2024年新高考物理二輪復(fù)習(xí)-帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)

帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)

?考情透析/

命題點(diǎn)考頻分析命題特點(diǎn)核心素養(yǎng)

帶電粒子在本專題主要考查帶電粒子在

2023年:物理觀念：

有界勻強(qiáng)磁磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，主要分為帶

湖南T6掌握帶電粒子在磁

場(chǎng)中的圓周電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

全國(guó)甲T7場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)

運(yùn)動(dòng)（包括臨界極值問題）、帶電粒子

2022年:動(dòng)的基本概念，以及

帶電粒子束束在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（放縮圓、磁

遼寧T8半徑和周期的計(jì)算。

在磁場(chǎng)中的聚焦、磁擴(kuò)散類問題）、帶電粒子

浙江6月T22科學(xué)思維：

運(yùn)動(dòng)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題（周期

2021年:能夠根據(jù)具體問題

性造成的多解）等。高考常常結(jié)

帶電粒子在湖南T13構(gòu)建出不同的物理

合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行考查，對(duì)學(xué)生分

磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)全國(guó)乙T3模型，并對(duì)不同的模

析推理能力、綜合應(yīng)用能力要求

的多解問題北京T12型進(jìn)行分析推理。

較高。

通熱點(diǎn)突破/

命題點(diǎn)Q帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)

▼考題示例1

（2023?北京?模擬題）（多選）地磁場(chǎng)可以減少宇宙射線中帶電粒子對(duì)地球上生物體的危害。

為研究地磁場(chǎng)，某研究小組模擬了一個(gè)地磁場(chǎng)，如圖所示，模擬地球半徑為R,赤道剖面外

地磁場(chǎng)可簡(jiǎn)化為包圍地球、厚度為以方向垂直該剖面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3）,

d=2R,磁場(chǎng)邊緣某處（未畫出）有一粒子源，可在赤道平面內(nèi)以不同速度向各個(gè)方向射入

某種帶正電粒子。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子速度為2V時(shí)，沿半徑方向射入磁場(chǎng)的粒子恰不能到達(dá)

模擬地球。不計(jì)粒子重力及大氣對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的影響，且不考慮相對(duì)論效應(yīng)。則（）

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A.粒子的比荷包=上

m2BR

B.粒子的比荷幺=」，

mBR

C.速度為V的粒子，到達(dá)模擬地球的最短時(shí)間為鹽山=陋

2v

D.速度為V的粒子，到達(dá)模擬地球的最短時(shí)間為公皿;鄴

3v

答案：AD

解析：AB、其軌跡如圖甲所示（和地球相切）：

設(shè)該粒子軌跡半徑為小則根據(jù)幾何關(guān)系：（，+尺）2=r+（火+2尺尸，解得：r=4R,

又根據(jù)題意有：,作）?人用‘聯(lián)立以上可得’5=募‘故A正確'B錯(cuò)誤;

CD、速度為v的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)有：qvB=^于是得到：r'=2R,若要時(shí)間最短，則粒

子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)最短，則從/點(diǎn)射入,在交點(diǎn)￡到達(dá)地球的弦長(zhǎng)最短，時(shí)間最短，

如圖乙所示，

TA

7

第2頁(yè)共11頁(yè)

AD=DE=2R,故N4DE=60。，貝!l/in="x包=迪，故C錯(cuò)誤，D正確。

min360°qB3v

跟蹤訓(xùn)練1

(2022?湖北?模擬題)如圖所示，A48C為與勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直的邊長(zhǎng)為。的等邊三角形，比荷

為二的電子以速度vo從4點(diǎn)沿AB邊入射,欲使電子經(jīng)過2C邊，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值為()

m

A,B>2B.B<2C,D.B〈叵叫

aeaeaeae

答案:D

解析：當(dāng)電子從C點(diǎn)離開磁場(chǎng)時(shí)，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的半徑最小，設(shè)為R,

由幾何知識(shí)得：2Rcos300=a,得尺=宕，欲使電子能經(jīng)過3c邊，必須滿足夫＞已，而

qv0B=m^~,得尺=*=號(hào),所以勺＞美，化簡(jiǎn)得3〈且也，故D正確，ABC錯(cuò)

°RqBeBeB.3ae

誤。故選D。

帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的臨界極值問題的處理方法：

(1)從關(guān)鍵詞找突破口：題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語(yǔ)

對(duì)臨界狀態(tài)給以暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語(yǔ)挖掘其隱含的規(guī)律，找出臨界條

件。

(2)數(shù)學(xué)方法和物理方法的結(jié)合：如利用“矢量圖”“邊界條件”等求臨界值，利用“三角

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函數(shù)”“不等式的性質(zhì)”“二次方程的判別式”等求極值。

（3）四個(gè)重要結(jié)論

①剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。

②當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)；

③當(dāng)速率v變化時(shí)，圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。

④在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，當(dāng)帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑大于區(qū)域圓半徑時(shí)，則入射點(diǎn)和出射點(diǎn)為

磁場(chǎng)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，軌跡對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大（所有的弦長(zhǎng)中直徑最長(zhǎng)）。

