山東省德州市2023-2024學年高三第五次模擬考試數(shù)學試卷含解析

山東省德州市第一中學2023-2024學年高三第五次模擬考試數(shù)學試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊,不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/(x)=log2，-+11+出+3,則不等式/(1gx)>3的解集為()

A.|B.f-x>2]u(10,+s)C.(1,10)D.

"U)<1U))

1-

——r12

2.已知+?/=Jcosxdx9由程序框圖輸出的S為()

00

1,1

/輸入產(chǎn)7

JL—

|S=N||S=M

J

/輸~1

結(jié)束

A.1B.0C.-D.In2

2

3.已知函數(shù)/(x)=loga(|x-2|—a)(a>0，且awl),則叮⑺在(3,+co)上是單調(diào)函數(shù)”是“0<吐<1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

("6N*),且%+。4+。6=9,則l°g[(g+。5+%)的值是()

4.已知數(shù)列｛??｝滿足log3a?+1=log3a?+1

9

A.5B.-3C.4D.—

91

了「2

5.已知雙曲線下-與=1(“>0,6>0)的左右焦點分別為耳(一。,0),，心(c,0),以線段可耳為直徑的圓與雙曲線在第

ab

二象限的交點為P,若直線尸工與圓E：(x—]]+/=.相切,

則雙曲線的漸近線方程是()

A.y=土尤B.y=±2xC.y=+y/3xD.y=+yf2x

6.點。為棱長是2的正方體ABC。-ABIG，的內(nèi)切球。球面上的動點，點M為四G的中點，若滿足

則動點P的軌跡的長度為（）

.舊兀?2亞兀4&8號

A.------B.--------

5555

7.已知用方是兩條不同的直線，a,6是兩個不同的平面，且au”，bu/｝,allfi,blla,則“。〃》“是〃〃的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12：00-12：10之間隨機到達小王所居

住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是（）

132

A.B.D.

584

9.已知以是函數(shù)/（x）=lnx圖象上的一點，過M作圓d+y2—2y=0的兩條切線，切點分別為A,3,則以（地

的最小值為（）

A.20-3B.-1C.0D.述—3

2

4s—1

10.已知數(shù)列｛4｝的前“項和為S",且4+1=——，q=l,nwN*，則｛4｝的通項公式%=（）

2n-l

A.nB.n+1C.2n-lD.2n+l

IL空氣質(zhì)量指數(shù)AQ/是反映空氣狀況的指數(shù)，AQ/指數(shù)值趨小，表明空氣質(zhì)量越好，下圖是某市10月1日-20日AQI

指數(shù)變化趨勢，下列敘述錯誤的是（）

A.這20天中AQ/指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

B.這20天中的中度污染及以上（AQ/指數(shù)＞150）的天數(shù)占上

4

C.該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好

D.總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好

12.已知私77為兩條不重合直線，。，分為兩個不重合平面，下列條件中，。，尸的充分條件是（）

A.m//n,mca,ncpB.m//n,m±a,n±

C.m\n,m〃a,n〃0D.m±n,m±a,n±

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛4｝與,巴一＞均為等差數(shù)列（〃wN*），且q=2,則q0=.

14.如圖，直三棱柱ABC—中，NC4B=90°,AC=AB=2,CC1=2,尸是8G的中點，則三棱錐C—4。/

的體積為.

15.下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是.

（開始）

S-15,左一1

7C

16.=+cosx)dx,則(x-五甘的展開式中含x的項的系數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)/(x)=xe*-or?,g(x)=lnx+x-x2+1--(tz>0)

a

(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)Mx)=/(x)—ag(x)20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

18.(12分)將棱長為2的正方體ABC。-A4GR截去三棱錐。-ACD后得到如圖所示幾何體，。為AG的中點.

(1)求證：06〃平面ACR；

(2)求二面角C—A?！狦的正弦值.

19.(12分)在AABC中，角4,B,C所對的邊分別是a,b,c,且2a—c=26cosC.

⑴求鵬,+/)的值；

(2)若b=6,求c—a的取值范圍.

20.(12分)已知xGR,設(shè)機=(2cosx,sinx+cosx),n=(y/3sinx,sinx-cosx)>記函數(shù)/(x)=g〃.

(1)求函數(shù)/(%)取最小值時x的取值范圍；

(2)設(shè)△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若/(C)=2,c=6，求△ABC的面積S的最大值.

