2023屆高三下學期開學摸底考數(shù)學試卷（廣東專用）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE12023屆高三下學期開學摸底考試卷（廣東專用）數(shù)學一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知：，所以．故選：B．2.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，則，，解得，即.故選：D.3.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，所以，故選：A.4.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A.2n–1 B.2–21–n C.2–2n–1 D.21–n–1〖答案〗B〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.5.已知雙曲線以正方形ABCD的兩個頂點為焦點，且經(jīng)過該正方形的另兩個頂點，則雙曲線E的離心率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，正方形的頂點A，B為雙曲線的焦點，頂點C，D在雙曲線上則，故由正方形得：，所以，則即：，兩邊同除得：，解得：或（舍）故選：A.6.紅燈籠，起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上下兩個相同球冠剩下的部分.如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：，所以cm，所以cm，所以兩個球冠的面積為cm2，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為：cm2，故選：C.7.為落實疫情防控“動態(tài)清零”總方針和“四早”要求，有效應對奧密克戎變異株傳播風險，確保正常生活和生產(chǎn)秩序，某企業(yè)決定于每周的周二、周五各做一次抽檢核酸檢測.已知該企業(yè)組裝車間的某小組有6名工人，每次獨立、隨機的從中抽取3名工人參加核酸檢測.設該小組在一周內(nèi)的兩次抽檢中共有名不同的工人被抽中，下列結論不正確的是（）A.該小組中的工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為B.C.該小組中的工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為D.〖答案〗B〖解析〗依題意每次抽取，工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為，故A正確；依題意的可能取值為，則，意味著第一次從6人中選中的3人，第二次仍然為這3人，則，同理可得：，所以，故B錯誤；對于，工人甲一周內(nèi)兩次均未被選中的概率為，所以工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為，故正確；，意味著第一次先從6人中選中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人中的2人，另外一人從沒有抽到的3人中抽取，故概率為：，同理可得：，所以，故D正確.故選：B.8.實數(shù)，，分別滿足，，，則，，大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，，則，因為，所以，所以，設，則，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.為迎接黨的二十大勝利召開，某中學舉行黨史知識競賽，對全校參賽的1000名學生的得分情況進行了統(tǒng)計，把得分數(shù)據(jù)按照?分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）A.B.得分在區(qū)間內(nèi)的學生人數(shù)為300C.該校學生黨史知識競賽成績的中位數(shù)大于80D.估計該校學生黨史知識競賽成績的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)〖答案〗AD〖解析〗對于A，由頻率分布直方圖性質(zhì)得：，解得，故正確；對于B，由頻率分布直方圖得：成績落在區(qū)間的頻率為，所以人數(shù)為，故B不正確；對于，由頻率分布直方圖得：的頻率為的頻率為，所以成績的中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，故錯誤；對于D，估計成績的平均數(shù)為：，所以成績的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，故D正確.故選：AD.10.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G為C1D1的中點，K為A1D1中點，M為AB中點，點P在線段B1C上運動，點Q在棱C1C上運動，則下列結論正確的有（）A.直線BD1⊥平面A1C1DB.異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是C.PQ+QG的最小值為D.過點GKM的平面截正方體所得多邊形的面積為〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項，連接，則，由題可知，平面，且平面，則，又，面，平面，平面，則，同理可得，，面，直線平面，則選項A正確；對于B選項，由題可知，，，所以四邊形為平行四邊形，則，所以與所成角即為異面直線與所成角，易知是等邊三角形，又點在線段上運動，所以直線與所成角的取值范圍是，則B選項錯誤；對于C選項，如圖展開平面，使平面共面，過作，交與點，交與點，則此時最小，由題可知，，，則，即的最小值為，則C選項正確；對于D選項，作中點，連接，如圖，易知多邊形為過點GKM的平面截正方體所得多邊形，易求，即多邊形為正六邊形，連結交于點，故.故選：ACD.11.已知F是拋物線的焦點，O為坐標原點，A，B是拋物線C上的兩點，的中點M在C的準線上的投影為N，則（）A.