命題點(diǎn)（色帶電粒子束在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

▼考題示例2

（2023?安徽省?模擬題）如圖所示，在真空中，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外

的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為3,一束質(zhì)子在紙面內(nèi)以相同的速度射向磁場(chǎng)區(qū)域，質(zhì)子的電荷

量為質(zhì)量為速度為=理，則以下說法正確的是（

e,y)

m

A.對(duì)著圓心入射的質(zhì)子的出射方向的反向延長(zhǎng)線不一定過圓心

B.從。點(diǎn)比從6點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)的質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間短

C.所有質(zhì)子都在磁場(chǎng)邊緣同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)

D.若質(zhì)子以相等的速率v=坐從同一點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，則它們離開磁場(chǎng)的出射方

m

向可能垂直

答案：C

2

解析：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供：Bev=m—,將丫=理代入，求得r=R,

rm

即磁場(chǎng)圓的半徑與質(zhì)子軌跡圓的半徑相等。

A.對(duì)著圓心射入的質(zhì)子，由幾何關(guān)系知該質(zhì)子最后從。點(diǎn)的正下方C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，其出

射方向的反向延長(zhǎng)線必過圓心，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤。

BC.假設(shè)從任意點(diǎn)￡水平射入的質(zhì)子，其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為。，連接EOCD構(gòu)成如

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圖所示的四邊形,

由于D￡〃OC,且DE=OC,則四邊形DEOC是平行四邊形，所以DC=O￡=R,所以從任

意點(diǎn)￡水平入射的質(zhì)子也從O點(diǎn)的正下方C射出，故C正確；

由于從。點(diǎn)入射的質(zhì)子比從6點(diǎn)入射的質(zhì)子偏轉(zhuǎn)角大，根據(jù)公27（6為運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的

2兀

圓心角）可知，從。點(diǎn)入射的質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤。

D、由于質(zhì)子的速率丫=坐，則質(zhì)子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑仍為及；假設(shè)這些質(zhì)子從。點(diǎn)

m

正下方的c點(diǎn)從不同方向射入磁場(chǎng)，則這些質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程可以看成題中的質(zhì)子

束運(yùn)動(dòng)的逆過程，由此可知這些質(zhì)子從磁場(chǎng)出射時(shí)都是相互平行的；由此擴(kuò)展來看，質(zhì)子以

相等的速率v=坐從同一點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，則它們離開磁場(chǎng)的出射方向一定是相互

m

平行的，不可能出現(xiàn)垂直的情況，故D錯(cuò)誤。

故選C。

由跟蹤訓(xùn)練2

（2023?四川?模擬題）如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，圖中虛線

為磁場(chǎng)的邊界，其中6c段是半徑為R的四分之一圓弧，ab、力的延長(zhǎng)線通過圓弧的圓心，

。6長(zhǎng)為尺。一束質(zhì)量為機(jī)、電荷量為q的粒子，在紙面內(nèi)以不同的速率從。點(diǎn)垂直仍射入

磁場(chǎng)，已知所有粒子均從圓弧邊界射出，其中M、N是圓弧邊界上的兩點(diǎn)，不計(jì)粒子間的相

互作用和重力。則下列分析中正確的是（）

d\xxxXX

?

1

；XXXXX

1

1

!XXXXX

C方、

N\xxXX

M\XXX

1

廠0a

A.粒子帶負(fù)電

第5頁(yè)共11頁(yè)

B.從M點(diǎn)射出粒子的速率一定大于從N點(diǎn)射出粒子的速率

C.從M點(diǎn)射出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定小于從N點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間

D.所有粒子所用最短時(shí)間為迎

3qB

答案：D

解析：A.粒子做逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則，可知粒子帶正電，A錯(cuò)誤；

B.根據(jù)/3=加1得丫=幽，從M點(diǎn)射出粒子的圓周半徑更小，則速度更小，B錯(cuò)誤；

rm

CD.

解法一：

由，=27=2狙，粒子周期不變，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，由幾何關(guān)系

2兀2兀qB

可知，弦切角等于圓心角的一半，當(dāng)弦切角越小，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短，如圖：

當(dāng)弦與6c圓弧邊界相切時(shí)，弦切角最小。等于心由幾何關(guān)系，此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角

為120。，則最短時(shí)間為理J2.2nm=空”,必N兩點(diǎn)具體位置未知，則無法判斷從M

mm360°qB3qB

點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間和從N點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間的大小關(guān)系，C錯(cuò)誤，D正確。

解法二：

設(shè)圓弧邊界的圓心為力,質(zhì)子打在圓弧邊界上的落點(diǎn)為E,粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的

圓心為尸點(diǎn)，則過4點(diǎn)做。￡弦的垂線/〃，如圖所示

第6頁(yè)共11頁(yè)

AHAH

2a+<9=180°,a越大，則。越小，由幾何關(guān)系sina=-----=------，

OA2R

則E在圓周上運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)恰好與圓4相切時(shí)，4H最大,此時(shí)

故可得a=30。，所以。最小值為120。，則最短時(shí)間為=2叫，M、N兩點(diǎn)具

360°qB3qB

體位置未知，則無法判斷從M點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間和從N點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間的大小關(guān)系,

