2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考1）：復(fù)數(shù)

§5.5復(fù)數(shù)

【考試要求】L通過方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)2理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)

相等的含義3掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

⑴復(fù)數(shù)的定義：形如歷(a,6GR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中生是實(shí)部，女是虛部，i為虛數(shù)單位.

(2)復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)z=a+歷(a,bGR)

|實(shí)數(shù)(b三0),

［虛數(shù)(6三0)(其中，當(dāng)。三0時(shí)為純虛數(shù)).

(3)復(fù)數(shù)相等：

a+bi=c+c且6=d(a,b,c,dGR).

(4)共輾復(fù)數(shù)：

a+歷與c+di互為共輾復(fù)數(shù)<=>a=c,6=—d(a,b,c,dGR).

(5)復(fù)數(shù)的模：

向量應(yīng)的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值，記作也土包或因，即|z|=|a+6i|=［不"(a,

bGR).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

一一對(duì)應(yīng)

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(〃，/?eR)7-----------=復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(mb).

一一對(duì)應(yīng)一

(2)復(fù)數(shù)z=a+歷(〃，Z?eR)7----------平面向量OZ.

3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：

設(shè)zi=〃+bi,Z2=c+di(mb,c,d￡R),則

①加法：zi+Z2=(〃+Z?i)+(c+di)=(a+c)+(Z?+6Qi；

②減法：zi-Z2=(a+歷)—(c+di)=(a—c)+(b—Qi；

③乘法：zi?Z2=(a+砥?(c+di)=(oc—bd)+(〃d+Z?c)i；

dzia+歷(a+bi)(c—di)ac+bd,bc-ad,,

④除法：7=^~7=；,.77—_U=2U_R+2,/i(c+diW0)?

Z2c-rai(c+di)(c—di)c+dc+d

(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形0Z1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即應(yīng)=0Z+

OZ2,ZiZ2=OZ2—OZi.

【常用結(jié)論】

1+i1-i

2

1.(l±i)=±2i；Tzzi=1;TTI=一

2.—Z?+〃i=i(a+Ai)(。，Z?￡R).

3.i4?=l,i4n+1=i,i4?+2=-l,i4?+3=-i(nGN).

4.i4H+i4n+1+i4,,+2+i4,,+3=O(?eN).

5.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

(l)aW|z|W6表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

(2)|2—3+歷)|=8>0)表示以3，b)為圓心，r為半徑的圓.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)復(fù)數(shù)z=a一歷(a,%GR)中，虛部為A(X)

(2)復(fù)數(shù)可以比較大小.(X)

(3)已知z=a+bi(a,Z;eR),當(dāng)a=0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).(X)

(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.

(V)

【教材改編題】

1.已知復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=l-i,其中i是虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

2.復(fù)數(shù)z=(3+i)(l—4i),則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和是.

答案一4

解析z=(3+i)(l-4i)=3-12i+i+4=7-lli,故實(shí)部和虛部之和為7—11=一4.

3.若z=(%2+:w—6)+(加一2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為.

答案一3

'探究核心題型

題型一復(fù)數(shù)的概念

例1(1)(2021?浙江)已知aGR,(l+°i)i=3+i(i為虛數(shù)單位)，則。等于()

A.-1B.1C.-3D.3

答案C

解析方法一因?yàn)?l+ai)i=—a+i=3+i,所以一a=3,解得a=-3.

方法二因?yàn)?1+〃i)i=3+i,所以l+〃i=-j—=1—3i,所以〃=—3.

(2)(2022?新余模擬)若復(fù)數(shù)z滿足1一'則復(fù)數(shù)》的虛部為()

A.iB.-iC.1D.-1

答案C

z(l+i)i3

角牛析-5―：—=l——i,

2—1

???z(l+i)(—i)=(2—i)(l—i),

z(1—i)—(2—i)(1—i),

???z=2—i,

z=2+i,

z的虛部為1.

【教師備選】

1.(2020?全國HI)若;(l+i)=l—i,則Z等于()

A.1-iB.1+iC.-iD.i

答案D

.,、？一1一i(1—i)2

解析因?yàn)閦=幣=(1+。(1)=-i，

所以z=i.