曲線C的準線方程為 B.若，則的面積為C.若，則 D.若，則〖答案〗BC〖解析〗拋物線的焦點，準線，設，有，，，曲線C的準線方程為，A不正確；，而，則，即有，的面積，B正確；由得：，顯然，即有，，，當且僅當時取等號，C正確；設點的橫坐標為，有，則，在中，，由余弦定理得：，即有，當且僅當時取等號，因此，D不正確.故選：BC12.已知函數(shù)的定義域為R，為的導函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗若為偶函數(shù)，則，故，則為奇函數(shù)故，由可得，又可得，兩式相減得，所以函數(shù)的周期為4；由可得又可得，兩式相加得所以函數(shù)的對稱中心為；則，，故A選項正確；又，則，由函數(shù)的周期為4可得，，故B，D選項正確；可得，所以，故C選項不正確；故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則實數(shù)______．〖答案〗4〖解析〗因為的定義域為，顯然關于原點對稱，又的圖象關于原點對稱，所以是奇函數(shù)，則，所以對于恒成立，解得，故.故〖答案〗為：4.14.在的展開式中，的系數(shù)為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，把二項式看成由和兩項構成，展開式中含的項為，再將展開可得含的項為即可知的系數(shù)為.故〖答案〗為：15.已知定義在R上的函數(shù)滿足：①曲線上任意一點處的切線斜率均不小于1；②曲線在原點處的切線與圓相切，請寫出一個符合題意的函數(shù)______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由②可設過原點且與圓相切的直線為，則，解得或（舍），結合①知曲線在原點處的切線為．當時，（〖答案〗不唯一，只要符合題意即可），滿足①．因為，所以曲線在原點處的切線為，滿足②．故符合題意．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）16.函數(shù)廣泛應用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領域，其中為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則__________．〖答案〗4107〖解析〗由題意可得：當時，，在內(nèi)共有項奇數(shù)，且，故令,則，兩式相減得：，即，則.故〖答案〗為：4107.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列數(shù)列的前項和為，且對于任意的都有.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項中的最大值為，最小值為，令，求數(shù)列的前20項和.解：（1）當時，，即，當時，，相減得，整理得，因為，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）因為，所以單調(diào)遞增，當時，，所以，當為奇數(shù)且時，即，所以，當為偶數(shù)時，即，所以，所以，所以.18.（本小題滿分12分）已知在銳角中，是的中點，且.求的值；若，求的面積.解：（1）解法一：因為是的中點，所以,所以,即，所以.解法二：在中，由正弦定理得,即，在中，由正弦定理得,即，因為是的中點，所以，因為,所以，所以.（2）在中，因為，是銳角，所以，由（1）得，在中，因為是銳角，所以，所以，所以.19.（本小題滿分12分）如圖，為半球的半徑，為上一點，為半球面上一點，且.證明：;若,求直線與平面所成的角的正弦值.（1）證明：因為為直徑，為上一點,所以，又因為,，平面,平面,所以平面，因為平面，所以,因為為直徑，為半球面上一點，所以，又因為,平面,平面，所以平面,因為平面，所以.（2）解：在中,由,得，在中，由，，得，取中點，連接，，因為，所以，因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，所以兩兩相互垂直，如圖，分別以,,為軸建立空間直角坐標系，則，，，，設平面的一個法向量為,因為,,所以，即，解得，取，得，又因為，所以，設直線與平面所成角為，所以.20.（本小題滿分12分）某校組織“百年黨史”知識比賽，每組有兩名同學進行比賽，有2道搶答題目．已知甲、乙兩位同學進行同一組比賽，每人搶到每道題的機會相等．搶到題目且回答正確者得100分，沒回答者得0分；搶到題目且回答錯誤者得0分，沒搶到者得50分，2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲答對每道題目的概率為．乙答對每道題目的概率為，且兩人各道題目是否回答正確相互獨立．（1）求乙同學得100分的概率；（2）記X為甲同學的累計得分，求X的分布列和數(shù)學期望．解：（1）由題意，乙同學得100分的基本事件有{乙搶到兩題且一道正確一道錯誤}、{甲乙各搶到一題都回答正確}、{甲搶到兩題且回答錯誤}，所以乙同學得100分的概率為.（2）由題意，甲同學的累計得分可能值為，；；；；；分布列如下：050100150200所以期望21.（本小題滿分12分）已知橢圓C：，經(jīng)過圓O：上一動點P作橢圓C的兩條切線．切點分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點P的M，N兩點．（1）求證：M，O，N三點共線；（2）求△OAB面積的最大值．（1）證明：由圓的對稱性，不妨設在第一象限，若斜率不存在，則直線為，所以，則另一條切線為(即斜率為0)，此時；若、斜率存在且不為0時，設切線方程為，聯(lián)立橢圓方程有，整理得，所以，整理得，且，所以，又，故，即；綜上，有，又M，N兩點圓O上，即，由圓的性質(zhì)知：是圓O的直徑，所以M，O，N三點共線，得證；（2）解：同（1），由圓的對稱性，設在第一象限，，，當時，；當時，、斜率都存在且不為0，令為，聯(lián)立橢圓并整理得：，由，整理得，所以，又在橢圓上，則，故，所以直線的方程為，化簡得，即；同理可得：直線的方程為，又在直線、直線上，則，所以直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，又，則，故，所以，，又不共線，，，而O到直線的距離，所以，令，，且，即或，所以，則，當且僅當時等號成立，此時；綜上，，當時△OAB面積的最大值.