21.(12分)已知｛4｝是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前幾項和為S“，且S"為乙與工的等差中項.

an

(1)求證：數(shù)列｛Sj｝為等差數(shù)列；

f-1V

(2)設(shè)求也｝的前100項和小.

22.(10分)已知某種細菌的適宜生長溫度為12℃~27℃,為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量V(單位：個)隨溫度x(單

位：。C)變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：

溫度x/C14161820222426

繁殖數(shù)量y/個2530385066120218

對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示:

77。77_

￡（者—可2X（七-可（左-Q

Xyk工…X（x,-可他-9）

i=li=l/=1Z=1

20784.11123.8159020.5

_17

其中&=lny”k=-^ki-

/i=i

（1）請繪出y關(guān)于X的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷丁=法+4與〉=06（&哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量丁關(guān)

于溫度x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果精確到0.D；

（3）當溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報值為多少？

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)3%）?=1,2,3「二閉，其回歸直線v=/?“+4的斜率和截距的最小二成估計分別為

?（%-萬）（匕-"）

0=-------------,a=v-/3u,參考數(shù)據(jù)：245.

￡（%一葉

1=1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到-l<lgx<l,且lgx/0,解不等式得解.

【詳解】

由題得函數(shù)的定義域為(—8,0),(0,+8).

因為/(-%)=/(X)，

所以y(x)為(—8,0).(0,+8)上的偶函數(shù)，

+i,y=,3+3都是在(°，+°°)上單調(diào)遞減.

因為函數(shù)"2

所以函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

因為1(l)=3"(lgx)>3=/(l),

所以一l<lgx<l,且lgx/0,

解得

故選：D

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學生對這些知識的理解掌

握水平.

2、D

【解析】

J.JJ?兀

試題分析：M=\---dx=ln(x+1)|=In2,?/=fcosxdx=sinx|2=1，所以M<N,所以由程序框圖輸出

Jr+1()J

o“十工u°Q

的S為ln2.故選D.

考點：1、程序框圖；2、定積分.

3、C

【解析】

先求出復(fù)合函數(shù)在(3,+8)上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和0<。<1的包含關(guān)系，利用集合間包含關(guān)系與充

要條件之間的關(guān)系，判斷正確答案.

【詳解】

/(%)=loga(|X-21-a){a>0,且awl),

由卜-2|-a>0得x<2-a或x>2+a,

即f(x)的定義域為｛目1<2-?；騲>2+a｝,(a〉0,且awl)

令f=|x—2|—a,其在(—8,2—a)單調(diào)遞減，(2+a,+a>)單調(diào)遞增，

2+a<3

/(x)在(3,+oo)上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為<?！?

awl

即0<a<1.

故選：C.

【點睛】

本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

由log3an+l=log3an+l,可得%=34，所以數(shù)列｛a“｝是公比為3的等比數(shù)列，

9

所以=〃2+94+814=91g=9,貝!I二砧，

則1。81(。3+。5+%)=1。81(3。2+27%+243%)=108]33=-3故選B.

333

點睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，試題有一定的技巧，屬于中檔試

題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在

使用等比數(shù)列的前〃項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.

5、B

【解析】

先設(shè)直線PE與圓E:[x-工]+丁=匕相切于點〃，根據(jù)題意，得到EM//PE，再由等=：,根據(jù)勾股定理

｛2J16笈44

求出b=2a,從而可得漸近線方程.

【詳解】

設(shè)直線尸工與圓石：[x—+丁=￡相切于點〃，

因為AP耳耳是以圓。的直徑耳耳為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以耳=90,

又因為圓E與直線尸工的切點為所以EM//PF-

又等4,所以|*=4(源

因此1P閶=2a+b,

因此有》2+(2a+b)2=4°2,

所以人=2a,因此漸近線的方程為y=±2%.

故選B

【點睛】

本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

6、C

【解析】

設(shè)片8的中點為〃，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可以證明出氏平面。CH,這樣可以

確定動點P的軌跡，最后求出動點尸的軌跡的長度.

