蘇科版八年級數學下冊?？键c微專題提分精練專題16正方形折疊問題(原卷版+解析)

專題16正方形折疊問題【例題講解】如圖1，在正方形ABCD中，點E為BC上一點，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長EF交AB于G，連接DG．(1)求證：∠EDG=45°．(2)如圖2，E為BC的中點，連接BF．①求證：BF∥DE；②若正方形邊長為6，求線段AG的長．(3)當BE︰EC=時，DE=DG．試題解析：（1）證明：如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°．∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2，∴∠DFG=∠A，DA=DF，又∵DG=DG，∴△DGA≌△DGF，∴∠3＝∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)=45°．(2)①證明：∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，E為BC的中點∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．∴∠5＝∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC∴BF∥DE．②解：設AG=x，則GF=x，BG=6－x，由正方形邊長為6，得CE=EF=BE=3，∴GE=EF+GF=3+x．在Rt△GBE中，根據勾股定理得：解得x=2，即線段AG的長為2．.【綜合演練】1．如圖．已知正方形ABCD的邊長為12，BE＝EC，將正方形的邊CD沿DE折疊到DF，延長EF交AB于G，連接DG．現有如下3個結論；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周長是24．其中正確的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．32．如圖，正方形ABCD的邊長為3，將正方形ABCD沿直線EF翻折，則圖中折成的4個陰影三角形的周長之和是（

）A．8 B．9 C．12 D．以上都不正確3．如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE，若AB的長為2，則FM的長為（

）A．2 B． C． D．14．如圖是一張矩形紙片ABCD，AD＝10cm，若將紙片沿DE折疊，使DC落在DA上，點C的對應點為點F，若BE＝6cm，則CD＝()A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm5．如圖，先將正方形紙片對折，折痕為，再把點折疊在折痕上，折痕為，點在上的對應點為，則的度數為______．6．如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點，將△ABE沿AE折疊至處，與AC交于點F，若∠EFC＝67°，則∠CAE的度數為____．7．如圖，正方形紙片ABCD的邊長為10cm，點P在邊BC上，BP=4cm，折疊紙片使點A落在點P上，折痕為MN．則AM的長是______．8．如圖，在正方形中，、分別為、的中點，連接、，將沿對折，得到，延長交的延長線于點.給出下列結論:①;②;③是等邊三角形;④若正方形的邊長為，則線段的長為其中，正確的結論有_____.(把你認為正確的結論的序號都填上)9．如圖，將一邊長為的正方形紙片的頂點折疊至邊上的點，使，折痕為，則的長__________．10．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為邊BC上任意一點（不與點B、C重合），AE、BD交于點P，過點P且垂直于AE的一條直線MN分別交AB、CD于點M、N．連接AN，將△APN沿著AN翻折，點P落在點P'處．AD的中點為F，則P′F的最小值為____．11．如圖，正方形ABCD中，，點E在CD上，且，將沿AE對折至，延長EF交BC于點G，連接AG、CF．求證：≌；求BG的長；求的面積．12．如圖，正方形ABCD中，CD=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．（1）求證：①△ABG≌△AFG；②求GC的長；（2）求△FGC的面積．13．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數量關系：____；（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，（1）中發(fā)現的AH與AB的數量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長．（可利用（2）得到的結論）14．如圖1，在正方形中，點為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于點，連接.(1)____________；(2)如圖2，若正方形邊長為6，點為的中點，連接，①求線段的長；②求的面積；(3)當時，若令，則________(用含的式子表示).

