廣東省東莞市三校2024年高考全國統(tǒng)考預(yù)測卷數(shù)學(xué)試卷含解析

廣東省東莞市三校2024年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2.已知平面ABCD，平面且AB=3,AD=CD=6,ADE尸是正方形，在正方形

ADE尸內(nèi)部有一點〃，滿足與平面ADEF所成的角相等，則點M的軌跡長度為（）

44

A.-B.16C.-71D.8"

33

3.已知函數(shù)/'（x）=[：g2（：l），x>l,則/[/（_2）]=（）

A.1B.2C.3D.4

4.函數(shù)〃無）=%212—1）（尤2—4）的圖象可能是（）

5.已知集合M={]|丁=而捻},N={xeN|4—爐20},則McN為（）

A.[1,2]B.{0,1,2)C.{1,2}D.(1,2)

<0

6.已知a,/?eR,函數(shù)/(x)=<131八2c，若函數(shù)y=/（%）-依一"恰有三個零點，則（）

—X------（Cl+1）X+6ZX,X0

132

A.a<-l,b<QB.a<-l,b>Q

C.a>-l,b<0D.a>-l,b>Q

7.在空間直角坐標系。-孫z中，四面體。鉆C各頂點坐標分別為：

0（0,0,0）,A（0,0,2）,56,0,0）C（O,g百,0；假設(shè)螞蟻窩在O點，一只螞蟻從0點出發(fā)，需要在A5，AC±

分別任意選擇一點留下信息，然后再返回。點.那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是（）

A.272B.^11-721C,J5+0ID.273

8.給出下列三個命題：

①“玉：oeR,xj-2x0+l<0”的否定；

②在ABC中，“3>30°”是“cos5〈且”的充要條件；

2

③將函數(shù)y=2cos2x的圖象向左平移煮個單位長度，得到函數(shù)y=2cos，x+W的圖象.

其中假命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

9.已知拋物線C：》2=20火夕>0）的焦點為尸（0,1）,若拋物線。上的點A關(guān)于直線/：y=2x+2對稱的點3恰好在

射線y=ll（x<3）上，則直線AE被C截得的弦長為（）

91100118127

A.—B.-----C.-----D.——

9999

10.下列與函數(shù)y=3定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（

)

A.y=210g2XB.j=logWC.y=log

22D,y=x^

11.如圖，在二二二二中，點M是邊二二的中點，將一二二二沿著AM翻折成一二二二，且點二不在平面二二二內(nèi)，點二是

線段上一點.若二面角與二面角的平面角相等，則直線經(jīng)過.一的（）

C.內(nèi)心D.外心

12.單位正方體A5C〃-A1］G2,黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”.白螞蟻

爬地的路線是AAi-AiA--，黑螞蟻爬行的路線是A3-B31T”,它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i

段所在直線必須是異面直線Me"）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白兩

螞蟻的距離是（）

A.1B.y/2C.73D.0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知實數(shù)。/且。2—。=〃—/由M="+上的最大值是_______

2ab

14.若點N為點〃在平面a上的正投影，則記N=「（M）.如圖，在棱長為1的正方體A3CD-AgGR中，記平

面A5Q為夕，平面ABC。為九點P是線段CG上一動點，Q="力（「）］,&=%［力（BL給出下列四個結(jié)論:

①。2為ABQi的重心;

②QQLBD；

4

③當CP=1時，PQ-平面夕；

④當三棱錐APB,的體積最大時，三棱錐D「APB,外接球的表面積為2萬.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

15.以（％,0）,（4,0）為圓心的兩圓均過（L0）,與V軸正半軸分別交于（0,%）,（0,%），且滿足1"1+1”2=。，則

點（力,生）的軌跡方程為.

16.在ABC中，2AB=3AC,AO是的。的角平分線，設(shè)AD=〃zAC,則實數(shù)加的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)函數(shù)/（%）=sin2%+2+cos2%+若sinjvcosx.

