2023屆廣東省廣州市高三二?？荚嚁?shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市2023屆高三二模數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若為實數(shù)，且，則（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，故選：C．2.已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，則，故集合的元素個數(shù)為.故選：B.3.已知兩個非零向量，滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以，所以，，故選:D.4.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，，，則，，又，，則，即，所以．故選：D．5.木升在古代多用來盛裝糧食作物，是農(nóng)家必備的用具，如圖為一升制木升，某同學制作了一個高為40的正四棱臺木升模型，已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為50的球O的球面上，且一個底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖：正四棱臺，由題意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，且所以,進而可得取的中點為，過的中點作，連接,所以,,故,在直角三角形中，故，由于,所以即為正四棱臺的側(cè)面與底面所成二面角，故正弦值為，故選：A6.已知橢圓C：（），過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過C的右焦點，則C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點為，右焦點為C.因為方向向量的直線斜率為，則，，又由反射光的性質(zhì)可得，故，所以為等腰直角三角形，且到的距離為，又，故，，則，故，離心率.故選：A7.已知函數(shù)，若恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.（） B.（）C.（） D.（）〖答案〗D〖解析〗因為恒成立，所以，即，所以或，所以或，當時，，則，與題意矛盾，當時，，符合題意，所以，所以，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.故選：D.8.已知偶函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且也是偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為為偶函數(shù)，則，等式兩邊求導(dǎo)可得，①因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，②聯(lián)立①②可得，令，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，即函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，整理可得，解得.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%，第2臺加工的次品率為3%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個零件，則下列結(jié)論正確的是（）A.該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.08B.該零件是次品的概率為0.03C.如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為0.98D.如果該零件是次品，那么它不是第3臺車床加工出來的概率為〖答案〗BC〖解析〗記事件：車床加工的零件為次品，記事件：第臺車床加工的零件，則，，，，，，對于，任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為，故A錯誤；對于，任取一個零件是次品的概率為，故B正確；對于，如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為，故C正確；對于，如果該零件是次品，那么它不是第3臺車床加工出來的概率為，故D錯誤．故選：BC．10.已知函數(shù)的定義域是（，），值域為，則滿足條件的整數(shù)對可以是（）A B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗顯然是偶函數(shù)，其圖像如下圖所示：要使值域為，且，,則，；，；，.故選：ACD.11.已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過的直線與雙曲線的右支交于點、，與雙曲線的漸近線交于點、（、在第一象限，、在第四象限），為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若軸，則的周長為B.若直線交雙曲線的左支于點，則C.面積的最小值為D.取值范圍為〖答案〗BD〖解析〗雙曲線的標準方程為，則，易知點、，雙曲線的漸近線方程為.對于A選項，當軸，直線的方程為，聯(lián)立，可得，此時，，則，此時，的周長為，A錯；對于B選項，因為雙曲線關(guān)于原點對稱，則點關(guān)于原點的對稱點也在雙曲線上，因為若直線交雙曲線的左支于點，則點、關(guān)于原點對稱，即、的中點均為原點，故四邊形為平行四邊形，所以，，即，B對；對于C選項，易知的方程為，的方程為，所以，，因為直線與雙曲線的右支交于點、，則直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，則，解得，由韋達定理可得，，可得，聯(lián)立可得，即點，聯(lián)立可得，，即點，所以，，，所以，，當且僅當時，等號成立，C錯；對于D選項，，當時，，當時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，當時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，綜上所述，的取值范圍是，D對.故選：BD.12.