2024年高考數(shù)學(xué)：在網(wǎng)格背景下的面積和周長(zhǎng)計(jì)算

高考復(fù)習(xí)材料

在網(wǎng)格背景下的面積和周長(zhǎng)計(jì)算

修煉內(nèi)功

網(wǎng)格背景格點(diǎn)和圓心建立關(guān)系

化普通為特殊

y

1.如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)4B,C,E,尸在同一條圓弧上,

且點(diǎn)C,E,尸在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，若/B/C=15。,44c8=45。，則陰影部分的

面積為.

【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找到過(guò)點(diǎn)C,尸,E的圓的圓心，進(jìn)而根據(jù)已知條件與圓周角定理求得

ZCOB,ZAOB,關(guān)于陰影部分面積面積等于S扇形-凡函+S扇形"B即可求解.

【詳解】如圖，

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根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找到C尸的垂直平分線(xiàn)與E尸的垂直平分線(xiàn)，交于點(diǎn)。，連接。

OC=Vl2+32=Vio，

■：NBAC=15。,乙4cB=45。,

ZBOC=30°,ZAOB=90°,

陰影部分面積面積等于S扇形-Sv。"+S扇形0cB-S70CB

=--(?SxOCxsin30°--xOAxOB

360'2360>2

生田方二

故答案為：1015.

【我思故我在】本題考查了圓周角定理，求扇形面積公式，確定圓心是解題的關(guān)鍵.

2.如圖是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,10上的點(diǎn)4B,C,

。均為格點(diǎn)，加上有一點(diǎn)E,且NC/E=15。，則圖中陰影部分的面積為.

【分析】線(xiàn)段和線(xiàn)段8c的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。即為力。所在的圓得的圓心,

連接。C,OE,由圓周角定理得NCOE=2NC4E=30。，過(guò)點(diǎn)C作CH1OE于點(diǎn)H,則N0TC

=90°,在RtAOCH中，求得CH=goC=6,利用S陰影部分=$扇形3一$根改即可求出圖中

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陰影部分的面積.

【詳解】解：如圖，線(xiàn)段48和線(xiàn)段8C的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O,則點(diǎn)。即為力。所在的

圓得的圓心，連接OC,0E,

■.■ZCAE=15°,

：.^COE=2^CAE=30°,

過(guò)點(diǎn)C作CHLOE于點(diǎn)H,貝ikO〃C=90。，

由勾股定理得OC=0E=V42+22=a=2右，

在上△OC"中，ZO//C=90",乙COH=30。,OC=275,

：.CH=y0C=45，

S陰影部分=S扇形COE-S&COE

30^x(275)

——xOExCH

2

_30^-x(2V5)21

故答案為：y-5

【我思故我在】此題考查了圓周角定理、判斷三角形外接圓的圓心位置、扇形的面積公式、

勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用圓周角定理得到NCO￡=2NC/￡=30。是解題的

關(guān)鍵.

3.如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,V/8C的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)。

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是邊的中點(diǎn)，格點(diǎn)￡在紅）上，則圖中陰影部分的面積為

【答案】3+好萬(wàn)

24

【分析】取8。中點(diǎn)尸，連接DR由中位線(xiàn)的性質(zhì)得到。/〃/C,Ob=g/C,

SVBDF：SV,4BC=1:4,利用勾股定理分別解得/C,BC,N2的長(zhǎng)，證明VNBC為等腰直角三角

形，繼而得到V2Z）尸也是等腰直角三角形，解得V/8C的面積及扇形CD尸的面積即可解

答.

【詳解】解：如圖，連接

B

是邊的中點(diǎn)，尸是邊5c的中點(diǎn)，

:.DF//AC,DF=-AC

2

-S\!BDF：S'ABC=1：4

CMC=722+42=V20,BC=V22+42=720,AB=A/22+62=屈

AB2=AC2+BC2

：MABC是等腰直角三角形，

.23〃尸也是等腰直角三角形，

ZDFC=90°

7r

，扇形的=M2+2?)=9n

QSv/BC=gX回義回=10

=W=5

一\BDF42

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?二s陰影部分=]"+一"萬(wàn)

故答案為：-+—7T.

