廣東省廣州市2023-2024學年高三年級下冊零模（3月月考）數學試題（含答案解析）

廣東省廣州市白云中學2023-2024學年高三下學期零模（3

月月考）數學試題

學校:.姓名:班級:考號:

一、單選題

1.若角C的終邊過點(3,1),則sin(a+￡7T=()

口3屈「Vw7

D.--------V-?-----

A?嚕1010

言則z；=（）

2.已知i為虛數單位，若2=

A.V2B.2C.-2iD.2i

3.若集合/={x|nx>l,xeN*},集合2=/-6芯-7<0,則/c5的子集個數為（）

A.16B.15C.32D.31

logX,X>1

4.已知函數/（x）=（2：-l）x+4“xWl在R上為減函數，則實數。的取值范圍是（）

°4,

A.B.

1

C.—,+00D.

66?2

5.已知Z花是夾角為120。的兩個單位向量，若向量"+定在向量￡上的投影向量為力,

則％=()

「2GD.與

A.-2B.2L?-------

3

6.已知某圓臺的上、下底面半徑分別為小馬，且弓=2不若半徑為2的球與圓臺的上、

下底面及側面均相切，則該圓臺的體積為（）

28兀40兀56兀112兀

A.-----B.-----C.D.------

3333

7.由0,2,4組成可重復數字的自然數，按從小到大的順序排成的數列記為｛為｝,即

%=0,“2=2,%=4,…，若%=2024,貝!]〃=()

A.34B.33C.32D.30

22

8.已知雙曲線￡1:1-4=1（°>0,6>0）的左、右焦點分別為耳，匕，過點鳥的直線與

ab

雙曲線E的右支交于45兩點，若同=b月|,且雙曲線E的離心率為血，則

cos/BAF、=()

試卷第1頁，共4頁

]_

B.C.D.

488

二、多選題

9.“體育強則中國強，國運興則體育興”.為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運會，已知運動員甲特

訓的成績分別為：9,12,8,16,16,18,20,16,12,13,則這組數據的（）

A.眾數為12B.平均數為14C.中位數為14.5D.第85百分位數

為16

10.已知等差數列｛4｝的首項％=2,公差d=8,在｛4｝中每相鄰兩項之間都插入左個

數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列｛a｝,以下說法正確的是（）

A.%=8〃-6

B.當左=3時，bn=2n

C.當k=3時，砥不是數列｛%｝中的項

D.若為是數列｛。,｝中的項，則上的值可能為7

11.如圖，八面體Q的每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點8C,D,E在同一

個平面內.若點M在四邊形8cDE內（包含邊界）運動，N為4E的中點，則（）

TT

A.當〃■為。E的中點時，異面直線與C尸所成角為w

B.當兒W//平面/CD時，點M的軌跡長度為28

C.當1時，點M到3c的距離可能為百

D.存在一個體積為三兀的圓柱體可整體放入。內

三、填空題

12.若函數〃x）=sin（ox+0）1>O,|d<］的最小正周期為兀，其圖象關于點（g,0

中心對稱，則夕=.

試卷第2頁，共4頁

13.已知隨機變量X?N（0,b2）,且尸（XVO）=a,貝的展開式中常數項

為.

14.已知函數函a）=。（工一石）（工-%）（4-￡）（。>0），設曲線了=/（x）在點（巧,/（%））處

切線的斜率為左1=1,2,3）,若玉,乙,%均不相等，且左2=-2,則匕+4%的最小值

為.

四、解答題

15.設5“為數列｛七｝的前〃項和，已知電=4,S4=20,且，｝，為等差數列.

⑴求證：數列｛g｝為等差數列；

⑵若數列出｝滿足4=6,且智=+，設（為數列｛2｝的前〃項和，集合

°nan+2

M=｛r?|T?eN'）,求W（用列舉法表示）.

16.多巴胺是一種神經傳導物質，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭

是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風格，通過色彩艷麗的時裝調動正面的情緒，是

一種“積極化的聯想”.小李同學緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍色兩

種顏色中選擇，用“抽小球”的方式決定衣物顏色，現有一個箱子，里面裝有質地、大小

一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當天穿紅

色，否則穿藍色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學選擇了紅色，再選連

衣裙的可能性為0.6,而選擇了藍色后，再選連衣裙的可能性為05

（1）寫出小李同學抽到紅球個數的分布列及期望；

（2）求小李同學當天穿連衣裙的概率.

