2023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試卷B（新高考II卷專用）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷B（新高考II卷專用）數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，，即；由對數(shù)函數(shù)定義域知：；.故選：A.2．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的有（

）A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．C．的虛部為 D．在復(fù)平面內(nèi)是第三象限的點〖答案〗B〖解析〗因為，所以的共軛復(fù)數(shù)為；；的虛部為；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，它在第四象限，故選：B3．已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B．3 C． D．〖答案〗A〖解析〗雙曲線的漸近線為，不妨取，依題意圓心到直線的距離，即，即；所以雙曲線的離心率；故選：A4．已知為遞増等差數(shù)列，等比數(shù)列以為前兩項且公比為3，若，則（

）A．13 B．41 C．57 D．86〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題，所以，即，所以，所以，又因為為公比為3的等比數(shù)列，所以，解得，故選：B．5．已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且該圓錐內(nèi)切球的表面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以.又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，則圓錐的體積.故選：C.6．云臺閣，位于鎮(zhèn)江西津渡景區(qū)，全全落于云臺山北峰，建筑形式具有宋?元古建特征.如圖，小明同學(xué)為測量云臺閣的高度，在云臺閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12，在它們的地面上的點M（B，M，D三點共線）測得樓頂A，云臺閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺閣的高度為（

）（，，精確到1）A．42 B．45 C．51 D．57〖答案〗D〖解析〗因為，所以在中，，故，在中，，則，所以由正弦定理得，故，所以在中，，故.故選：D.7．現(xiàn)有五名志愿者分配到甲，乙，丙三個不同社區(qū)參加志愿者活動，每個社區(qū)至少安排一人，則和分配到同一社區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗把分成三組有和兩種情況，①當(dāng)為時，基本事件的個數(shù)為；②當(dāng)為時，基本事件的個數(shù)為，所以基本事件的總數(shù)為；和分配到同一社區(qū)包含的基本事件個數(shù)為，所以和分配到同一社區(qū)的概率為，故選：C.8．設(shè)是定義在上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且.當(dāng)時，不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則.因為，，所以恒成立.則函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，不等式可化為，即恒成立.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不等式在上恒成立，所以在上恒成立.令，則.令，得.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.所以，所以，故所求實數(shù)的取值范固為.故選:A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題中，正確的命題有（

）A．已知隨機變量X服從正態(tài)分布且，則B．設(shè)隨機變量，則C．在拋骰子試驗中，事件，事件，則D．在線性回歸模型中，表示解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率，越接近于1，表示回歸的效果越好〖答案〗BD〖解析〗A：因為且，所以，所以，A錯誤；B：因為，所以，B正確；C：由題知，事件，所以，C錯誤；D：由的意義可知D正確.故選：BD10．已知，且，則下列說法中正確的有（

）A． B． C． D．〖答案〗ABC〖解析〗由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確；，時，，D錯誤．故選：ABC．11．已知拋物線的焦點為F，為C上一點，.過C的準(zhǔn)線上一點P，作C的兩條切線，其中A?B為切點.則下列判斷正確的是（

