九師聯(lián)盟2024屆高三質(zhì)量檢測(cè)鞏固卷1月數(shù)學(xué)試卷及答案

高二數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)集合人聞幅…},嗎i2V0},則（j

A.（—8,2）B.（-1,0]C.（-1,2）D.[-l50]U[l,2]

2.已知復(fù)數(shù)4=1—i,Z2=a+i,若句立2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

3.函數(shù)/（X）=丑冷的圖象大致為（）

4.已知a,尸是空間兩個(gè)不同的平面，加,〃是空間兩條不同的直線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若加//a,nilP,且加〃〃，則?！??

B.若加//a,nilP,且加_L〃，則。_1_6

C.若加_La,nlip,且加_L〃，則。_L￡

D.若加_La,〃_!_/?,且加_L〃，則。_1_夕

5.已知角。的始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,G），將角6的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)]后得到角6，則tan￡=

（）

A.—B.--C.D.-V3

33

6.已知拋物線(xiàn)￡子2=2/（0〉0）的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線(xiàn)為/,過(guò)E上的一點(diǎn)A作/的垂線(xiàn)，垂足為B,若

|^|=3|（9F|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且△ZB廠的面積為12血，則E的方程為（）

第1頁(yè)/共6頁(yè)

A.y2-4xB.y2=4A/3XC.y2=8xD.y?=8&

7.一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為26的正三角形的圓錐型封閉容器內(nèi)放入一個(gè)半徑為1的小球a后，再放入一個(gè)球

。2,則球。2的表面積與容器表面積之比的最大值為()

41

A—B.—V3

.812727

(3兀3兀)"、Isin2x,sinx<cosx”、

8.已知函數(shù)的定義域?yàn)橐弧?，下，?x=..，若關(guān)于龍的方程/(>)=。有4

I44J[sinx,sinx>cosx

個(gè)不同實(shí)根則/(xjsin——的取值范圍是()

口行)(夜1)rr

A.B.--—C.(1,V2)D.(-72,1)

V227V2

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.近年來(lái)，鄉(xiāng)村游成為中國(guó)國(guó)民旅游的熱點(diǎn)，下面圖1,2,3,4分別為2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者年齡、

性別、月收入及一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)金額的有關(guān)數(shù)據(jù)分析，根據(jù)該圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中年齡在19?50歲之間的男性占比超過(guò)工

3

B.2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中月收入不高于1萬(wàn)元的占比超過(guò)70%

C.2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)4個(gè)范圍占比的中位數(shù)為30.6%

D.2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)的平均數(shù)估計(jì)值高于650元(同一花費(fèi)區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)用其

中間值作代表)

第2頁(yè)/共6頁(yè)

10.若矩形45co的所有頂點(diǎn)都在橢圓￡：「+匕=l（a〉o）上，且|48|=2拒，|ZC|=2百，點(diǎn)P是E

al

上與4瓦。,。不重合的動(dòng)點(diǎn)，則（）

—?—’1

A.E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4B.存在點(diǎn)尸，使得尸/?尸。二——

2

C.直線(xiàn)PA,PB的斜率之積恒為--D.直線(xiàn)尸4尸。的斜率之積恒為

22

11.已知正數(shù)x，y，z滿(mǎn)足5工=>=15二，則（）

A.xz+2yz-2xy=0B.5x<9y<15zC.xy<2z2D.9x+2y<16z

12.在棱長(zhǎng)為1的正方體4SCD—44GA中，點(diǎn)P滿(mǎn)足存=4①+〃不，其中Xe[0,l],z/e[0,l],

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若〃=工，則尸點(diǎn)軌跡所在直線(xiàn)與平面4CD平行

2

B,若％+〃=1,則尸

c.若幾=〃，則|麗|+4的最小值為叵丁

D.若AP與平面所成角的大小為E,則彳〃的最大值為:

42

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/（x）=V—3x,則曲線(xiàn)y=/（x）在點(diǎn)（1,-2）處的切線(xiàn)方程為.