17.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，四邊形48CD是菱形，平面48a>/平面P/D,點

M在。P上，且。河=2〃？,40=/尸,/尸40=120°.

（1）求證：5。1平面/CM；

⑵若ZADC=60°，求平面ACM與平面ABP夾角的余弦值.

試卷第3頁，共4頁

18.已知函數/(x)=a(x-1)產|-Zxlnx-x?(aeR).

⑴當a=0時，求函數〃x)在區(qū)間［r,1］上的最小值；

(2)討論函數的極值點個數；

(3)當函數/(x)無極值點時，求證：asin—>^.

2a兀

2

19.已知動點P與定點，(九0)的距離和尸到定直線x=上的距離的比為常數二.其中

m〃

m>0,?>0,且加記點尸的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程，并說明軌跡的形狀；

⑵設點8(-?0),若曲線。上兩動點均在無軸上方，AM//BN,且/N與血相

交于點。.

L11

①當a=2后,〃=4時，求證：面彳+/M的值及A/8。的周長均為定值；

②當加>〃時，記A/30的面積為S,其內切圓半徑為?試探究是否存在常數X,使得

S=恒成立？若存在，求2(用見"表示)；若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據給定條件，利用三角函數定義結合誘導公式求解即得.

【詳解】角。的終邊過點(3,1),則/=乒丁=而，

福卜1?/兀、33^/10

所以sm(a+—)=cosa=—=-------.

2r10

故選：A

2.B

【分析】由復數的運算及共物復數的定義即可求出結果.

【詳解】因為z二丁一二L^7T=f=l+i,所以亍=1—i,

l+i(l+i)-(l-i)2

z-z=(l+i)-(l-i)=2.

故選：B.

3.A

【分析】解對數不等式和一元二次不等式可得集合48,利用交集運算計算進而可

得子集個數.

【詳解】對于集合/={引lnx〉l,%￡N*}可得lnx〉l=lne,解得X>e,

所以/={x|x>e,x￡N*},

對于集合5={%|/_6%_7<0}可得/_6%_7<0,解得—1<%<7,

所以8={巾l<x<7},

所以/c3={3,4,5,6},故/c8的子集個數為24=16.

故選:A.

4.D

【分析】根據分段函數單調性以及對數函數性質列式求解.

0<tz<l

【詳解】由題意可得：2a-l<0,解得:

6a-l>01'

所以實數0的取值范圍是

o2J

答案第1頁，共18頁

故選：D.

5.A

【分析】由投影向量計算公式可得答案.

（a+Xb\a（a+Ab]-a

【詳解】￡+宓在向量Z上的投影向量為‘-==2.

同同

n+?萬二|同之+2|3|-|ft|cosl20°=1一;/l=2n/l=—2.

故選：A

6.C

【分析】根據圓臺的軸截面圖，結合圓臺和球的結構特征求解不與，然后代入圓臺體積公式

求解即可.

【詳解】如圖，

設圓臺上、下底面圓心分別為。1，。2，則圓臺內切球的球心。一定在。1。2的中點處，

設球。與母線切于M點，所以。所以（W=OQ==2,

所以△/O。]與“。憶全等，所以4A1=0，同理所以/3=彳+弓=3勺

過4作垂足為G,則5G=G—4=G，/G=O02=4,

所以4G2=4^2—5G2,所以16=（3q『一片=防2,所以q=也，所以弓=2萬，

所以該圓臺的體積為，2兀+8兀+4兀）x4=等.

故選：C

7.B

【分析】由題意可知一位自然數有3個，兩位自然數有6個，三位自然數有18個，利用列

舉法列出符合題意得自然數，即可求解.

【詳解】由0,2,4組成可重復數字的自然數，按從小到大的順序排成數列{%},

答案第2頁，共18頁

則一位自然數有3個，兩位自然數有32-3=6個，

三位自然數有3:9=18個，四位自然數有3"-27=54個，

又四位自然數為2000,2002,2004,2020,2022,2024,???