2.(2020?全國I)若z=1+i,則Iz2—2z|等于()

A.0B.1C.^2D.2

答案D

解析方法一z2—2z=(l+i)2—2(l+i)=—2,

|Z2-2Z|=|-2|=2.

方法二|z2-2z|=|(l+i)2-2(l+i)|

=|(l+i)(-l+i)|=|l+i|-|-l+i|=2.

思維升華解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)

(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只

需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.

(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,6GR)的形式，以確定實(shí)部和虛部.

跟蹤訓(xùn)練1⑴(2022?衡水中學(xué)模擬)已知蓋=l—yi,其中x,y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，貝ljx

+yi的共軌復(fù)數(shù)為()

A.2+iB.2—i

C.l+2iD.l-2i

答案B

解析由yi,得門".、=1—yi,

解得x=2,y—1,

「?x+yi=2+i,

?,?其共車厄復(fù)數(shù)為2—i.

(2)已知z=l—3i,則|W—i|=.

答案小

解析Vz=l-3i,,1.7=1+31,

z-i—1+3i—i=1+2i,

/?IZ—i|=、y+22=巾.

題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

例2(1)(2021?新高考全國I)已知z=2—i,則Z(三+i)等于()

A.6—2iB.4—2i

C.6+2iD.4+2i

答案c

解析因?yàn)閆=2—i,

所以z(T+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.

(2)(多選)設(shè)Zi,Z2，Z3為復(fù)數(shù)，Z1W0.下列命題中正確的是()

A.若|Z2|=|Z3|,則Z2=±Z3

B.右Z1Z2=Z1Z3，貝UZ2=Z3

C.若Z2=Z3,則|Z1Z2|=|Z1Z3|

D.若Z1Z2=|Z1『，則Z1=Z2

答案BC

解析由=知A錯(cuò)誤；

Z1Z2=Z1Z3,則Z1(Z2—Z3)=O,又Z1WO,所以Z2=Z3,故B正確；

|Z1Z2|=|Z1||Z2|,憶閉|=憶1|閡，

又Z2=Z3,所以|Z2|=|Z2|=閡,故C正確，

令Zl=i,Z2=—i,滿足Z1Z2=|Z1F，不滿足Z1=Z2,故D錯(cuò)誤.

【教師備選】

1.(2020?新高考全國等于()

A.1B.-1C.iD.-i

答案D

葩桁2—i_Q—i)(_2i)__5i_.

腫仞l+2i-(l+2i)(l-2i)-5—L

ab

2.在數(shù)學(xué)中，記表達(dá)式〃d一兒為由〃所確定的二階行列式.若在復(fù)數(shù)域內(nèi)，zi=l+i,

ca

2+i—ziZ21

Z2=_j~9Z3=Z2，則當(dāng)=5—i時(shí)，Z4的虛部為________.

L1Z3Z42

答案一2

ZlZ7

解析依題意知，=Z1Z4-Z2Z3,

Z3Z4

因?yàn)閆3=Z2,

2+i(2+i)(l+i)l+3i

且Z2=K=2=方—，

2

所以Z2Z3=|Z2|=|,

因此有(l+i)Z4—2=1-1，

即(1+i)z4=3—i,

,.3—i(3—i)(l—i).

故Z4=[17=2=]—2i,

所以Z4的虛部是一2.

思維升華（1）復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.

（2）復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共機(jī)復(fù)數(shù).

跟蹤訓(xùn)練2（1）（2021?全國乙卷）設(shè)iz=4+3i,貝|z等于（）

A.-3-4iB.-3+4iC.3—4iD.3+4i

答案C

4+3i（4+3i）（—i）-4i―3i^

解析方法一（轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)除法運(yùn)算）因?yàn)閕z=4+3i,所以Z=T='_j2

=3—4i.

方法二（利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式）設(shè)z=〃+歷（〃，b￡R）,則由iz=4+3i,可得i3+Z?i）=4+3i,

f—Z?=4,

即一Z?+〃i=4+3i,所以彳

〔。=3,

]。=3,

即，，所以z=3—4i.

[Z?=—4,

方法三（巧用同乘技巧）因?yàn)閕z=4+3i,所以iz-i=（4+3i>i,所以一z=4i—3,

所以z=3—4i.