14.（/—/—2了一日的展開(kāi)式中//的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

15.求作一個(gè)立方體，使其體積等于已知立方體體積的2倍，這就是歷史上有名的立方倍積問(wèn)題.1837年法

國(guó)數(shù)學(xué)家聞脫茲爾證明了立方倍積問(wèn)題不能只用直尺與圓規(guī)作圖來(lái)完成，不過(guò)人們發(fā)現(xiàn)，跳出直尺與圓規(guī)

作圖的框框，可以找到不同的作圖方法.如圖是柏拉圖（公元前427—公元前347年）的方法：假設(shè)已知立

方體的邊長(zhǎng)為。，作兩條互相垂直的直線(xiàn)，相交于點(diǎn)。，在一條直線(xiàn)上截取。/=。，在另一條直線(xiàn)上截取

OB=2a,在直線(xiàn)08,04上分別取點(diǎn)C,。，使NZC￡>=NBDC=90°（只要移動(dòng)兩個(gè)直角尺，使一個(gè)

直角尺的邊緣通過(guò)點(diǎn)A,另一個(gè)直角尺的邊緣通過(guò)點(diǎn)8,并使兩直角尺的另一邊重合，則兩直角尺的直角

頂點(diǎn)即為C,。），則線(xiàn)段0C即為所求立方體的一邊.以直線(xiàn)。4、0C分別為x軸、了軸建立直角坐標(biāo)系,

若圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)4C,。，則圓E的方程為.

第3頁(yè)/共6頁(yè)

16.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%+i=%+吃，集合5=忖叫|€!\[*｝,若S恰有4個(gè)子集，則S=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

2

17.記S),為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若q=3,(?+l)a?+1+(2?+l)5?=2.

⑴求不

,1,、

(2)若“=不~--,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Tn.

〃-(2〃-1電

18.已知AZ8C的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為“c,A為銳角，AZ8C的面積為S,4bS=a\b2+c2-.

(1)判斷“BC的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)如圖，若乙4BC」,BC=也，。為“內(nèi)一點(diǎn)，且OC=1,ZAOC=—,求08的長(zhǎng).

44

19.如圖，在三棱柱48c-44G中，2/=4。=6,4G=6近，平面4BCL平面44℃.

(1)求證：BC±cq；

(2)若4B，4C,三棱錐4—4BC的體積為18,點(diǎn)。在棱ZC上，且=求平面與

平面45。夾角的余弦值.

20.2023年5月28日我國(guó)具有完全自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)C919開(kāi)啟全球首次商業(yè)載客飛行，C919飛

第4頁(yè)/共6頁(yè)

機(jī)的研制，聚集了我國(guó)數(shù)十萬(wàn)科研人員的心血，其中/、B、C、D、E、廠等高校為C919大飛機(jī)做出了重

要貢獻(xiàn)，如《高校參與了氣動(dòng)總體、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、航電、飛控和液壓等設(shè)計(jì)，參加人數(shù)如下表：

氣動(dòng)總結(jié)構(gòu)強(qiáng)航飛液

項(xiàng)目

體度電控壓

參與人

55343

數(shù)

3高校有8位教師參加了相關(guān)設(shè)計(jì)論證，具體如下表:

氣動(dòng)總氣動(dòng)外

結(jié)構(gòu)強(qiáng)航電設(shè)液壓系起落架

設(shè)計(jì)論體形

度計(jì)統(tǒng)的

證設(shè)計(jì)論設(shè)計(jì)論

論證論證論證論證

證證

參與教

ab,cde,fgh

師

(1)某科普博主準(zhǔn)備從/、B、C.D、E、廠共6所高校中隨機(jī)選3所高校介紹其為C919大飛機(jī)做出的

貢獻(xiàn)，連續(xù)3天，每天發(fā)布一篇博文，每篇博文介紹一所高校(3天將選中的3所高校全部介紹完)，求C、。

被選到，且C在第2天被介紹的概率；

(2)若從/高校參與設(shè)計(jì)的20人中隨機(jī)選3人，在選到航電設(shè)計(jì)人員的條件下，求選到氣動(dòng)總體設(shè)計(jì)人

員的概率；

(3)若從2高校參與的6個(gè)論證項(xiàng)目中隨機(jī)選取3個(gè)，記這3個(gè)論證項(xiàng)目中2高校參與教師人數(shù)為X,求

X的分布列與期望.