2024為四位自然數中的第6個，所以“=3+6+18+6=33.

故選：B

8.D

【分析】由雙曲線的定義結合已知條件求得忸閶=2。，從而再得忸用=4°,由余弦定理求

得cos用耳,由誘導公式得cosUg耳，設|/閭=加，則以耳|=加+2。，再由余弦定理求

2

得加=§*從而利用余弦定理求解即可.

【詳解】因為雙曲線E的離心率為后，所以c=?a，因為|/同=|/耳

所以怛閶=|/邳一|2閶=|/耳|一|/閭=2°,由雙曲線的定義可得忸耳|一|陷|=|明卜2a=2°,

所以忸團=4a=2忸引,

忸q+閨可-跖「4^+8^-jW__V|

在△明心中,由余弦定理得cosNBg片=

2此IM/I2義2。x26a4

在△/片鳥中，cosZF{F2A=-cosAFXF2B=＞設M月|=加，則M4|=加+2〃，

由M周2=閨聞2+恒閭2—2閨周恒用cosN耳％4得

62

(2a+m)2=(2V2tz)2+m2-2-141a-m-,解得冽=§Q,所以

64tz264a2i,

------+---------16。2

AF+AB2BF￡

所b以rcosZBAF,=J\―X―\1--------!—\LX:99

八8。8。

2\AF^AB\2x——x——8

33

答案第3頁，共18頁

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是利用cosN片工/=-cos/片工8,結合余弦定理與

雙曲線的定義，從而得解.

9.BC

【分析】由眾數，中位數，平均數，第百分位數的定義求出即可.

【詳解】成績從小到大排列為：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20.

A：出現次數最多的數為16,故A錯誤；

B：平均數=5（8+9+12+12+13+16+16+16+18+20）=14,故B正確；

C：中位數為：上等=14.5,故C正確；

D：第85百分位數為第10x0.85=8.5,即第9位，為18,故D錯誤；

故選：BC.

10.ABD

【分析】求出通項判斷A；求出公差、通項判斷BC；探討數列｛6｝與｛，｝的下標關系判斷

D.

【詳解】對于A,由題意得見=2+8（〃-1）=8〃-6,A正確；

1A

對于B,新數列的首項為2,公差為又廣=2,故6.=2+2（〃-1）=2〃，B正確；

對于C,由B選項知砥=58,令8"-6=58,則〃=8,即砥是數列｛0｝的第8項，C錯誤;

對于D,插入方個數，則%=="+2,。3=33,%=4k+4,…,

則等差數列｛%｝中的項在新的等差數列｛，｝中對應的下標是以1為首項，發(fā)+1為公差的等差

數列，

于是g=4+（"-1）伯+1），而4是數列｛%｝的項，令1+（〃-9優(yōu)+1）=9,當左=7時，〃=2,D正

確.

故選：ABD

11.ACD

【分析】對于AC：建立空間直角坐標系計算求解；對于B：過N作面/CD的平行平面，

進而可得點”的軌跡；對于D：由于圖形的對稱性，我們可以先分析正四棱錐/-BCDE內

接最大圓柱的體積，表示出體積，然后利用導數求其最值即可.

答案第4頁，共18頁

【詳解】對于A,因為BCDE為正方形，如圖，連接5。與CE,相交于點。，連接04,

則兩兩垂直，故以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則D(2四,0,0)，網-2@,0,0),￡(0,2^0)C。-240)/(),0,240,-2行),

N為NE的中點，則N(0,五碼，

當M為DE的中點時，M(V2,V2,0),A^V=(-^0,^\CF=@2&-26)，

設異面直線龍W與CF所成角為。，

則c°se=1c°s＜疝"故"會故A正確;

