2024年二輪數(shù)學(xué)講義 極化恒等式 奔馳定理與等和線定理

2024二輪數(shù)學(xué)新教材講義培優(yōu)點(diǎn)5極化恒等式、奔

馳定理與等和線定理

平面向量基本定理及數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)，很多時候需要用基底代換，運(yùn)算量大且復(fù)雜,

用向量極化恒等式、奔馳定理、等和(高)線求解，能簡化向量代換，減少運(yùn)算量，使題目更

加清晰簡單.

考點(diǎn)一向量極化恒等式

極化恒等式：a力=(幺皆)一(\上)2.

赤葉...,(a+b)2(a-*)2

變式：(l)a-b--4---------,

.\a+b\2|a一肝

ab~4-4-

(2)如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，則贏.公=就2―；為2=疝2一曲2

BMC

例1(1)如圖，在△力BC中，。是BC的中點(diǎn)，E,尸是AO上的兩個三等分點(diǎn).BACA=4,

BFCF^-l,則防的值為.

答案i7

O

解析設(shè)BD=DC=m,AE=EF=FD=n,

則AD=3n.

根據(jù)向量的極化恒等式，

得初?啟=啟一防2=9/-/?2=4,①

而的=奇一赤=〃2-而=-1.②

512

聯(lián)立①②，解得/=&,蘇=三.

OO

因此麗?病=防2—防2=4/一瓶2=]

O

即港?日:=*

⑵（2023?鄭州模擬）如圖所示，zMBC是邊長為8的等邊三角形，點(diǎn)尸為AC邊上的一個動點(diǎn),

長度為6的線段E尸的中點(diǎn)為B,則無?兩的取值范圍是.

EB

答案[39,55]

解析由向量極化恒等式知

PEPF=|PB|2-|BE|2=|PB|2-9.

又aABC是邊長為8的等邊三角形，

所以當(dāng)點(diǎn)尸位于點(diǎn)A或點(diǎn)C時，|麗|取最大值8.

當(dāng)點(diǎn)P位于AC的中點(diǎn)時，|兩|取最小值，

即曲min=8sin1=4^3,

所以|而|的取值范圍為[4小，8],

所以成?成的取值范圍為[39,55].

規(guī)律方法利用向量的極化恒等式可以對數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適

合于以三角形為載體，含有線段中點(diǎn)的向量問題.

跟蹤演練1（1）如圖，△4OB為直角三角形，OA=1,OB=2,C為斜邊A8的中點(diǎn)，P為線

段OC的中點(diǎn)，則還歷等于（）

答案B

解析取A。的中點(diǎn)M,連接如圖所示，易得AB=小,

由向量極化恒等式知酢?方=或?歷=麗2-痂2

=（同2_（；帥CT

⑵如圖，正方形ABCD的邊長為2,P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界）,且必，PB,則無?麗

的取值范圍是.

答案[0,4]

解析如圖，：

...點(diǎn)尸在以A8為直徑的半圓上，取CZ）的中點(diǎn)O,連接PO,

由向量極化恒等式知元?麗=歷2-沆2=歷2一],

當(dāng)點(diǎn)P在A（或B）處時，|用[=小，

當(dāng)點(diǎn)P在檢的中點(diǎn)時，I劭|min=l,

：.\PO\^[\,小J,APCPD^IOA],

考點(diǎn)二平面向量“奔馳定理”

定理：如圖，已知P為△48C內(nèi)一點(diǎn)，則有SAPBC?該+Sc?而?元=0.

----------^C

例2（1）已知。是△A5C內(nèi)部一點(diǎn)，滿足屆+2a+加次=0,且，八°'=弓,則實(shí)數(shù)相等于

'△ABC/

（）

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析由奔馳定理得

S&BOC-OA+S&AOCOB+SAACMTOC=0,

又?+2協(xié)+〃i沆=0,

/.S^BOC:SAAOC:S&AOB=1：2：

4

-

.Hl7

*S/\ABC1+2+m

⑵（2023?重慶模擬）△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式S^cOA+S^oAcOB+S^OC=Of即稱為

經(jīng)典的“奔馳定理”，若AABC的三邊為a,b,c,現(xiàn)有aOA+bOB+cOC^f）,則0為△ABC

的（）

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

答案B

解析記點(diǎn)。到AB,BC,CA的距離分別為加，比，加，S^oBC-^a-hi,S&oAC-^b-hj,

S^OAB-^C-hl,

因?yàn)镾ao8C，OA+SA04C，OB+Sz\oAB，OC=0,

則542一a+少＞/?3?為+￡c/i?女=0,即ahrOA+hhyOB-\-ch\OC—Q,

又因?yàn)??+力無+c?無=0,所以缶=〃2=〃3,所以點(diǎn)P是AABC的內(nèi)心.