21.已知雙曲線(xiàn)八*_q=i(a〉0,b〉0),4,4為「的左、右頂點(diǎn)，P為「上一點(diǎn)，P4的

abI2J

斜率與的斜率之積為;.過(guò)點(diǎn)4(3,0)且不垂直于X軸的直線(xiàn)/與攻于M,N兩點(diǎn).

(1)求「的方程；

(2)若點(diǎn)￡,尸為直線(xiàn)x=3上關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的不重合兩點(diǎn)，證明：直線(xiàn)ME,NF的交點(diǎn)在定直線(xiàn)上.

,,1,

22已知函數(shù)/(x)=—ax-(2a+l)x+2Inx(aeR).

,2

(1)若/(x)有唯一極值，求。的取值范圍；

第5頁(yè)/共6頁(yè)

(2)當(dāng)a<0時(shí)，若/(占)=/(%)，占片X2，求證：X1X2<4-

第6頁(yè)/共6頁(yè)

高二數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)集合人國(guó)幅…},3+|i2V0},則(j

A.(F,2)B.(-1,0]C.(-1,2)D.[-l,0]U[l,2]

【答案】D

【解析】

【分析】解對(duì)數(shù)不等式、一元二次不等式求集合，再應(yīng)用補(bǔ)運(yùn)算求集合.

【詳解】由題設(shè)2={可0<%<1},B={x\(x+l)(x-2)<0}={x|-1<x<2},

所以aZ=[—l,0]U[l,2]

故選：D

2.已知復(fù)數(shù)Z1=l-i,z2=a+i,若z/z2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【解析】

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法及純虛數(shù)定義列方程求參數(shù).

【詳解】4-Z2=(l—i)(a+i)=a+l+(l-a)i為純虛數(shù)，

o+l=0

所以1M?=-1.

1—aw0

故選：C

3.函數(shù)/(1)=丑常的圖象大致為(

第1頁(yè)/共22頁(yè)

【答案】B

【解析】

7T

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用奇偶性可排除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用當(dāng)xe(0,5)時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)即可判斷作

答.

【詳解】函數(shù)/(x)=土黃土的定義域?yàn)镽,/(—x)=re：—)=一=-/⑴，即函數(shù)/(x)是

奇函數(shù)，排除CD；

當(dāng)xe(O,])時(shí)，/(同=節(jié)白＞0,即當(dāng)xe(O,])時(shí)，函數(shù)的圖象在x軸的上方，顯然A不滿(mǎn)足,

B滿(mǎn)足.

故選：B

4.已知a,0是空間兩個(gè)不同的平面，加,〃是空間兩條不同的直線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若m//a,nilP,且加〃〃，則a〃6

B.若機(jī)//a,nilP,且則?

C.若加_La,nilP,且m_L〃，則tz_L?

D.若加_La,nLp,且m_L〃，則

【答案】D

【解析】

【分析】利用空間線(xiàn)面、面面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理分別分析各個(gè)選項(xiàng)可得解.

【詳解】對(duì)于A,若mlla,nllp,且加〃〃，則a,乃可能相交或平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若加//a,nlip,且加則a,尸可能相交或平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若加J_a,nil(3,且加_L〃，則a,P可能相交或平行，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若加_La,mln,則〃在平面a內(nèi)或〃//a,又〃_L夕，所以耳，故D正確.

故選：D.

5.已知角6的始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,6)，將角6的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn);后得到角6，則tan￡=

()

第2頁(yè)/共22頁(yè)

A.—B.--C.GD.-V3

33

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的定義可得tane=*，依題意得，=，-1,結(jié)合兩角差的正切公式運(yùn)算求值.

【詳解】因角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,J5），由三角函數(shù)的定義可得tan6=1?，

兀

/\tan。-tan—rz

又依題意得［3—0—，所以tan/?=tanI0——\=-------------二——，

3I-n夕ta/3

3

故選：B.

