2024年河南省五市高考數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷（附答案解析）

2024年河南省五市高考數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={My=W},B={y\y=x1],則AG3=()

A.0B.[0,+8)C.RD.(0,+8)

2.（5分）以坐標原點為頂點，x軸非負半軸為始邊的角a,其終邊落在直線>=無上，則有

()

A.sin一孝B.cosa=

C.sina+cosa=±V2D.tana=±1

TT->—>T—TT

3.(5分）平面向量a,b滿足|a|=2,\b\=3,|a+Z?|=4,則b在a方向上的投影向量為

()

V151-3-V15

A.-----aB."aC.—aD.-----a

12488

4.（5分）已知口袋中有3個黑球和2個白球（除顏色外完全相同），現(xiàn)進行不放回摸球,

每次摸一個，則第一次摸到白球情況下，第三次又摸到白球的概率為（）

1123

A.——B.-C.一D.-

10455

5.（5分）已知函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且f(%)=-7/(3)-/(I)/-4%,則/

（x）的極值點為（）

A.三或工13

B.-C.-沁D.-

2222

6.（5分）某款卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形空心紙筒上，紙筒直徑為20根加，衛(wèi)生紙厚度約為0.1帆機,

若未使用時直徑為80〃而，則這個卷筒衛(wèi)生紙總長度大約為（）（參考數(shù)據(jù)n^3.14）

A.47mB.51mC.94mD.102m

7.（5分）已知尸為棱長為巡的正四面體ABC。各面所圍成的區(qū)域內(nèi)部（不在表面上）一

動點，記尸到面A3C,面ACD面5c7）,面A5O的距離分別為h2,fe,fi4,若。3+%4

1R

L則范+忘的最小值為（）

259+4V2

A.2B.—C.---------D.12+4V2

22

8.（5分）拋物線C：,=2px（p>0）在其上一點處的切線方程為y-x-1=0,點A,B為

C上兩動點，且|AB|=6,則48的中點M到y(tǒng)軸距離的取值范圍為（）

93

A.[2,+°°）B.[4,+00）C.[3,+8）D.12，+00）

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）新高考模式下，化學(xué)、生物等學(xué)科實施賦分制，即通過某種數(shù)學(xué)模型將

原始分換算為標準分.某校在一次高三模擬考試中實施賦分制的方式，其中應(yīng)用的換算

模型為：y^kx+t（k,tER）,其中x為原始分，y為換算后的標準分.已知在本校2000

名高三學(xué)生中某學(xué)科原始分最高得分為150分,最低得分為50分，經(jīng)換算后最高分為150

分，最低分為80分.則以下說法正確的是（）

A.若學(xué)生甲本學(xué)科考試換算后的標準分為115分，則其原始得分為100分

B.若在原始分中學(xué)生乙的得分為中位數(shù)，則換算后學(xué)生乙的分數(shù)仍為中位數(shù)

C.該校本學(xué)科高三全體學(xué)生得分的原始分與標準分的標準差相同

D.該校本學(xué)科高三全體學(xué)生得分的原始分的平均分低于標準分的平均分

（多選）10.（5分）函數(shù)f（x）=2sin（s+切V5）的部分圖像如圖所示，則（）

.c7T

A.3=2,0=不

B.不等式無）＞1的解集為/ot+力（蛇Z）

7兀

C.后為f（x）的一個零點

D.若A,B,C為△ABC內(nèi)角，且/（A）=/（8）,則或。=為

（多選）11.（5分）對于數(shù)列｛即｝（a“6N+）,定義瓦為al,al,―,a尢中最大值（fc=L2,

?n）（〃eN+）,把數(shù)列｛加｝稱為數(shù)列｛?｝的值數(shù)列”.如數(shù)列2,2,3,7,6的aM

值數(shù)列”為2,2,3,7,7,則（）

A.若數(shù)列｛金｝是遞減數(shù)列，則｛為｝為常數(shù)列

B.若數(shù)列｛板｝是遞增數(shù)列，則有所=垢

C.滿足｛加｝為2,3,3,5,5的所有數(shù)列｛即｝的個數(shù)為8

D.若斯=（—2）z（neN+）,記出為｛加｝的前"項和，則Si。。=|（21°°—1）

（多選）12.（5分）定義在R上的函數(shù)/（x）=loga（Vl+b2x2+bx）（a>0且qWl,b

WO）,若存在實數(shù)m使得不等式-加+排+12）+f（-m）恒成立，則下列敘

述正確的是（）

A.若a>l,b>0,則實數(shù)機的取值范圍為[-2,2]

B.若0<a<l,b<0,則實數(shù)機的取值范圍為（-8,2]

C.若a>l,b<0,則實數(shù)機的取值范圍為（-8,-2]U[2,+8）

D.若0<a<l,6>0,則實數(shù)機的取值范圍為[2,+8）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.（5分）計算搟尸（z?為虛數(shù)單位）的值為.