已知正四面體的棱長為2，點，分別為和的重心，為線段上一點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若取得最小值，則B.若，則平面C.若平面，則三棱錐外接球的表面積為D.直線到平面的距離為〖答案〗BCD〖解析〗將正四面體放入正方體中，以點為原點，以，，所在直線為軸，軸，軸，如圖所示，因為正四面體的長為2，所以正方體的棱長為，則，，，因為點，分別為和的重心，所以點的坐標為，點的坐標為所以設(shè)，則，所以，所以，，對于Ａ：因為，，所以，當時，即，，取得最小值，故A錯誤；對于B：若，則，所以，因為，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，因為，所以平面，即平面，故B正確；對于C：若平面，則，即，，即，設(shè)平面的一個法向量為，因為，，則，取，則，因為，所以平面，則三棱錐外接球的球心在直線上，又因為點為等邊三角形的重心，所以點為等邊三角形的外心，外接圓半徑為，設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，即，解得，所以三棱錐P－ABC外接球的表面積為，故C選項正確；對于D：因為點的坐標為，點的坐標為，所以，設(shè)平面的一個法向量為，因為，，所以，取，則，因為，且直線平面，所以直線平面，所以點到平面的距離就是直線到平面的距離，則點到平面的距離，即直線到平面的距離為，故D正確，故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某班有48名學生，一次考試的數(shù)學成績X（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績在上的學生人數(shù)為16，則成績在90分以上的學生人數(shù)為____________.〖答案〗8〖解析〗由X（單位：分）服從正態(tài)分布，知正態(tài)密度曲線的對稱軸為，成績在上的學生人數(shù)為16，由對稱性知成績在80分上的學生人數(shù)為24人，所以90分以上的學生人數(shù)為.故〖答案〗為：814.已知，的展開式中存在常數(shù)項，寫出n的一個值為____________.〖答案〗3（〖答案〗不唯一）〖解析〗二項式的展開式的通項為，因為二項式的展開式中存在常數(shù)項，所以有解，即，可得n的一個值為3.故〖答案〗為：3（〖答案〗不唯一）15.在數(shù)列中，，，若，則正整數(shù)____________．〖答案〗10〖解析〗由，，令，則，所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，即，又為正整數(shù)，所以，即，解得或（舍去）．故〖答案〗為：10．16.在平面直角坐標系中，定義為，兩點之間的“折線距離”.已知點，動點P滿足，點M是曲線上任意一點，則點P的軌跡所圍成圖形的面積為___________，的最小值為___________〖答案〗〖解析〗設(shè)，，當時，則，即，當時，則，即，當時，則，即當時，則，即，故點P的軌跡所圍成圖形如下圖陰影部分四邊形的面積：則.如下圖，設(shè)，，顯然，，，求的最小值，即的最小值，的最大值，又，下面求的最小值，令，，即，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，有最小值，且，所以.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)是數(shù)列的前n項和，已知，.（1）求，；（2）令，求.解：（1）由得即，即，又，所以，（2）當時，，當時，，兩式相加可得，得，由于，所以18.一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)新投入（單位：千萬元）對每件產(chǎn)品成本（單位：元）的影響，對近年的年技術(shù)創(chuàng)新投入和每件產(chǎn)品成本的數(shù)據(jù)進行分析，得到如下散點圖，并計算得：，，，，.（1）根據(jù)散點圖可知，可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程；（2）已知該產(chǎn)品的年銷售額（單位：千萬元）與每件產(chǎn)品成本的關(guān)系為.該企業(yè)的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入，還要投入其他成本千萬元，根據(jù)（1）的結(jié)果回答：當年技術(shù)創(chuàng)新投入為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？（注：年利潤=年銷售額一年投入成本）參考公式：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小乘估計分別為：，.（1）解：令，則關(guān)于的線性回歸方程為，由題意可得，，則，所以，關(guān)于的回歸方程為.（2）解：由可得，年利潤，當時，年利潤取得最大值，此時，所以，當年技術(shù)創(chuàng)新投入為千萬元時，年利潤的預(yù)報值取最大值.19.記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若點在邊上，且，，求.（1）解：因為，由余弦定理可得，化簡可得，由余弦定理可得，因為，所以，.（2）解：因為，則為銳角，所以，，因為，所以，，所以，，設(shè)，則，在和中，由正弦定理得，，因為，上面兩個等式相除可得，得，即，所以，.20.如圖，在直三棱柱中，，點D是的中點，點E在上，平面.（1）求證：平面平面；（2）當三棱錐的體積最大時，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取中點，連接、，如圖所示：，點是的中點，，又是的中點，，又在直三棱柱中，有，平面，平面，平面，且面，平面平面，，平面，且平面，，又，且、平面，平面，又，平面，平面，面平面.（2）解：由（1）知平面，則，設(shè)，則，，，，由基本不等式知，當且僅當時等號成立，即三棱錐的體積最大，此時，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則有，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，取，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，，故直線與平面所成角的正弦值為.21.