6.已知拋物線(xiàn)￡子2=2.（0〉0）的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線(xiàn)為/,過(guò)E上的一點(diǎn)A作/的垂線(xiàn)，垂足為B,若

|^|=3|（9F|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且廠的面積為12血，則E的方程為（）

A.j2=4xB.j2=4&C.j2=8xD.j2=8氐

【答案】C

【解析】

【分析】表達(dá)出|48|和點(diǎn)A坐標(biāo)，利用△AS尸的面積求出P,即可得出E的方程.

【詳解】由題意，

在拋物線(xiàn)￡:/=2/（,〉0）中，［43|=3］。制，

焦點(diǎn)/已0:準(zhǔn)線(xiàn)/：x=/

：.\OF\=^,\AB\=^p,貝〃依土亞p）

叫?"=!!夕，夜小12虛，解得：0=4

的方程為：j2=8%.

故選：C.

7.一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為2G的正三角形的圓錐型封閉容器內(nèi)放入一個(gè)半徑為1的小球。?后，再放入一個(gè)球

第3頁(yè)/共22頁(yè)

則球。2的表面積與容器表面積之比的最大值為()

41J373

A.—B.—C.—D.—

8127273

【答案】A

【解析】

【分析】由題設(shè)易知放入一個(gè)半徑為1的小球a后，圓錐軸截面中小球a的截面圓為內(nèi)切圓，要使比值最

大，球。2的半徑々最大，利用內(nèi)切圓性質(zhì)求與，進(jìn)而求球體、圓錐表面積，即可得比值.

【詳解】由邊長(zhǎng)為2G的正三角形的內(nèi)切圓半徑為不工26

32

即軸截面是邊長(zhǎng)為2G的正三角形的圓錐內(nèi)切球半徑為1，

所以放入一個(gè)半徑為1的小球a后，再放一個(gè)球。2,如下圖,

要使球。2的表面積與容器表面積之比的最大，即球a的半徑G最大,

所以只需球與球。I、圓錐都相切，其軸截面如上圖，此時(shí)&=g><(2百義手—2q)=g，

所以球。2的表面積為4%2=如，圓錐表面積為37T+gx2Gx2扃=9兀,

4

所以球。2的表面積與容器表面積之比的最大值為—.

81

故選：A

3兀3兀、/、Isin2x,sinx<cosx

8.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?，若關(guān)于X的方程/(')=〃有4

44y[sinx,sinx>cosx

個(gè)不同實(shí)根西,々,退,》4(再</<x3<x4),則/(xjsin>+“2-：?jiǎn)?的取值范圍是()

(1田

B.c.(1,V2)D.(-72,1)

第4頁(yè)/共22頁(yè)

【答案】A

【解析】

【分析】利用輔助角公式得sinx-cosx=JIsin(x-與，討論其符號(hào)求x范圍，進(jìn)而寫(xiě)出/⑴解析式并畫(huà)

4

出草圖，數(shù)形結(jié)合得%+/=—曰,七+%=兀、等</(可)<1，即可得答案.

【詳解】由sinx-cosx=J^sin（x—；）,

若sinxvcosx,則sin（x-￡）<0,可得（2左+1）兀<工一：<2（左+1）兀，左￡Z,

57rQjr

所以2E+——<x<2E+——，左wZ,

44

兀7E

若sinx2cosx,則sin（x-w）20，可得2左?！?1）兀，左wZ,

TTSjr

所以2E+—VX42E+——水￡Z,

44

.c3兀71

sin2x,----<x<一

44

所以/（x）=<,其函數(shù)圖象如下圖,

.兀/371

sinx,—<x<——

44

要使/(x)=。有4個(gè)不同實(shí)根國(guó),、2，、3，％4(玉<X2<%3<、4)，則三，

由圖知：X1+X2=-|,X3+X4=7l,故F+.J+.J,且4</(/)<1，

所以/(xjsin土土三［玉土區(qū)的范圍為豐.