）A． B．拋物線C的準(zhǔn)線方程為C．以線段為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切 D．直線恒過焦點F〖答案〗ACD〖解析〗如圖所示：因為為C上一點，且，所以，解得，A正確；拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為，B不正確；由，得，設(shè)，則直線PA的方程為，由點A在直線上，得，即，則直線PB的方程為，由點B在直線上，得，即，所以直線AB的方程為，所以直線AB過定點，C正確；設(shè)線段AB的中點為C，由圖象和拋物線定義知：，所以以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，D正確.故選：ACD12．在正方體中，為的中點，點在線段上運動，點在棱上運動，為空間中任意一點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．異面直線與所成角的取值范圍是B．的最小值為C．若，則平面截此正方體所得截面的面積是D．若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于，如圖1，易知四邊形為平行四邊形，則，所以與所成角即為異面直線與所成的角或補角.又點在線段上運動，可知是等邊三角形，所以直線與所成角的取值范圍是故A正確對于B，如圖2，展開平面，使平面與平面共面，過作，交于點，交于點，則此時最小，由題可知，，則，即的最小值為，故B錯誤.對于，如圖3，平面截此正方體所得截面，所以，作，則，所以，則.又因為，所以，所以，則，可求出，故C正確.對于，如圖4，因為，所以在一個平面內(nèi)，點的軌跡是以為焦點的橢圓.又因為，所以該橢圓的長軸長為8，短軸長為，故點的軌跡是以為焦點的橢球表面.設(shè)的中點為，要使三棱錐的體積最大，即到平面的距離最大，所以當(dāng)平面，且平面時，三棱錐的體積最大，此時為等邊三角形，設(shè)其中心為，三棱錐的外接球的球心為的外心為，連接，則，所以，此時三棱錐外接球的表面積故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)______.〖答案〗或〖解析〗二項式的通項公式為且所以的通項公式為①當(dāng)時①式的被減數(shù)變?yōu)楫?dāng)時①式的減數(shù)變?yōu)樗哉归_式中的系數(shù)為所以，或故〖答案〗為：或14．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù):_____.①;②當(dāng)時，單調(diào)遞減;③為偶函數(shù).〖答案〗（不唯一）〖解析〗性質(zhì)①顯然是和對數(shù)有關(guān)，性質(zhì)②只需令對數(shù)的底即可，性質(zhì)③只需將自變量加絕對值即變成偶函數(shù).故〖答案〗為：（不唯一）15．若，且滿足，則___________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，設(shè).由可得：，兩式相除得：.又，且解得：.因為，所以，解得：.故〖答案〗為：.16．在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點）運動，且滿足，則的面積的取值范圍為________.〖答案〗8〖解析〗如圖，以為原點，所在的直線為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因為，，，所以，，，由余弦定理得得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?，解得，或，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，，故〖答案〗為?3四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（10分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線的長.解：（1）因為，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因為為邊上的中線，所以，所以，所以，所以邊上的中線的長為：.18．（12分）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，且.（1）求證：；（2）求二面角的大小.（1）證明：由于四邊形為菱形，則平面平面又平面平面平面，又平面（2）解：如下圖，取的中點，連接，為等邊三角形，，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意得，又，則，，由（1）知平面，則可取為平面的法向量設(shè)平面的法向量為，則，，令得，設(shè)二面角的平面角為，則，由題知二面角的銳二面角，所以二面角大小為.19．（12分）已知正項數(shù)列的前項和為，且，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和，求證：.（1）解：當(dāng)時，，所以，由，得，兩式相減得，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是以為公差的等差數(shù)列，又，所以數(shù)列是以為首項為公差的等差數(shù)列，所以；（2）證明：，則，所以，所以.20．（12分）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機構(gòu)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進入二期臨床試驗.根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會產(chǎn)生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測，用x表示注射疫苗后的天數(shù)，y表示人體中抗體含量水平（單位：miu/mL，即：百萬國際單位/毫升），現(xiàn)測得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.天數(shù)x123456抗體含量水平y(tǒng)510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.（1）根據(jù)散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實數(shù)）哪一個更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型？（給出到斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；（3）從這位志愿者的前6天的檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取3天的數(shù)據(jù)作進一步的分析，求其中的y值小于50的天數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：其中.3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87參考公式：；，.解：（1）根據(jù)散點圖判斷，更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型.理由：方程表示的是直線，而方程表示的是曲線，散點圖表示的是曲線.（2），，設(shè)，則有，，，，所以y關(guān)于x的回歸方程為.當(dāng)時，，則該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為miu/mL.（3）由表中數(shù)據(jù)可知，前三天的值小于50，故的可能取值為0，1，2，3.，，，，故的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.21．（12分）已知橢圓的離心率為，點與橢圓的左?右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，直線，的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.（1）解：橢圓離心率為，即，點與橢圓的左?右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形，，，，故橢圓的方程為.（2）解：由直線與橢圓交于，兩點，設(shè)，，則聯(lián)立得，，則，.，.原點到的距離，為定值.22．（12分）已知函數(shù)，．（1）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，求在上的最小值；（3）證明：．（1）解：由已知可得：，即恒成立，又則有．（2）解：由已知可得：，，令，在上單調(diào)遞減，又因為，，，所以存在使得，則有正負遞增遞減又有，，所以在上，則在上單調(diào)遞增，所以最小值為．（3）證明：由（2）可得在上恒成立，令，在上，所以單調(diào)遞增且，所以，，從而當(dāng)時，令，，，…，得到，，，…，，相加得：2023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷B（新高考II卷專用）數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，，即；由對數(shù)函數(shù)定義域知：；.故選：A.2．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的有（

