2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高一年級下冊3月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題

目要求的.

］已知a=(sinl5°,sin75°),6=(cos30°,sin30°),則

V2V2

A,3B.~C.2D.-2

2,若方=34),A點的坐標(biāo)為（一2,T）,

則3點的坐標(biāo)為（）

A.。，3）B.(5,5)C,。5）口.（5,4）

3.在△NBC中，（匹+麗）祝=阿

則A42C的形狀一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

4.已知向量。=（4，x）,"=6，1）,那么，"=2，，是“方/用，，的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

5.已知向量"=（2,道），八（T道）則小上的投影向量為（）

1

2cos2<9-1

吟［sin6'-cos6'=-—,期仔+，

6.已I4人且4貝|14J等于()

2433

A.3B.3C.4D.2

7.若將函數(shù)/（x）=c°s2x（l+cosx）（l-cosx）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)

不變），得到函數(shù)，二名6）的圖象，則函數(shù)丁=8（"）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

7177,71.

——+左%,KTC(kGZ)k兀+k兀(左￡Z)

A.B.

--+—k7T,—k7r(kwZ)；左乃,?+；左乃（keZ）

_844Jv7

C.D.

8.已知O3C中，D,E分別為線段AB,2C上的點，直線CD交于點、P,且滿足

前=。2+=前2

62,則SABPE的值為（）

1112

A.3B.2C.3D.9

二、多選題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.下列說法中正確的是（）

A.在A/5C中，AB=c,BC=a,CA=b,若1石＞0,貝為銳角三角形

_,?-云+"“|=1缶|=|a+6］=2Io-Z）|=V6

B.非零向量4和6滿足??,111?，貝/?

C.已知建OZ,1（LI）,且方與）+痛的夾角為銳角，則實數(shù)彳的取值范圍是?

3

D.在“8C中，若2刀+3無+5后=0,則A40C與的面積之比為二

10.已知函數(shù)/（x）=sm“+ecosx,則下列命題正確的是（）

TT7T

f（x）（xe0,-）0。

A.函數(shù)L2J的單調(diào)遞增區(qū)間是L6J.

（_0）

B.函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于點651對稱；

C.函數(shù),（X）的圖象向左平移制加＞°）個單位長度后，所得的圖象關(guān)于y軸對稱，則機(jī)的最小值

71

是7;

_7兀

D.若實數(shù)加使得方程/（、）=機(jī)在［0'2兀］上恰好有三個實數(shù)解為，X2,飛,則一7.

11.直角中，斜邊/8=2,尸為“8C所在平面內(nèi)一點，

APO'AB+cos10-AC

2（其中。ER）,則（）

ULUUUU

A./320的取值范圍是（°，4）

B.點尸經(jīng)過A/5C的外心

C.點尸所在軌跡的長度為2

--0

D.尸a(4+尸⑻的取值范圍是L2'」

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

0<a<---<j0<Ocos[g+a]=；=gcos(a+/]=

13.設(shè)灑i己是單位向量，且限.=0,則("一，>。一')的最小值為.

14.笛卡爾坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系與斜角坐標(biāo)系的統(tǒng)稱，如圖，在平面斜角坐標(biāo)系苫?中，兩坐標(biāo)

軸的正半軸的夾角為6。°,馬，e?分別是與x軸，7軸正方向同向的單位向量，若向量

”港+卜仁則稱有序?qū)崝?shù)對Of)為。在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo).若向量說，〃在該斜角坐標(biāo)系

下的坐標(biāo)分別為*"),(2㈤,當(dāng)后=時，mn=u_

四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知六(1，0)，[(2,1)

(1)當(dāng)上為何值時，而一不與之+2片垂直

(2)若AB=2d+3b,BC=a+癡,且⑷哈。三點共線，求加的值.

16.已知向量a和則同=2,W=2,m而=60。求:

⑴限6的值；

)2a+Z)|

⑵??的值；

(3)2Z+B與b的夾角。的余弦值.