24

【我思故我在】本題考查網(wǎng)格與勾股定理、扇形的面積、中位線(xiàn)性質(zhì)、勾股定理的逆定理等

知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

4.如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)B,C均為小正方形的頂點(diǎn)，且點(diǎn)

3在無(wú)C上，則陰影部分的面積為

【分析】點(diǎn)。為過(guò)2點(diǎn)的縱軸和過(guò)C點(diǎn)的橫軸的交點(diǎn)，連接。4,根據(jù)題意求出04,0B,

0c的長(zhǎng)，確定圓心和半徑，從而求出弓形8c的面積，進(jìn)而解答；

【詳解】解：如圖，點(diǎn)。為過(guò)8點(diǎn)的縱軸和過(guò)C點(diǎn)的橫軸的交點(diǎn)，連接。點(diǎn)為小正

方形的頂點(diǎn)，

根據(jù)題意由圖可得：CM=,32+42=5，OB=OC=5,

-.O為\1ABC的外接圓的圓心，

AD為底邊，則VABC的面積=gx40x(1+4)=10,

■.OCLOB,圓的半徑為5,則扇形3c的面積為!外接圓的面積,

4

112525

二弓形BC的面積=7^x5?--x5x5=----,

4242

■，口r八上心一、t,25萬(wàn)2525萬(wàn)5

???陰影部分的面積為：10+-------—-->

4242

故答案為：.

42

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【我思故我在】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積，勾股定理，三角形外接圓的性質(zhì)，扇形面

積的計(jì)算；找出圓心的位置是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，一條弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)（網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)），，

B,D,點(diǎn)C為弧BD上一點(diǎn).若/C4D=30。，則弧。的長(zhǎng)為.

【答案】叵兀

3

【分析】作線(xiàn)段40和線(xiàn)段/C的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)。，即格點(diǎn)。為弧4D所在圓的圓心,

連接0C、0D,根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，得出的長(zhǎng)，再根據(jù)圓周角定理，得出

ZCOD=2NCAD=60°,再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，作線(xiàn)段和線(xiàn)段NC的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)O,即格點(diǎn)。為弧所在

圓的圓心，連接OC、OD,

根據(jù)題意，可得：OD=V22+32=V13，

ZCOD=2ZCAD=60°,

??.弧CD的長(zhǎng)為：60兀乂5=叵加.

1803

故答案為：邊^(qū)乃

3

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【我思故我在】本題考查了線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)、勾股定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式，根據(jù)題

意并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵.圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所

對(duì)的圓心的角的一半；弧長(zhǎng)公式：/=覆(〃為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)；7?為半徑)

loO

6.如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一段弧，弧上三點(diǎn)，，B,C均在格點(diǎn)上.則為C的長(zhǎng)為

【答案】巫乃

2

【分析】直接利用圓的性質(zhì)得出圓心位置進(jìn)而利用勾股定理以及勾股定理逆定理得出

ZAPC=90°；再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算得出答案.

【詳解】解：如圖所示：圓心P的坐標(biāo)為：(-2,1),

?.?AP=PC=Vi0,AC=2逐，

.?.AP2+PC2=AC2,

??.△APC是等腰直角三角形,

??.ZAPC=90°,

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的長(zhǎng)度為：90—廂=叵一

1802

故答案為邊^(qū)■萬(wàn)

2

【我思故我在】此題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及勾股定理以及勾股定理逆定理，正確得出圓

心位置是解題關(guān)鍵.