）A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．C．的虛部為 D．在復(fù)平面內(nèi)是第三象限的點〖答案〗B〖解析〗因為，所以的共軛復(fù)數(shù)為；；的虛部為；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，它在第四象限，故選：B3．已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B．3 C． D．〖答案〗A〖解析〗雙曲線的漸近線為，不妨取，依題意圓心到直線的距離，即，即；所以雙曲線的離心率；故選：A4．已知為遞増等差數(shù)列，等比數(shù)列以為前兩項且公比為3，若，則（

）A．13 B．41 C．57 D．86〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題，所以，即，所以，所以，又因為為公比為3的等比數(shù)列，所以，解得，故選：B．5．已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且該圓錐內(nèi)切球的表面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以.又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，則圓錐的體積.故選：C.6．云臺閣，位于鎮(zhèn)江西津渡景區(qū)，全全落于云臺山北峰，建筑形式具有宋?元古建特征.如圖，小明同學(xué)為測量云臺閣的高度，在云臺閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12，在它們的地面上的點M（B，M，D三點共線）測得樓頂A，云臺閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺閣的高度為（

）（，，精確到1）A．42 B．45 C．51 D．57〖答案〗D〖解析〗因為，所以在中，，故，在中，，則，所以由正弦定理得，故，所以在中，，故.故選：D.7．現(xiàn)有五名志愿者分配到甲，乙，丙三個不同社區(qū)參加志愿者活動，每個社區(qū)至少安排一人，則和分配到同一社區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗把分成三組有和兩種情況，①當(dāng)為時，基本事件的個數(shù)為；②當(dāng)為時，基本事件的個數(shù)為，所以基本事件的總數(shù)為；和分配到同一社區(qū)包含的基本事件個數(shù)為，所以和分配到同一社區(qū)的概率為，故選：C.8．設(shè)是定義在上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且.當(dāng)時，不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則.因為，，所以恒成立.則函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，不等式可化為，即恒成立.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不等式在上恒成立，所以在上恒成立.令，則.令，得.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.所以，所以，故所求實數(shù)的取值范固為.故選:A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題中，正確的命題有（

）A．已知隨機變量X服從正態(tài)分布且，則B．設(shè)隨機變量，則C．在拋骰子試驗中，事件，事件，則D．在線性回歸模型中，表示解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率，越接近于1，表示回歸的效果越好〖答案〗BD〖解析〗A：因為且，所以，所以，A錯誤；B：因為，所以，B正確；C：由題知，事件，所以，C錯誤；D：由的意義可知D正確.故選：BD10．已知，且，則下列說法中正確的有（

）A． B． C． D．〖答案〗ABC〖解析〗由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確；，時，，D錯誤．故選：ABC．11．已知拋物線的焦點為F，為C上一點，.過C的準(zhǔn)線上一點P，作C的兩條切線，其中A?B為切點.則下列判斷正確的是（