易錯提醒利用平面向量“奔馳定理”解題時，要嚴(yán)格按照定理的格式，注意定理中的點(diǎn)P

為△ABC內(nèi)一點(diǎn)；定理中等式左邊三個向量的系數(shù)之比對應(yīng)三個三角形的面積之比.

跟蹤演練2（1）如圖，設(shè)。為△A8C內(nèi)一點(diǎn)，且滿足為+2為+3氏=3矗+2流+為，則

N等于（

)

o^ABC

B

A.|B.|C.|D.|

答案D

解析：0為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足后+25^+3次7=3祐+2證+方,

：.OA+2OB+3OC=3(OB-dA)+2(dc-OB)+(dA-OC)^3dA+oi3+2OC=09

,**SABOCOA+SAAOCOB+SAAOB,OC=0,

S^BOC:SAAOC:SAAOB=3：1：2,

.S2AOBS八ORj_

,?S&ABCSAAOI?+SABOC+S^AOC3?

（2）（2023?安陽模擬）如圖，已知O是△ABC的垂心，且殖+2為+3次=0,則

tanZBAC：tanZABC：tanZACB等于（）

A.1：2：3B.1：2：4

C.2：3：4D.2：3：6

答案A

解析O是△ABC的垂心，延長CO,BO,AO分別交邊A8,AC,BC于點(diǎn)、P,M,N,如圖,

貝|JCP_LA3,BMLAC,ANLBC,/BOP=NBAC,ZAOP=ZABC,

0CBP

S.B0CJ_BP

因此,

S^AOC~^OCAP~AP

OPtanZBOPtanABAC

。尸atnNAOP=tan/ABC'

rin?SABOCtanABAC

同理7-----=；—

SAAOBtanZACB

于是得tanNBAC:tan/ABC:tanNAC8=Szxsoc:S^AOC:SAAOB，

又近1+2B+3灰1=（）,

由“奔馳定理”有SABOC■d+SAAOC?無+SAAOB-5d=0,

即SABOC:SAAOC:SAAOB=1：2：3,所以tan/BAC:tanZABC:tan/ACB=l：2：3.

考點(diǎn)三等和（高）線定理

等和（高）線

平面內(nèi)一組基底萬1,初及任一向量麗廠，OP7*^kOA+nOB{L/zGR）,若點(diǎn)P在直線A8

上或在平行于48的直線上，則/+〃=%（定值）；反之也成立，我們把直線A8以及與直線A8

平行的直線稱為等和(高)線.

(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k=l；

(2)當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線AB之間時,its(0,1)；

(3)當(dāng)直線A8在O點(diǎn)和等和線之間時，kd(l,+8)；

(4)當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時,仁0；

(5)若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對稱，則定值幻，心互為相反數(shù)；

(6)定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比.

例3在矩形4BCO中，AB=\,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與8D相切的圓上.若B

=施+〃而，則2+〃的最大值為()

A.3B.2吸C.小D.2

答案A

解析如圖所示，由平面向量基底等和線定理知，當(dāng)?shù)群途€/與圓相切時，a+〃最大，此時

4-AB+BE+EF3AB

/+〃_而_AB_常_3.

規(guī)律方法要注意等和(高)線定理的形式，解題時一般要先找到k=T時的等和(高)線，利用

比例求其他的等和(高)線.

跟蹤演練3如圖，△BCD與AABC的面積之比為2,點(diǎn)P是△BCD內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界)，

且分=4拔+/后，則％+〃的取值范圍為()

A.[2,3]B.[1,2]

C.[1,3]D.[1,4]

答案C

解析如圖，當(dāng)點(diǎn)P位于線段BC上時，

(2+")min=1,

當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)。時,

(2+〃)max=3.

故1W2+"W3.

專題強(qiáng)化練

1.如圖，AB為。。的直徑，P是部上任一點(diǎn)，M,N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)。對稱的兩點(diǎn),

且AB=6,MN=4,則麗?麗等于（）

解析依題意，。為的中點(diǎn)，由向量極化恒等式知，PMPN=PO2-OM2=9-4=5.

2.點(diǎn)0為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若SMOB：Swoc:SAAOC=4：3：2,設(shè)歷支嬴+〃啟，則實(shí)數(shù)2

和〃的值分別為（）

2442

---

一

9夕

A.夕B.D9

122I

C---

一

夕99

夕

答案A

解析根據(jù)奔馳定理，

得30A+20B+40C=0,

即3晶+2（a+贏）+4（為+Ab=0,

24

-見-

9+-9

r..24

故4=g，^=9-

3.如圖，在四邊形MVPQ中，若防=麗，\0M\=6,|5>|=10,MN-MQ^-28,則沛.9等

于（）

Q

卜尸

A.64B.42C.36D.28

答案c

解析由而山而二府江一蘇2

=36-O7V2=-28,

解得蘇2=64,所以為2=64,

所以稱.齒=麗?麗=元）2-麗2

=100—64=36.