已知點，P為平面內(nèi)一動點，以為直徑的圓與y軸相切，點P的軌跡記為C.（1）求C的方程；（2）過點F的直線l與C交于A，B兩點，過點A且垂直于l的直線交x軸于點M，過點B且垂直于l的直線交x軸于點N.當四邊形的面積最小時，求l的方程.解：（1）設(shè)，則以為直徑的圓的圓心為，根據(jù)圓與y軸相切，可得，化簡得，所以C的方程為（2）由題意可知：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線：，，聯(lián)立，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則所以，所以，由題意可知四邊形為梯形，所以，設(shè)，則，所以，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，所以當時，即時，面積最小，此時，故直線的方程為：，即或22.已知函數(shù)，.（1）當時，，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知，證明：.（1）解：令，則，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，即，所以，當時，，即，當時，取，由于，而，得，故，不合乎題意.綜上所述，.（2）證明：當時，由（1）可得，則，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，所以，，，令，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，所以，，，所以，.廣東省廣州市2023屆高三二模數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若為實數(shù)，且，則（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，故選：C．2.已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，則，故集合的元素個數(shù)為.故選：B.3.已知兩個非零向量，滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以，所以，，故選:D.4.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，，，則，，又，，則，即，所以．故選：D．5.木升在古代多用來盛裝糧食作物，是農(nóng)家必備的用具，如圖為一升制木升，某同學制作了一個高為40的正四棱臺木升模型，已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為50的球O的球面上，且一個底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖：正四棱臺，由題意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，且所以,進而可得取的中點為，過的中點作，連接,所以,,故,在直角三角形中，故，由于,所以即為正四棱臺的側(cè)面與底面所成二面角，故正弦值為，故選：A6.已知橢圓C：（），過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過C的右焦點，則C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點為，右焦點為C.因為方向向量的直線斜率為，則，，又由反射光的性質(zhì)可得，故，所以為等腰直角三角形，且到的距離為，又，故，，則，故，離心率.故選：A7.已知函數(shù)，若恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.（） B.（）C.（） D.（）〖答案〗D〖解析〗因為恒成立，所以，即，所以或，所以或，當時，，則，與題意矛盾，當時，，符合題意，所以，所以，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.故選：D.8.已知偶函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且也是偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為為偶函數(shù)，則，等式兩邊求導(dǎo)可得，①因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，②聯(lián)立①②可得，令，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，即函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，整理可得，解得.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%，第2臺加工的次品率為3%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個零件，則下列結(jié)論正確的是（）A.該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.08B.該零件是次品的概率為0.03C.如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為0.98D.如果該零件是次品，那么它不是第3臺車床加工出來的概率為〖答案〗BC〖解析〗記事件：車床加工的零件為次品，記事件：第臺車床加工的零件，則，，，，，，對于，任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為，故A錯誤；對于，任取一個零件是次品的概率為，故B正確；對于，如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為，故C正確；對于，如果該零件是次品，那么它不是第3臺車床加工出來的概率為，故D錯誤．故選：BC．10.已知函數(shù)的定義域是（，），值域為，則滿足條件的整數(shù)對可以是（）A B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗顯然是偶函數(shù)，其圖像如下圖所示：要使值域為，且，,則，；，；，.故選：ACD.11.