14.（5分）在（2支-《產(chǎn)的展開式中，常數(shù)項為.（請用數(shù)字作答）

15.（5分）已知函數(shù)/（x）及其導(dǎo)函數(shù)，（無）的定義域均為R,記g（無）=f（X）.且

/（1-3x）+f（3x-1）=0,g（1+x）+g（1-x）=0,當(dāng)xG（0,1],f（x）=sin^x,

則本竽,（i）|=.（用數(shù)字作答）

16.（5分）三棱錐P-ABC中，尸8=2,ZB4B=ZABC=30°,PB±AB,ACLLAB,點M,

N分別在線段AP,BC上運動.若二面角尸-45-C的大小為60°,則|MV|的最小值

為.

四、解答題，本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（10分）△A8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足廬-二二公.

（I）求證：B=2A；

（II）若△ABC為銳角三角形，求sm（C-A）：si"B的取值范圍.

sinA

18.（12分）已知函數(shù)/（x）=alnx-（〃ER）.

（I）求函數(shù)/（%）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若/（X）有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

19.（12分）在等差數(shù)列｛久｝中，a3+o4+aii=84,<77=33.

（I）求數(shù)列｛麗｝的通項公式；

（II）若記以（在N+）為｛“”｝中落在區(qū)間（5勺/）內(nèi)項的個數(shù)，求｛少｝的前左項和Th

20.（12分）如圖，在四棱錐尸-4BCZ）中，底面ABC。是直角梯形，AB//CD,ZABC^

90°,S.PA=PD=AD,PC=PB.

(I)若。為的中點，證明：COLPO-,

(II)若NCZM=60°,AB=^CD=1,點M滿足DM=2MP,求平面PCB與平面ACM

所成角的余弦值.

21.（12分）某檔電視節(jié)目舉行了關(guān)于“中國夢”的知識競賽，規(guī)則如下：選手每兩人一組，

同一組的兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯則對方得1分，比賽進

行到一方比另一方凈勝2分結(jié)束，且多得2分的一方最終勝出.已知甲、乙兩名選手分

1

在同一組，兩人都參與每一次搶題，且每次搶到題的概率都為一.甲、乙兩人每道題答對

2

31

的概率分別為9并且每道題兩人答對與否相互獨立.假設(shè)準備的競賽題足夠的多.

（I）求第二題答完比賽結(jié)束的概率；

（II）求知識競賽結(jié)束時，搶答題目總數(shù)X的期望E（X）.

22.（12分）己知橢圓E；捻+，=l（a>b>0）的左右熊點分別為尸1,尸2,其長軸長為6,

離心率為e且e>玄，點、D為E上一動點，△。F近2的面積的最大值為2或，過尸（-3,

0）的直線/1,/2分別與橢圓E交于A,8兩點（異于點P）,與直線尤=8交于N兩

點，且N兩點的縱坐標之和為11.過坐標原點。作直線A8的垂線，垂足為H.

（I）求橢圓E的方程；

（II）問：平面內(nèi)是否存在定點。，使得IHQ為定值？若存在，請求出。點坐標；若不

存在，請說明理由.

2024年河南省五市高考數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.(5分)已知集合4={尤lyu%2},B={y|y=x2},則AC8=()

A.0B.[0,+8)C.RD.(0,+8)

【答案】B

【分析】根據(jù)集合中元素的特性判斷出集合A與5再進行交集運算.

【解答】解：根據(jù)描述法表示集合，A=R;2=[0,+8),

.?.Ans=[o,+8).

故選：B.

【點評】本題考查描述法表示集合、交集及其運算.

2.(5分)以坐標原點為頂點，x軸非負半軸為始邊的角a,其終邊落在直線＞=無上，則有

()

A...sina=-142-Bn.cosa=42

C.sina+cosa=±V2D.tana=±l

【答案】C

【分析】由已知結(jié)合三角函數(shù)的定義即可求解.