4.如圖所示，正方體ABCD-A\B\C\D\的棱長為2,MN是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面

上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時，

麗?麗的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,3]D.[0,4]

答案B

解析由正方體的棱長為2,得內(nèi)切球的半徑為1,正方體的體對角線長為2小.當(dāng)弦MN的

長度最大時，例N為內(nèi)切球的直徑.設(shè)內(nèi)切球的球心為。，

則麗際=亦一夠2=由2一].

由于P為正方體表面上的動點(diǎn)，故open，小],

所以麗?麗e[0,2].

5.（2023?佛山模擬）已知A（—1,0）,8（2,0）,若動點(diǎn)M滿足則何?曲的最大值是（）

9

A.-4B.4C.12D.18

答案D

解析設(shè)M（x,y）,因?yàn)镸B=2MA,

所以、(x—2)2+y2

=2y/(x+l)2+y2,

化簡得（x+2）2+y2=%

設(shè)線段4B的中點(diǎn)為C,

則cQ,0）,

因?yàn)槁闇?麻一衣=|町2_a4到2=|MC|2一4又IMChnaxV-（-2）+2=]

所以防V曲的最大值為《下一名=18.

6.（多選）給定兩個長度為1的平面向量近和無，它們的夾角為號，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為

圓心的Q上運(yùn)動，若無=x?+），B（x,yCR）,則x+y的取值可以是（）

A.1B.,C.2D.^

答案ABC

解析令x+y=A如圖，在所有與直線4B平行的直線中，切線離圓心最遠(yuǎn)，即此時&取得

最大值，又/AO3="，則％=乜2=2.

,\OE\

當(dāng)點(diǎn)C在A（或B）處時，x+y最小為1.

故x+y的取值范圍是[1,2].

7.（多選）（2023?六安模擬）已知。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△80C,/XAOC,ZVIOB的面積分別為

SABOC，SZMOC，SAAOB，貝I」S^BOCOA+S^AOCOB-\-SAAOB,OC—0,ABAC,XABC,Z.ACB分

別是△ABC的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）

A.若2片+3為+4女=0,貝I」SABOC:S^AOC:SAAOB=4：3：2

B.若|a|=|m|=2,ZAOB=y,且2原+3油+4灰1=（）,則以法。=乎

C.若萬1?油=為拉?=沅而，則。為△ABC的垂心

D.若。為△ABC的內(nèi)心，且5a+12歷+13次7=0,則ZACB=^

答案BCD

解析對于A,2萬1+3為+4次=0,

則S^BOC:S^AOC:S〉A(chǔ)OB=2：3：4,故A錯誤；

對于B,5AAOB=1x2X2Xsin用=小，

又2'+3B+4或7=0,

故SABOC:S&AOC:SGAOB=2：3：4,

所以S&ABC-^S&AOB—^~^,故B正確；

對于C,OAOB=OBOC,即（后一沆）?協(xié)=以?協(xié)=0,故①_L0k

同理可得為_L3ZABLOC,所以。為△A8C的垂心，故C正確；

對于D,5OA+125B+13OC=0,故S^BOC：SAAOC:SAAOB=5：12:13,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,

SABOC=*BC,SMOC=|MC,SAAOB=&AB,即BC：AC：AB=5：12：13,

即AB2=AC2+BC2,NACB=5，故D正確.

8.（2023?黃岡模擬）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2,ND4B=45。.若M為菱形4BCC內(nèi)部（含

邊界）任一點(diǎn)，則就I施的取值范圍是

答案[-1,4+2-72]

解析取線段AB的中點(diǎn)E,連接例￡,如圖,

MAMB=ME2-EA2^ME1-1,

當(dāng)且僅當(dāng)|施=0,即點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時，丘V凝最小為一1,

當(dāng)且僅當(dāng)|施|最長，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時，扇?詁最大，

顯然NC8A=135。，CE=BE-BC,

BEBC=\BE\\BC\cosZCBA

=lX2Xcos135°=一啦，

因此聲=(在一的)2=融+的2_2虎.血=5+2巾,即加2的最大值為5+2小，

所以而.訕的最大值是4+2，1故說V曲的取值范圍是［-1,4+2淄］.

9.若△ABC內(nèi)接于以。為圓心，以1為半徑的圓，且3dX+4(^+5沆=0.則△ABC的面

積為.