6

71

(1)若|x|<—，求函數(shù)/(%)的值域；

4

(2)設(shè)A,B,C為ABC的三個內(nèi)角，若/(m)=g,cos(A+C)=—等，求cos。的值;

18.(12分)設(shè)x,y,ZGR,z(x+2y)=w.

(1)若x2+2V+3z2的最小值為4,求的值；

(2)若尤2+4丁+工22?1,證明：加4—1或機21.

2

x=n

x=l-m

19.(12分)在直角坐標系xQy中，直線/1的參數(shù)方程為，,八為參數(shù))，直線4的參數(shù)方程n（為參

y=k(m-1)y=2+-

'k

數(shù))，若直線乙,4的交點為P，當左變化時，點P的軌跡是曲線c

(1)求曲線c的普通方程；

(2)以坐標原點為極點，X軸非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，設(shè)射線4的極坐標方程為

0^a(p..O),tana=1l0<a<|L點Q為射線4與曲線C的交點，求點Q的極徑.

2。.(12分)設(shè)的附與-"段，Q…口,其中桃小二

(1)當機=1時，求尸(〃，1)?。(〃，1)的值；

(2)對V優(yōu)eN+,證明：尸(〃，加),。(〃，〃，)恒為定值.

21.(12分)如圖是圓。的直徑，K4垂直于圓。所在的平面，C為圓周上不同于A8的任意一點

(1)求證：平面平面「5C；

(2)設(shè)出=45=24。=4,。為心的中點，〃為AP上的動點(不與A重合)求二面角A——C的正切值的

最小值

22.(10分)已知函數(shù)/(x)="+m-工一2asinx(a,beR).

(1)若a=O,b=l,求函數(shù)/(無)的單調(diào)區(qū)間；

(2)匕=一1時，若/(x)>0對一切XG(O,不)恒成立，求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計算x=l時的函數(shù)值可排除三個選項.

【詳解】

x>0時，函數(shù)為減函數(shù)，排除B,T<x<0時，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D,又x=l時，y=l-ln2>0,排除C,

只有A可滿足.

故選：A.

【點睛】

本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除，可通過

特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負，函數(shù)值的變化趨勢排除，最后剩下的一個即為正確選項.

2、C

【解析】

根據(jù)與平面ADE尸所成的角相等，判斷出Affi>=2AM,建立平面直角坐標系，求得"點的軌跡方程，由

此求得點〃的軌跡長度.

【詳解】

由于平面A3CD，平面ADEP,且交線為AO,AB±AD,CDrAD,所以AB，平面ADEF,CD，平面ADE尸.

所以/BMA和NQWD分別是直線與平面所所成的角，所以=所以

tanZBM4=tanZOWD,即任=烏，所以"0=2417.以A為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，貝！I

AMMD

A(0,0),0(6,0),設(shè)(點”在第一象限內(nèi))，由MD=2AM得M)2=4AM2,即

(x-6)2+/=4(x2+y2),化簡得(x+2)2+V=42,由于點以在第一象限內(nèi)，所以M點的軌跡是以G(—2,0)為

圓心，半徑為4的圓在第一象限的部分.令％=0代入原的方程，解得'=±26，故"(0,26),由于G4=2,所以

冗rr47r

ZHGA=~,所以點"的軌跡長度為式義4=丁.

333

故選：C

【點睛】

本小題主要考查線面角的概念和運用，考查動點軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合

的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

3、C

【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式冼求出〃-2),進而可求出/[/(-2)].

【詳解】

由題意可得了(—2)=32=9,則/[/(-2)]=/(9)=log2(9-l)=3.

故選:C.

【點睛】

本題考查了求函數(shù)的值，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

先判斷函數(shù)y=/(x)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項.

【詳解】

函數(shù)y=/(x)的定義域為R，/(-x)=(-x)2-(-^)2-1-(-X)2-4=X2(x2-l)(x2-4)=/(x),該函數(shù)為偶

函數(shù)，排除B、D選項；

當0<%<1時，/(X)=X2(X2-1)(X2-4)>0,排除C選項.

故選：A.