【解答】解：因為角a的終邊落在直線y=x上，

當(dāng)a的終邊在第一象限時，sina=cosa=:，tana=1,

當(dāng)a的終邊在第三象限時，sina=cosa=—,tana=1.

故選：C.

【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)平面向量a,6滿足|a|=2,|b|=3,\a+b\=4,貝仍在a方向上的投影向量為

()

V15-IT3TV15t

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計算公式求出。3的值，進而計算可得答案.

TTTT

【解答】解：根據(jù)題意，|。|=2,\b\=3,\a+b\=4,

即(a+h)2=a2+b2+2a*b=4+9+2a*h=16,則a?b=],

T7

t—?(i,b—>3T

則6在a方向上的投影向量為=—a=-a.

|a|28

故選：C.

【點評】本題考查投影向量的計算，注意投影向量的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)已知口袋中有3個黑球和2個白球(除顏色外完全相同)，現(xiàn)進行不放回摸球，

每次摸一個，則第一次摸到白球情況下，第三次又摸到白球的概率為()

1123

A.—B.-C.-D.-

10455

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，第一次摸到白球情況下，口袋中有3個黑球和1個白球，由此計算

“從中不放回的抽取2個球”和“第三次又摸到白球”的情況數(shù)目，進而計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，第一次摸到白球情況下，口袋中有3個黑球和1個白球，從中

不放回的抽取2個球，有幽=12種抽取方法，

若第三次又摸到白球，則第二次必須摸到黑球，有3X1=3種情況，

3I

則第一次摸到白球情況下，第三次又摸到白球的概率不；=7.

124

故選：B.

【點評】本題考查條件概率的計算，注意條件概率的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)已知函數(shù)/'(%)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且/(*)=一^尸(3)伍比一/(1)乂2一4x,則了

(x)的極值點為()

3-111—33

A.1或一B.-C.—5■或—D.一

222222

【答案】D

【分析】解得f⑴,f'(3),進而可得/(x)的解析式，求導(dǎo)分析單調(diào)性，極值，即

可得出答案.

【解答】解：因為/(%)=—#(3)Inx-f(1)x2-4.r,x>0,

所以/(I)=-/(I)-4,

所以7（1）=-2,

所以/（無）=一夕（3）lnx+2j?-4x,

■31

因為/（x）=-jf'（3）；+4x-4,

所以/⑶=一］（3）1+8,

解得，（3）=7,

3

所以/（%）=—yx7bvc+2?-4x=-31nx+22-4x,

所以r（x）=一3+4x-4=4*2—4尤一3=（2x+l）（2f

JXXX

1Q

令f（尤）=0得x=—2（舍去）或x=2，

3

所以在（0,-）上/（無）＜0,f（x）單調(diào)遞減，

3

在（鼻，+8）上/（無）＞0,f（%）單調(diào)遞增，

所以了（%）的極值點為x=|.

故選：D.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

6.（5分）某款卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形空心紙筒上，紙筒直徑為20〃加,衛(wèi)生紙厚度約為0.1如"，

若未使用時直徑為80〃訥，則這個卷筒衛(wèi)生紙總長度大約為（）（參考數(shù)據(jù)Tt^3.14）

A.47mB.51mC.94mD.102m

【答案】A

【分析】求出卷筒衛(wèi)生紙的底面積，除以厚度即可得出衛(wèi)生紙總長度.

【解答】解：由題意知，卷筒衛(wèi)生紙的底面積為TT（改一J）心3.14X（402-102）=3.14

X1500=4710（.mm2）,

則這個卷筒衛(wèi)生紙總長度大約為4710+0.1=47100（mm）=47.1（m）%47tm）.

故選：A.

【點評】本題考查了圓柱的底面積計算問題，是基礎(chǔ)題.

7.（5分）已知P為棱長為傷的正四面體48CD各面所圍成的區(qū)域內(nèi)部（不在表面上）一

動點，記P到面A8C,面ACD,面BCD,面A3。的距離分別為例，/⑵治,反,若用+九4

=1,則——+「的最小值為（）

259+4V2

A.2B.—C.------D.12+4V2

22

【答案】B

【分析】由等體積法求出/n+/z2+/l3+/?4=2,又/Z3+〃4=1,得用+〃2=1,然后借助于1的

代換及基本不等式求最值.