C錯(cuò)誤，D正確。

故選D。

摩總結(jié)升華

帶電粒子束在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的幾種特殊情況：

I.磁聚焦和磁發(fā)散

(1)磁發(fā)散：帶電粒子從圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界上同一點(diǎn)射入，如果軌跡半徑與磁場(chǎng)半徑

相等，則粒子出射方向與入射點(diǎn)的切線方向平行。

(2)磁聚集：帶電粒子平行射入圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如果軌跡半徑與磁場(chǎng)半徑相等，則粒

子從磁場(chǎng)邊界上同一點(diǎn)射出，該點(diǎn)切線與入射方向平行。

XxX

X/

x

x—

'

x'

2.動(dòng)態(tài)放縮法

當(dāng)帶電粒子射入磁場(chǎng)的方向確定，但射入時(shí)的速度V的大小或磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小變化

時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R隨之變化。在確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情景時(shí)，可以以入射

點(diǎn)為定點(diǎn)，將軌道半徑放縮，作出一系列的軌跡，從而探索出臨界條件。如圖所示，粒子進(jìn)

入長(zhǎng)方形區(qū)域CM5C,從5C邊射出的臨界情景為②和④。

3.定圓旋轉(zhuǎn)法

第7頁(yè)共11頁(yè)

當(dāng)帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度V大小一定，但方向變化時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑

R是確定的。在確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情景時(shí)，可以以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，將軌跡圓旋轉(zhuǎn)，作出一

系列軌跡，從而探索出臨界條件。粒子進(jìn)入單邊界磁場(chǎng)時(shí)的情景如圖所示。

命題點(diǎn)JQi：帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題

▼考題示例3

（2022?河南省?模擬題）如圖所示，圓心為。、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感

應(yīng)強(qiáng)度大小為2,方向垂直于紙面向外，43、C三點(diǎn)為圓形區(qū)域邊緣上的三等分點(diǎn)，三點(diǎn)

外沿半徑方向的極窄區(qū)域存在電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E（圖中未畫出）、方向與過三點(diǎn)的磁場(chǎng)邊緣

的切線垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為加、電荷量為一q的帶電粒子從/點(diǎn)沿著半徑方向射

入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，求：

（1）若粒子恰從/點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)又返回A點(diǎn)，求粒子首次返回A點(diǎn)所用的時(shí)間；

（2）現(xiàn)改變粒子從N點(diǎn)入射速度的大小，同時(shí)將圓形區(qū)域外的電場(chǎng)改為輻射狀沿圓形區(qū)域

半徑向外的電場(chǎng)，使粒子仍能返回/點(diǎn)，求粒子首次返回/點(diǎn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（粒子

沒有越過/點(diǎn)）。

答案：⑴您+⑵（〃=3,4……）

BqEBq

解析：（1）帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為：r

_R

tan30°

帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的速率為v,周期為T,

2

由牛頓第二定律知：Bvq=m—

r

由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：T^—

V

粒子在磁場(chǎng)中由4到5的過程中轉(zhuǎn)過的圓心角為巴，對(duì)應(yīng)的時(shí)間由對(duì)稱性可知，

36

第8頁(yè)共11頁(yè)

粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間h=3f

43BqR

粒子運(yùn)動(dòng)到8、C兩點(diǎn)后先在電場(chǎng)中做勻減速直線運(yùn)動(dòng)再反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng),

加速度為：a=晅,由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律知，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

j46BR

力=4一=------

aE

則粒子從/點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到返回/點(diǎn)所用的時(shí)間t=tl+t2=晅+巫里;

BqE

（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)"（〃23）段相同的圓弧后返回/點(diǎn)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的第一

段圓弧的軌跡如圖所示，由圖可知：B=一（〃=3,4...）,a=7t—p

則粒子從/點(diǎn)出發(fā)到首次返回A點(diǎn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=n----=n-—

27iBqBq

解得t=（"兀一2兀）機(jī)（〃=3,4……）

Bq

國(guó)跟蹤訓(xùn)練3

（2023?全國(guó)?模擬題）如圖所示，紙面內(nèi)有互相垂直的虛線邊界刃、QA,且我與水平方向

夾角為45。，在上方和下方存在方向相反、大小相等的勻強(qiáng)磁場(chǎng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為心、電

荷量為q（4>0）的粒子從尸點(diǎn)沿P0方向以初速度vo射出。已知/尸=/0=￡,不計(jì)粒子

第9頁(yè)共11頁(yè)

重力。

A

人

/X

△殳黨_X__XX'

(1)若僅經(jīng)兩側(cè)磁場(chǎng)各一次偏轉(zhuǎn)，使粒子從P經(jīng)/到。，求此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為的大小及

該過程粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間/;

(2)若保持粒子入射速度不變，兩側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可以調(diào)整(保持兩側(cè)磁場(chǎng)大小始終相

等)，則為使粒子能始終從產(chǎn)經(jīng)/到Q,求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小應(yīng)滿足的條件。

答案：(1)""%叵￡(2)屈2(n=l,2,