【點睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，結(jié)合

排除法得出結(jié)果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

5,C

【解析】

分別求解出M,N集合的具體范圍，由集合的交集運算即可求得答案.

【詳解】

因為集合加={刈％之1},N={xeN|—2<x<2}={0,l,2},

所以河7V={1,2}

故選:C

【點睛】

本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運算，考查基本運算能力.

6、C

【解析】

當x<0時，、=/0)—依一6=無一公一人=(1一。)無一3最多一個零點；當龍..0時，

y=f(x)-ax-b=^xi-^(a+V)x2+ax-ax-b=^x3-^(a+V)x2-b,利J用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)

性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得.

【詳解】

b

當x<0時，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(l-a)x-b=O9得％=----；y=/(%)_依一6最多一個零點；

1-a

當X..0時，y=f(九)一—Z?——d——(Q+I)/+QX_QX_/?——/——(Q+1)犬2—b,

V=I2-(〃+1)%,

當〃+L,。，即④一1時，/..0,y=f(x)-ax-b^[0,+口)上遞增，y=/(%)—依—b最多一個零點.不合題意;

當。+1>0,即a>—1時，令V〉o得xe[a+l,+8）,函數(shù)遞增，令y<0得xe[O,a+1）,函數(shù)遞減；函數(shù)最

多有2個零點;

根據(jù)題意函數(shù)y=7（九）-依-匕恰有3個零點O函數(shù)y=/（尤）-以一人在（-8,0）上有一個零點，在[0,+℃）上有2

個零點，

如圖：

卜。>0

—<o且h31,

l-a-(a+1)3——(a+l)(a+l)2-Z?<0

、32

一1二

解得方<0,\—ci>010>b>—(fl+1),a>—1.

遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及。力兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中

有可能分類不全面、不徹底.

7、C

【解析】

將四面體Q鉆C沿著。4劈開，展開后最短路徑就是的邊OO',在中，利用余弦定理即可求解.

【詳解】

將四面體。RC沿著。4劈開，展開后如下圖所示：

A

最短路徑就是AAO。的邊OO'.

易求得NOAB=ZO'AC=30°，

由AO=2,OB=—A/3知AB=—g

33

AC=-V3,BC=y]OB2+OC2=-y/6

33

AB?+AC?-BC?

=>cosABAC=

2AB-AC

-1-61--16---8

3333

4

2XAXA

V3V3

由余弦定理知OO'2=AO2+AO'2-2AO-AO'-cosZOAO'

其中AO=AO'=2,cosZOAO'=cos(60°+NBAC)=3"^

‘OO'2=5+同nOO'=75+721

故選：c

【點睛】

本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

8、C

【解析】

結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對三個命題逐個分析并判斷其真假，即可選出答案.

【詳解】

2

對于命題①,因為君-2X0+1=(X0-1)>0，所以“九e艮年-2/+1<0”是真命題，故其否定是假命題，即①是假命

題；

對于命題②，充分性：ABC中，若B>30°,則30°<B<180°,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,cosl80°<cosB<cos30°，即

-1<COSB<—，即可得到COB<—，即充分性成立泌要性：ABC中,0°<8<180°,若COB<—，結(jié)合余弦函數(shù)

22SJ2SJ

的單調(diào)性可知,cos180°<cos3<cos30°,即30°<3<180°,可得到B>30°,即必要性成立.故命題②正確;

對于命題③,將函數(shù)y=2cos2x的圖象向左平移最個單位長度,可得到y(tǒng)=2cos2卜+弓=2cos2x+g的圖象，即命

題③是假命題.

故假命題有①③.

故選:C

【點睛】

本題考查了命題真假的判斷，考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，考查了學(xué)生的邏輯推理能

力,屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

由焦點得拋物線方程，設(shè)4點的坐標為(加，〈加2),根據(jù)對稱可求出點4的坐標，寫出直線AE方程，聯(lián)立拋物線求

交點，計算弦長即可.