【解答】解：???正四面體A8C。的棱長為歷，

底面等邊三角形一邊上的高為3=孥，

底面外接圓的半徑為北，則正四面體的高/z=V^=I=2.

???正四面體的體積V=xxV6xV6x孚x2=V3,

則§X5XV6XV6X，（h1+^2+^3+%4）=V3,得h1+/z2+/l3+/z4=2,

又/l3+/l4=l,/./zi+/z2=L

r,曰18/I81h8小、17cE-8K725

?-

可付+=（+）（01+也）=5+8+7TT1—r—之—F2/9,?-r—=-T5.

2九1h22九1h222hrh2272電h22

當(dāng)且僅當(dāng)h2=4hi,即4=1,A2=考時取等號.

故選：B.

【點評】本題考查空間中點、線、面間的距離計算，考查等體積法的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用

基本不等式其求最值，是中檔題.

8.（5分）拋物線C：y2=2px（p>0）在其上一點處的切線方程為y-x-1=0,點A,B為

C上兩動點，且|AB|=6,則AB的中點〃到y(tǒng)軸距離的取值范圍為（）

92

A.[2,+8）B.后，+00）C.[3,+8）D.[|,+00）

【答案】A

【分析】聯(lián)立y-x-1=0和拋物線的方程，運用判別式為0,可得p,求得拋物線的焦

點和準線方程，由弦長公式和三角形的性質(zhì)，可得所求取值范圍.

【解答】解：由可得/+（2-2p）x+l=0,

由題意可得△=Q2-2p）2-4=0,解得p=2（0舍去），

可得拋物線的方程為y=4x,焦點尸（1,0）,準線方程為冗=-1,

設(shè)A,5的橫坐標分別為％1,X2,則|AF|+|5尸|=xi+x2+p=xi+%2+2,

由|Afl+|8F|N|A8|,即有XI+%2+226,即XI+X224,

可得六二22,則A8的中點〃到y(tǒng)軸距離的取值范圍為［2,+-）.

故選：A.

【點評】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查方

程思想和運算能力，屬于中檔題.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）新高考模式下，化學(xué)、生物等學(xué)科實施賦分制，即通過某種數(shù)學(xué)模型將

原始分換算為標準分.某校在一次高三模擬考試中實施賦分制的方式，其中應(yīng)用的換算

模型為：y=kx+t（k,tER）,其中尤為原始分，y為換算后的標準分.已知在本校2000

名高三學(xué)生中某學(xué)科原始分最高得分為150分,最低得分為50分，經(jīng)換算后最高分為150

分，最低分為80分.則以下說法正確的是（）

A.若學(xué)生甲本學(xué)科考試換算后的標準分為115分，則其原始得分為100分

B.若在原始分中學(xué)生乙的得分為中位數(shù)，則換算后學(xué)生乙的分數(shù)仍為中位數(shù)

C.該校本學(xué)科高三全體學(xué)生得分的原始分與標準分的標準差相同

D.該校本學(xué)科高三全體學(xué)生得分的原始分的平均分低于標準分的平均分

【答案】ABD

【分析】由題意可知，504+/=80,1504+/=150,進而求出k,t的值，再結(jié)合平均數(shù)、

中位數(shù)和方差的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：由題意可知，50k+/=80,150k+f=150,

解得上=0.7,r=45,

所以y=0.7尤+45,

對于A,將＞=115代入y=0.7x+45,解得x=100,即原始得分為100分，故A正確；

對于8,由于每位同學(xué)都經(jīng)過換算模型換算成標準分，

則若在原始分中學(xué)生乙的得分為中位數(shù)，則換算后學(xué)生乙的分數(shù)仍為中位數(shù)，故8正確；

對于C,設(shè)原始分的方差為s2,則換算后的方差為0.72義$2=0.4952,所以原始分與標準

分的方差不相同，標準差也不相同，故C錯誤；

對于設(shè)原始分的平均分為禮則換算后的平均分為0.7元+45,

若原始分的平均分高于標準分的平均分，即元＞0.7元+45,

解得元＞150,

由于原始分最高分為150分，顯然原始分的平均分不會高于150分，

則原始分的平均分低于標準分的平均分，故。正確.

故選：ABD.

【點評】本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)和方差的性質(zhì)，屬于中檔題.