答案|

解析'：3OA+4OB=-5OC,

SL\OA\=\OB\=\OC\=\,

，9畫2+16|5B|2+245A-5B=25|OC|2,

：.OAOB=Q,：.OALOB,

■*-SAAOB=2X1X1=2，

由奔馳定理知，SdBOC?S^AOC:S^AOB=3：4：5,

S-A06=3+；+5&A8C,

,S=以5=0

??、SBC5、自AOB5。

10.如圖，圓。是邊長為2小的等邊△ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點(diǎn)。，點(diǎn)M為圓上

任意一點(diǎn)，BM=xBA+yBD(x,yeR),則2x+y的最大值為.

答案2

解析如圖，D,E,N分別為BC,AB,AC的中點(diǎn)，P為DE與BN的交點(diǎn)、,

?—?1—*—?—?—?

BM=xBA+yBD=2x-^BA+yBD=2xBE+yBD,

設(shè)2x+y=k,作出定值改為1的等和線力E,4c是過圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)的等和線,

當(dāng)M在N點(diǎn)所在的位置時，2x+y最大，

則k='-1=2,所以2x+y取得最大值2.

\PB\

微重點(diǎn)3三角函數(shù)中“，9的范圍問題

三角函數(shù)中如夕的范圍問題，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查由三角函數(shù)的最值（值域）、單

調(diào)性、零點(diǎn)等求。，夕的取值范圍，難度中等偏上.

考點(diǎn)一三角函數(shù)的最值（值域）與“，°的取值范圍

例1（1）若函數(shù)<x）=sin（s-g@>0）在[。，包上的值域是一坐，1,則。的取值范圍是

)

「C7]「57'

C.3,2D.2?2

答案B

TT

解析因?yàn)棰?gt;0,所以當(dāng)5_|時，

?！窽TC07171

4eL-4,~~4y

又因?yàn)楹瘮?shù)段）=5吊（5—彌）（幻>0）在

0,同上的值域是一孚，1,

兀

如4

所以-WW5K-

2244

3

解

渾-Wd

2

（2）（多選）（2023?湖北省八市聯(lián)考）已知函數(shù)段）=sin（①x+§+cos（s—§（co>0）,將/一）圖象上

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）在（0,田上恰有一

個最值點(diǎn)，則。的取值可能是（)

A.1B.3C.5D.7

答案BCD

解析/W=sin（（yx+W）+cos（ftM：一=sin（?zr+g）+cos，ox+1—=2sin（ttzx+W）

由題意，可得g（x）=2sin（2cox+W）,

由xG（O,日，

可一r/得n2-OX+，兀占兀G兀，不0+?璋J

因?yàn)間（x）在（0,田上恰有一個最值點(diǎn)，

"八＞兀TZCO.7C__37ru-fj/日.

所以歹彳十1^爹，解付

由選項(xiàng)可知B,C,D滿足.

規(guī)律方法求三角函數(shù)的最值（值域）問題，主要是整體代換。讓夕，利用正、余弦函數(shù)的圖象

求解，要注意自變量的范圍.

跟蹤演練1⑴（2023?株洲模擬）已知函數(shù)式x）=2sin（s+0）+1（。＞0,儂詞，其圖象與直線

y=3相鄰兩個交點(diǎn)的距離為兀，若?r）＞2對▼戈￡仁，與恒成立，則8的取值范圍是（）

解析因?yàn)楹瘮?shù)yU）=2sin（Q）x+9）+l（m＞0,19其習(xí)，其圖象與直線y=3相鄰兩個交點(diǎn)的距

離為兀，所以函數(shù)周期7=兀，69=2,由於）＞2知sin（2x+8）＞3，

又當(dāng)工金仕，§時，M+薛倨+外亨+,，

7T

且MIW菱,

（o,今內(nèi)有5個極值點(diǎn)，則。的取值范圍是

口榮13，3_

解析函數(shù)小）的最小正周期7=普，

將函數(shù)/U）的圖象向右平移彳后的解析式為

（l套）=sin["G奇）+3=sin（s節(jié)71

6,

由工￡（0,5），可得S?一71公

6

要使得平移后的圖象有5個極值點(diǎn)，則函數(shù)圖象有5個最值點(diǎn)，則需四等一臺坐,

曰28134

解仔丁<口?了.

考點(diǎn)二單調(diào)性與“，9的取值范圍

例2⑴（2023?南通模擬）已知函數(shù)1x）=2sin（s+g（e>0）,若加）在區(qū)間砥，兀）上單調(diào)遞增,

則。的取值范圍是.

答案（0,1

解析令一5+2EW①x+jw5+ZE,kRZ,

/m3兀.2kli——n.2kn

得F+RE~￡zt,

故7U）的單調(diào)遞增區(qū)間為[—招+等，卷+筌|，f

又於）在俘兀）上單調(diào)遞增，

3兀2攵兀兀

詬十京，

兀.2A兀、

一+---三兀，

4①co

31

解得一］+4ZWcoW2k+a，kRZ,

又co>0,故0<coW；.

