2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測模擬卷（新高考九省聯(lián)考題型）（答案解析版）

決勝2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷06

、旭匕、、九

數(shù)學(xué)

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己

的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知樣本數(shù)據(jù)為玉、巧、毛、“4、尤5、“6、”7,去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來

的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

【答案】C

【解析】樣本數(shù)據(jù)為X］、巧、龍3、*4、%、％6、%7，去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原

來的數(shù)據(jù)相比，假設(shè)從小到大就是從占到馬,極差可能變化，故A錯；

平均數(shù)為1=%+&+；+/+司，可能變，故B錯；

中位數(shù)還是按從小到大排序中間位置的數(shù)，故c正確；

方差為S2=g［（4—元『+（七一元『+（/一元『+（%—元了+（%一元）［，有可能變，故D錯.

故選:C

2.已知全集。=R,集合4國茜足AuCAcB）,則下列關(guān)系一定正確的是（）

AA=BB.BaAC.Ac（CuB）=0D.（GA）cB=0

【答案】C

【解析】因為集合4蹣足B）,故可得A18,

對A：當(dāng)A為8的真子集時，不成立；

對B：當(dāng)A為8的真子集時，也不成立；

對C：Ac（q3）=0，恒成立；

對D：當(dāng)A為B的真子集時，不成立；

故選：C.

3.p:m=2,q:（mx+y）5展開式中一丁項的系數(shù)等于40,則。是口的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】（如+y）5的展開式中含了2y3項為C；（mx）2y3=C；根2%2y3,

故C1m2=40,解得m=±2,

故“9=2”是"機=±2”的充分不必要條件.

故選：A

4.若cos[]+2ci!1—4sin2（z=—2,則tan2a=（）

11

A.-2B.——C.2D.：

22

【答案】C

【解析】由cos1]+2a]-4sin2a=-2,得-sin2o-dsin?。：—2，

2

B2sincrcoscr+4sina。日2tana+4tan2a

即------2-------2-----=2,即----------------=2,

sin6Z+cosatancr+1

所以2tancr+4tan2。=Ztan?。+2，所以tana=1-tan2a,

2tan。

則tan2a==2

1-tan2a

故選：C.

5.在平面直角坐標(biāo)系x%中，已知向量Q4與08關(guān)于解由對稱，向量a=（0,1）,若滿足

Q^+a.MuO的點力的軌跡為反貝I（）

A.娓一條垂直于荔由的直線B.￡是一個半徑為1的圓

C.五是兩條平行直線D.E是橢圓

【答案】B

【解析】設(shè)A（x,y）,由題有。4=（x,y）,OB=（x,-y）,

所以5（x,-y）,AB=（O,-2y）,

所以O(shè)A2+a-AB=x2+y2_2y=0,即尤2+（y_l）2=],

所以點A（x,y）的集合是以（0,1）為圓心，1為半徑的圓.

其軌跡E為半徑為1的圓，

故選：B.

6.夾彈珠游戲是兒童特別喜歡的游戲，夾彈珠能有效提高參與者的注意力與協(xié)調(diào)性，調(diào)整邏輯思維判

斷和空間控制平衡能力，鍛煉小肌肉，增強手眼協(xié)調(diào)，培養(yǎng)敏捷的反應(yīng)能力，從而提高參與者的適應(yīng)

能力.如圖，三個半徑都是6cm的玻璃彈珠放在一個半球面形狀的容器（不計厚度）中，每顆彈珠的

頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個容器的表面積（包括容器的內(nèi)部和外部兩部分）是

（）

A,（5+>/5T）7icm2B,2（5+V^l）兀cn?c,4（5+V^l）兀cm?D,8（5+A^T）兀cn?

【答案】D

【解析】。在面。。203上的投影為M，。為大球球心，。|,。2，。3為小球球心?

W=26,。幽4x2人叫S大球半徑為R，

(R-舟=4+3=7,r.R=6+5

二.S表=4兀A?=4兀.00+2⑸)=8兀(5+⑸)，

故選：D.