15．知識再現：已知，如圖，四邊形ABCD是正方形，點M、N分別在邊BC、CD上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延長CB至G使BG＝DN，連接AG，根據三角形全等的知識，我們可以證明MN＝BM+DN．知識探究：（1）在如圖中，作AH⊥MN，垂足為點H，猜想AH與AB有什么數量關系？并證明；知識應用：（2）如圖，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于點D，且BD＝2，AD＝6，則CD的長為；知識拓展：（3）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點，F為邊CD上一點，∠FEC＝2∠BAE，AB=24，求DF的長．16．如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論；17．如圖，已知正方形的邊長為5，點E為邊上一點（不與點C，D重合），將沿所在直線折疊得到，延長交邊于點G，連接、，可得．(1)判斷與是否相等，并說明理由；(2)若，求的長；(3)若，請直接寫出的值．18．如圖將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使B點落在CD邊上一點E，壓平后得到折痕MN，當．(1)求NE的長；(2)連AN、AE，NG⊥AE，垂足為G，求GN的長；(3)直接寫出AM的長度．19．綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數學活動．(1)遷移探究：①如圖1，當點M在上時，___________°，___________°．②改變點P在上的位置（點P不與點A，D重合），如圖2，判斷與的數量關系，并說明理由．③已知正方形紙片的邊長為8，當時，直接寫出的長．(2)拓展應用：正方形的邊長為8，點P在邊上，將沿直線翻折，使得點A落在正方形內的點M處，連接并延長交正方形一邊于點G．當時，則的長為___________．專題16正方形折疊問題【例題講解】如圖1，在正方形ABCD中，點E為BC上一點，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長EF交AB于G，連接DG．(1)求證：∠EDG=45°．(2)如圖2，E為BC的中點，連接BF．①求證：BF∥DE；②若正方形邊長為6，求線段AG的長．(3)當BE︰EC=時，DE=DG．試題解析：（1）證明：如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°．∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2，∴∠DFG=∠A，DA=DF，又∵DG=DG，∴△DGA≌△DGF，∴∠3＝∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)=45°．(2)①證明：∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，E為BC的中點∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．∴∠5＝∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC∴BF∥DE．②解：設AG=x，則GF=x，BG=6－x，由正方形邊長為6，得CE=EF=BE=3，∴GE=EF+GF=3+x．在Rt△GBE中，根據勾股定理得：解得x=2，即線段AG的長為2．.【綜合演練】1．如圖．已知正方形ABCD的邊長為12，BE＝EC，將正方形的邊CD沿DE折疊到DF，延長EF交AB于G，連接DG．現有如下3個結論；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周長是24．其中正確的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由正方形的性質和折疊的性質可得，DF=DC=DA，∠DFG=∠A，進而Rt△ADG≌Rt△FDG，根據全等三角形的性質以及折疊的性質，可得到EB=EG，由此可得△BGE的周長．【詳解】解：由折疊可知：CE=FE，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），∴AG=FG，∴AG+EC=GF+EF=GE，故①正確，∵Rt△ADG≌Rt△FDG，∴∠ADG=∠FDG，由折疊可知，∠CDE=∠FDE，∴∠GDE=∠GDF＋∠EDF=，故②正確，∵正方形的邊長為12，∴BE=EC=EF=6，設AG=FG=x，則EG=x+6，BG=12-x，由勾股定理可得：，即，解得：x=4，∴AG=GF=4，BG=8，EG=10，∴△BGE的周長=BE+EG+GB=6+10+8=24，故③正確，故選：D．【點睛】本題主要考查折疊變換，正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，能夠熟練應用勾股定理是解決本題的關鍵．2．如圖，正方形ABCD的邊長為3，將正方形ABCD沿直線EF翻折，則圖中折成的4個陰影三角形的周長之和是（