17.如圖，平行四邊形/3CD中，E,尸分別是48的中點，G為BE馬DF的交點、.若

AB=a,AD=b.

DC

AFB

(1)試以'B為基底表示顯，DF-,

(2)求證：A,G,C三點共線.

f(x)=sm2xcos(￡>-2cos2xsin(^--^>)-cos—+<p\

18.已知函數(shù)12人

(I)化簡了=/G)的表達(dá)式并求函數(shù)的周期；

IT7C7C

(II)當(dāng)一萬<“<5時，若函數(shù)J=/(x)在X-7時取得最大值，求。的值；

(III)在(II)的條件下，將函數(shù)/(X)圖象上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得

到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

19.已知。為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)/(x)=asinx+bcosx,稱向量=(。力)為函數(shù)/(?的相伴

特征向量，同時稱函數(shù)“X)為向量弧的相伴函數(shù).

g(x)=sin[x+凹一sin(四一x]一

(1)設(shè)函數(shù)I6>12人試求g(x)的相伴特征向量0”；

8

(2)記向量的=(1，6)的相伴函數(shù)為‘⑶，求當(dāng)"幻一^且飛百,sinx的值；

一?I-/z(x)=msinx--

(3)已知4一2,3),8(2,6),07=(-6,1)為(6J的相伴特征向量，

(p(x-)=h[--^\一

(23),請問在>=0(x)的圖象上是否存在一點尸，使得/尸，8匕若存在，求出尸點

坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

1.A

【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合正弦函數(shù)的和角公式可得答案.

??

［詳角軍］由題意。=sin15°cos300+sin75°sin30°

5

=sinl5°cos30°+cosl5°sin30°=sin45°=—

2

故選：A

2.A

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的求解公式可求.

【詳解】設(shè)8(XJ),因為Z點的坐標(biāo)為(一2,7),所以方=(x+2/+l)=(3,4).

所以x=l,蚱3,即3(1,3)

故選：A.

【點睛】本題主要考查平面向量坐標(biāo)的運算，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

3.A

=AQ"

【分析】注意到??,根據(jù)已知等式，利用向量的數(shù)量積的運算法則和線性運算法則可得

到瓦?衣=0,進(jìn)而得到結(jié)論.

(BC+BAyAC-AC2

【詳解】

=(BC+BA-ACyAC

=^C+BA+CAyAC

=2BA-AC

=0

■■.BALAC,

???AABC為直角三角形,

故選：A

4.A

【分析】先由向量平行求出x=±2,再討論充要性.

【詳解】向量方=(4"BUM,allb,則谷=4解之得x=±2,

則“x=2”是，，x=±2"的充分而不必要條件.

即向量@=(4/),6=。，1),那么”=2，，是，，3/4”的充分而不必要條件.

故選：A.

5.A

【分析】利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示及向量的模公式，再利用投影向量的定義即可求解.

【詳解】因為)=(2'6),公—灼，

斫以展B=2X(-1)+GX6=1,力㈠丫+儂)=2

a-bb_a-b_1//r\_1J3

所以@在B上的投影向量是網(wǎng)\b\出『4<4,4>.

故選：A.

6.D

.。z,V14

sinu—cosu=-------

【分析】4平方求出sm20,進(jìn)而求出cos20,將所求的式子分子用二倍角公

式化簡，分母用兩角和余弦公式展開，即可求解.

.V14.czi7.1

sinUn-cos6n-------1-sm2"=一sin2"=一

【詳解】4平方得88,

6?e嗚),二20e(0,g,cos26=Vl-sin229=孚

3V7

2cos2。一1_cos2。_g_3

CCiQ(—+0、V2(夕.mV2V142

c°s(4十刃(cos0-smff)------

故選:D.

【點睛】本題考查三角函數(shù)求值問題，涉及到同角間的三角函數(shù)關(guān)系、三角恒等變換的應(yīng)用，熟

記公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

7.A

【分析】利用三角恒等變換化簡/(X)的解析式，再根據(jù)>=/cos(ox+9)的圖象變換規(guī)律求得

g(“)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)'=8(")的單調(diào)遞減區(qū)間.

f(x)=cos2x(l+cos-cosx)=cos2x-sin2x=—sin22x

【詳解】解：將函數(shù)4

1l-cos4x11.

