解答題

17.【詳解】解：原式=1一四+1+4—2魚

=6—3V2.

18.【詳解】解：2(a2b+3ab)—3(2a2b—ab+1)

=2a2b+6ab—6a2b+3ah—3

=(2a2b—6a2Z?)+(fiab+3ab)-3

=-4a2b+gab-3.

當a=—I，b=1時，

原式=-4xix1+9x(-0x1-3

9

=-1---3

2

=—8.5

19.【詳解】過E作EF_LAB于F,

則四邊形BDEF是矩形，

；.EF=DB,BF=DE,

在R3CDE中，,--ZEDC=90℃E=6,ZDCE=30°,

；.DE=3,CD=3V3,

設BC=x,

VZAEF=45O,

EF=AF=BD=3A/3+X,

AB=AF+BF=3+3V3+x,

在RtAABC中，tan68°=—=---=2.48,

BCx

解得：x-5.5,

經(jīng)檢驗x=5.5是所列方程的解，

.?.AB=3+3VI+xM3.7米，

答：樓房AB的高度為13.7米.

20.【詳解】（1）解：8+16%=50（人），

“捐款為15元”的學生有50-8-14-6-4：18（人），補全條形統(tǒng)計圖如下:

（2）學生捐款金額出現(xiàn)次數(shù)最多的是15元，共出現(xiàn)18次，因此捐款金額的眾數(shù)是15元,

將這50名學生捐款金額從小到大排列處在中間位置的兩個數(shù)都是15元，因此中位數(shù)是15

元，

故答案為：15,15；

（3）捐款金額超過15元（不含15元）的人數(shù)=1100x答=220（人），

所以全校八年級學生為H00名，捐款金額超過15元（不含15元）的人數(shù)為220人，

21.【詳解】⑴證明：???AACE+^DCE=180°,4BDF+乙CDF=180°,且4CE=乙CDF,

Z.ACE=Z-BDF,

Z.A—Z-B

在AACE和ABDF中，［n力CE=NBDF,

.AE=BF

:.NACESA50F（AAS）.

(2)解：ACE=LBDF,

AC=BD=3,

???AB=11,

CD=AB-AC-BD=11-3-3=5,

???CD的長為5.

22.【詳解】(1)解：設購買每本血語少需要%元，購買每本儲經(jīng)少需要y元,

/十時*力曰(3%+5y=140々刀/曰(x=20

依題忌，得：［Q";，解得：t1二?

(8%+y=176(y—16

答：購買每本蹌語》需要20元，購買每本儲經(jīng)》需要16元.

(2)設該學校購買m本能語少，則購買(200-血)本會寺經(jīng)》，

依題意，得：20m+16(200-m)<3500,解得：m<75.

答：該學校最多可以購買75本微語》.

23.【詳解】(1)解：證明：過點N作NH工BC于H,

???四邊形ZBCD是正方形，

AD=AB,乙DAB=^ABM=90°,

???乙NHB=90°,

???四邊形ABHN是矩形，

圖1

??.AB=HN,

???DDr1MN,

???乙DON=90°,

???(OND+(ODN=90°,

???(OND+乙MNH=90°,

???乙ODN=乙MNH,

???/.DAD'=乙NHM,AD=NH,

???^ADD'=AHW(ASA),

??.MN=DD'；

(2)(2)連接M。，DD',

圖2

由折疊的性質(zhì)得到：CM=CM,CD=CD',

,22f,2f2

設正方形的邊長為久，由勾股定理得，BD+BM=DC+CM9

???122+(%-4)2=%2+42,

解得：％=18,

AB=AD—18,

??.AD'=AB-BD'=18-12=6,

由勾股定理得，DD'=y/AD2+AD'2=V182+62=V360=6V10,

MN是的垂直平分線，

由(1)知，DD'=MN,

：.MN=6V10.

24.【詳解】(1)'：^.AEB=ABAC,

."2+NC=zl+42,

：./_C=zl,

是反D的中點，

：.AB=AD,

z.3=乙C,

Az3=zl,

：.AF=BF；

(2)由(1)知，zl=z3,

：.^G=AD,J

即演=血圖1

：.AG=BD,

TA是郎的中點，

：.AB=AD,

???Z。交80于點H,

：.BD=2DH,

：.AG=2DH；

(3)如圖3,連F。，CG,設4FOK=a,FK=x,

則MN=2遍KF=2V5x,

???BM為O。直徑，

=90°,

：.Z.FAN=90°-zl,AFNA=90°-z3,

Vzl=Z3,

：.Z.FAN=乙FNA,

：.FN=FA,

'：FA=FB,

：.FN=FB,

又OB=OM,

：.FO=3MN=0,

：.KO=y/FO2-FK2=2x,

.一FK1FK1

..tana=—=一,sina=——二7,

OK2OFV5

?「AC為。。直徑，

：.Z-ABC=90°,

：.ABAM+^ABC=180°,

：.BC\\AM,

VFOIWM,

：.OF||BC,

z4=a,

■:乙BKG=Z.G=90°,

：.GC\\BM,

??N?5—cc9

.?.在RtAEGC中，EC=—=3V5,GC=-=3x2=6,

sinatana

9JAK=GK,AO=CO,

：.OK=-GC=3

2

設EK=/y,J貝!]GK=y+3,1-anB/yK=y—=2y,

?A〃BK

??力K=^=?A

4y=y+3,

解得，y=1,

即EK=1,

：.BE—=V5,

sina

：.BC=BE+EC=4V5.

25.【詳解】(1)函數(shù)y=%-1交%軸于(1,0),交y軸于(0,-1),

???點(1,0)、(0,-1)都在了=%2-1函數(shù)圖象上

???①y=X2-1為函數(shù)y=X-1的軸點函數(shù)；

???點(0,-1)不在y=%2-%函數(shù)圖象上

?,?②y=%2-%不是函數(shù)y=%-1的軸點函數(shù)；

故答案為：①；

(2)函數(shù)y=%+c交化軸于4(一丁0),交y軸于(0,c),

*.*函數(shù)y=%+c的軸點函數(shù)y=ax2+bx+c

?.A{—c,0)和(0,c)都在y=ax2+b%+c上，

■:c>0

OA=c

I

?：OB=-OA,

4

1

：.OB=-c

4

，B(-%，。)或Go)

當B(—]c,0)時,把/(—c,0)81c,0)代入y=ax2+b%+c得

fo——ctc^—be+cQJ/曰7-

J164,解得b=5,

I0=ac2—be+c

當0)時，把/(—c,0)BQc,0)代入y=a/+6工+c得

f°=+cAZJ4S*Q

J164,解得b=-3,

I0=ac2—be+c

綜上，b=5或一3；

(3)函數(shù)y=1+t交無軸于M(—2。0),交y軸于C(0,t),

?：ON=OC,以線段MN的長度為長、線段M。的長度為寬，在X軸的上方作矩形MNDE

：.N(tf0),DQ,2t),E(-2t2),

*.*函數(shù)y=[%+t(t為常數(shù)，t>0)的軸點函數(shù)y=mx2+nx+t

2t,0)和C(0")