7.已知函數(shù)/(x)=sin@xcos"+coso%sin。@>0,0<0〈四/(七)=。，/(%2)=1，若

歸―司的最小值為，且/(卜;，則/>(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

71/jJi

A.一+24兀,一兀+24兀,keZB.—兀+2kK,—F2ATT，左￡Z

6666

377177c71-2.

C.----71+kll,---FKJl，攵￡ZD.----F2a7l,—兀+2左71,KGZ

_1212JL33

【答案】B

【解析】因為/'(x)=sina>xcos0+cos0jtsine=sin(<?x+0),

又〃N)=0,f(%2)=1,且|與一目的最小值為1~，

所以工=/，即7=2兀，又。>0,所以。=—=1,

42T

所以〃x)=sin(x+0),又/[)=/，所以sin《+e

—,即cos,

TTTL

因為。<°<5，所以°=§

所以/(x)=sin令一工+2kit<x+—<—+2ht%eZ,

232

3兀兀

解得----F2左兀<%<—F2kn,k￡Z,

66

5兀

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為一部+2E,7+2E,keZ.

故選：B

8.已知耳，外是橢圓和雙曲線的公共焦點，P,。是它們的兩個公共點，且尸，送于原點對稱,

27re23e2

NP耳。=三-，若橢圓的離心率為％,雙曲線的離心率為e?,則三、+丁々的最小值是（）

5,I1‘2

A2+6R1+逝「2括n4x/3

3333

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為4,雙曲線的實半軸長為電，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：|+「閭=2q,|P￡|—p閭=24，

2兀

|P/*j|=%+a2,|PF21=—6Z2,設(shè)|耳國=2c,/PF?Q=,

7T

根據(jù)橢圓與雙曲線的對稱性知四邊形尸與。鳥為平行四邊形，則/耳尸鳥=§，

則在△/￥;心中，由余弦定理得，/It?2=("1+"2)+("1一%)-2(q+%)(%-%)cos-J

13

化簡得a；+3a；=402,即方+方=4,

e\e2

(\

13，113-1

nI片3413

1+1++1

貝！Te2+132c—1卜a=1322X

>?2+3_1+1_1+1-4+12+1<eig2J6

e\，2<e\e2>

4+13pr+l]4+13py+i]

=-x4+^—+>-X4+2與—L

64+14+16[113

1二+1-y+1

，“2\，0

=9(4+2⑹=2+3有,

(3Y2373+4

—+1=3+1e.=-------<1

71

-2))11

當(dāng)且僅當(dāng)《「時等號成立,

133__24+9百〉]

—I—

=48-373-37

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為苧，則(

)

2

A.|z|=lB.z+z=lc.z+z+l=oD.z2024

【答案】ACD

【解析】由題可知，z=-1+^i，|Z|=^1J+與=1，故A正確;

z=———^1-i,z+~z=—1>故B錯誤；

22

(16、2

2

z—?—14-4-r1--2―_r1所以z?+z+l=—1+1=0,c正確;

22

、-l^i、

321_V3?+

Z=Z?Z=二1,

2222

\7k7

所以z2024=z2022.z2=z2022.z2=(Z3)674.Z2=Z2=L故D正確.

故選：ACD

2-3

10.設(shè)A,5是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(A)=—,尸(3)=—,尸(A+B)=—,則()

234

1——1

A.P(AB)=—B.P(A5)=-

_i_3

C.P(B\A)=-D.P(A|B)=-

68

【答案】ACD

__11_3_1

【解析】P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+——P(AB)=-,P(AB)=—,故A對.

23412

P(豆)=P(AB)+尸(A耳),|=P(AB)+',P(AB)=~,故B錯.

]

P(回4)=號黑=早=：,故C對.

P(A)，6

2

P(B)=P(AB)+P(A5)=P(AB)+P(A)-P(AB),

=P(AB)+1--,P(AB)=-,P(A|==2故口對

32124P(B)28

3

故選：ACD.