對于B,如圖，設尸為OE的中點，N為4E的中點,

則PN//4),/Ou平面/CD,PN仁平面/CD,

則PN//平面/CD,又ACV//平面/CD,又MNcPN=N,設。eBC,

故平面跖VP〃平面/CD,平面NCDCl平面BCZ)E=CD,平面MVPI平面2cDE=P。，

則尸?！–D,則。為6c的中點，點M在四邊形8cDE內(包含邊界)運動，則MeP0,

點"的軌跡是過點。與。平行的線段尸。，長度為4,故B錯誤；

對于C,當時，^M{x,0),MA=(-x,-y,272),ME=(-x,272-0),

MA-ME^x2+y(y-242)^0,得/+/_2。=0,即Y+(尸后=2,

答案第5頁，共18頁

即點M的軌跡以OE中點K為圓心，半徑為亞的圓在四邊BCDE內（包含邊界）的一段弧

（如下圖）,

K到BC的距離為3,弧上的點到BC的距離最小值為3-收，

因為3-收＜6，所以存在點〃■到3c的距離為百，故C正確;

對于D,如圖，由于圖形的對稱性，我們可以先分析正四棱錐/-3CDE內接最大圓柱的體

設圓柱底面半徑為「，IWJ為〃，尸為DE的中點，。為的中點，PQ=4,AO=2血,

根據△ZGHS^NOP,得空=空,即2=拽二,〃=忘（2--），

OPAO22V2

則圓柱體積/=兀尸2〃=拒兀尸2Q一升），

設廠（尸）二后兀（》2_尸3）（0＜/＜2）,求導得『（〃）=0兀（4r一3/）,

44

令廣⑺=0得，或尸=0,因為0〈尸＜2,所以廠=0舍去，即〃=;,

33

44

所以當o〈/〈—時，r（r）＞o,當—＜2時，r（r）＜o,

33

即當r=g時，曦、”《）=等兀，

JD//

則32?_5K_（32＞/2-45）7t_（J2048--025）元〉。

'273-27-27'

所以必叵＞2,

273

故存在一個體積為岸的圓柱體可整體放入。內，故D正確.

故選：ACD.

答案第6頁，共18頁

71

12.

3

【分析】由三角函數的周期公式求出口=2,再由正弦型函數的對稱中心即可求出。.

27r

【詳解】由7=同=兀（。>°）得，。=2,所以/（x）=sin（2x+0）,

又/（x）=sin（2x+9）的圖象關于點中心對稱，

所以+（p=kit,keZ,解得（p=——+kit,keZ,又閘<弓，

IT

所以，k=\,（p=--.

故答案為：-三

c15

13.—

4

【分析】由正態(tài)分布求出參數后再利用二項式定理計算即可.

【詳解】由題意得隨機變量X?N（0,b2）服從正態(tài)分布，且尸（XV0）=a,由〃=0,所以

15

的常數項,由二項式定理得常數項為C；

4

14.18

【分析】求出函數的導數,可得勺（i=1,2,3）的表達式，由此化簡推出《+；=；,結合e=-2

說明尢〉0，&>0,繼而利用基本不等式，即可求得答案.

【詳解】由于/（X）=Q（X—項）（工一工2）（%—%3）（?！?。），

故/'（X）=q［（x-4）（x一毛）+（X一毛）（X一%）X1一%）（X—q，

故后1=〃（石一工2）（項一%3）,后2=a（%2—%3乂%2-石）,無3=〃（%3一玉）（%3一馬），

111111

貝I1---------1-~-----------------------------rH—-----------歹------rH：-----y-------------r

、k［k2k34（玉一工2）（再一工3）4％2一工2一X）《％3—勾（工3一過

二（％一迎）+（網_￡）+卜一占）=0

a（X1-x2）（x2-x}）（x3-X］）

111

由左2=-2,得廠+廠=5,

%k32

答案第7頁，共18頁

由左2=-2,即左2=a(%2—X3)(x2-再)＜0，知才2位于再，%3之間，

不妨設芭＜%2＜%3，貝U左＞0,左3〉。，

左1_4k3

k,k

當且僅當；]y]即自=6,右=3時等號成立,

—I—=—

左k32

故則占+44的最小值為18,

故答案為：18

【點睛】關鍵點睛：本題考查了導數的幾何意義以及不等式求最值的應用，解答的關鍵是利

用導數的表達式推出：+：=；,并說明左＞0,質＞0,然后利用基本不等式求最值即可.