（多選）10.（5分）函數(shù)/'（久）=2s譏（3X+0）（3>0,|如V*）的部分圖像如圖所示，則（）

B.不等式/（無）>1的解集為。兀+看,/OT+分（依Z）

7n

C.一為/（x）的一個零點

12

D.若A,B,C為△ABC內(nèi)角，且/（A）=于（B）,則A=B或C=]

【答案】BC

【分析】由圖求出函數(shù)/（無）的解析式，再逐一判斷各選項即可.

TTCTTCTCTC3

【解答】解：由圖得TW即茄〈三，,所以5<3<3,

又2sin<p=-l,2s譏弓3+6)=2,因為101Vs解得0=—看3=2,故A錯誤;

由A知，f(X)=2sin(2x—石)，若f(x)>1,那么2比一小e(2+2/CTT,+2^TT),keZ,

所以/(x)>1的解集為啥+/OT,J+fc7T),(keZ),故8正確;

當(dāng)％=碧時，/（X）=0,故C正確；

因為/（A）=y（B）,所以2sm（24-.）=2s譏（2B-看），所以A=）或24-,=普-2B,

所以A=B或4+B=*,即A=B或C=*,故。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于中檔題.

(多選)11.(5分)對于數(shù)列｛.”｝(即6N+),定義bk為ai,。2,以中最大值(k=l,2,

?〃)(〃€N+),把數(shù)列｛加｝稱為數(shù)列｛斯｝的"M值數(shù)列如數(shù)列2,2,3,7,6的aM

值數(shù)列”為2,2,3,7,7,則()

A.若數(shù)列｛“”｝是遞減數(shù)列，則｛局｝為常數(shù)列

B.若數(shù)列｛板｝是遞增數(shù)列，則有珈=加

C.滿足｛加｝為2,3,3,5,5的所有數(shù)列｛圓｝的個數(shù)為8

D.若斯=(一2尸何6%+),記曲為?｝的前w項和，則Si。。=煞】?！阋?)

【答案】ABD

【分析】&.由數(shù)列｛板｝是遞減數(shù)列，可得似是數(shù)列小，。2,…，或中最大值(4=1,2,

；〃)(底N+),即可得出bn,進而判斷出正誤；

B.由數(shù)列｛.”｝是遞增數(shù)列,可得以是數(shù)列auai,…，at中最大值(4=1,2,?n)(n6N+),

即可得出為，進而判斷出正誤；

C.^^足｛仇｝為2,3,3,5,5,ai=2,a2=3,于是。3可以取1,2,3；。4=5,ci5可以

取1,2,3,4,5,即可得出所有數(shù)列｛斯｝的個數(shù)，進而判斷出正誤；

D.由廝=(-2)nT(neN+),可得數(shù)列｛.｝中奇數(shù)項構(gòu)成遞增的正項等比數(shù)列，偶數(shù)項

都是負數(shù)，于是9一1=防=(-2)2右2=22卜2,可得Sioo,進而判斷出正誤.

【解答】解：A.若數(shù)列｛斯｝是遞減數(shù)列,則m是數(shù)列ai,02,…，袱中最大值a=l,

2,?n)(nGN+),'.bn=ai,即｛加｝為常數(shù)列，因此A正確；

B.若數(shù)列｛.｝是遞增數(shù)列,則嬴是數(shù)列al,al,???,以中最大值(無=1,2,?n)(nGN+),

--bn—Clnj因此B正確；

C.滿足｛阮｝為2,3,3,5,5,ai=2,(n=3,則°3可以取1,2,3；°4=5,⑥可以取

b2,3,4,5,則所有數(shù)列｛斯｝的個數(shù)為3X5=15個，因此C不正確；

D.若斯=(-2)nT(neN+),則數(shù)列｛◎｝中奇數(shù)項構(gòu)成遞增的正項等比數(shù)列，偶數(shù)項都

是負數(shù)，則歷*」=歷尢=(-2)2X2=22X2,則Sioo=2(1+22+24+-+298)=|(2100-

1),因此。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、分類討論方法，

考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

(多選)12.(5分)定義在R上的函數(shù)/(x)=loga(Vl+b2x2+Z?x)(a>0且b

WO),若存在實數(shù)rn使得不等式/(-m+Vm2+12)4/(-根)20恒成立，則下列敘

述正確的是()

A.若b>0,則實數(shù)機的取值范圍為[-2,2]

B.若OV〃V1,b<3則實數(shù)機的取值范圍為(-8,2]

C.若/?<0,則實數(shù)機的取值范圍為(-8,-2]U[2,+8)

D.若OV〃V1,b>3則實數(shù)機的取值范圍為[2,+8)

【答案】BD

【分析】先判斷函數(shù)/(%)=+爐工2+力%)為奇函數(shù),再分。>i和ov〃vi討論

y=logat的單調(diào)性，分b>0和Z?<0討論函數(shù)t=Vl+b2x2+b%的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函

數(shù)的單調(diào)性判斷得出/(x)的單調(diào)性，利用單調(diào)性將/(-租+Vm2+12)+/(-m)>。等

價轉(zhuǎn)化成含參數(shù)機的不等式，求解即可.