2122yl

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角恒等變換研究正弦型函數(shù)性質(zhì)，并畫(huà)出/(x)的圖象為關(guān)鍵.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

第5頁(yè)/共22頁(yè)

9.近年來(lái)，鄉(xiāng)村游成為中國(guó)國(guó)民旅游的熱點(diǎn)，下面圖1,2,3,4分別為2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者年齡、

性別、月收入及一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)金額的有關(guān)數(shù)據(jù)分析，根據(jù)該圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

300元以下

3.9%

A.2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中年齡在19?50歲之間的男性占比超過(guò),

3

B.2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中月收入不高于1萬(wàn)元的占比超過(guò)70%

C.2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)4個(gè)范圍占比的中位數(shù)為30.6%

D.2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)的平均數(shù)估計(jì)值高于650元（同一花費(fèi)區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)用其

中間值作代表）

【答案】BC

【解析】

【分析】由圖1和圖2可判斷A選項(xiàng)，由圖3可判斷B選項(xiàng)，由圖4可判斷C、D選項(xiàng)

【詳解】由圖1和圖2可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中年齡在19?50歲之間的男性占比為

97.6%x37.2%a36.3%,故A正確;

由圖3可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中月收入不高于1萬(wàn)元的占比為60%,故B錯(cuò)誤;

由圖4可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)4個(gè)范圍占比的中位數(shù)為

23.7%+30.6%\……

--------------------=27.15%,故C錯(cuò)誤；

2

由圖4可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)的平均數(shù)估計(jì)值為

150x3.9%+450x41.8%+750x30.6%+1050x23.7%=672.3,故D正確.

故選：BC

22

10.若矩形45CD的所有頂點(diǎn)都在橢圓E：二+匕=1（4〉0）上，且|48|=2后，以。|=2百，點(diǎn)尸是E

a~2

第6頁(yè)/共22頁(yè)

上與4民C,。不重合的動(dòng)點(diǎn)，則()

—―?—.1

A.百的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4B.存在點(diǎn)尸，使得尸Z?尸。二——

2

C.直線(xiàn)尸4P8的斜率之積恒為-LD,直線(xiàn)04尸。的斜率之積恒為

22

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)A,根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合［48|=2行可判斷橢圓焦點(diǎn)在x軸上，由此求得4民。,。坐標(biāo)，

代入橢圓方程求得。=2,得解；對(duì)B、D,設(shè)點(diǎn)P(xj)代入運(yùn)算可判斷得解；對(duì)C,舉反例可判斷.

【詳解】因?yàn)榫匦?5CD的頂點(diǎn)都在橢圓上，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得4c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，瓦。關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱(chēng)，

22

由1+匕=1,|2司=2收，可得/〉2,即橢圓焦點(diǎn)在x軸上，

a2

如圖所示，X|^C|=2V3,：.\BC\=2,易得后,145(-V2,l),C(-V2,-l),￡?("—1).

對(duì)于A,將點(diǎn)/(、回/"弋入橢圓方程可得指+；=1,解得。=2,橢圓的方程為：+；=1,所以橢圓

的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,故A正確；

對(duì)于B,設(shè)點(diǎn)P(xj),且Y+2/=4,x力士也，則尸N=(C—x,l-，，PC=^-s/2-x,-l-yy

所以PA-PC=—x)(—x)+(1—1—jv)=x2+_y2—3=1—y2,又—j<V2,

即當(dāng)曠=±巫時(shí)，PA-PC=--,故B正確；

J_22

P（-2,0）,貝ijk=￡+2，kpB]

對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)尸是左頂點(diǎn)時(shí),PA

-V2+2

]]1

所以kpA?kpB故C錯(cuò)誤;

V2+2-V2+2

對(duì)于D,設(shè)點(diǎn)尸且/+2歹2=4,工。土行,

jy—17y+1

則

第7頁(yè)/共22頁(yè)

yz-1y2-l1

所以心獷=-5,故D正確.

故選：ABD.