11.已知定義在R上的函數(shù)，a),g(x),其導(dǎo)函數(shù)分別為

f'(x),g'(x),f(l-x)^6-g'(l-x),f(l-x)-g'(l+x)=6,且g(x)+g(-x)=4,

貝()

A.g'(x)的圖象關(guān)于點(0,1)中心對稱B.g'(x+4)=g'(x)

c.r(6)=r(2)D.〃1)+〃3)=12

【答案】BCD

【解析】由題意可得<GlX=6+g%+J兩式相減可得g'(l+x)T(i)①，

所以g'(x)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱，A錯誤：

由g(x)+g(-尤)=4②，②式兩邊對X求導(dǎo)可得g'(x)=g'(—x),可知g'(x)偶函數(shù)，

以1+尤替換①中的x可得g'(2+無)=—g'(一%)=—g'(x),

可得g'(4+x)=-g'(2+x)=g'(x),所以g'(x)是周期為4的周期函數(shù),B正確；

因為/(x)=6—g'(x),可知也是周期為4的周期函數(shù),即〃x+4)=/(x),

兩邊求導(dǎo)可得/'(x+4)=/'(x),所以/'(6)=/'(2),C正確;

因為g"+x)=_g"—x),令x=0,則g'(l)=—g'(l)，即g'⑴=0,

又因為g'(x)是偶函數(shù)，所以g'(-l)=g'(l)=0,

又因為g'(x)是周期為4的周期函數(shù)，則g'(3)=g'(—l)=0,

由……⑺可得慌:::羽二J

所以/。)+/(3)=12,D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.等差數(shù)列｛?！保氖醉棡?,公差不為0,若出，色，46成等比數(shù)列，則｛%｝的前5項的和為

【答案】-15

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d且dwO,且％=1,

因為4,%，生成等比數(shù)列，可得裙=4/，即(l+2d>=(l+d)(l+5d),

即d=—2或〃=0(舍去)，

5x4

所以S5=5xl+《-x(-2)=-15.

故答案為：-15

13.已知圓錐的母線長為2,則當(dāng)圓錐的母線與底面所成的角的余弦值為時，圓錐的體積最

大，最大值為.

【答案】逅；史必萬

327

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑r,母線為高為h,

設(shè)母線與底面所成的角為&（0＜。吟，

y

則cosa=—(0<cos<1),

貝I」r=2cosa，

2

貝U%=Ji一/2__Cosa，

則圓錐的體積為v=g"f./z

=|..(2cosa)2.2Vl-co<?

=—7r\lcos4a—cos6a,

3

令》=＜:（光々（0〈尤＜1）,貝！JV（無

352

令/(x)=尤4-尤6,求導(dǎo)得/(無)=4x-6x=2/(2-3x),

令/。）=。，則兀="或—

舍去）,

3

所以當(dāng)時，/'（尤）＞0,/（x）單調(diào)遞增,

當(dāng)xe,1時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=，5時，/（X）取得極大值，也是最大值.

3

QI------16A/3

此時V（%）=§萬Jx’一工6最大，匕然---71，

27

即圓錐的母線與底面所成的角的余弦值COS0=好

時,

3

圓錐的體積最大，最大值為"

27

故答案為：Y5；—7T.

327

14.在JJBC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若4=2,。=3,853=灰05。,尸,。分別在邊718

和CB上，且R2把的面積分成相等的兩部分，則PQ的最小值為.

【答案】出

A

【解析】

,a2+b2-c-

由cosBb--------------

2aclab

即

>解得b=y/1，

2x2x32x26

27-b24+9-717t」x2x3x與迎

cosn二------二二，B=二，、e

lac2x2x323?MC222

v_36人”_1君_36._3

SPBQ=——FyBP=x,BQ=y—x-y?—=.xy=3,y=—

4ZZ4X

0<x<339

令＜3,得一Wx<3,PQ2=x2+v2-2AycosB=x2+—-3>2V9-3=3,

0<-<22x2

所以當(dāng)且僅當(dāng)/=當(dāng)即x=0時等號成立.