（2）（2023?柳州模擬）若直線％是曲線y=sin（cox—（①>0）的一條對稱軸，且函數(shù)y=

sin（s—在區(qū)間［o,強(qiáng)］上不單調(diào)，則口的最小值為（）

A.9B.7C.11D.3

答案C

解析因?yàn)橹本€尸凝曲線

y=sin（8x—今）（加＞0）的一條對稱軸，

則聶一：=攵兀+去k《Z,

7T717r

即co=4A+3,kGZ,由一］Wc(zr—

7T_13兀

得一—WxW廣，

4①4①

則函數(shù)y=sin（tt）x—￡）在［一券，居上單調(diào)遞增,

而函數(shù)y=sin（＜o(jì)x-：）在區(qū)間［。，自上不單調(diào)，

則瑞哈，解得。＞9，

所以。的最小值為11.

規(guī)律方法若三角函數(shù)在區(qū)間■，加上單調(diào)遞增，則區(qū)間伍，切是該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的子集,

利用集合的包含關(guān)系即可求解.

跟蹤演練2已知兀v）=sin（2x—9）（0＜片）在［0，用上單調(diào)遞增，且.3在（。，上有最小值,

那么9的取值范圍是（）

_兀兀、「兀兀）

A?岳2）B-L6'4；

「兀兀\「兀兀、

C62；D仔3；

答案B

-兀1-2九一

解析由。，§,可得2x一一9，9-9，

又由0＜0與7T，且犬x）在［o,J雪T上單調(diào)遞增,

可得爭一衿看所以"夕〈多

當(dāng)系）時，7Tl\

2x-(p^\—(p9不p，

由於）在（0,卷）上有最小值，可得空一夕冷,

所以94.綜上，狂冷.

考點(diǎn)三零點(diǎn)與“，°的取值范圍

例3⑴(2023?新高考全國1)已知函數(shù),/(x)=cos(ox—1(80)在區(qū)間［0,2兀］上有且僅有3個零

點(diǎn)，則。的取值范圍是.

答案［2,3)

解析因?yàn)?WXW2TT,

所以

令yu)=cos3—1=0,

則COSCDX=1有3個根，

令t=sx,則cos/=1有3個根，其中￡［0,2口用，

結(jié)合余弦函數(shù)y=cos，的圖象性質(zhì)可得4兀<2①兀〈6兀，

y產(chǎn)1

O4qy

2TT>>=cost6TT?

故2Wco<3.

(2)將函數(shù)兀v)=cosx的圖象先向右平移,個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?/p>

的焉>0)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在(0,我t沒有零點(diǎn)，則。的

取值范圍是.

答案(0,1

解析將函數(shù)7W=cosx的圖象先向右平移齡單位長度，得到尸cos(T)的圖象，

再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腬(。>0)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)=cos((ox-2

2兀

(co>0),周期7=至，

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在(0,號上沒有零點(diǎn)，所以尹。尋，得T2,即普》兀，得0<0<2,

■JI-JI

令g(x)=0，則。r—d=E+］,kGZ,

得產(chǎn)也+守，kez,

co3①

Ojr27rTT4

令-0,得k好所以法差，得。與，

4

又0〈①W2,所以0<\W?

規(guī)律方法已知函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)求3,9的取值范圍問題，一是利用三角函數(shù)的圖象求

解；二是利用解析式，直接求函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)即可，注意函數(shù)的極值點(diǎn)即為三角函數(shù)的

最大值、最小值點(diǎn).

跟蹤演練3（多選）（2023?郴州模擬）將函數(shù)g（x）=sin3x（”>0）的圖象向左平移端個單位長度

得到函數(shù)大#的圖象，已知Hx）在［0,2網(wǎng)上有且只有5個零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.段）的圖象關(guān)于點(diǎn)《，0）對稱

B.7U）在（0,2兀）上有且只有5個極值點(diǎn)

c.在（0,喘）上單調(diào)遞增

D.。的取值范圍是［當(dāng)，制

答案CD

解析由題意知

犬工）=++能）=sin（0x+（l，

在［0,2用上，令，=5+個￡2①兀,

兀71

所以y=sint在亍2①北+§上有5個零點(diǎn)，

則5?！?刃兀+$6兀，解得寫W①D正確；

（兀、

在（0,2?上,2切兀+引,

由上分析知，極值點(diǎn)個數(shù)可能為5或6個，B錯誤;

且梟+等博第,

故/（舒不為o,A錯誤;

崎。+河騎100）'

故〉=$出^在你書w+某）上單調(diào)遞增，即式x）在（0,上單調(diào)遞增，C正確.