【解答】解：對于函數(shù)f(%)=loga?l++bx),

2222

因為f(%)+/(—%)=loga(y/l+bx+bx)+loga(y/l+bx—bx)

2222

=loga[(yjl+bx+bx)(Vl+bx-bx)]=0,所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù).

不妨設(shè)t=Vl+b2x2+bx,則y=log/,

對于A項，當(dāng)。>1時，y=log/在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

因為/?>0,所以力="+爐工2+力第在R上也是增函數(shù),

22

故f(%)=^<ga(Vl+bx+b%)在R上也是增函數(shù).

由/(-zn+0n2+12)+/(—m)>0?/(—m+Vm2+12)>—/(—m)=/(m),

則一TH+Vm2+12>m,即Vm2+12>27n(*),

當(dāng)機WO時，此時恒成立；

當(dāng)相>0時，由(*),可得相2+1224機2,解得-2WmW2,

綜上可知，me(-oo,2],故A項錯誤；

對于5項，當(dāng)OV〃V1時，y=log/在定義域內(nèi)為減函數(shù)，

因為/?<0,則力=Vl+b2x2+bx在R上也是減函數(shù)，

22

故f(%)=loga(y/l+bx+b%)在R上是增函數(shù)，

由A項，可得/(-rn+Vm2+12)+f(-m)>0恒成立，則加€(-8,2],故B項正確；

對于。項，當(dāng)〃>1時，y=log/在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

因為/?<0,則力=+爐工2+bx在R上是減函數(shù),

22

故f(%)=loga(>Jl+bx+b%)在R上是減函數(shù)，

由/(—ni+Vm2+12)+/(—m)20=f(—m+7m2+12)>—/(—m)=f(m),

則—m+Vm2+12<m,即M*+12<2m(*),

當(dāng)mW。時，無解；當(dāng)機>0時，由(*),可得機2+i2W4相2,解得mW-2或機22,

綜上可知，機日2,+8),故C項錯誤；

對于。項，當(dāng)0<。<1時，y=logaf在定義域內(nèi)為減函數(shù)，

2222

因為b>0,貝It=Vl+bx+在R上也是增函數(shù)，故/(x)=loga(yjl+bx+bx)在

R上是減函數(shù)，

由C項，可得/(—m+7m2+12)+/(—m)20恒成立，可得7〃曰2,+°°),故。項正確.

故選：BD.

【點評】本題考查了不等式恒成立問題，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等

式，利用不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬難題.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.(5分)計算&—堯3Q.為虛數(shù)單位)的值為7

【答案】-L

【分析】由己知結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示即可求解.

【解答】解;因為堯3=[cos(-60°)+zsin(-60°)]3=cos(-180°)+zsin

(-180°)=-1.

故答案為：-1.

【點評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的三角表示，屬于基礎(chǔ)題.

14.(5分)在(2x-5)6的展開式中，常數(shù)項為60.(請用數(shù)字作答)

【答案】60.

【分析】求出展開式的通項公式，然后令x的指數(shù)為0,進而可以求解.

【解答】解：二項式的展開式的通項公式為T『+1=砥2%尸(—身=。].26-『.

_3r

(-l)rx62,r=0,1,2,…，6,

令6-2=0,解得r=4,

所以展開式的常數(shù)項為Ct-22-(-1)4=60,

故答案為：60.

【點評】考察了二項式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.(5分)已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/(無)的定義域均為R,記g(無)=f(x).且

■JT

/(1-3%)+于(3x-1)=0,g(1+x)+g(1-x)=0,當(dāng)xE.(0,1],f(x)=sin-^x,

貝叵絲君|/(f)|=1Q12.(用數(shù)字作答)

【答案】1012.