7.如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)/、B、C、D、E、尸均在小正方形

的頂點(diǎn)上，且弦2G上有4個(gè)正方形的格點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則陰影部分的面積為

【分析】連接BE、C尸交于點(diǎn)O,連接OG,由圓周角定理可得BE,CF是圓的直徑，。為

圓的圓心，由勾股定理可得圓的半徑為由NC2M=45。可得扇形圓心角為90。，再由陰影

面積=扇形COG面積-aCOG面積計(jì)算求值即可；

【詳解】解：如圖，連接3￡、C尸交于點(diǎn)O,連接OG,設(shè)BG、CE交于格點(diǎn)

B、C、E、尸均在小正方形的頂點(diǎn)上，則EC8尸是矩形，

???Z5C￡=9O°,乙CBF=9。。,

.■.BE,C尸是圓的直徑，O為圓的圓心，

BC=3,BF=4,則尸0=,32+42=5,圓的半徑為

■：BC=CM=3,ZJBCM=90°,

.?ZCW=45°,即NC5G=45°,

??ZCOG=90°,

900，八2i

???陰影面積二扇形COG面積-△COG面積=士-gOC?OG

360°12)2

2525

=---71------,

168

2525

故答案為：-;

16X

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【我思故我在】本題考查了圓周角定理，勾股定理，扇形面積計(jì)算等知識(shí)；正確作出輔助線(xiàn)

是解題關(guān)鍵.

8.如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.點(diǎn)aB,C均在小正方形的頂點(diǎn)上,

且點(diǎn)4B,C在同一條弧上，則陰影部分的周長(zhǎng)為

【答案】y+5V2

【分析】設(shè)施C的圓心為。，DC的中點(diǎn)為河，與2C的交點(diǎn)為N,根據(jù)表格得出

BC=6,MN=1,CN=；BC=3,設(shè)圓。的半徑為R,利用勾股定理得出R=5,由勾股定理逆

定理得出440C為直角三角形，NCO4=90。，結(jié)合圖形應(yīng)用弧長(zhǎng)公式及勾股定理即可得出結(jié)

果.

【詳解】解：設(shè)施C的圓心為。，DC的中點(diǎn)為M,（W與2c的交點(diǎn)為N,

由圖可知，BC=6,MN=1,CN=~BC=3,

2

設(shè)圓。的半徑為A,

由圖可得：OC2=CN2+ON2,即笈=32+（尺一1）2,

解得：R=5,

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-'-OC=OA=5f

"AC=V72+l2=5V2，

■■OC2+OA2+AC2,

.?.A40C為直角三角形，NCCM=90。，

陰影部分的周長(zhǎng)為：豈密+4。=苧+5后，

1o(J2

故答案為：-^-+5^2.

【我思故我在】題目主要考查不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)，包括扇形弧長(zhǎng)、勾股定理及其逆定理，理

解題意，作出相應(yīng)輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵.

9.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)4,B,C,格點(diǎn)

。的連線(xiàn)交圓弧于點(diǎn)E,則圖中陰影部分面積為一.

【分析】連接/C,取NC中點(diǎn)尸，連接斯，可得NC為直徑，尸為圓心，再由勾股定理逆

定理可得/尸=所=」/，△NCD是等腰直角三角形，且乙48=90。，從而得到

2

NAFE=90。,結(jié)合圖形利用三角形面積與扇形面積之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】解：如圖，連接/C,取NC中點(diǎn)凡連接ER

?，8C=90°,

:/C為直徑，尸為圓心,

AF=EF=-AC,

2

；"AE=dEA,即NC4￡)=ZFE4,

網(wǎng)格中，由勾股定理得：

AC2=AB2+CB2=22+32=13,0c2一守+必=22+32=13,協(xié)=5?+F=26,

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???ZC=CD=屈，AC2+CD2=AD2=26,

；.AF=EF=L用,A4CQ是等腰直角三角形，且乙4CD=90。,

2

???乙C4D=45°,

???4。。="￡/=45°,

???ZAFE=180°-ACAD-ZFEA=90°，

???S陰影=SnACD-SnAFE-S扇形EFC

90%戶(hù)

=-ACCD--AFEF-

22360

78—13萬(wàn)

-16

391371

39137

故答案為:

TIT

【我思故我在】本題主要考查了圓周角定理，求扇形面積，勾股定理逆定理的應(yīng)用，熟練掌

握?qǐng)A周角定理，扇形面積，勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵.