:2023—

（2）右z=]貝U|z|=；z+z—.

答案坐1

z+Z=5一W+]+,=1.

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義

例3（1）（2021?新高考全國H）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

解析\二（2-弋+31）=寄=守,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為0,。該點(diǎn)

1—Jiiuiuzy乙）

在第一象限.

（2）（2020?全國n）設(shè)復(fù)數(shù)zi,Z2滿足團(tuán)|=歸2|=2,zi+z2=q5+i,則|zi-z?|=.

答案2小

解析方法一設(shè)zi—Z2=〃+bi,a,/?￡R,

因?yàn)閦i+z2=/+i,

所以2zi=(S+〃)+(l+/?)i,

2z2=(小一。)+(1—Z?)i.

因?yàn)?1=01=2,所以|2ZI|=|2Z2|=4,

所以■(小+砌2+(1+6)2=4,0

74-a)2+(i—b)2=4,②

①2+②2,得*+62=12.

所以|zi—Z2I=4。2+/>2=2d5.

方法二設(shè)復(fù)數(shù)zi,Z2在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)向量。4,0B,

則Z1+Z2對(duì)應(yīng)向量近+協(xié).

由題意知|方|=|協(xié)|=|宓+而|=2,

如圖所示，以。4,。2為鄰邊作平行四邊形OACB,

OA

則Zi—Z2對(duì)應(yīng)向量函，

且|近|=曲|=|女|=2,

可得|函|=2|5^|sin60°=2^3.

故團(tuán)一Z2|=|函|=24.

【教師備選】

1.(2020?北京)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),則i.z等于()

A.l+2iB.-2+iC.l-2iD.~2~i

答案B

解析由題意知，z=l+2i,

；.i-z=i(l+2i)=-2+i.

2.(2019?全國I)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z—i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()

A.(x+l)2+y2=lB.(無一iy+y2=i

C.爐+?一1)2=1D.x2+(y+l)2=l

答案C

解析：z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(無，y),

.*.z=x+yi(x,y￡R).

V|z-i|=l,A|x+（y-l）i|=l,

1）2=1.

思維升華由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾

何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

f4

跟蹤訓(xùn)練3（1）如圖，若向量0Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則z+1表示的復(fù)數(shù)為（）

A.l+3i

C.3-iD.3+i

答案D

444（1+i）1j

解析由題圖可得Z（1,—1）,即z=r>z+-=1-i+—=1-i+?r4a+I）=-

+-2-=1—i+2+2i=3+i.

（2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=l,那么|z+25+i|的最大值是（）

A.3B.2小

C.1+2-J2D.4

答案D

解析|z|=l表示單位圓上的點(diǎn)，那么|z+2吸+i|表示單位圓上的點(diǎn)至U點(diǎn)（一2吸，一1）的距離，

求最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（一2吸，一1）到原點(diǎn)的距離加上圓的半徑.因?yàn)辄c(diǎn)（一2w，—1）到原點(diǎn)的

距離為3,所以所求最大值為4.

拓展視野

復(fù)數(shù)的三角形式

在如圖的復(fù)平面中，r=\l<r-]-b2,cos9=*sintan6=^（。WO）.

任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+歷都可以表示成z=r（cosO+isin。）的形式.其中，r是復(fù)數(shù)z的模；0

是以無軸的非負(fù)半軸為始邊，向量芯所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z="+萬的

輻角.

我們把r(cos6+isin。)叫做復(fù)數(shù)的三角形式.

對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)的三角形式，把z=a+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示：

已知復(fù)數(shù)zi=n(cos01+isina)，

Z2=廠2(cos02+isin6i),貝"

zi?Z2=片/2[cos(4+02)+isin(4+ft)].

1(兀]..兀\(兀|..兀)n-

例1(1)?05]+151112)義3(854+15111&)等于()

A*

C-1+唔

答案C

解析(^cos^+isinX3^cos^+isin

「(兀，兀\,，兀，Tt\~

=3[cosL+ising+初

=3}os亨+isin

3,3^3.