--------------.........cos4x

4288的圖象上所有的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

zx11_77C.

y=<?(X)=---------COSZX,,K7l------<X<K7T

88的圖象，令2k兀一兀&2xq2k7i,求得2

7V7.

——+k7t兀(左￡Z)

故選：A.

【點睛】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【分析】令麗=〃以，BE=^BC,令田=辰,BD=kBA,利用平面向量基本定理確定點

尸，瓦。的位置即可求解作答.

于是麗=麗+麗=前+〃應(yīng)=屁+〃(拓-麗)="〃滋+〃麗—雨+〃電

—1—1一113

BP=-BA+-BC耳后〃=一，和-〃)=_力=_

而62,并且84BC不共線，因此62,解得5,

^DP=tlDC,BD=kBA,

則麗=麗+而=而+辰=而+_而)=Q_0前+辰：=k(l_t痂+由

八、

t—_1K,(\—t)—_1k,=—1t=_1

從而一2'一6,解得一3'一2,因此點P是線段8的中點，

C_2c_3v=-

Q^BPE-《"BPC-43BPDC3

所以55,所以\BPE0.

故選：C

【點睛】思路點睛：用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將

條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

9.BD

【分析】利用向量的數(shù)量積的定義得到角C為鈍角，從而否定A；利用向量的和、差的模的平

I^-AI2=6-

方的關(guān)系求得??一，進(jìn)而判定B；注意到方與）+勸同向的情況，可以否定C；延長“。交

——?——?=—BC

BC于。,.../。,°°共線，利用平面向量的線性運算和三點共線的條件得到8，進(jìn)而

CD3S&ODC_S&ADC_3S4Aoe—S&ODC-S“DC_3

DB~~5,然后得到其。皿S’ABD5,利用分比定理得到LOBSAOBD-SAA3D5,從而判定

D.

【詳解】小在＞0即前向＞0,.?.屈的＜0,；.C為鈍角，故A錯誤;

歸一可2+歸+,=2同2+2W『=2+8=10|a+6|2=22=4

\a-b\=10-4=6la-&I=V6,,

IIJI故B正確；

5+力,=(1+42+2),當(dāng)幾=°時，N與M+4同向，夾角不是銳角，故C錯誤;

AO=-OB+~OC

..20A+30B+50C=022

延長交2C于。，如圖所示.

歷二說號礪+號詼

???苑麗共線，二存在實數(shù)左,

左左［

_3_?__5_—I1卜—__1

???D，3，C共線，...22-，:.一4,

——?3—?5—?——?—?一?5―?5——?S——?CD3

OD=-OB+-OCBD=OD-OB=——OB+—OC=—BC——=—

88,...888,；.DB5

S&ODC_S&ADC_3S&AOCS&ODC-S“DC_3

ccSVSS5

Q^OBD°AABDJ,Q^AOB.OBD-.ABD,故D正確.

故選：BD.

10.ACD

【分析】根據(jù)輔助角公式把函數(shù)的關(guān)系變形為正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用即

可判斷各選項.

71

f(x)=2sin|x+—

［詳解］由"x)=smx+6cosx,得3

7171571

Xx+—G

G10,—2」時,i,-6"

對于A,當(dāng)3

兀,兀，兀八//兀

一--V_—

當(dāng)332即6時，函數(shù)/㈤單調(diào)遞增,

0,-

所以函數(shù)/（X）單調(diào)遞增區(qū)間為L6」，故A正確；

>>

x=--/f--|=2smf--+-|=2sin-=1^0

對于B,當(dāng)6時，76)I63；6

故B不正確;

對于C,函數(shù)/（X）的圖象向左平移個單位長度后，得到

g（x）=2sinx+m+—

l3J所得的圖象關(guān)于了軸對稱，

7177T/7r-w\1兀/7r-rx

m+—=KU+—（kEZ）m=KJi+—（KE：Z）

所以32，解得6,

71

當(dāng)％二0時，加的最小值是6,故C正確；

對于D,如圖所示，

實數(shù)加使得方程/（x）=機(jī)在［°'2向上恰好有三個實數(shù)解不，X?,*3,

f（x）=2sinfx+—=V3—

則必有％=0,或工=2兀，此時I3J,另一解為3.