【詳解】

拋物線C：x2=2py(p>Q)的焦點為F(O,1),

則K=l,即2=2,

2

設(shè)A點的坐標為(加」加2),§點的坐標為n<3,

4

如圖：

22

/lib-

m=b3

解得c，或”(舍去),

n=2JJ

A(6,9)

4

，直線AF的方程為y=-x+l,

-3

設(shè)直線AF與拋物線的另一個交點為D,

2

4,x=——

y——x+1x=63

由＜3,解得＜

21

x=4y)二一

9

???|AD\=

故直線A尸被C截得的弦長為—.

9

故選:B.

【點睛】

本題主要考查了拋物線的標準方程，簡單幾何性質(zhì)，點關(guān)于直線對稱，屬于中檔題.

10、C

【解析】

1

分析函數(shù)丁=的定義域和單調(diào)性，然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項.

-Jx

【詳解】

函數(shù)y=在（0,+8）上為減函數(shù).

A選項，y=2豌2、的定義域為（0,+8）,在（0,+8）上為增函數(shù)，不符合.

B選項，y=log2（g］的定義域為R,不符合.

C選項，y=log2’的定義域為（0,+8）,在（0,+8）上為減函數(shù)，符合.

X

D選項，,=，的定義域為［0,+8),不符合.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

根據(jù)題意二到兩個平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到二一--「二一一，得到答案.

【詳解】

二面角與二面角的平面角相等，故到兩個平面的距離相等.

故二=二-_-一，即二一_一一-二二一__一，兩三棱錐高相等，故二----二二——，

一—一—————————■■■■■■10

故二二二二二，故二為二二中點.

故選：二

【點睛】

本題考查了二面角，等體積法，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.

12、B

【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點，得到每爬1步回到起點，周期為L計算黑螞蟻爬完2020段

后實質(zhì)是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點，即可計算出它們的距離.

【詳解】

由題意，白螞蟻爬行路線為AAi—AIOITZ>IGTCICTC8TR4,

即過1段后又回到起點，

可以看作以1為周期，

由2020+6=3364,

白螞蟻爬完2020段后到回到C點；

同理，黑螞蟻爬行路線為AB^BB^BiCi^CiD^DtD^DA,

黑螞蟻爬完2020段后回到Di點，

所以它們此時的距離為0.

故選B.

【點睛】

本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值

【詳解】

,M

由儲一0二人―"化簡得+(8_g)=g,又實數(shù)2;,圖形為:圓，如圖：]:

12212

a-a=b-b9RTM6Z=a+b-bb'=Q+Z?—a2

rmiHa?CL~\-b—I24+6一片1b,a,ba

貝!=一+一=----------+----------=l-la+ld-----b=——la—b7+2

abababab

由幾何意義得[尬—1,1+0],則]^[V2-U+A/2],為求最大值則當過點A或點3時a+b取最小值，可得

11B迪+1

M=0—1+1+0-------------—+2=

2222

所以的最大值是迪+1

ab2

【點睛】

本題考查了二元最值問題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問題，對要求的二元二次表達式進行化簡，然

后求出最值問題，本題有一定難度。

14、①②③

【解析】

①點P在平面ABC。內(nèi)的正投影為點C,而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線CA垂直于

平面A42,而AA與3為正三角形，可得。2為正三角形以與2的重心，所以①是正確的；

②取用2的中點E,連接AE,則點尸在平面的正投影在AE上，記為Q,而班），平面ACGA，Qi，Q2e平

面ACG4,所以所以②正確；

4

③若設(shè)AECG="，則由PQiAE可得RtAMAC^RtAMPQ,然后對應(yīng)邊成比例，可解CP=不，所以③正確；

④由于/「4啊=/一陰△，而AA與2的面積是定值，所以當點P到平面入與A的距離最大時，三棱錐AP用的

體積最大，而當點P與點。重合時，點尸到平面的距離最大，此時P-A與2為棱長為雙的正四面體，其外

接球半徑R=3，則S球=3〃，所以④錯誤.