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)且.（1）設，討論的單調(diào)性；（2）若且存在三個零點.1）求實數(shù)的取值范圍；2）設，求證：.（1）解：,,因為,定義域為當時,,解,得,解,得當時,解,得,解,得綜上,當時,增區(qū)間為,減區(qū)間為,當時,增區(qū)間為,減區(qū)間為,（2）1）解：因為且存在三個零點.所以有3個根當時,,在上是單調(diào)遞增的,由零點存在定理,方程必有一個負根.當,,即有兩個根,令,可轉(zhuǎn)化為與有兩個交點,可得,,是單調(diào)遞增的,可得,,是單調(diào)遞減的,其中,當,所以可得,即得.2）證明：因為且存在三個零點.設，,易知其中,,因為,所以,故可知;①由1）可知與有兩個交點,,是單調(diào)遞增的,,,,所以;②,若,則若,構造函數(shù),設,因為又因為,所以③因為又因為所以即得④由③④可知,,在上單調(diào)遞增,可得,可知與同號所以,在上單調(diào)遞增.,,又由1)可知所以,,,是單調(diào)遞增的,所以⑤由①②⑤可知.2023屆高三下學期開學摸底考試卷（廣東專用）數(shù)學一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知：，所以．故選：B．2.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，則，，解得，即.故選：D.3.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，所以，故選：A.4.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A.2n–1 B.2–21–n C.2–2n–1 D.21–n–1〖答案〗B〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.5.已知雙曲線以正方形ABCD的兩個頂點為焦點，且經(jīng)過該正方形的另兩個頂點，則雙曲線E的離心率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，正方形的頂點A，B為雙曲線的焦點，頂點C，D在雙曲線上則，故由正方形得：，所以，則即：，兩邊同除得：，解得：或（舍）故選：A.6.紅燈籠，起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上下兩個相同球冠剩下的部分.如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：，所以cm，所以cm，所以兩個球冠的面積為cm2，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為：cm2，故選：C.7.為落實疫情防控“動態(tài)清零”總方針和“四早”要求，有效應對奧密克戎變異株傳播風險，確保正常生活和生產(chǎn)秩序，某企業(yè)決定于每周的周二、周五各做一次抽檢核酸檢測.已知該企業(yè)組裝車間的某小組有6名工人，每次獨立、隨機的從中抽取3名工人參加核酸檢測.設該小組在一周內(nèi)的兩次抽檢中共有名不同的工人被抽中，下列結論不正確的是（）A.該小組中的工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為B.C.該小組中的工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為D.〖答案〗B〖解析〗依題意每次抽取，工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為，故A正確；依題意的可能取值為，則，意味著第一次從6人中選中的3人，第二次仍然為這3人，則，同理可得：，所以，故B錯誤；對于，工人甲一周內(nèi)兩次均未被選中的概率為，所以工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為，故正確；，意味著第一次先從6人中選中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人中的2人，另外一人從沒有抽到的3人中抽取，故概率為：，同理可得：，所以，故D正確.故選：B.8.實數(shù)，，分別滿足，，，則，，大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，，則，因為，所以，所以，設，則，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.為迎接黨的二十大勝利召開，某中學舉行黨史知識競賽，對全校參賽的1000名學生的得分情況進行了統(tǒng)計，把得分數(shù)據(jù)按照?分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）A.B.得分在區(qū)間內(nèi)的學生人數(shù)為300C.該校學生黨史知識競賽成績的中位數(shù)大于80D.估計該校學生黨史知識競賽成績的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)〖答案〗AD〖解析〗對于A，由頻率分布直方圖性質(zhì)得：，解得，故正確；對于B，由頻率分布直方圖得：成績落在區(qū)間的頻率為，所以人數(shù)為，故B不正確；對于，由頻率分布直方圖得：的頻率為的頻率為，所以成績的中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，故錯誤；對于D，估計成績的平均數(shù)為：，所以成績的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，故D正確.故選：AD.10.