11.已知正數(shù)x/,z滿(mǎn)足V=9了=152,貝jj()

A.xz+2yz-2xy=0B,5x<9y<15zC.xy<2z2D,9x+2j<16z

【答案】AB

【解析】

【分析】設(shè)5、=9>=15"=/j〉l,求出x/,2,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算及換底公式計(jì)算判斷A；利用作商法計(jì)算

判斷B；利用作差法計(jì)算判斷CD.

【詳解】依題意，設(shè)5'=9"=15'則xlog,5=ylog,9=zlogJ5=l,

111

%=r>y~,z=,

log,5"log,9log,15

12252x9

對(duì)于A,xz+2yz-2xy=xyz(—+----)=xyz(2log5+log9-2log15)=xyzlog———=0,A正確；

yxzzz?t15

5x5log.91c59531034381

對(duì)于B,-=-7-^7=^95,而：=.=；x(士)r6<又-<1,即有睡夕9s5<1,則5x<9y,

9y9log,559595351255

又魯=三=臂小=]053,1^=5^=J25_<b即有l(wèi)og153<1,則9y<152,

15z5z5log,99537243x99

所以5x<9y<15z,B正確;

122c2xy

對(duì)于C,由選項(xiàng)A知，—?------=0,得2=—

yxzx+2y

222

貝I盯-2z=xy-2(2*y(x+2y)-8xyxy(x-2y)^Q

=xy-C錯(cuò)誤;

x+2y(x+2y)2。+2萬(wàn)’

第8頁(yè)/共22頁(yè)

八rr32肛(9x+2j)(x+2y)-32xy(3x-2yj八

對(duì)于D,9x+2y-16z=n9x+2y-------=------------------------=--------->0,

x+2yx+2yx+2y

因止匕9x+2y>16z,D錯(cuò)誤.

故選：AB

12.在棱長(zhǎng)為l的正方體4SCD—44GA中，點(diǎn)尸滿(mǎn)足方=2①+〃而，其中Xe[0,l],//e[0,l],

則下列說(shuō)法正確的是()

A.若〃=；，則P點(diǎn)軌跡所在直線(xiàn)與平面4CD平行

B,若幾+〃=1,則4c_1_80

C.若2=〃，貝IJ|而|+|乖|的最小值為6丁

D.若AP與平面CG2。所成角的大小為四，則2〃的最大值為:

42

【答案】ABD

【解析】

【分析】A、B、C根據(jù)條件確定尸點(diǎn)軌跡，結(jié)合線(xiàn)面平行判定、線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì)、平面上兩點(diǎn)距離

最短判斷；D由條件得P在線(xiàn)段擊上運(yùn)動(dòng)，令NDCP=，e［(),'］，則2=cosa〃=sin。，結(jié)合三角

恒等變換及正弦型函數(shù)性質(zhì)求最值判斷.

【詳解】A：若E,尸為中點(diǎn)，當(dāng)〃=；時(shí)2在線(xiàn)段E尸上運(yùn)動(dòng)，而EF//CD,

￡F<z面4c0，CDu面4C。，則斯//面4。。，A對(duì)；

B：由2+〃=i,則p在線(xiàn)段G。上運(yùn)動(dòng)；在正方體中易知AC_LBG，

且±面BCCABX,BGU面BCCXBX,則AXBX±BQ,

及Cn4與=耳，BXC,44(z面4與。，則8C］，面44C,4。u面ARC,

第9頁(yè)/共22頁(yè)

所以同理可證班）J.,又BCiRBD=B,BC[,BDu面BCp,

所以4。，面5G。，BPu面BCQ,則4CJ_5P,B對(duì);

c：若；l=〃，則尸在線(xiàn)段cq上運(yùn)動(dòng):

將面CDQ翻折至與面8皿4共面，如下圖，DD[=g=1,㈤D4=135。，

所以A尸,4共線(xiàn)時(shí)叩+1朝的最小值為DA,=V1+1-2COS1350―12+fC；

TT

D：若B尸與平面CG9。所成角的大小為一，連接BC^BD,又BCJ_面CDDG，

4

JFJT

結(jié)合正方體性質(zhì)ZCC.B=ZCDB=要使線(xiàn)面角ZCPB恒為一，

只需尸在面CDAG中以。為圓心，CG為半徑的圓弧?上運(yùn)動(dòng)；

第10頁(yè)/共22頁(yè)

小

Di

Bi

B

jr

如上圖，令NDCP=[0,萬(wàn)],則％=cos6,〃=sin。，

11兀

所以M=sin6cose=5sin2e<5，當(dāng)且僅當(dāng)。=1時(shí)取等號(hào),

所以幾〃的最大值為D對(duì).