7K

M+X?+Xq=---

所以一一3,故D正確.

故選：ACD.

11.ABD

umuunuun2

【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義有N8ZC=/C,結(jié)合己知即可判斷A；若。為中點，根

據(jù)已知有°，RC共線，即可判斷B、C；利用向量加法的幾何意義及數(shù)量積的運算律可得

PC-（PA+PB）=-2\PC\\PO\t結(jié)合基本不等式求范圍判斷D.

umuunuLin23的皿

【詳解】由=,又斜邊45=2,則|/?；ǎ?。，2）,則/5ZC￡（0,4）,A正確；

—?1—?

AO=-AB——?、—?9—?

若。為中點，貝2,故4P=sin。?4O+cos夕/C,又sin，+cos夕=1,

所以。，尸,C共線，故尸在線段0c上，軌跡長為1,又。是“3C的外心，B正確，C錯誤;

由上百+方=2而，則定?(秒+而)=2正?方=-2|正||所

I礪一m1\PC\\PO\<(IfcI+11)21|PC|=|PO|=-

又|PC|+|PO|=|OC|=1,則I2=4,當(dāng)且僅當(dāng)I2等號成立,

PC-(PA+PB)=-2\PC\Cpd\&[--,0]

所以2,D正確.

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：若。為中點，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，及向量線性運算的幾何意義、數(shù)量積

ULUUUILI____--_____

的幾何意義和運算律判斷尸軌跡，求PC.+PB).

5A/3

12.9

?+—=(—+?)-(---)cos[a+，]

【解析】由于3443,利用兩角和差公式可求出I3J的值.

0<a<一

【詳解】解：因為4,

—71<a+—71<—71

所以442

\(3\「產(chǎn)、/

cos6Z+—=cos[(-+-)]

故卜“443

1V32V2V6573

—,---1------,=----

33339

573

故答案為：丁

【點睛】本題考查了兩角和差公式的知識，解決問題的關(guān)鍵是整體思想的意識，還要關(guān)注角的范

圍的確定.

13.1-亞.

【分析】設(shè)N+B與3的夾角為。，根據(jù)已知，利用向量的數(shù)量積的運算將Si）,?一,）化為關(guān)

于夕的三角函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.

【詳解】&石=。,且%i己均為單位向量，

,+'=#+否j=y］a2+b2+2a-b=Vl2+l2+2x0=A/2

向=1，天工

(a-cy^-c^=ab-(a+b^c+c1=\-(a+b^c

設(shè)5+3與3的夾角為仇

貝”(萬一,一d)=1—卜+可同COS0=i-y/2COS0

故("㈤G')的最小值為jo

故答案為：1-亞-

6

14.7

【分析】根據(jù)斜角坐標(biāo)定義寫出向量（用兩個已知單位向量表示），然后由向量數(shù)量積計算可

得.

----1

一「“一—「7-e.-=1x1xcos60°=—

［詳解］由已知.=3q+2e2,"=2q+?左e2,-2,

—*—..—*,.2—*..2I

加?〃=(3,+2?2>(2,+左與)=6,+(3左+4鳩?6+2左％-6+—(3k+4)+2A：=11

k=§

解得：7

6

故答案為：7.

123

15.(1)5；(2)2.

【分析】（1）垢-］與）+2石垂直，即而一分與之+2*的數(shù)量積為0,利用坐標(biāo)計算可得先值;

（2）因為C三點共線，所以蕊〃瓦,利用平面向量共線的坐標(biāo)公式計算可得小的值.