15.(1)證明見解析

⑵八｛6,8,9,10,11｝

【分析】(1)設等差數列，｝，的公差為d,由題意可得每+34=5、H+2d=4,解得

H=2,d=l,結合%=S"-S.T求得?！?2〃(”eN*),即可證明；

bnT12._,11/、T*\

⑵由(1)可得^=-根據累乘法可得〃=不小=12(———x)?eN,結合裂

項相消求和法計算即可求解.

【詳解】(1)設等差數列［顯］的公差為力貝!|自=1+3］，即5+3d=5,①

InJ41

因為邑=%+g=H+4,所以由2=*+4,得1+24=4.②

C

由①、②解得，=2,4=1,所以'=〃+1,即s“=〃e+i),

n

當“22時，an=S“_S"_1+=,

當”=1時，%=S］=2,上式也成立，所以.”=2"6eN"),

所以數列｛g｝是等差數列.

答案第8頁，共18頁

（2）由（1）可知?=2nn

a2〃+4n+2

b“n+2

b.,n—\n-212

當“22時，—?bx=-----x-------xx—x6=

b

如?-2bxn+1n3

1211

因為4=6滿足上式，所以“=而可=12（丁v1M〃eN）

7"=12］［一口+《一口+…+］卜曰卜12*1一1=12-普,

1o

因為當言eN*時，"=1,2,3,5,11,所以M={6,8,9,10,11}.

O

16.（1）分布列見解析，-

【分析】（1）根據超幾何分布求出P（X=4）,P（X=3）,P（X=2）的概率，列出分布列，求出數學

期望即可；

（2）設/表示穿紅色衣物，則7表示穿藍色衣物，2表示穿連衣裙，則石表示穿套裝.求出

尸（4）,尸⑶，尸（同⑷,尸倒力，結合條件概率和尸（8）=P（5⑷P（/）+P（s?。┯嬎慵纯?/p>

求解.

【詳解】（1）設抽到紅球的個數為X,則X的取值可能為4,3,2,

4C3cl

C18C2C22

P（X=4）=苻網》=3）=h=

1515

所以X的分布列為:

X432

182

P

15155

故￡（X）=4x-'-+3

（2）設/表示穿紅色衣物，則］表示穿藍色衣物，2表示穿連衣裙，則》表示穿套裝.

1oq

因為穿紅色衣物的概率為尸（4）=尸（》=4）+*>=3）=石+石=丁

則穿藍色衣物的概率為尸⑸=P（X=2）=|,

穿紅色連衣裙的概率為尸（即）=0.6=|,穿藍色連衣裙的概率為P（2岡=0.5=；,

答案第9頁，共18頁

則當天穿連衣裙的概率為尸（8）=尸（即）尸⑷+尸,岡尸⑷=；x；+；x1=*

JJ。

所以小李同學當天穿連衣裙的概率為K.

17.（1）證明見解析

⑵g

【分析】（1）由余弦定理結合勾股定理逆定理可得血伍，AD,后結合平面/BCD工平面PAD,

可得M4lBD,后結合/C/可得結論；

（2）由（1）結合題意建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面/CM與平面N3尸的

法向量，即可得答案.

【詳解】（1）不妨設AD=AP=3j;NPAD=l2Qo,DM=2MF,

DP=3?DM=243,PM=百，

由余弦定理得AM=yjAP2+MP2-2AP.MPcos30°=6，

在LADM中，AD2+AM2=DM2MA1AD,

平面ABCD工平面PAD,平面ABCDc平面PAD=AD,MAu平面PAD,

：.MAV^ABCD.

QBDu平面，

???四邊形/BCD是菱形，，/C_L8。，

又?.?/CnM4=A,且/Cu平面/CW,M4u平面/CA/,;.8Z）_L平面/CM.

（2）在平面/BCD內，過點3作ND的垂線，垂足為N,

平面ABCD7,平面PAD,平面ABCDc平面PAD=AD,

又；四邊形48cZ）是菱形，ZADC=60°,ZBDA=30°,

△4CD,AABC均為等邊三角形，

以點N為坐標原點，/。，/可及過點/平行于NB的直線分別為x,八z軸，

建立空間直角坐標系（如圖），

則/（0,0,0）,8--（3,0,0）,P-g,3：,0,

由（1）BD/平面ZCM,

答案第10頁，共18頁

—?93j3

BD=為平面/CW的一個法向量,

設平面ABP的法向量為加=(XJ,Z),

'3373n

AB-m=0,22

則一即

AP-m=0,33A/3N

[22

I373IV5

令尤=百，可得成=(百,1,1),?■?|cos5D,m|

|島國

35

???平面/CM與平面/8P的夾角的余弦值為好.