【分析】由/(I-3次)V(3x-1)=0,推得/(-%)=-/(x),由導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)可

得/(1+x)=~f推得/(1+%)=/(1-x),可得函數(shù)/(X)為周期函數(shù),

周期為4.再由xC(0,1],/(%)=sin^x,計算可得所求和.

【解答】解：由/(I-3%)1)=0，

可得/(I-3%)=/[-(3x-1)]=-f(3x-1),

BP/(-x)=-f(x)①，

又由g(1+x)+g(1-x)=0,

可得g(1+x)=~g(1-%),

即，(1+x)=~f(1-x),

從而/(1+x)=[f(1-x)]z,

故/(1+%)=/(1-x)+C(C是常數(shù))，

因當(dāng)x=0時/(I)=/(1)+C,則。=0,

即得f(1+x)=f(1-x)②，

由②可得f(2+x)=f(-x),

又由①得f(2+x)=-f(x),

即/(x+4)=-f(2+x)=f(x),

故函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，周期為4.

由xW(0,1],/(%)=sinp可知/(I)=1,

因/(%)是R上的奇函數(shù)，f(0)=0,

則由7(2+x)=/(-%),

可得/(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-/(1)=-1,f(4)=f(0)=0,

則V(l)|+，(2)|+，(3)|+|/(4)|=2,

工日V2024II2024

于是Zi=i1/(01=2Qx^-=1012.

故答案為：1012.

【點評】本題考查函數(shù)的對稱性，涉及函數(shù)的周期性，考查運算能力和推理能力，屬于

中檔題.

16.（5分）三棱錐P-ABC中，PB=2,ZPAB=ZABC=30°,PBLAB,AC_LA8,點M,

N分別在線段AP,8c上運動.若二面角尸-AB-C的大小為60°,則川的最小值為

2V39

=^='

【答案】等

【分析】觀察三棱錐尸-4BC,將其補形成直三棱柱8DP-ACQ,再推得△AC。是正三

角形，從而建立空間直角坐標系，利用向量法求解.

【解答】解：依題意，將三棱錐尸-ABC,將其補形成直三棱柱2。尸-AC。

由題意得AC±AB,滿足題意，

'：AB±AQ,AB±AC,

是二面角P-AB-C的平面角，：.ZQAC=60°,

在RtZXABC中，PB=2,ZP4B=30°,/.AB=2V3,

在RtZXABC中，ZABC=30°,；.AC=2,

\'AQ=BP=2,.?.△AC。是正三角形，

要求也見的最小值，即求異面直線AP,8C的距離,

以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，

則A(0,0,0),B(0,0,2V3),P(0,2,2遮)，C(V3,1,0),

—>—>

：.AP=(0,2,2V3),BC=(V3,1,-2g)，AC=(V3,1,0),

設(shè)幾=(x,y,z)同時垂直于AP,BC,

.(AP-n=2y+2V3z=0日汨~(叵八

??J--，取z=l,得幾=(3,-V3,1),

BC?n=V3x+y—2A/3Z=0

的最小值為坐四|3V3-V3|2V39

\n\V9+3+1—13

2V39

故答案為:

13

【點評】本題考查二面角、向量垂直、向量坐標運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能

力，是中檔題.

四、解答題，本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)/XABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足廬-/=絲.

(I)求證：B—2A-,

(II)若△ABC為銳角三角形，求s二(CY)：SLnB的取值范圍.

sinA

【答案】(I)證明過程見解析；

(II)(-V2,0).

【分析】(I)根據(jù)正弦定理得到siMB-sin24=sinAsinC,再結(jié)合二倍角公式以及三角形

內(nèi)角和即可證明結(jié)論；

(II)根據(jù)已知條件求得A的范圍，進而求解結(jié)論.

【解答】(I)證明：△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足廬-J=ac,

根據(jù)正弦定理可得sin*2B*-sin2A=sinAsinC,

即cos2A-cos2B=2sinAsinC,

所以-2sin(A+B)sin(A-B)=2sinAsinC,也即sin(B-A)=sinA,

從而證得B=2A；

(II)解：若△ABC為銳角二角形，根據(jù)(I)8=24,

(B=2A24V5,口兀兀

則2今<A<

(7T-3A<兀J，特二647,

2

sin(C-A)-sinBsin(ji-A-B-A)-sinBsin4A-sin2A

sinAsinAsinA

sin(SA+A)-sin(SA-A)

=2cos34,

sinA

,Ti37rV2

由一<3AV—=>cos3AE(—―,0),

24v27

一,,sinCC-A^-sinBr-

因此一-——------=2cos3ZG(-V2,0).

sinA

sin(C-A)-sinB

即，的取值范圍為(—企，0).

sinA

【點評】本題主要考查正弦定理以及二倍角公式，三角形內(nèi)角的應(yīng)用，考查計算能力,

屬于中檔題.