X

故答案為：73.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.為了開展“成功源自習(xí)慣，習(xí)慣來自日?！敝黝}班會活動，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的行為習(xí)慣，提高

學(xué)習(xí)積極性和主動性，在全校學(xué)生中隨機調(diào)查了100名學(xué)生的某年度綜合評價學(xué)習(xí)成績，研究學(xué)習(xí)成

3

績是否與行為習(xí)慣有關(guān).已知在全部100人中隨機抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為《，現(xiàn)按“行

[50,60)、

(1)若規(guī)定學(xué)習(xí)成績不低于80分為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵”，請你根據(jù)已知條件填寫下列2x2列聯(lián)表，并判斷

是否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”；

行為習(xí)慣良好行為習(xí)慣不夠良好總計

學(xué)習(xí)標(biāo)兵

非學(xué)習(xí)標(biāo)兵

總計

（2）現(xiàn)從樣本中學(xué)習(xí)成績低于60分的學(xué)生中隨機抽取2人，記抽到的學(xué)生中“行為習(xí)慣不夠良好”

的人數(shù)為X，求X的分布列和期望.

n(ad-bc\

參考公式與數(shù)據(jù)：/=7------77------77------W------T，其中n=a+b+c+d.

^a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

左）0.1000.0500.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

Q

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有（2）分布列見解析，E（X）=-

3

【解析】（1）已知在全部100人中隨機抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為g,

39

則100名學(xué)生中，行為習(xí)慣良好的有100x1=60人，行為習(xí)慣不夠良好的有100x1=40人.

由頻率分布直方圖可知，行為習(xí)慣良好組中不低于80分的學(xué)生有（0.025+0.045）x10x60=42人,

行為習(xí)慣不夠良好組中不低于80分的學(xué)生有（0.010+0.030）x10x40=16人

則2x2列聯(lián)表為：

行為習(xí)慣良好行習(xí)慣不夠良好總計

學(xué)習(xí)標(biāo)兵421658

非學(xué)習(xí)標(biāo)兵182442

總計6040100

/=100(42x24—18x16)-=1800工8867,網(wǎng)/>6.635)=0.01,

60x40x42x58203

因為8.867>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”.

（2）行為習(xí)慣良好組中低于60分的學(xué)生有0.005x10x60=3人，

行為習(xí)慣不夠良好組中低于60分的學(xué)生有0.010x10x40=4人，則X的可能值為0、1、2,

22

P(X=0)=3C°C=L1P(X=1)=02101=4±p(x=2)=*CC°，?.

I，C；7'，C；7'，C；7

X的分布列為:

X012

j_42

P

777

iA2S

期望￡(X)=Ox—+lx—+2x—=—

v77777

12

16.已知/(%)=lnx+—%-ax(aeR).

1、1

(1)若/(x)<—/—_在［1,+8)恒成立，求a的范圍；

22x

(2)若/(%)有兩個極值點s,t,求/⑺+/(s)的取值范圍.

【答案】(1)[-,+oo)(2)(-oo,-3)

2

1X21

【解析】(1)由函數(shù)/(%)=ln%+—%9-辦,因為/(%)?-------在口,8)上恒成立,

222x

口r、In%

即Q2----F在［1,+。。)恒成立,

X

人一、Inx1-、x-xlnx-1

令h(x)=----1---Z-，可得"(x)=-----；----,

x2xx

令％(x)=%—xlnx—1,可得，'(％)=—In%V0,

所以心)在[1,+8)單調(diào)遞減,所以t(X)<t(l)=0,

所以“(x)W0恒成立，所以M無)在［1,+8)單調(diào)遞減，所以以為而=//⑴=g,

所以所以實數(shù)。的取值范圍為已,+8).