）A． B．拋物線C的準(zhǔn)線方程為C．以線段為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切 D．直線恒過焦點F〖答案〗ACD〖解析〗如圖所示：因為為C上一點，且，所以，解得，A正確；拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為，B不正確；由，得，設(shè)，則直線PA的方程為，由點A在直線上，得，即，則直線PB的方程為，由點B在直線上，得，即，所以直線AB的方程為，所以直線AB過定點，C正確；設(shè)線段AB的中點為C，由圖象和拋物線定義知：，所以以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，D正確.故選：ACD12．在正方體中，為的中點，點在線段上運動，點在棱上運動，為空間中任意一點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．異面直線與所成角的取值范圍是B．的最小值為C．若，則平面截此正方體所得截面的面積是D．若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于，如圖1，易知四邊形為平行四邊形，則，所以與所成角即為異面直線與所成的角或補角.又點在線段上運動，可知是等邊三角形，所以直線與所成角的取值范圍是故A正確對于B，如圖2，展開平面，使平面與平面共面，過作，交于點，交于點，則此時最小，由題可知，，則，即的最小值為，故B錯誤.對于，如圖3，平面截此正方體所得截面，所以，作，則，所以，則.又因為，所以，所以，則，可求出，故C正確.對于，如圖4，因為，所以在一個平面內(nèi)，點的軌跡是以為焦點的橢圓.又因為，所以該橢圓的長軸長為8，短軸長為，故點的軌跡是以為焦點的橢球表面.設(shè)的中點為，要使三棱錐的體積最大，即到平面的距離最大，所以當(dāng)平面，且平面時，三棱錐的體積最大，此時為等邊三角形，設(shè)其中心為，三棱錐的外接球的球心為的外心為，連接，則，所以，此時三棱錐外接球的表面積故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)______.〖答案〗或〖解析〗二項式的通項公式為且所以的通項公式為①當(dāng)時①式的被減數(shù)變?yōu)楫?dāng)時①式的減數(shù)變?yōu)樗哉归_式中的系數(shù)為所以，或故〖答案〗為：或14．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù):_____.①;②當(dāng)時，單調(diào)遞減;③為偶函數(shù).〖答案〗（不唯一）〖解析〗性質(zhì)①顯然是和對數(shù)有關(guān)，性質(zhì)②只需令對數(shù)的底即可，性質(zhì)③只需將自變量加絕對值即變成偶函數(shù).故〖答案〗為：（不唯一）15．若，且滿足，則___________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，設(shè).由可得：，兩式相除得：.又，且解得：.因為，所以，解得：.故〖答案〗為：.16．在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點）運動，且滿足，則的面積的取值范圍為________.〖答案〗8〖解析〗如圖，以為原點，所在的直線為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因為，，，所以，，，由余弦定理得得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，即，解得，或，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，，故〖答案〗為?3四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（10分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線的長.解：（1）因為，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因為為邊上的中線，所以，所以，所以，所以邊上的中線的長為：.18．（12分）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，且.（1）求證：；（2）求二面角的大小.（1）證明：由于四邊形為菱形，則平面平面又平面平面平面，又平面（2）解：如下圖，取的中點，連接，為等邊三角形，，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意得，又，則，，由（1）知平面，則可取為平面的法向量設(shè)平面的法向量為，則，，令得，設(shè)二面角的平面角為，則，由題知二面角的銳二面角，所以二面角大小為.19．（12分）已知正項數(shù)列的前項和為，且，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和，求證：.（1）解：當(dāng)時，，所以，由，得，兩式相減得，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是以為公差的等差數(shù)列，又，所以數(shù)列是以為首項為公差的等差數(shù)列，所以；（2）證明：，則，所以，所以.20．（12分）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機構(gòu)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進入二期臨床試驗.根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會產(chǎn)生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測，用x表示注射疫苗后的天數(shù)，y表示人體中抗體含量水平（單位：miu/mL，即：百萬國