專題強(qiáng)化練

1.（2023?潮州模擬）若7（x）=sin（2x+§在區(qū)間［―r,力上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）

「兀71~］

A.］5,2JB

C（6'I］D（0,f

答案D

解析令甘+2丘W2x+臺升2E,&GZ,

所以一鼻+EWxW5+E,keZ,

所以函數(shù)於）的單調(diào)遞增區(qū)間為［冶+航，,+同，比Z,

又因?yàn)镠x）在［-34上單調(diào)遞增，

貝盯一r,力是甘+E,聿+同，幺GZ的一個子區(qū)間，

當(dāng)k=Q時，即［一去專，

若L，H是［一會制的子集，

則61

2.（2023誠都模擬）將函數(shù)/）=$咕（5+孤0>0）的圖象向右平移；個單位長度后得到函數(shù)時）

的圖象，若g（x）在件用上單調(diào)遞增，則”的最大值為（）

113

A］B，2CqD.1

答案A

解析將於尸sin（3x+；）的圖象向右平移處單位長度后得到g（x）=sin（s—等+?的圖象,

因?yàn)閤C仔,.

七2兀CO71?兀,71

所以4<口工4'4<①兀+4，

因?yàn)樗模┰凇叮蠁握{(diào)遞增，

所以①兀+：/,即0〈①

所以<0的最大值為京

3.設(shè)函數(shù)式x）=sinx在［a,a+專上的值域?yàn)椋劾?，N］,則N—M的取值范圍為（）

A.今明B.小

C.1一坐,1］D.J尊￡

答案B

解析當(dāng)y（x）=sinx在a,a+專上單調(diào)時，

N-M=|/（a+y）-Xa）

=卜in（a+冬）-sina

=|sinacosy+cosctsiny-sina

a-|sin?

=小卜吊像-a）卜小，

所以N—M的最大值為小，

當(dāng)_/（x）=sinx在a,a+空上不單調(diào)，

即人龍）=sinx在a,a+用上的圖象對稱時，N-M取得最小值，

不妨令［%。+第=［專制,

所以N—M的最小值為3，

-1~

所以N—M的取值范圍為后，小.

JT

4.（2023?湖州模擬）已知函數(shù)段）=acos<ox（aW0,w>0）,若將函數(shù)y=/（x）的圖象向左平移疏

個單位長度后得到函數(shù)），=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）=0在［（），圄上有且僅有兩個不

相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是（）

A［學(xué)芝）B.愕,4）

C伴4）D（T-T）

答案B

jr

解析將函數(shù),/（x）=4cos①x（oWO,①>0）向左平移在J個單位長度后得到函數(shù)y=g（x）,

即g(x)=〃cos[co(x+焉)&acos(,

s+君,

Vxe0,司,

?.71「兀7兀,H

,,?x+6eL6,超+打

；g（x）=0在［（）,相］上有且僅有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

.,.居狂隹,為，解得竽Wcw<4,

即實(shí)數(shù)3的取值范圍是［竽，4）.

5.（2023?開封模擬）已知函數(shù)加）=sin（3x+9）（s>0，0<94）的圖象過點(diǎn)尸（0,；）,現(xiàn)將），=於）

的圖象向左平移鼻個單位長度得到的函數(shù)圖象也過點(diǎn)P,則（）

A.co的最小值為2B.co的最小值為6

C.。的最大值為2D.3的最大值為6

答案A

解析依題意/（O）=sin勿=3，因?yàn)?<9號所以

/U）=sin（cux+看）的圖象向左平移1個單位長度得到g（x）=sin①（1+］）+5

=sincox+

八,(71?兀、1

g(0)=sin|jft)+^|=2,

所以卻+*=2攵m+看或卻+看=2依兀+學(xué)

即①=6后或①=6左2+2,其中心，k2GZ,

由于8>0,所以co的最小值為2.

6.（多選）（2023?宜春模擬）設(shè)函數(shù)_/U）=sin（5一芝）（。>0）,若人x）的圖象與直線尸-1在［0,2利

上有且僅有I個交點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.co的取值范圍是［H，韻

B.7（x）在［0,2可上有且僅有2個零點(diǎn)

C.若Xx）的圖象向右平移自個單位長度后關(guān)于y軸對稱，則。=,

D.若將段)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼娜サ玫胶瘮?shù)g(x)的圖象，則g(x)在［o,用上單調(diào)

遞增

答案AC

解析由題意若./U)的圖象與直線＞=-1在［0,2河上有且僅有1個交點(diǎn),

則3—深［一卷2sL用，結(jié)合正弦函數(shù)圖象，如圖，

［十兀2兀

由于一5＜一5，

,,3K2兀7兀

故/"W2①兀一?。?-，

1939

解得而?切〈而，

即同舄,歙A正確;