【詳解】

設(shè)用6的中點為“，連接CH,DH,因此有而而DC,CHu平面CDH,DCCH=C,

因此有平面。CH,所以動點P的軌跡平面。CH與正方體AB。-A4G，的內(nèi)切球。的交線.正方體

ABCD-^B^D,的棱長為2,所以內(nèi)切球。的半徑為R=l,建立如下圖所示的以。為坐標原點的空間直角坐標系:

因此有O(W),C(0,2,0),H(2,2,l),設(shè)平面DCH的法向量為加=(x,y,z),所以有

m±DCm-DC=Q2y=0

/c八=加=(1,0,-2),因此。到平面OCH的距離為:

m1DHm-DH=Q2x+2y+z=0

\mOD\^5

d="爐_儲=拽,因此動點P的軌跡的長度為2萬廠=拽；r.

~\r所以截面圓的半徑為:

m555

故選：C

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和

數(shù)學運算能力.

7、D

【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：aca,bc.fi,a//p,b//a,

由。〃兒不一定有a與“可能相交；

反之，由a〃“，可得a〃8或。與異面，

：.a,b是兩條不同的直線，a,少是兩個不同的平面，且aua,bu0,a//P，b//a,

則“a//次是“a〃/T的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

設(shè)出兩人到達小王的時間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計算公式進行求解即可.

【詳解】

x<y

設(shè)小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為羽y,以12：00點為開始算起，則有"「在平面直角

坐標系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,

10?10!創(chuàng)010-1倉65Q

p=22=3.

10708

故選:C

【點睛】

本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學運算能力.

9、C

【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓，可知|MA|=|A叫，若設(shè)=貝!!|加川=|知5卜』)，所以

MAMB^MA^cos2^=2sin2^+^--3,而要求以4.“3的最小值，只要sin。取得最大值，若設(shè)圓

sin0

爐+9―2y=0的圓心為C,貝代由6=而，所以只要照［取得最小值，若設(shè)M(x,lnx),則

|A/C|2=x2+(lnx-l)2,然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2+(lnx—Ip,利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.

【詳解】

記圓Y+V—2y=0的圓心為C,設(shè)NAMC=8,貝1MA目地卜^^所吟康，設(shè)

A/(x,In%),|MC|2=%2+(Inx-1)2,記g(x)=J+(lnx—，貝！J

12

gr(x)=2x+2(lnx-l)--=—(x2+lnx-l),令h(x)=x2+lnx-l,

xx

因為飄%)=3+111%-1在(0,+8)上單調(diào)遞增,且為1)=0,所以當Ovxvl時，h(x)<h(I)=0,gf(x)<0.當X>1

r

時，h(x)>h(l)=0,g(x)>09則g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,口)上單調(diào)遞增,所以g(%)<=雙1)=2,即

阿屋2。石，冬所以品焉-32。(當加=當時等號成立).

【點睛】

此題考查的是兩個向量的數(shù)量積的最小值，利用了導(dǎo)數(shù)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于難題.

10、C

【解析】

利用an=S?-S,T(〃>2)證得數(shù)列1票J為常數(shù)列，并由此求得｛an｝的通項公式.

【詳解】

4s—1

由4+1=彳/，得(2〃-l)a"+i=4S“-1,可得(2“-3)4=4S“T-1(H>2).

2n-l

相減得(2〃+1)4=(2〃一l)a.+i，則=(?>2),又

2n-l2n+l

4s-1aaa”

由4+i=---,%=1,得g=3,所以x2,所以為常

2n-l2x1-12x1+12〃一1

數(shù)列，所以鐘■=不:=1，故4=2〃-1.

2H-12x1-1

故選：C

【點睛】

本小題考查數(shù)列的通項與前幾項和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應(yīng)用意識.

11、C

【解析】

結(jié)合題意，根據(jù)題目中的20天的AQ/指數(shù)值，判斷選項中的命題是否正確.

【詳解】

對于A,由圖可知20天的AQ/指數(shù)值中有10個低于100,10個高于100,其中第10個接近100,第11個高于100,

所以中位數(shù)略高于100,故A正確.

對于3,由圖可知20天的AQ/指數(shù)值中高于150的天數(shù)為5,即占總天數(shù)的工，故臺正確.

4

對于C,由圖可知該市10月的前4天的空氣質(zhì)量越來越好，從第5天到第15天空氣質(zhì)量越來越差，故C錯誤.

對于。，由圖可知該市10月上旬大部分指數(shù)在100以下，中旬大部分指數(shù)在100以上，所以該市10月上旬的空氣質(zhì)

量比中旬的空氣質(zhì)量好，故。正確.