18.(1)-1

(2)答案見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)對〃x)=-2xhM72求導，構造函數后再求導，由二次導數得到g(x)在［底,1］

上單調遞減，再由零點存在定理確定/(x)的最小值.

(2)求導后令/'何=0得”=2叫：：+1),再利用換元法設lnx+x+l=/,得到。=當

ee

構造函數/?")=?,利用導數分析其單調性和極值，畫出圖像，再由方程〃?)=“根的個數

e

討論函數零點的個數.

(3)先證明當時，^手，構造函數"3=手［｛0,；］|,求導后分析單

調性得到最小值〃(6>"］￡|=乎可證明之；再由(2)知，當函數“X)無極值點時，

答案第11頁，共18頁

貝取最小值取x=1,則有2qsin，>迪，即可證明.

【詳解】(1)當。=0時，f(x)=-2xlwc-x2,

則廠(x)=-211.Inx+x?—-2x=-2(inx+x+1),

令g(x)=/'(x),貝1］8。)=-21；+”,

因為所以g<x)<0.則g(x)在［e-11］上單調遞減，

又因為/'(婷)=2(1--2)>0/(1)=7<0,

所以叫使得/(x0)=0,〃x)在(J,%)上單調遞增，在伉,1)上單調遞減.

因此，“X)在［底,1］上的最小值是/(J)與/⑴兩者中的最小者.

因為/(I?)=4-2_e-4=e-2(4-1?)>0JQ)=-1,

所以函數/(x)在［e-2,1］上的最小值為

(2)/'(x)=-ex+1+(x-1)ex+1J-2f1-Inx+x?—-2x=axex+1-2(inx+x+1),

由;■'(x)=0,解得，=2(1-：：+D=2(l弋：+l),

易知函數>=向+、+1在(0,+e)上單調遞增，且值域為R,

令lnx+x+l=z,由/'(x)=0,解得。=工，

e

設/)=當則/⑺=4口，

ee

因為當f<1時，/7'(。>0,當t>l時，〃⑺<0,所以函數力⑺在(-8,1)上單調遞增，在(1,+℃)

上單調遞減.

/22

根據刀⑴=一/—-00時，/?(x)T-co,lim//(f)=lim—=0,

得〃(/)的大致圖像如圖所示.

答案第12頁，共18頁

(i)當。＞|時，方程力(/)=。無解，即/'(X)無零點，/(無)沒有極值點；

(ii)當&=：時，/'(》)=26映+*-2(&+尤+1),

設m(x)=e、-x-l(xNO),貝！(尤)=e'l,令e*-lNOnxNO,

則m(x)在［0,+司上時單調遞增函數，即x+1,

得/'(x)Z2(ln_Y+x+l)-2(lnx+x+l)=0,此時/(尤)沒有極值點；

(iii)當0＜。＜；時，方程有兩個解，即/'(X)有兩個零點，/(無)有兩個極值點；

(iv)當aWO時，方程力?)=。有一個解，即尸(x)有一個零點，“X)有一個極值點.

綜上，當aVO時，/⑺有一個極值點；當0＜。＜;時，〃尤)有兩個極值點；當。時，“X)

沒有極值點.

(3)先證明當xe0,十時，吧±＞壬.

14Jx兀

設〃(力手心“"，則小”回『吧，

記P(x)=xcosx-sinx］x,貝ljp'(x)=1-cosx+%?(

-sinx)-cosx=-xsinx<0,p(x)在

(0卷］上單調遞減，

當xe(0,1］時，p(x)＜p(0)=0,n'(x)＜0,則在］上單調遞減，馬廷,

答案第13頁，共18頁

即當xe］。：］時，不等式照>迪成立.