2

【詳解】

因為力（P）=C,連接CA，則有C4,平面A312，CAc平面AB[D]=2，C4=C4=C2,A4A為正三角形，

所以。2為正三角形AA314的中心，也是AABiA的重心，所以①正確；

由小，平面A5Qi，可知平面ACGA，平面A42,記力（P）=Q，

由8。LAC,3。，CG，可得3D，平面ACG4,2，Q2e平面ACGA，則所以②正確;

2-t

若PQ1平面夕，則PQAE,設(shè)。尸=/（藤+l）,AEcCG="由RtJWACSRJMPQ得PQ=，易得

2jC=—(2-0?由PQilAE,則NPQ]C=NA￡4C,由tanNPQC=tanNMAC得，后一版,解得

3-^-(2-0

4

t=CP=-f所以③正確；

當P與C重合時，=Mp-A觸，最大，P-A四已為棱長為直的正四面體，其外接球半徑R=W，則s球=3",

所以④錯誤.

故答案為：①②③

【點睛】

此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.

X

15、y=-----

2x-l

【解析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可知（4,0）在線段AB的垂直平分線上，由此得到靖=1-2%,同理可得力=1-2電，由對數(shù)運算法

則可知乂%=1,從而化簡得到出=/:，由此確定軌跡方程.

2%—1

【詳解】

In%+In%=In（%%）=°，二>i%=1，

QA（LO）和3（0，X）的中點坐標為且（4,0）在線段AB的垂直平分線上,

A

2

.■--r—?3=-1，即才=1—2%,同理可得：yj=l-2a2,

A—1

萬一%

???(1-2a1)(l-2?2)=(%%丫=1，'%=

，點（q,4）的軌跡方程為y=—

2x-l

X

故答案為：y=---

2%—1

【點睛】

本題考查動點軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對數(shù)運算法則構(gòu)造出口,%滿足的方程，由此得到結(jié)果.

16、

【解析】

設(shè)AB=3,，AC=2t9ZBAD=ACAD=a,由S^BAD+S^CAD=S^BAC,用面積公式表示面積可得到加=geosa,

利用ae0,（,即得解.

【詳解】

設(shè)AB=3t,AC=2t,/LBAD=ACAD=cc，

由SABAD+^Z\CAD=S/^BAC得:

—2mt-sinor+—??2mt?sin。=工?3%?2%?sinla,

222

化簡得機=geosa,

由于卜

故加

故答案為:

【點睛】

本題考查了解三角形綜合，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

⑵cosC=^

17、(1)

[22

【解析】

(1)將/(x)=sin[2x+W1+cos2x+7^sinxcosx,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:，/(x)=2sin[2x+,再

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解，

(2)根據(jù)=得sin(A+B[=l,又4為ABC的內(nèi)角，得到A=工，再根據(jù)cos(A+C)=—，利

<2；2<07314

用兩角和與差的余弦公式求解，

【詳解】

.c1c1+COS2XG.c

(1)f(%)——sin2xH—cos2xH-------------1-----sin2x,

2222

=Csin2x+cos2x+g=2sin]2x+?1

+2f

,,71TCA冗2冗v3

x|<—/.<2xH—<—------<sinf2x+^j<l,

43632

~-G</(尤)&a,

即廣。)的值域為1g-月];

(2)由得si?A+f=1，

77

又A為ABC的內(nèi)角，所以A=§,

又因為在ABC中，cos(A+C)=-—>

14

所以sin(A+C)=—,

14

1/人心、6?/人個、3百

所以cosC=cos[A+C-y=-cos(A+C)H-----sin(A+C)=------?

2214

【點睛】

本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題,

18、(1)2；(2)見解析

【解析】

(1)將X2+2/+3Z2化簡為(/+Z2)+2(/+Z2),再利用基本不等式即可求出最小值為4,便可得出機的值；

(2)根據(jù)片+廿22|闔，即2(。2+/)44+人)2,得出x2+4y2+gz2Ng(x+2y)2+gz2,利用基本不等式求

出最值，便可得出〃?的取值范圍.

【詳解】

解：(1)由題可知，X,y,zeR,z(x+2y)=777

尤2+2y2+3z2=(^x2+z2)+2^y2+z2^>2xz+4yz=2m=4,

?*.m=2.