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)條件確定P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為關(guān)鍵.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(x)=V—3x,則曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(1,-2)處的切線(xiàn)方程為.

【答案】x+y+l=0

【解析】

【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線(xiàn)方程即可.

【詳解】由題設(shè)/'(x)=2x—3,則/'⑴=—1,故點(diǎn)(1,—2)處的切線(xiàn)方程為>+2=-。-1),

所以x+y+l=0.

故答案為：x+v+l=0

14.(/—/—2y—1)5的展開(kāi)式中W的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】140

【解析】

【分析】要產(chǎn)生可能是1個(gè)/，1個(gè)—3個(gè)T或1個(gè)2個(gè)-2y,2個(gè)-1,分別進(jìn)行計(jì)算求解

即可.

【詳解】(X2-/-2J；-1)5的展開(kāi)式中要產(chǎn)生//可能是1個(gè)/,1個(gè)-「，3個(gè)t或1個(gè)-,2個(gè)-2y,

2個(gè)-1,

故展開(kāi)式中含必/項(xiàng)為c\x2C\(-V)c；(-1)3+cyc^(-2j)2C；(-1)2=140x2/,

第11頁(yè)/共22頁(yè)

即展開(kāi)式中f/的系數(shù)為140.

故答案為：140.

15.求作一個(gè)立方體，使其體積等于己知立方體體積的2倍，這就是歷史上有名的立方倍積問(wèn)題.1837年法

國(guó)數(shù)學(xué)家聞脫茲爾證明了立方倍積問(wèn)題不能只用直尺與圓規(guī)作圖來(lái)完成，不過(guò)人們發(fā)現(xiàn)，跳出直尺與圓規(guī)

作圖的框框，可以找到不同的作圖方法.如圖是柏拉圖（公元前427—公元前347年）的方法：假設(shè)已知立

方體的邊長(zhǎng)為作兩條互相垂直的直線(xiàn)，相交于點(diǎn)。，在一條直線(xiàn)上截取在另一條直線(xiàn)上截取

OB=2a,在直線(xiàn)上分別取點(diǎn)，使NZC￡>=NBDC=90°（只要移動(dòng)兩個(gè)直角尺，使一個(gè)

直角尺的邊緣通過(guò)點(diǎn)A,另一個(gè)直角尺的邊緣通過(guò)點(diǎn)3,并使兩直角尺的另一邊重合，則兩直角尺的直角

頂點(diǎn)即為C,。），則線(xiàn)段0c即為所求立方體的一邊.以直線(xiàn)OC分別為x軸、歹軸建立直角坐標(biāo)系,

【答案…小

【解析】

Qc=CM卜。。

【分析】根據(jù)題設(shè)有《'1'1?求oc、OD,再求出E坐標(biāo)和圓的半徑，進(jìn)而寫(xiě)出圓的方程.

\OD[=\OC\-\OB\

od=\OA\-\OD\=ay)D\,.一，，，L

【詳解】由題設(shè)，《1'111111,則OC=2/OCnOC=泡,

\OD^=\OC\-\OB\=2a\pC\.........................

所以=濕,

由NZCD=90°,要使圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)4。,。，則圓心E為4D中點(diǎn),

所以sd?d0）且半徑為1±普。,

故圓E的方程為（x—上普02+/=a2.

第12頁(yè)/共22頁(yè)

故答案為：（X—匕更?2+2=縣土血力

24

16.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%+i=%+$,集合5=卜也?！発eN*｝,若S恰有4個(gè)子集，則8=.