已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過的直線與雙曲線的右支交于點、，與雙曲線的漸近線交于點、（、在第一象限，、在第四象限），為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若軸，則的周長為B.若直線交雙曲線的左支于點，則C.面積的最小值為D.取值范圍為〖答案〗BD〖解析〗雙曲線的標準方程為，則，易知點、，雙曲線的漸近線方程為.對于A選項，當軸，直線的方程為，聯(lián)立，可得，此時，，則，此時，的周長為，A錯；對于B選項，因為雙曲線關(guān)于原點對稱，則點關(guān)于原點的對稱點也在雙曲線上，因為若直線交雙曲線的左支于點，則點、關(guān)于原點對稱，即、的中點均為原點，故四邊形為平行四邊形，所以，，即，B對；對于C選項，易知的方程為，的方程為，所以，，因為直線與雙曲線的右支交于點、，則直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，則，解得，由韋達定理可得，，可得，聯(lián)立可得，即點，聯(lián)立可得，，即點，所以，，，所以，，當且僅當時，等號成立，C錯；對于D選項，，當時，，當時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，當時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，綜上所述，的取值范圍是，D對.故選：BD.12.已知正四面體的棱長為2，點，分別為和的重心，為線段上一點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若取得最小值，則B.若，則平面C.若平面，則三棱錐外接球的表面積為D.直線到平面的距離為〖答案〗BCD〖解析〗將正四面體放入正方體中，以點為原點，以，，所在直線為軸，軸，軸，如圖所示，因為正四面體的長為2，所以正方體的棱長為，則，，，因為點，分別為和的重心，所以點的坐標為，點的坐標為所以設(shè)，則，所以，所以，，對于Ａ：因為，，所以，當時，即，，取得最小值，故A錯誤；對于B：若，則，所以，因為，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，因為，所以平面，即平面，故B正確；對于C：若平面，則，即，，即，設(shè)平面的一個法向量為，因為，，則，取，則，因為，所以平面，則三棱錐外接球的球心在直線上，又因為點為等邊三角形的重心，所以點為等邊三角形的外心，外接圓半徑為，設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，即，解得，所以三棱錐P－ABC外接球的表面積為，故C選項正確；對于D：因為點的坐標為，點的坐標為，所以，設(shè)平面的一個法向量為，因為，，所以，取，則，因為，且直線平面，所以直線平面，所以點到平面的距離就是直線到平面的距離，則點到平面的距離，即直線到平面的距離為，故D正確，故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某班有48名學生，一次考試的數(shù)學成績X（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績在上的學生人數(shù)為16，則成績在90分以上的學生人數(shù)為____________.〖答案〗8〖解析〗由X（單位：分）服從正態(tài)分布，知正態(tài)密度曲線的對稱軸為，成績在上的學生人數(shù)為16，由對稱性知成績在80分上的學生人數(shù)為24人，所以90分以上的學生人數(shù)為.故〖答案〗為：814.已知，的展開式中存在常數(shù)項，寫出n的一個值為____________.〖答案〗3（〖答案〗不唯一）〖解析〗二項式的展開式的通項為，因為二項式的展開式中存在常數(shù)項，所以有解，即，可得n的一個值為3.故〖答案〗為：3（〖答案〗不唯一）15.在數(shù)列中，，，若，則正整數(shù)____________．〖答案〗10〖解析〗由，，令，則，所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，即，又為正整數(shù)，所以，即，解得或（舍去）．故〖答案〗為：10．16.在平面直角坐標系中，定義為，兩點之間的“折線距離”.已知點，動點P滿足，點M是曲線上任意一點，則點P的軌跡所圍成圖形的面積為___________，的最小值為___________〖答案〗〖解析〗設(shè)，，當時，則，即，當時，則，即，當時，則，即當時，則，即，故點P的軌跡所圍成圖形如下圖陰影部分四邊形的面積：則.如下圖，設(shè)，，顯然，，，求的最小值，即的最小值，的最大值，又，下面求的最小值，令，，即，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，有最小值，且，所以.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)是數(shù)列的前n項和，已知，.（1）求，；（2）令，求.解：（1）由得即，即，又，所以，（2）當時，，當時，，兩式相加可得，得，由于，所以18.一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)新投入（單位：千萬元）對每件產(chǎn)品成本（單位：元）的影響，對近年的年技術(shù)創(chuàng)新投入和每件產(chǎn)品成本的數(shù)據(jù)進行分析，得到如下散點圖，并計算得：，，，，.（1）根據(jù)散點圖可知，可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程；（2）已知該產(chǎn)品的年銷售額（單位：千萬元）與每件產(chǎn)品成本的關(guān)系為.該企業(yè)的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入，還要投入其他成本千萬元，根據(jù)（1）的結(jié)果回答：當年技術(shù)創(chuàng)新投入為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？（注：年利潤=年銷售額一年投入成本）參考公式：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小乘估計分別為：，.（1）解：令，則關(guān)于的線性回歸方程為，由題意可得，，則，所以，關(guān)于的回歸方程為.（2）解：由可得，年利潤，當時，年利潤取得