10.如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)/,C均在小正方形的頂點(diǎn)上，點(diǎn)

8在弧NC上，且々C8=15。，則陰影部分的周長(zhǎng)為.

【答案】6+6A/2+7i

【分析】先確定出圓心位置根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出弧的長(zhǎng)度，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得2C的

長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出線(xiàn)段/C的長(zhǎng)度，即得答案.

【詳解】解：由題意知圓心。位置如圖所示，

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???乙4C5=15°,

.-.ZL4O5=30O,

.“0060°,

即△50。為等邊三角形，OC=BC=OB=6,

???弧43的長(zhǎng)度為："容乃=%,

IOU

由勾股定理得："=46+62=6人,

陰影部分的周長(zhǎng)為6+6痣+萬(wàn)，

故答案為：6+6A/2+7i-

【我思故我在】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式、勾股定理求格點(diǎn)中線(xiàn)段的長(zhǎng)度、等邊三角形的

判定等知識(shí)點(diǎn).解題關(guān)鍵是：確定出弧所在圓的圓心位置.

11.如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)/,B,C,。均在小正方形的頂點(diǎn)

上，且點(diǎn)C在28上，與40交于點(diǎn)H,則在5的長(zhǎng)為.

【答案】子

4

【分析】連接NC、BC、AB、BD、取N8的中點(diǎn)O,連接。打，首先利用A48。求出

4BAD=45。,結(jié)合△CM"求出圓心角的度數(shù)和半徑長(zhǎng)，再求出45?！?90。，繼而利用弧長(zhǎng)公

式即可求出弧長(zhǎng).

【詳解】解：連接ZC、BC、AB、BD、取48的中點(diǎn)。，連接0H,

?■?ZJC5=90°,

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■.AB為圓O的直徑,0是圓心,

?■AB=yjAC2+BC1=V32+42=5,

同理50=5,

3=々+72=5也，

???AB2+BD2=AD2,

.*.Z^5Z)=90o,

又,；AB=BD,

；ZBAD=45°,

又???OA=OH,

.*.^40/7=90°,

9OH=9b,

的長(zhǎng)為川萬(wàn)!一5,

------——71

1804

【我思故我在】本題考查弧長(zhǎng)公式、圓周角定理以及勾股定理以及逆定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵

是求出圓心角和半徑.

12.如圖，在5x4的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1點(diǎn)/,B,C,。均在格點(diǎn)上，

點(diǎn)。在28上線(xiàn)段8c與方8交于點(diǎn)￡，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為.（結(jié)果保留萬(wàn)）

【答案】字+用

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【分析】先連接/c,AE,可說(shuō)明"8C是等腰直角三角形，進(jìn)而得出乙8D4=90。，得出N8

是圓的直徑及A48E是等腰直角三角形，然后根據(jù)特殊角三角函數(shù)求出再根據(jù)弧長(zhǎng)公

式求出弧長(zhǎng)，即可得出答案.

【詳解】連接NC,AE,如圖所示，

丁AC—陽(yáng)=V22+32=Vl3，BC=Ji?+52=V26，

.??AB2+AC2=BC2,

??.A45C是等腰直角三角形，

;BC=^ACB=45°.

?4DA=90°,

是直徑，

???乙甌4=90°,

.??ZU5E為等腰直角三角形，

：.BE=也AB=返,乙BAE=45°,

22

???跖所對(duì)的圓心角度數(shù)為90°,

???M的長(zhǎng)為907rx工=幽，

180-4

???陰影部分的周長(zhǎng)是生+生=，電+逅.

42

故答案為：晅+叵.

42

【我思故我在】本題主要考查了圓周角定理及推論，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定

理，弧長(zhǎng)公式等，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

13.如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)/、B、。均在小正方形的頂點(diǎn)上,

且點(diǎn)8、C在/。上，乙B4c=25°,則51c的長(zhǎng)為.（結(jié)果保留乃）

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【分析】如圖，圓心為O,連接ON,OB,OC,0D.利用弧長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】解：如圖，圓心為。，連接。1,OB,OC,0D.