）A．8 B．9 C．12 D．以上都不正確【答案】C【分析】由圖形翻折變換的性質可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，由陰影部分的周長＝A’D’＋A’H＋BH＋BC＋CG＋D’G即可得出結論．【詳解】解：由翻折變換的性質可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，陰影部分的周長＝A’D’＋（A’H＋BH）＋BC＋（CG＋D’G）＝AD＋AB＋BC＋CD＝3×4＝12．故選C．【點睛】本題考查的是翻折變換的性質，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．3．如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE，若AB的長為2，則FM的長為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】根據翻折不變性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，AB=2，過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，∴FB=AB=2，BM=1，則在Rt△BMF中，FM=，故選B．【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質，正方形的性質，勾股定理，適時利用勾股定理是解答此類問題的關鍵．4．如圖是一張矩形紙片ABCD，AD＝10cm，若將紙片沿DE折疊，使DC落在DA上，點C的對應點為點F，若BE＝6cm，則CD＝()A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】A【詳解】解：由題意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF，∴四邊形ECDF是正方形，∴DC=EC=BC-BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=10，∴DC=10-6=4（cm）故選：A5．如圖，先將正方形紙片對折，折痕為，再把點折疊在折痕上，折痕為，點在上的對應點為，則的度數為______．【答案】15°【分析】由翻折的性質AH＝AB，MN垂直平分AD，于是得到DH＝AH＝AB＝AD，故此△ADH為等邊三角形，由△ADH為等邊三角形可知∠HAB＝30°，在△ABH中可求得∠ABH＝75°，故此可求得∠HBC＝15°．【詳解】解：∵MN垂直平分AD，∴DH＝AH．由翻折的性質可知：AH＝AB．∵正方形ABCD中，∴AH＝AD＝DH．∴△ADH是一個等邊三角形．∴∠DAH＝60°．∴∠HAB＝30°．∵AB＝AH，∴∠ABH＝×（180°?30°）＝75°．∴∠HBC＝∠ABC?∠ABH＝90°?75°＝15°．故答案是：15°．【點睛】本題主要考查的是翻折的性質、線段垂直平分線的性質、等邊三角形的性質和判定、等腰三角形的性質，正方形的性質，證得△ADH是一個等邊三角形是解題的關鍵．6．如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點，將△ABE沿AE折疊至處，與AC交于點F，若∠EFC＝67°，則∠CAE的度數為____．【答案】11°【分析】利用三角形外角的性質先求出∠BEF，進而得到∠BEA，再求出∠BAE，最后用∠BAC－∠BAE即可得到答案．【詳解】解：由正方形性質知：∠ACE＝45°，∵∠EFC＝67°，∴在△FEC中，∠BEF＝∠EFC＋∠ACE＝67°＋45°＝112°，由折疊的性質可知：∠BEA＝∠BEF＝56°，∴∠BAE＝90°－∠BEA＝90°－56°＝34°，∴∠EAC＝45°－34°＝11°．故答案為：11°．【點睛】本題考查了正方形的性質和折疊的性質以及三角形的外角定理，熟練掌握性質是解題關鍵．7．如圖，正方形紙片ABCD的邊長為10cm，點P在邊BC上，BP=4cm，折疊紙片使點A落在點P上，折痕為MN．則AM的長是______．【答案】cm．【分析】由翻折的性質可知MA=PM，設MA=PM=xcm，則BM=（10-x）cm，最后在Rt△PBM中由勾股定理可求得AM的長．【詳解】由翻折的性質可知：MA=PM，設MA=PM=xcm，則BM=（10-x）cm．在Rt△PBM中由勾股定理得：PM2=PB2+MB2，即x2=42+（10-x）2．解得：x=cm．AD的長為cm．故答案為cm．【點睛】本題主要考查的是翻折的性質、勾股定理的應用，依據勾股定理列出關于x的方程是解題的關鍵．8．如圖，在正方形中，、分別為、的中點，連接、，將沿對折，得到，延長交的延長線于點.給出下列結論:①;②;③是等邊三角形;④若正方形的邊長為，則線段的長為其中，正確的結論有_____.(把你認為正確的結論的序號都填上)【答案】①②④【分析】首先證明△ABE≌△BCF，再利用角的關系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關系求出QF=QB，再證明∠FBQ≠60°，即可判斷③錯誤，設AQ=x，利用勾股定理構建方程即可解決問題．【詳解】解：∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正確；又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正確；根據題意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，∵tan∠FBC=，∴∠FBC≠30°，∴∠FBQ≠60°，∴△BQF一定不是等邊三角形，故③錯誤，設AQ=x，則FQ=BQ=3+x，QP=x+3-=x+，在Rt△BPQ中，∵BQ2=PB2+QP2，∴（x+3）2=32+（x+）2，∴x=，∴AQ=，故④正確．故答案為①②④．【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，涉及正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質以及折疊的性質的知識點，解決的關鍵是明確三角形翻轉后邊的大小不變，找準對應邊，角的關系求解．9．如圖，將一邊長為的正方形紙片的頂點折疊至邊上的點，使，折痕為，則的長__________．【答案】13【分析】先過點P作PM⊥BC于點M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△AED，從而求出PQ=AE．【詳解】過點P作PM⊥BC于點M，由折疊得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，則∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△AED∴PQ=AE==13．故答案是：13．【點睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．10．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為邊BC上任意一點（不與點B、C重合），AE、BD交于點P，過點P且垂直于AE的一條直線MN分別交AB、CD于點M、N．連接AN，將△APN沿著AN翻折，點P落在點P'處．AD的中點為F，則P′F的最小值為____．【答案】【分析】判斷△ADG是等腰三角形，點在等腰直角三角形ADG的邊GD上，當時，的值最小，求解即可．【詳解】解：如圖，若點E點B重合，則點P與B點重合，MN與BC重合，△ABC沿AC折疊，則點與點D重合，若點E點C重合，則點P為正方形對角線交點，△ADP為等腰直角三角形，沿AD折疊，點落在點G處，則△ADG是等腰直角三角形，則點P'在DG上運動，∵AD=2，點F是AD的中點，∴根據垂線段最短可知，當時，的值最小，此時是等腰直角三角形，∴；故答案為：【點睛】此題主要考查了正方形的性質，折疊的性質，勾股定理等知識，靈活運用“垂線段最短”是解答此題的關鍵．11．如圖，正方形ABCD中，，點E在CD上，且，將沿AE對折至，延長EF交BC于點G，連接AG、CF．求證：≌；求BG的長；求的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）3；（3）．【分析】根據翻折變換的性質和正方形的性質可證≌；在直角中，根據勾股定理即可得出結論；結合和求出的面積，最后用同高的兩三角形的面積的比等于底的比，即可得出結論．【詳解】是由折疊得到，，，又四邊形ABCD是正方形，，，，，在和中，≌，正方形ABCD中，，，，設，則．在直角中，根據勾股定理，得，解得．；由知，，，由知，≌，，，由知，，，，．【點睛】此題屬于四邊形的綜合題考查了翻折變換的性質和正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識注意折疊中的對應關系，注意掌握方程思想的應用是解此題的關鍵．12．如圖，正方形ABCD中，CD=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．（1）求證：①△ABG≌△AFG；②求GC的長；（2）求△FGC的面積．【答案】（1）①證明詳見解析；②3；（2）．【分析】（1）①利用翻折變換對應邊關系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；②利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，進而求出BG即可；（2）首先過C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面積法得，CM=2.4，進而得出答案．【詳解】（1）①在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵，∴△ABG≌△AFG（HL）；②∵CD=3DE∴DE=2，CE=4，設BG=x，則CG=6﹣x，GE=x+2∵GE2=CG2+CE2∴（x+2）2=（6﹣x）2+42，解得