=-2+21-

(2)(多選)把復(fù)數(shù)Z1與Z2對(duì)應(yīng)的向量。4,。2分別按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)號(hào)和苧后，重合于向量0M且

模相等，已知Z2=-1—/i,則復(fù)數(shù)zi的代數(shù)式和它的輻角分別是()

A.—yl2—y[2i,苧B.一6+gi,苧

C.-yf2~yf2i,D..巾+巾i,

答案BD

解析由題意可知zifcosisin

(5兀?..54

Z2(cos亍十isin于I,

(5兀?5兀、

Z2(cos"十ism-\

則4=

71.71

cosa十isin]

2(cos與+isinncos苧+isin為

71...71

cos4十isma

—2也—2也(1—i)

??Z1=1+i=(l+i)(l-i)

=一巾+也i=2bos苧+isin竽),

可知Zi對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（一也，也），則它的輻角主值為乎,

故可以作為復(fù)數(shù)一審+也i的輻角的是平+2防1,AGZ,當(dāng)左=1時(shí)，苧+2兀=乎.

（3）復(fù)數(shù)z=cos含+isin*是方程x5—a=0的一個(gè)根，那么a的值等于（）

1，B.舁監(jiān)

21

C坐T口.一；一坐

答案B

解析由題意得，a=}os*+isin我，

兀I..711.A/3.

=cosw十isin2'2L

例2(多選)已知i為虛數(shù)單位，zi=W(cos60°+isin60°),Z2—2-\[2(sin30°—icos30°),則z「Z2

的三角形式不為下列選項(xiàng)的有()

A.4(cos90°+isin90°)

B.4(cos30°+isin30°)

C.4(cos300-isin30°)

D.4(cos0°+isin0°)

答案ABC

解析?；Z2=20(sin30°-icos30°)

=2吸(cos300°+isin300°),

.,.ZI-Z2=V2(COS60°+isin60°>2吸(cos300°+isin300O)=4(cos360°+isin360°).

課時(shí)精練

礎(chǔ)保分練

1.(2022?福州模擬)已知i是虛數(shù)單位，則“a=i”是“/=-1”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析i是虛數(shù)單位，則i2=—1,“a=i”是“。2=—1”的充分條件；

由層=-1,得a=±i,

故“a=i”是“/=—1”的不必要條件；

故“a=i”是“/=—J，的充分不必要條件.

2.設(shè)復(fù)數(shù)Zl，Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，Z1=3—i,則Z1Z2等于()

A.-10B.10C.-8D.8

答案A

解析Vzi=3-i,zi,Z2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，

；.Z2=13—i,

；.ziZ2=-9—1——10.

3.(2022?長春實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)若復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為三且滿足三?(l+2i)=l—i,則復(fù)數(shù)z的虛

部為()

33

A-5B.-衛(wèi)

33

C.pD.一5

答案A

解析z-(l+2i)=l—i,

.—_IT_(Li)(l_2i)

?'z-l+2i-(l+2i)(l-2i)

3

復(fù)數(shù)z的虛部為亍

4.己知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z=i2023+i(i—1)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析因?yàn)閆=i2023+i(i—1)=—i—1—i=—1—2i,所以復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(一1,

-2),位于第三象限.

5.(2022.濰坊模擬)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，已知p,q為實(shí)數(shù)，l-i是關(guān)于x的方程r+px+quO的

一個(gè)根，則p+q等于()

A.2B.1C.0D.-1

答案C

解析因?yàn)?—i是關(guān)于x的方程/+px+4=0的一個(gè)根，則1+i是方程/+。工+4=0的另

Rl+i)+(l-i)=-p,

一根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，一，，.、

[(1+1)(1—1)=4，

解得p=—2,4=2,

所以p+q=O.

6.(多選)(2022.蘇州模擬)若復(fù)數(shù)z滿足(l+i>z=5+3i(其中i是虛數(shù)單位)，則()

A.z的虛部為一i

B.z的模為才萬

C.z的共輾復(fù)數(shù)為4—i

D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

答案BD

解析由(l+i>z=5+3i得

5+3i(5+3i)(l-i)8—2i

Z=1+i=(l+i)(l-i)=2=4-b

所以z的虛部為一1,A錯(cuò)誤；

z的模為、42+(—1)2=｛萬,B正確；

Z的共軻復(fù)數(shù)為4+i,C錯(cuò)誤；Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(4,-1),位于第四象限，D正確.