【詳解】解：⑴"-3=左（1,。）-（2,1）=（左-2,-1）,

a+2fe=（l,0）+2（2,l）=（5,2）

因為屈與G+2B垂直，所以59_2）+（-1卜2=0,

T

即5左一10—2=0,得5.

（2）AB=23+36=2（1,0）+3（2,1）=（8,3）

BC=a+mb=（l,0）+m（2,l）=（2w+l,w）

因為48,C三點共線，所以方〃數(shù).

_3

所以8加-3（2%+1）=0,Bp2m-3=0,所以機(jī)一5.

16.（1）2；

⑵2療；

277

⑶7.

【分析】（1）（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義即可求解;

（3）根據(jù)平面向量的夾角公式即可求解.

【詳解】⑴...同=2產(chǎn)=2〃而=60。.

一一=2Cx2Cx—1

...a?b2=2；

、（25+6j=4萬2+4萬+廬=16+8+4=28

（2）A/,

?=2療.

（3）..儂+6州=2晨B+廬=4+4=8

（2a+b}b8=2yy

_._cos0=cos2a+b,b忸+磯,2V7x27

―-I-一1-

BE=—b-aDF=-a-b

17.（1）22.（2）證明見解析.

【解析】(1)根據(jù)向量的加法，減法以及數(shù)乘運算，即可求出;

(2)以2,B為基底，利用向量共線定理，兩種方式表示出向量就，由平面向量基本定理，解

—?1一一

AG=—{a+b)——?--

方程可求出3，而ZC=。+6,根據(jù)共線定理即可證出.

uunuunULUirr——?——?——?]―-

BE=AE-AB=-b-aDF=AF-AD=-a-b

【詳解】(1)22

(2)因為。，G,廠三點共線，則DG=ZDF,,

^AG=AD+ADF=^Aa+(l-A)b

因為5,G,E三點共線，則3G=

AG=AB+pBE=(1-〃)a+g癡

1,,

—z=1—//

2

2

1—A=—//X=u=—

由平面向量基本定理知2,解得3,

____1__1____

AG=-(a+b)=-AC

所以33

所以4,G,C三點共線.

【點睛】本題主要考查向量的線性運算，平面向量基本定理和向量共線定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)

生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

712人萬一^^,2左左+?(keZ)

18.⑴/(x)=sm(2x-e);萬；([[)6；(皿)

【分析】(D利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)

/(x)化為sin(2x-e),利用正弦函數(shù)的周期公式可得函數(shù)的周期;

7171sin12x?一。

------<(D<—二1

(II)當(dāng)22時，由可得。的值;

/(x)=sinf2x+?

,利用伸縮變換法則得到函數(shù)g(x)的解析式，再利用正

(III)由(II)可得

弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間

【詳解】⑴/(x)=sin2xcos，一(1+cos2x)sin(p+sin(p

=sin2xcos(p-cos2xsin(p=sin(2x-0)

.J（X）的周期為7一萬一"；

_71

（H）一..函數(shù)/（X）在X-%時取得最大值,

「mJ吟一夕，1,產(chǎn)"3一，

(D——2k7i---,(D—2k7C---,keZ

326

717171

p一彳〈甲<彳，"=一

又：22~6.

?由⑺可知"sin[2x+?

，則將函數(shù)/（x）圖象上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大

g（x）=sinx+-

到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)I6J的圖象，

TTTT7T27rTT

2加一一<x+-<2k7r+-,kEZ2癡——<x<2k;r+-,keZ

由262，解得33,

/\2kjt--,2k7r+—，左wZ

所以縱盯的單調(diào)遞增區(qū)間為L33」

'_/14-3出

19.（1）（22）；⑵io.（3）存在，點（（°，2）.

，、拒.3

g（x）=------smx+—cosx

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)得22,根據(jù)題意可可得特征

廠cos"A=3

向量；（2）根據(jù)題意可得相伴函數(shù)〃x）=smx+V3cos尤，再根據(jù)條件可得（3J5,由

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