結(jié)合以上分析可知cox——y,2(on一用,

2M冬修,為,

當(dāng)。X—專=也，氏GZ時，火x)=0,由此可知當(dāng)0X—§=0或無時，函數(shù)一定有2個零點(diǎn),

當(dāng)。欠一卷=2兀或3兀時，相應(yīng)的x可能是函數(shù)的零點(diǎn)，也可能不是,

即式x)在［0,2河上可能有2個零點(diǎn)，也可能有3個或4個零點(diǎn)，B錯誤;

凡r)的圖象向右平移自個單位長度后關(guān)于y軸對稱,

即平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)產(chǎn)sin［o(L制一第

=sin(＜o(jì)x一卷一卷)為偶函數(shù)，

則一五一5=1+E,A￡Z,

54

即①=一亍一12后,kGZ,

只有當(dāng)上=—1時，co=|s第，c正確；

將/U）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼臅玫胶瘮?shù)ga）的圖象,

nilc2?！?兀①兀_2兀]

則2①4一5￡［一歹,^2~~5[

「12到

由于公￡|_20，20/

,,0）712?！溉缳?/p>

故丁守［40，40,

工兀2兀3兀兀237r

而一于一5，宿<而，

故g（x）在［o,用上不一定單調(diào)遞增，D錯誤.

兀7C

7.（2023?沈陽模擬）已知函數(shù)式x）=sinftw+coss（0>O）,若三3G一不工|使得於）的圖象在

點(diǎn)（xo,貝&））處的切線與x軸平行，則0的最小值是.

3

答案4

解析/（x）=sin（ox+coscox=V2sinf<?x+^,

因?yàn)閙x（）e一去外使得於）的圖象在點(diǎn)（xo,.危⑹）處的切線與X軸平行，

所以函數(shù)外）在［甘，上存在最值，即s+Ahr+”CZ,

JkjZ?7T

/仔Px=石■+而，"CZ，

因?yàn)橐籫xW1,

所以4喏+含嗡

即討W+昌，

①23%+土，

則kRZ,

co2-4k_1

3

又切>0,故當(dāng)k=0時，口取最小值不

8.（2023?北京模擬）設(shè)函數(shù)段）=sin（ox+1）（3>0）.給出一個。的值，使得於）的圖象向右平

移2個單位長度后得到的函數(shù)g（X）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則3的一個取值為；若

人X）在區(qū)間（0,兀）上有且僅有兩個零點(diǎn)，則。的取值范圍是.

答案2|]

解析g（x）=sin[s（x—春）

=sin（tux+，

ITjr

取不。=0,得到0）=2滿足條件.

xC（0,兀），則cox+「仔，。兀+5），於）有且僅有兩個零點(diǎn)，

則2?！础Ｘ?；?3兀，解得

9.（2023?晉中模擬）已知函數(shù)y（x）=sin2x+小cos2x的圖象向左平移夕"＞0）個單位長度后得

到函數(shù)g（x）,若g（x）在[一?日上單調(diào)，則。的最小值為.

答案!

解析函數(shù)y（x）=sin2r+-\/3cos2x=2sin（2x+：）,

函數(shù)外）的圖象向左平移p個單位長度后得到g（x）=2sin2（x+p）+]=2sin（2x+20+舒，

當(dāng)一會WxW時，

4o

_7T_?7U,_?2兀

2（p—不＜2戈+29+]〈29+3~,

TT71

又g（x）在[一不二|上單調(diào)，

由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，,一去2p+用中/+方2E+胤伏GZ）或忤*，2夕+專

兀71

c2kn—y2E+g（左￡Z）.

要使（p最小，則左取0,

C兀、兀C兀、元

29-臚》2。-力一3

{一或V,

結(jié)合力＞0,解得卜盧居，

綜上，9的最小值為全

10.設(shè)函數(shù)/（x）=sin（0x+9）,其中。乂）赦=坐，且/（一襲）+/管）=0，則3的最小值為

答案I

解析因?yàn)槿藊）=sin（cax+p）,/（0）=2>

所以sin0=坐，則0=,+2癡或。=冬+22兀,k\GZ,

因?yàn)?，?）+/管）=仇且弋+專專=2X￡,

若要使。最小，則結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性可知?關(guān)于點(diǎn)保0）對稱，

所以sin仔①+夕）=0,貝1J；①+。=女2兀，kWZ、

TTTTTTC>）I

當(dāng)夕=§+241兀時,不。+1+2由兀=攵2兀，則a=—§+22—2攵1,其中qwZ,k?WZ,

因?yàn)棰?gt;0,所以一^+無一2Z］>0,則42—2%i>g,又％2—2左］￡Z,

所以（22—2%］）min=l，貝哈）n】in=—g+（依-2%i）min=］，故％而等；

27rjr27rcn2

當(dāng)e=W+2拓兀時，不^+亍+2冊兀=%2兀，則x=—?+22—2攵1,其中心￡Z,左2《Z,

22

因?yàn)棰?gt;0,所以一］+依-2抬>0,貝|」依一2心冶，又Z2—2A|￡Z,

所以（近一2左）imin=l,則?。﹎in=—|+/2—2M）min=；,故①min=g；

綜上，①min-?