18.（12分）已知函數(shù)了（無）—alnx-j?+a（aeR）.

（I）求函數(shù)/（無）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若無）有兩個零點，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】（I）當(dāng)aWO時，尤）的單調(diào)減區(qū)間為（0,+8）,無增區(qū)間；

。>0時，于3的單調(diào)減區(qū)間為（等，+00）,增區(qū)間為（0,孚）；

（II）/（x）有兩個零點實數(shù)a的范圍為q,+8）.

【分析】（I）分析定義域并求解導(dǎo)函數(shù)，分類討論aWO與。>0時/（x）的正負，從

而可得函數(shù)的單調(diào)性；

1

（II）結(jié)合（I）的答案判斷得a>0時，存在兩個零點，需/（X）max>0,再結(jié)合/（-）<

e

0,/（苧）=山"苧—（苧）2+。>0,可得函數(shù)在，，亨）上有零點，再求解了（4a）

=aMa-16a2+a=a（歷4〃-16〃+1）,并構(gòu)造新函數(shù)g（力=lnt-4r+l,通過求導(dǎo)判斷單

調(diào)性求解得g（a）max=g（-）<0,從而可得函數(shù)在（摯，4a）上有零點，從而可得a

的取值范圍.

【解答】解：（I）*.*/（x）=alnx-（〃€R）.

：.f'（%）=^-2%（%>0）,

當(dāng)aWO時，/（無）<0在定義域（0,+8）內(nèi)恒成立，因此了（%）在（0,+8）遞減；

當(dāng)。>0時，由/（%）>0,解得0<rV孚；f（x）<0,解得學(xué)，

綜上所述：當(dāng)aWO時，/（%）的單調(diào)減區(qū)間為（0,+8）,無增區(qū)間；

。>0時，/（%）的單調(diào)減區(qū)間為（苧，+8）,增區(qū)間為（0,苧）；

（II）若f（x）有兩個零點，有（I）可知a>0且</（孚），

則必有/（苧）=a）苧—（苧>+a>0,

即"號+1>0,解得a>：,

又因=~~2〈°，f（4。）—aln4a-I6cr+a—a（ln4a-16a+l）,

rR11—4t

BPg(t)=Int—4t+=4a>萬)0g'(t)=——4=--—,

可得g(t)<g(3=Zn1-1+1<0,

也即得g(t)<0在teq，+8)恒成立，

從而可得/(x)在弓，學(xué))，(學(xué)，4a)區(qū)間上各有一個零點，

即實數(shù)a的范圍為弓，+8)時/(x)有兩個零點分別在區(qū)間弓，學(xué))和(學(xué)，4a)上.

【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運算求解能力，屬于中

檔題.

19.(12分)在等差數(shù)列｛斯｝中，13+的+R1=84,17=33.

(I)求數(shù)列｛?！保耐椆?；

(II)若記bk(依N+)為｛而｝中落在區(qū)間(5&科)內(nèi)項的個數(shù)，求｛4｝的前七項和Tk.

【答案】(I)an=5n-2；

1

(II)Tk=壺(52k+1-6x5上+l)(keN+).

【分析】(I)根據(jù)題意，建立關(guān)于首項ai與公差d的方程組，解出ai與d,進而可得

數(shù)列｛礪｝的通項公式；

(II)由(I)的結(jié)論推導(dǎo)出員=52k-i-5kT,從而利用等比數(shù)列的求和公式算出｛法｝

的前上項和以的表達式.

【解答】解：(I)記等差數(shù)列｛所｝的公差為d,

由。3+。4+也=84且幻=33,可得廣】：2+：\+3"+ai+10d=84,解得彳1=3,

所以而=3+(n-1)義5=5〃-2；

(II)對任意"6N+,由5k<an<52與得5y〃-2<5?4整理得5人1+1+|,

故5卜1+1W/W52K1,由此可得瓦=521-51,

根據(jù)｛52卜1｝是以5為首項，公比等于25的等比數(shù)列，且｛5右1｝是以1為首項，公比等于

5的等比數(shù)列，

kk

可得｛4｝的前左項和為