故選：C

【點睛】

本題考查了對折線圖數(shù)據(jù)的分析，讀懂題意是解題關(guān)鍵，并能運用所學知識對命題進行判斷，本題較為基礎(chǔ).

12、D

【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.

【詳解】

對于A,當相〃"，根ua,時，則平面a與平面￡可能相交，a±/3,all，故不能作為。，尸的充分

條件，故A錯誤；

對于B,當相〃“，mLa,〃，小時，則。//￡,故不能作為。，，的充分條件，故B錯誤；

對于C,當mLn,m//a,尸時，則平面戊與平面￡相交，,a///3,故不能作為。，分的充分條件,

故C錯誤；

對于D,當m±a,nVp,則一定能得到。故D正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查了面面垂直的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、20

【解析】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由數(shù)列，今-，為等差數(shù)列，且q=2,根據(jù)等差中項的性質(zhì)可得，

2(2+d)'=二+(2+2&)2,解方程求出公差q,代入等差數(shù)列｛4｝的通項公式即可求解.

213

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

由數(shù)列14」]為等差數(shù)列知,2?4=近+4

tn\213

因為q=2，所以2。+療工+(2+2療,

213

解得d=2,所以數(shù)列｛4｝的通項公式為

an=a[+(〃—l)d=2+(〃_l)x2=2〃，

所以如)=20.

故答案為：20

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的概念及其通項公式和等差中項;考查運算求解能力;等差中項的運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)

題.

2

14、-

3

【解析】

證明平面MGC,于是匕FGP=K-AGC=g%.AGC，利用三棱錐的體積公式即可求解.

【詳解】

,二相，平面ABC,ABi平面ABC,

±AB,又AB_LAC,A41cAe=A.

AB，平面MG。，

?。是BC］的中點，

__1_111oo2

,?%一*1尸=%4GC=~2%4GC=5.3.5.22.2="

2

故答案為：-

3

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

5

15、-

2

【解析】

根據(jù)流程圖，運行程序即得.

【詳解】

第一次運行S=15,k=l;

第二次運行S=15,k=2；

第三次運行S="，左=3；

2

第四次運行S=M<3;所以輸出的S的值是』.

22

故答案為：一

2

【點睛】

本題考查算法流程圖，是基礎(chǔ)題.

16、-80

【解析】

首先根據(jù)定積分的應(yīng)用求出a的值，進一步利用二項式的展開式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】

生71

a-j(J=+sin%)—=2,

-f一萬

根據(jù)二項式展開式通項：4+1=G(x)5f［亍J=G?(-2>?X行，

4

令5-丁=1,解得廠=3,

所以含x的項的系數(shù)C；(-2)3=-80.

故答案為：-80

【點睛】

本題考查定積分，二項式的展開式的應(yīng)用，主要考查學生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(2)0<a<e

【解析】

(1)g(x)=-(2x+l)(x-1),令g")〉o,g(%)<0解不等式即可；

(2)/z(x)=(尤+1)靖一a'"+1)=(x+1)(短一巧),令〃(x)=0得尤0,即*=e，

且/2(X)的最小值為

XX%

/z(x0)=x0^-alnx0-ax0-a+e,令力(七)20,結(jié)合*="即可解決.

xo

【詳解】

(1)g(x)=l+--2x=-(2x+1^x-^,xe(0,+s)

XX

當xe(O,l)時,g(x)>0,g(x)遞增，

當xc(l,+8)時，g'(x)<0,g(x)遞減.

故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(l,y).

(2)h(x)=f(x)-ag(x)=xex-a\nx-ax-a+e,

/z(x)=(x+l)ex-心+D=(x+l)(ex--),

a>0,設(shè)〃(x)=0的根為％,即有*=巴可得,

x0=lnt?-ln%0,當尤e(O,Xo)時，h(x)<0,/z(x)遞減,

當xe(Xo，+co)時，h(%)>0,/i(x)遞增.

--^Wmin=%(X0)=%()6司-aSnxQ-axQ-a+e

=-Intz)-axQ-a+e

xo

=e—alna>0,

所以

①當〃<(O,l],aln〃<0<e-

②當a>l時，設(shè)0(Q)=Q1HQ,0'(a)=l+lna>O

0(Q)=Q1IIQ遞增，a]na<e9所以

綜上，OvaVe.

【點睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題，這里要強調(diào)一點，處理恒成立問題時，通常是構(gòu)造函數(shù)，

將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理.