x=3∴BG=3，又∵AB＝6，∴BG=GC=3；（2）過C作CM⊥GF于M，∵BG=GF=3，∴CG=3，EC=6﹣2=4，∴GE=5，CM?GE=GC?EC，∴CM×5=3×4，∴CM=2.4，∴S△FGC＝GF·CM=3.6．13．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數量關系：____；（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，（1）中發(fā)現的AH與AB的數量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長．（可利用（2）得到的結論）【答案】（1）AH=AB；（2）成立，理由見解析；（3）6【分析】（1）先證明，可得，，再證明即可；（2）延長至，使，證明，能得到；（3）分別沿、翻折和，得到和，然后分別延長和交于點，得正方形，設，則，，在中，由勾股定理，解得．【詳解】解：（1）如圖①，．理由如下：四邊形是正方形，，，在和中，，，，，是等腰三角形，又，，，，，，，在和中，，，；故答案為：；（2）數量關系成立．如圖②，延長至，使．∵四邊形是正方形，，，在和中，，∴≌（SAS），，，，，，，在和中，，．，，、是和對應邊上的高，．（3）如圖③分別沿、翻折和，得到和，，，．分別延長和交于點，得正方形，由（2）可知，．設，則，，在中，由勾股定理，得，，解得，．（不符合題意，舍去），．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、翻折變換的性質以及勾股定理等知識；正確作出輔助線，熟練掌握翻折變換的性質，構造全等三角形是解題的關鍵．14．如圖1，在正方形中，點為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于點，連接.(1)____________；(2)如圖2，若正方形邊長為6，點為的中點，連接，①求線段的長；②求的面積；(3)當時，若令，則________(用含的式子表示).