I4；X71

由⑵知，當函數/(x)無極值點時，?>-,則

e2。44

在不等式包竺〉迪中，取x=；,則有2asin，>迪，

x7i2a2。兀

即不等式asin-1-〉正成立.

2a71

【點睛】關鍵點點睛：

(1)求函數在給定區(qū)間上的最值時，通常求導，利用導數的單調性分析最值，若在給定區(qū)

間上不是單調的，常用零點存在定理分析其單調性，再比較區(qū)間的端點值找到最值.

(2)討論函數的極值點個數值，通常轉化為分離參數，轉化為兩函數圖像交點的個數或兩

函數相等時方程根的個數問題用導數分析其單調性，求最值，再數形結合分析交點個數或

方程根個數.

(3)證明不等式成立問題時可采用構造函數，找到不等式一邊的最小值大于另一邊，或最

大值小于另一邊，即函數不等式恒成立問題.

19.(1)答案見解析

(2)①證明見解析；②存在；A=(W+Z?)2

2n

22

【分析】(1)設尸(尤)),由題意可得「+_J=1，結合橢圓、雙曲線的標準方程即可

nn-m

求解；

(2)設點必),N(》2,%),"(%,力),其中乂>0,%>0且退=-孫%=-%.

(i)由/M//BN可知監(jiān)4”三點共且忸=設JW'：x=ty+2y/2,聯立C的方

_11

程，利用韋達定理表示乂+%,乂%，進而表示出+而I，結合(1)化簡計算即可；由

\AJV1\D1\

,,(8—MM).忸N|I1(8一|5N|)?bM

橢圓的定義，由/M//TN得忸0JLi，AQ-ILiLI>進而表示出

\AQ\+\BQ\,化簡計算即可；(ii)由⑴可知M4”三點共線，且忸N|=|4W［,設MM\

尤=57+加，聯立C的方程，利用韋達定理表示乂計算化簡可得

112〃

―2,結合由內切圓性質計算即可求解.

\AM\\BN\m—n

答案第14頁，共18頁

］（%一加）2+/m

【詳解】（1）設點尸（尤/）,由題意可知U一—工，

X---

m

BP（x-m）2+y2=x-,

22

經化簡，得。的方程為F=l,

nn—m

當機<〃時，曲線C是焦點在X軸上的橢圓；

當時，曲線C是焦點在x軸上的雙曲線.

（2）設點M（X］，M）,N（X2/2），M'（X3，%）,其中%>0,%>0且x,=-％,%=-%，

22

⑴由（1）可知C的方程為標+'=1,/（20,0）,3（-2幾0）,

因為AMUBN,所以￡石=匚需==為二匚為’

因此，M,A,M'三點共線,且忸N|=卜+20+/=卜「20+⑶2）匕1,

（法一）設直線的方程為x=卬+2后，聯立C的方程，得（/+2）必+46>-8=0,

則乂+%=_/2乂％=--^―>

13t2+23/+2

27216IV2lDAr,.彳“,|“6

D口J利|40|=丁X「募rp2%1?|1"1尸

卜加+卜一豹（

11\AM\+\BN\

AM,網

\\’—“一J

4一也，叫

4“--血,5+%、）21〃+2,

答案第15頁，共18頁

11_11_2+V2cos^2-A/2COS^_

所以|4W|+網一一4+4一

11

所以國+的為定值L

由橢圓定義忸。|+|。徵+1兒創(chuàng)=8,得|。叫=8-忸q-|/叫,

\AM\12M8-幽-［wI

AM/1BN,:.\~

忸M

（8-|/叫）.網(8-忸MblW

解得忸0|=同理可得|/。|=

\AM\+\BN\\AM\+\BN\

(8-忸(8-\AM1)mI8卜/N1)-2.1柳|

所以|40|+BQ|=

\AM\+\BN\\AM|+即I-\i.M\r^N\

=8----j--—j—=8—2=6

----------1---------.

\AM\忸N|

因為|/用=4近，所以“80的周長為定值6+4收.

22

（ii）當加〉〃時，曲線C的方程為鼻--二^=1，軌跡為雙曲線,

nm—n

根據⑴的證明，同理可得監(jiān)4”三點共線，且忸=

（法一）設直線2W的方程為尤=sy+%,聯立C的方程,