18、(1)見解析；(2)

3

【解析】

(1)取AC的中點M,連接氏0、D】M,連接證明出四邊形M302為平行四邊形，可得出,然

后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)以點A為坐標原點，AA、4耳、4A所在直線分別為X、y、Z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可

求得二面角c-ADx-q的余弦值，進而可求得其正弦值.

【詳解】

(1)取AC中點連接MO、BM、D[M,

的〃。。1且441=。。1，，四邊形A41cle為平行四邊形，.?.AC〃4G且AC=4G，

。、〃分別為4G、4。中點，，4/〃4。且4加=4。，

則四邊形A410M為平行四邊形，.??。河〃M且。"=A4]，

A4jHBB[且A4,=OMIIBB、且OM=BBX,

所以，四邊形580M為平行四邊形，.?.3"〃0，且80=。2,

..四邊形MBOBl為平行四邊形，，03〃?！?，

MD,u平面ACDX,03.平面ACD,,.-.OB//平面ACDl；

(2)以點A為坐標原點，42、4耳、4A所在直線分別為X、y、Z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系4-孫Z,

則。(2,2,2)、4(0,0,2)、6(220)、A(2,0,0),

AZ）］=（2,0,-2）,AC=（2,2,0）,=（0,2,0）,

設(shè)平面ACR的法向量為7"=(%i，X，zJ,

m-AC=02x+2v=0/、

由,,得《12-‘取玉=1'則…，…

m-ADX=0

設(shè)平面AQG的法向量為,=(馬,％，Z2)，

n-D.1C,1=02y2=o/、

由,，得《⑵2。2=0‘取“-°,Z2—（1，?！梗?，

n-AD{-0

YYl'Yl2A/6

cos<m'n>=?~；—p-r=——T==—sin<m,n>=Jl-cos2<m,n>=-，

|m|-|n|v3xV23，3

因此，二面角C-AD】-G的正弦值為正

3

【點睛】

本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.

19、⑴與；⑵2,⑹

【解析】

(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得cos6,進而求得3和A+C,代入求得結(jié)果；

(2)利用正弦定理可將c-a表示為2sinC-2sinA,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為2sin(c-g

根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合C的范圍可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)由正弦定理可得：2sinA—sinC=2sinBcosC

A+B+C^TI...sinA=sin(5+C)

/.2sin(B+C)—sinC=2sinBcosC+2cosi5sinC—sinC=2sinBcosC

即2cosBsinC=sinC

Ce(0,TT)「.sinCwO..cos5=；

3e(O,〃):.B=-:.A+C=—

v'33

.(A+C/.27T73

/.sin--------卜3=sin——二——

I2)32

a_c_b_g_2

(2)由(1)知：sinB=sin—=sinAsinCsinB^3

32

~2

.?.c=2sinC,a=2sinA

.,.c—6/=2sinC—2sinA=2sinC—2sin(B-bC)=2sinC—2sinBcosC—2cosBsinC

=2sinC一百cosC-sinC=sinC—石cosC?=2sin^C-^

r(n

QA+C——...0<C<—..CHE

333

二.2sin[C—耳]4―,即c—Q的取值

:范圍為卜6,6)

【點睛】

本題考查解三角形知識的相關(guān)應(yīng)用，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角

函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問題；求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題,

進而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.

20、(1)=上"一I，左ez｝；(2)

【解析】

⑴先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡得到/(X)=2sin12x-再根據(jù)正弦函

數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；(2)先求出C的大小，再根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求出根據(jù)三角形的面積

公式即可求出答案.

【詳解】

(1)/(x)=m-n=2A/3sinxcosx+sin2x-cos2x=6sin2x—cos2x=2sin—彳］.

令2x-2=2%兀一］,kGZ,即》=左萬一?伏eZ)時，sin［2x-彳］=-1,/(九)取最d、值，

71

所以，所求X的取值集合是=-二代eZ；

6

(2)由/(C)=2,得sin(2C—工］=1,

I6；

因為0＜。＜不，所以一工＜2C—工＜小，所以2C—工=工，C=~.

666623

在AABC中，由余弦定理c2="+b2—2a6cosC,

^3=a2+b2-ab＞ab，即aZ?W3,當且僅當a=b時取等號，

所以AABC的面積S=,a6sinC〈4x3x3=之叵