【答案】｛T；｝或｛-；/｝

【解析】

2%兀2九

【分析】根據(jù)題設(shè)sin4有且僅有2個(gè)對(duì)應(yīng)值，結(jié)合等差數(shù)列定義得%=亍+%-三，“cN*，根據(jù)正

弦型函數(shù)周期性，只需研究sin%,sina2，sina3是否相等，應(yīng)用分類(lèi)討論求對(duì)應(yīng)集合S.

【詳解】由S恰有4個(gè)子集，故集合S共有2個(gè)元素，即sina.有且僅有2個(gè)對(duì)應(yīng)值，

由a〃+i—即｛4｝是公差為的等差數(shù)列，貝！J=--—bq——,〃￡N*，

所以為的最小正周期為7=3,則角?！ū嘏cq,生，4中的一個(gè)終邊相同，

所以S中有且僅有sinarsing,sin/且必有兩個(gè)相等，

若sin4=sin2。sin的，則sinq=sin（g+aj,整理得JJcos（q+三）=0,

717171]

所以a1+—=左兀+一,左€Z,則q=而+一,左￡Z,故sinq=sin4=土一，

3262

]兀571371）

當(dāng)sinq=sina?~一時(shí)，不妨取q二一，則a?——,%=—，此時(shí)S=｛-1,—｝滿(mǎn)足；

26622

j_5兀兀71]

當(dāng)sina】=sinci?~—時(shí)，不妨取q—---,則/=—，?=—，此時(shí)S=｛—,1｝滿(mǎn)足；

26622

若sinax=sina3wsina2,則sinax=sin（—+q）,整理得百sinQ]+—）=0,

36

JI兀]

所以a+—=kji.kGZ,則q=ku---,keZ,故sinq=sina=±—,

x6632

1537i13JI1

當(dāng)sinq=sin=一時(shí)，不妨取q——，則出=—，/=---，此時(shí)S=｛-1,一｝滿(mǎn)足；

26262

1兀717兀]

當(dāng)sinq=sinci——時(shí)，不妨取q——,貝!|4=—，4=—，此時(shí)S—｛—,1｝滿(mǎn)足；

326262

若sin%=sin%。sin%,則sin4=sin（改+?），整理得百sinQ2+工）=0，

36

..兀711

所以a+—=kn,keZ,則4=左兀---,kGZ,故sin%-sina-±—,

26632

15兀713711

當(dāng)sina?~sin%——時(shí)，不妨取a?~—，則出=—，%=—，此時(shí)S=｛-1,—｝滿(mǎn)足；

26622

第13頁(yè)/共22頁(yè)

]_JI57171)

當(dāng)sin出=sin%=—時(shí)，不妨取出=—，貝----，/=—，止匕時(shí)S=｛—,1｝滿(mǎn)足；

26622

11

綜上，S=｛-1,]｝或｛-萬(wàn),1｝.

故答案為：｛-1,—｝或｛—,1｝

22

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用集合子集個(gè)數(shù)得sin4有且僅有2個(gè)對(duì)應(yīng)值，根據(jù)等差數(shù)列定義、正弦型函數(shù)的

周期性，轉(zhuǎn)化為研究sin%,sin4,sin/且必有兩個(gè)相等為關(guān)鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.記S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若q=3,(〃+1)?%+(2〃+1)5“=2.

⑴求S),；

(2)若b“=~,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

n(2n-l)5?

【答案】(1)=四二；

【解析】

【分析】(1)由題設(shè)及4,s“關(guān)系得5+1)2S“+1-=2,構(gòu)造新數(shù)列并結(jié)合等差數(shù)列定義寫(xiě)出通項(xiàng)公

式，進(jìn)而可得S“；

(2)應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求前〃項(xiàng)和.

【小問(wèn)1詳解】

2

由題設(shè)(〃+1)2(Sn+1-Sn)+(2n+1電=2，則5+1)S.一〃2s,=2,

又12xS]=q=3,故｛/S,｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，

所以〃2s,=3+2(〃-1)=2〃+1,則S“=

【小問(wèn)2詳解】

,1111、

由(1)得~——-=z一7--~7))

(2n-V)(2n+1)22n-l2〃+1

b/11111、1八1