微重點(diǎn)4平面向量數(shù)量積的最值與范圍問題

平面向量中的最值與范圍問題，是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題，主要考查求向量的模、數(shù)量積、

夾角及向量的系數(shù)等的最值、范圍.解決這類問題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，

通過函數(shù)的值域解決問題，同時，平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，數(shù)形結(jié)合也是

解決平面向量中的最值與范圍問題的重要方法.

考點(diǎn)一求參數(shù)的最值（范圍）

3

詼

滿

足-

例1（1）（2023?漳州模擬）已知△已BC,4點(diǎn)E為線段CZ）上異于C,。的

動點(diǎn)，若花=添+〃4<7,則乃+/J的取值范圍是

答案（1，y）

解析由題意設(shè)@=加而，we（o,l）,

因?yàn)橘J=（防，

所以而=；&?=；（n_油），

所以危=危+成=啟+藍(lán)（/_恭）=（1+事前一號贏，

又靠=派+慶，

99

所以A2+/Z2=1+]〃?+§加

a+IM'

又因?yàn)橄?（0,1）,由二次函數(shù)的性質(zhì)得

y=Km+|）+1e（l,y）,

所以乃+〃2的取值范圍是。，嗡.

（2）設(shè)非零向量a,占的夾角為仇若同=2|臼=2,且不等式|2a+Z>|2|a+〃>|對任意的，恒成立,

則實(shí)數(shù)2的取值范圍為（）

A.[-1,3]B.[-1,5]

C.[-7,31D.[5,7]

答案A

解析???非零向量g,8的夾角為仇若⑷=2步|=2,

/.|a|=2,|ft|=l,

ab=2X1Xcos0=2cos

不等式|2。+方|2|0+乃|對任意的。恒成立，

工（2a+b）22（。+Ab）2,

:.4a2++2入ab+A2fe2,

整理可得(13—*)+(8—42)cos恒成立,

Vcos<9e[-l,l],

13-A2+8-4Z^0,

解得一1W/LW3.

13一/-8+4220,

規(guī)律方法利用共線向量定理及推論

(l)a〃=祖6W0).

(2)OA+//dC(2,"為實(shí)數(shù))，則A,B,C三點(diǎn)共線=%+“=1.

跟蹤演練1(1)(2023?深圳模擬)過△ABC的重心G的直線I分別交線段AB,AC于點(diǎn)E,F,

若靠=?，XF=nAC,則2+〃的最小值為()

22+2/

A.g+&B.3

c.1D.1

答案C

解析如圖，若。為BC的中點(diǎn)，又G為△4BC的重心，則A,G,。三點(diǎn)共線，且啟=/),

~?1-?1-?]-?1-?輛，即/=如+如,

因?yàn)锳O=]A8+14C=萬AE+五A/7,

又E,G,F三點(diǎn)共線，所以古+索=1，

21的2

-4

-33--

+■〃

2

當(dāng)且僅當(dāng)2=〃=］時，等號成立.

27r

(2)(2023?佛山模擬)如圖，點(diǎn)C在半徑為1,圓心角為了的扇形OAB的弧AB上運(yùn)動.已知OC

=xOA+yOB,則當(dāng)NAOC=*寸，x+y=；x+y的最大值為.

C

oA

答案小2

解析以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，QA所在直線為x軸,過點(diǎn)。作QA的垂線所在直線為y軸，建立

如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

4

工

Ax

則A(1,O),《一/坐)，OA=(1,0),OB=[-1四

，2/

當(dāng)NAOC弋時，￡|,

則無=(^，m，

由女=樂+)，麗

得停,%x(l,0)+)(T半)，

件『斗「二攣

即《廠解得《

1_J3_A/3

〔2-2%〔，-3*

故x+y=，§.

設(shè)NAOC=a(0<a〈引，

則OC=(cosa,sina),

由OC=xCZ4+.yOB,

得(cosa,sina)=x(l,0)+)(—3，坐)，

fcosa=x~^y,x=cosa+坐sina

即.A解得的,

[sina_&y,1y=sina,

故x+y=cosa+V3sina=2sin(a+TL

由于OWQW專，故當(dāng)Q=即寸，2sin(a+］取最大值為2,即x+y的最大值為2.

考點(diǎn)二求向量模、夾角的最值(范圍)

例2(1)已知e為單位向量，向量。滿足(〃-e>(〃-5e)=O,則|a+c|的最大值為()

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析可設(shè)e=(l,O),a=(x9y),

則(a-e)?(a-5e)=(x-1,y)?(x-5,y)