0

■.OA=OB=OD=5,ABOC=2^BAC=50°,

故答案為：--71.

18

【我思故我在】本題考查弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是正確尋找圓心。的位置，屬于中考常考題型.

14.如圖，在5x7的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,。三點(diǎn)都在格點(diǎn)上,

線(xiàn)段NC與2c交于點(diǎn)則圖中紅）的長(zhǎng)度為.（結(jié)果保留萬(wàn)）

【分析】連接AD,由網(wǎng)格圖得到5D=CD和8c長(zhǎng)，再利用圓周角定理得到D8所對(duì)的圓心

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角，最后利用弧長(zhǎng)公式代值求解即可.

【詳解】解：連接AD,如圖所示：

由圖可知和8。均是2x3的網(wǎng)格構(gòu)成的矩形的對(duì)角線(xiàn)，則BD=CD,

BC是半圓的直徑，

由圓周角定理可知/3DC=90。，

，ASS是等腰直角三角形，

NBCD=45。,

￡)B=￡)B，

，由圓周角定理可知DB所對(duì)的圓心角為2ZBCD=90°,

90。4

DB的長(zhǎng)度為C,

在網(wǎng)格中，5C=V12+52=V26>

.?.小8的長(zhǎng)度為叵力，

4

故答案為：也^%.

4

【我思故我在】本題考查網(wǎng)格中線(xiàn)段長(zhǎng)求解及弧長(zhǎng)求解，通過(guò)網(wǎng)格找到線(xiàn)段關(guān)系及相應(yīng)線(xiàn)段

長(zhǎng)度、角度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)4,B,C均在小正方形的頂點(diǎn)上,

且點(diǎn)。在為8上，480=30。，則力。的長(zhǎng)為.

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r答案】

6

【分析】連接NC,確定弧所對(duì)的圓心O,可知/C為直徑，連接。8、OD,利用勾股定理

求得NC=2右，AB=BC=M,則O3L/C,根據(jù)圓周角定理可得/3。。=60。，從而求得

ZAOD=30°,即可求解.

【詳解】解：連接NC,確定弧所對(duì)的圓心O,連接08、OD,如下圖：

由勾股定理可得：/C=也一?=2右，BC=AB=Vl2+32=V10>

■-BC1+AB2=AC2

??.V48c為直角三角形，ZABC=90°

.BC為直徑，OB工AC,OA=-AC=4i,

2

；.NAOB=9(T

■：ZBCD=30°

ZBOD=60°,

ZAOD=30°,

3OXTTXyfS#!兀

所以2。的長(zhǎng)為

故答案為：工”

【我思故我在】此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，涉及了勾股定理，圓周角定理等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是確定圓心的位置，正確求得半徑以及圓心角，熟記弧長(zhǎng)公式.

16.如圖，A42C的三個(gè)頂點(diǎn)都在5x5的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度）的

格點(diǎn)上，將△4BC繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，且點(diǎn)4、。仍落在格點(diǎn)上，則圖中

陰影部分的面積是.

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】丁13萬(wàn)一3

【分析】首先求得扇形的半徑和圓心角，然后根據(jù)扇形面積公式求得扇形的面積，然后計(jì)算

出V4O2的面積，相減即可得出陰影部分面積.

【詳解】解：由題意得，

A'B=AB=M+22=岳，

旋轉(zhuǎn)角NHBA=ZC'BC^90°,

.90。%（后＞_13

,扇形z'3/360°4萬(wàn)，

??.Sv=9'C"C'=gx3x2=3,

13

S陰影=S扇形⑷BX-Sv/BC=I萬(wàn)-3.

13

故答案為：-3.

4

【我思故我在】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算、勾股定理等，牢固掌握扇形面積公式是做

出本題的關(guān)鍵.

17.如圖，在4x5的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1