〃+j7

7.若z=(a—g)+ai為純虛數(shù)，其中“eR,則不^=.

答案一i

(a—y/2—O,

解析：z為純虛數(shù)，

??a,

a+i，小T(也一i)(l—4)

1+ai~1+?—(1+V2i)(l-V2i)

-3i

8.（2022?溫州模擬）已知復(fù)數(shù)2=a+砥。,6614,1為虛數(shù)單位）,且0=3+21,則a=

b=.

答案51

解析由z=〃+Ai(a,b^R,i為虛數(shù)單位),

則z=a~b\,

-zi+i

所以i"""（Q-bi）

ii乙

a-\-b,a—b

=下一+方—i=3+2i,

,,a-\-ba-b“…

故~~2-=3,-2~~=2,所以Q=5,b—1.

FT?2+YY]—6

9.當(dāng)實(shí)數(shù)機(jī)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=——-----+（小一2附i為①實(shí)數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù).

fm2—2/71=0,

解①當(dāng)5

[加W0,

即m=2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù).

②當(dāng)相2-2根#0,且加W0,

即且時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).

〃蘇十加一6

m

③當(dāng)《士八

加W0,

<m2—2m^0,

即m=—3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).

10汝口圖所示，在平行四邊形043。中，頂點(diǎn)O,A,。分別表示0,3+2i,—2+4i,試求:

（l）Ab,反:所表示的復(fù)數(shù)；

（2）對(duì)角線8所表示的復(fù)數(shù);

(3)2點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

解⑴：?jiǎn)?一位，

...A。所表示的復(fù)數(shù)為一3—2i,

"：BC=AO,

病所表示的復(fù)數(shù)為一3—2i.

(2)VCA=dA-0C,所表示的復(fù)數(shù)為

(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

⑶近=5^+沆，

二.協(xié)所表示的復(fù)數(shù)為

(3+2i)+(—2+4i)=l+6i,

所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為l+6i.

立技能提升練

11.(多選)歐拉公式e.=cosx+isinx是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定

義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地

位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是()

A.復(fù)數(shù)e"對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

7T.

B.一為純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)后y的模長等于方1

D.的共軌復(fù)數(shù)為劣一坐

答案ABC

解析對(duì)于A,e2i=cos2+isin2,

因?yàn)槔洹?〈兀，

即cos2<0,sin2>0,復(fù)數(shù)e2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，A正確；

7T.71.

―17r7T-1

對(duì)于B,e2=cos2+isin2=^9e?為純虛數(shù)，B正確；

,丁華cosx+isinx

對(duì)于C'否TFI-

(cosx+isin—i)

(小+i)(6-i)

小cos%+sinx小sin%—cos%

于是得|於x+sinxx-cosx

C正確；

對(duì)于D,/=cos5+isin聿=坐+京,

其共軻復(fù)數(shù)為坐一|i,D不正確.

12.(多選)(2022?武漢模擬)下列說法正確的是()

A.若|z|=2,則z?z=4

B.若復(fù)數(shù)ZI，Z2滿足|Z1+Z2|=|Z1—Z2I，則Z1Z2=O

C.若復(fù)數(shù)Z的平方是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)Z的實(shí)部和虛部相等

D.是“復(fù)數(shù)Z=(〃一l)+(〃2—l)i(〃￡R)是虛數(shù)”的必要不充分條件

答案AD

解析若|z|=2,貝！12z=|z『=4,故A正確;

設(shè)=仇WR),

22=。2+岳1(〃2,/?2R),

由|Z1+Z2|=|Z1-Z*

可得|zi+z2|2=(Ql+42)2+31+A2)2

=|Z1—Z2『=(〃1—。2)2+(Z?1—岳月

則〃1〃2+"。2=0,

而Z1Z2=(ai+b[i)(a2+fei)

=。1〃2一。歷+。仍2i+8i〃2i

=2aia2+a\b2i+fei?2i不一定為0,故B錯(cuò)誤；

當(dāng)Z=l—i時(shí)，Z」一2i為