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G為C1D1的中點，K為A1D1中點，M為AB中點，點P在線段B1C上運動，點Q在棱C1C上運動，則下列結論正確的有（）A.直線BD1⊥平面A1C1DB.異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是C.PQ+QG的最小值為D.過點GKM的平面截正方體所得多邊形的面積為〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項，連接，則，由題可知，平面，且平面，則，又，面，平面，平面，則，同理可得，，面，直線平面，則選項A正確；對于B選項，由題可知，，，所以四邊形為平行四邊形，則，所以與所成角即為異面直線與所成角，易知是等邊三角形，又點在線段上運動，所以直線與所成角的取值范圍是，則B選項錯誤；對于C選項，如圖展開平面，使平面共面，過作，交與點，交與點，則此時最小，由題可知，，，則，即的最小值為，則C選項正確；對于D選項，作中點，連接，如圖，易知多邊形為過點GKM的平面截正方體所得多邊形，易求，即多邊形為正六邊形，連結交于點，故.故選：ACD.11.已知F是拋物線的焦點，O為坐標原點，A，B是拋物線C上的兩點，的中點M在C的準線上的投影為N，則（）A.曲線C的準線方程為 B.若，則的面積為C.若，則 D.若，則〖答案〗BC〖解析〗拋物線的焦點，準線，設，有，，，曲線C的準線方程為，A不正確；，而，則，即有，的面積，B正確；由得：，顯然，即有，，，當且僅當時取等號，C正確；設點的橫坐標為，有，則，在中，，由余弦定理得：，即有，當且僅當時取等號，因此，D不正確.故選：BC12.已知函數(shù)的定義域為R，為的導函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗若為偶函數(shù)，則，故，則為奇函數(shù)故，由可得，又可得，兩式相減得，所以函數(shù)的周期為4；由可得又可得，兩式相加得所以函數(shù)的對稱中心為；則，，故A選項正確；又，則，由函數(shù)的周期為4可得，，故B，D選項正確；可得，所以，故C選項不正確；故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則實數(shù)______．〖答案〗4〖解析〗因為的定義域為，顯然關于原點對稱，又的圖象關于原點對稱，所以是奇函數(shù)，則，所以對于恒成立，解得，故.故〖答案〗為：4.14.在的展開式中，的系數(shù)為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，把二項式看成由和兩項構成，展開式中含的項為，再將展開可得含的項為即可知的系數(shù)為.故〖答案〗為：15.已知定義在R上的函數(shù)滿足：①曲線上任意一點處的切線斜率均不小于1；②曲線在原點處的切線與圓相切，請寫出一個符合題意的函數(shù)______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由②可設過原點且與圓相切的直線為，則，解得或（舍），結合①知曲線在原點處的切線為．當時，（〖答案〗不唯一，只要符合題意即可），滿足①．因為，所以曲線在原點處的切線為，滿足②．故符合題意．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）16.函數(shù)廣泛應用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領域，其中為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則__________．〖答案〗4107〖解析〗由題意可得：當時，，在內(nèi)共有項奇數(shù)，且，故令,則，兩式相減得：，即，則.故〖答案〗為：4107.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列數(shù)列的前項和為，且對于任意的都有.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項中的最大值為，最小值為，令，求數(shù)列的前20項和.解：（1）當時，，即，當時，，相減得，整理得，因為，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）因為，所以單調(diào)遞增，當時，，所以，當為奇數(shù)且時，即，所以，當為偶數(shù)時，即，所以，所以，所以.18.（本小題滿分12分）已知在銳角中，是的中點，且.求的值；若，求的面積.解：（1）解法一：因為是的中點，所以,所以,即，所以.解法二：在中，由正弦定理得,即，在中，由正弦定理得,即，因為是的中點，所以，因為,所以，所以.（2）在中，因為，是銳角，所以，由（1）得，在中，因為是銳角，所以，所以，所以.19.（本小題滿分12分）如圖，為半球的半徑，為上一點，為半球面上一點，且.證明：;若,求直線與平面所成的角的正弦值.（1）證明：因為為直徑，為上一點,所以，又因為,，平面,平面,所以平面，因為平面，所以,因為為直徑，為半球面上一點，所以，又因為,平面,平面，所以平面,因為平面，所以.（2）解：在中,由,得，在中，由，，得，取中點，連接，，因為，所以，因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，所以兩兩相互垂直，如圖，分別以,,為軸建立空間直角坐標系，則，，，，設平面的一個法向量為,因為,,所以，即，解得，取，得，又因為，所以，設直線與平面所成角為，所以.20.（本小題滿分12分）某校組織“百年黨史”知識比賽，每組有兩名同學進行比賽，有2道搶答題目．已知甲、乙兩位同學進行同一組比賽，每人搶到每道題的機會相等．搶到題目且回答正確者得100分，沒回答者得0分；搶到題目且回答錯誤者得0分，沒搶到者得50分，2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲答對每道題目的概率為．乙答對每道題目的概率為，且兩人各道題目是否回答正確相互獨立．（1）求乙同學得100分的概率；（2