22

(2)因為/(x)有兩個極值點取，

可得s,t是/(x)=-+x-a="+1=0的兩不等正根，

XX

A=a2-4>0

即s,t是V—依+1=0的兩不等正根，則滿足s+t=a>0,解得〃>2,

st=\

11

則/?)+/(s)=lnt+lns+—/9+5s~-a(t+s)=ln(sf)H—Q+s)~—ts—a(t+s')

—ln(sf)+5Q+S)——ts—a(/+s)=一萬礦—1<—一1=一3，

所以/(t)+/(s)的取值范圍為(—8,—3).

17.如圖，在三棱錐A—BCD中，_ABC和△BCD都是正三角形，￡是8c的中點，點〃滿足

DF=2E4(2^0).

A

F

C

（1）求證：平面平面ADF；

（2）若|AD|=|8C|=2百，且6尸〃平面ACD,求。尸的長.

【答案】（1）證明見解析（2）6

【解析】（1）如圖，連接。E，因為。尸=/胡，所以。尸〃AE.所以4E,D,硒點共面.

因為在三棱錐A—BCD中，_ABC和△5CD都是正三角形，庭BC的中點，

所以AEL3C,DE1BC.因為AE,OEu平面ADR，AEDE=E,所以BC1平面ADR,

又BCu平面ABC,所以平面A3C1平面AD7L

（2）如圖，記△BCD的中心為。，連接04,由（1）得A01BC.同理可證AOJ_CD,

且3CcCD=C，所以AO,平面BCD,以防坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因為△BCD是正三角形，忸。|=26，所以|。4=2,|。同=1,|。4|=20.

所以A（O,O,20）,C（A-1,O）,0（0,2,0）,E（0,-l,0）.

所以C4=b后1,20）,CD=（-73,3,0）.

/、n-CA=0-A/3X+y+2>/2z=0

設(shè)平面ACO的一個法向量為"=（九,、z）,則＜即《

n-CD=0_^%+3y=0

令y=6,貝!）%=痛，z=l,所以〃=.

因為EA=（O,1,20）,BD=（A/3,3,0）,

所以6尸=80+￡>b=60+/1￡>1=（出,3,0）+4（。,1,2&）=（百,彳+3,2應(yīng)4）.

因為BE〃平面ACO,所以〃.3尸=0，

即&xn+（4+3）血+204=0,解得;l=—2,

此時,目=2|EA|=6.故加的長為6.

z

18.已知拋物線C:y2=4x的焦點為EZXPQR各頂點均在C上，且PF+Q，+R/=0.

（1）證明：/是，PQR的重心；

（2）.PQR能否是等邊三角形？并說明理由；

（3）若P,。均在第一象限，且直線尸。的斜率為亙，求，PQR的面積.

3

【答案】（1）證明見解析（2）不肯能，理由見解析（3）土巫

98

【解析】（1）設(shè)PQ的中點為M,。尺的中點為N,

因為PF+QF+RF=0,所以FP+RQ=2FM=尺/，

又歹為公共端點，所以三點共線，

同理可得2FN=Pk，又尸為公共端點，所以￡N,尸三點共線，

所以RM,PN是.PQR的兩條中線，

所以歹是，PQR的重心；

⑵由題意尸（1,0）,設(shè)。&,另）,。（9,%），我（不，%），

則PF=（1—石，yJ,QF=（l—%，%），所=?！?，％），

由P77+。/+R77=0,可得%+%+￡=3,X+%+%=°，

由拋物線的定義可得|尸司=玉+1,|。同=9+1,|尺目=%+L

若dPQR是等邊三角形,則由⑴知|尸尸|=|。同=|RF|,

由|「尸|=|Q尸］，可得不=々，

又因P,。不重合，所以必=一%工0，

所以為=—（乂+%）=0，

3

所以冗3=0,%=%2=/，7?（0,0）,

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故I尸耳=依尸|=:+1=:/忸9=1,這與忸同=1