(2)'：a2+b2>2\ab\,

.-.2(?2+/?2)>(a+&)\

x2+4y2+gz?2g(x+2y)2+gz?2g-2lx+2y)z|>1,

/.|??1|>1,即：^nW—l或mNI.

【點睛】

本題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式和放縮法求最值，考查化簡計算能力.

8

19、(1)x92+(y-l)92=l(%*0)；(2)-

【解析】

(D將兩直線化為普通方程，消去參數(shù)3即可求出曲線C的普通方程；

43

(2)設(shè)。點的直角坐標系坐標為(pcosa,夕sina\p>0),求出sina=1,cosa=1，

代入曲線C可求解.

【詳解】

X

(1)直線4的普通方程為y=左(-x),直線1的普通方程為y-2=:

2k

2

聯(lián)立直線乙,/2方程消去參數(shù)左,得曲線C的普通方程為y(y-2)=-%

整理得d+(y—l)2=1(x/0).

(2)設(shè)。點的直角坐標系坐標為(pcosa,夕sina)(p>0),

4(萬)43

由tana=一Q<a<—可得sina=—,cosQ=一

8

29

代入曲線。的方程可得p--p=09

Q

解得夕=二,夕=0（舍），

Q

所以點。的極徑為

【點睛】

本題主要考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為極坐標方程，極徑的求法，屬于中檔題.

20、（1）1（2）1

【解析】

分析：（1）當m=1時可得P（",l）=￡,2（"J）=〃+l,可得=1.⑵先得到關(guān)系式

=累乘可得P（〃M）=正而「（0，相）=《丁，從而可得P5，〃力。（”77）=1,即為

定值.

詳解：（1）當機=1時，P（"）=￡（T）*G占=二￡（一球。胃=二，

又Q（"4）=c：+i=〃+i，

所以尸1）=1.

⑵p（〃,間=￡（-1）%;匕

k=om+k

n—i

小生琰GM力氣+（T"忌

=i+￡（Td占+t（TS七

k=]Tkl?Kk=]iiLiK

=p（〃一iM）+t（一i『G\：W

k=im+k

=p（〃TW+生二

m+k

=P（n—1,m）4——P（n,m）

n

即P（%=----P（n—l,m）,

由累乘可得尸(〃，加)=心＞(0,間=」-

(〃+間！')

又。(〃,加)=?！?/p>

所以尸(n,m).Q(n,m)=1.

即尸(n,m).Q(n,加)恒為定值1.

點睛：本題考查組合數(shù)的有關(guān)運算，解題時要注意所給出的P(”,相)和。(〃,相)的定義，并結(jié)合組合數(shù)公式求解.由

于運算量較大，解題時要注意運算的準確性，避免出現(xiàn)錯誤.

21、(1)見解析(2)巫

3

【解析】

(1)推導(dǎo)出ACL3C,PALBC,從而3cL平面B4C,由面面垂直的判定定理即可得證.

(2)過A作ACA3,以4為坐標原點，建立如圖所示空間坐標系，設(shè)M(0,0j?e(0,4],利用空間向量法表示出

二面角的余弦值，當余弦值取得最大時，正切值求得最小值；

【詳解】

(1)因為O,BCu面。

:.PA±BC

BCLAC,ACr\PA=A,ACu平面率C,PAu平面PAC,

r.5C_L平面PAC,

又BCu平面「5C,

???平面Q4C,平面「5C；

(2)過A作Ac,A3,以4為坐標原點，建立如圖所示空間坐標系,

則4(0,0,0),C(班,1,0),5(0,4,0),設(shè)M((W)法(0,4],

BC=(A/3,-3,0),BM=(0,—4J)

則平面AMB的一個法向量為根=(1,0,0)

設(shè)平面BMC的一個法向量為n=(x,y,z)

n-BC=Os/3x-3y=0令小

則x=6,=1,1,；

n-BM=0-4y+tz=O

如圖二面角A-BM-C的平面角