【答案】（1）；（2）①線段的長為2；②；（3）a.【分析】（1）根據正方形的性質可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根據翻折前后兩個圖形能夠完全重合可得∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”證明Rt△DGA和Rt△DGF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，從而得解；（2）①根據折疊的性質和線段中點的定義可得CE=EF=BE=3，DC=DF=AB=BC=6，利用“HL”證明Rt△DGA和Rt△DGF全等，可得AG=GF，設AG=x，表示出GF、BG，再利用勾股定理列出方程求解即可；②根據勾股定理求出EG=5，求出，再根據△GBE和△BEF等高求解即可；（3）根據等腰三角形三線合一的性質可得F是EG的中點，再利用“HL”證明Rt△ADG和Rt△CDE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=CE=a，可得AG=CE=EF=GF=a，再求出BG=BE，然后根據勾股定理列出方程即可求解．【詳解】解：(1)如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；(2)①解：∵將沿折疊得到，為的中點，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴.在和中，，∴(HL)，∴，∵為中點，∴.設，則，，∴，在中，根據勾股定理得：，即，解得，即線段的長為2；②在中，，，根據勾股定理得：.∵BE?BG.∵△BEF和△BEG等高，∴；(3)∵DE=DG，∠DFE=∠C=90°，∴點F是EG的中點，即GF=EF，在Rt△ADG和Rt△CDE中，，∴Rt△ADG≌Rt△CDE（HL），∴AG=CE，∴AB-AG=BC-CE，AG=CE=EF=GF=a，即BG=BE，∴△BEG是等腰直角三角形，∴即解得BE=a.故答案為（1）；（2）①線段的長為2；②；（3）a.【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，翻折變換的性質，熟記各性質是解題的關鍵．15．知識再現：已知，如圖，四邊形ABCD是正方形，點M、N分別在邊BC、CD上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延長CB至G使BG＝DN，連接AG，根據三角形全等的知識，我們可以證明MN＝BM+DN．知識探究：（1）在如圖中，作AH⊥MN，垂足為點H，猜想AH與AB有什么數量關系？并證明；知識應用：（2）如圖，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于點D，且BD＝2，AD＝6，則CD的長為；知識拓展：（3）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點，F為邊CD上一點，∠FEC＝2∠BAE，AB=24，求DF的長．【答案】（1）AB＝AH，證明見解析；（2）3；（3）8.【分析】（1）先證△ABG≌△ADN，再證△GAM≌△NAM，根據GM和NM是對應邊，得到AB＝AH（全等三角形對應邊上的高相等）；（2）作△ABD關于直線AB的對稱△ABE，作△ACD關于直線AC的對稱△ACF，延長EB、FC交于點G，則四邊形AEGF是矩形，又AE=AD=AF，所以四邊形AEGF是正方形，設設CD=x，則BG=6?2=4；CG=6?x；BC=2+x，在Rt△BGC中，得x=3，所以CD的長為3．（3）過點A作交EF于點M,證明△ABE≌△AME，得到再證明≌,設DF=x，得到EF=12+x；FC=24?x；EC=12，在Rt△EFC中,解方程即可.【詳解】（1）AB＝AH，證明：如圖1圖1∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴，又∵AB=AD，∵在△ABG和△ADN中，

∴△ABG≌△ADN(SAS)，∴∵，，∴，∴，即，∵在△GAM和△NAM中，

∴△GAM≌△NAM(SAS)，又∵GM和NM是對應邊，∴AB=AH(全等三角形對應邊上的高相等)；（2）作△ABD關于直線AB的對稱△ABE，作△ACD關于直線AC的對稱△ACF，圖2∵AD是△ABC的高，∴，∴，又∵，∴，延長EB、FC交于點G，則四邊形AEGF是矩形，又∵AE=AD=AF∴四邊形AEGF是正方形，由（1）、（2）知：EB=DB=2，AE=AF=AD=EG=6，設CD=x，∴BG=6?2=4；CG=6?x；BC=2+x，在Rt△BGC中,解得故CD的長為3.（3）如圖3，過點A作交EF于點M,在△ABE和△AME中，

∴△ABE≌△AME(AAS)，在和中，≌,設DF=x，∴EF=12+x，FC=24?x，EC=12，在Rt△EFC中,，解得，故DF的長為8.【點睛】考查正方形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理,翻折變換（折疊問題），作出輔助線是解題的關鍵.16．如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論；【答案】(1)證明詳見解析；（2）△PDH的周長不發(fā)生變化，理由詳見解析．【分析】（1）根據翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先證明△ABP≌△QBP，進而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．【詳解】（1）∵將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，折痕為EF，∴四邊形EBCF與四邊形EPGF關于EF對稱，∴∠BPH=∠PBC（軸對稱性質），∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC，∴∠APB=∠BPH；（2）△PDH的周長不發(fā)生變化，為定值8，如圖，過BQ⊥PH，垂足為Q，由（1）知∠APB=∠BPH，∴在△ABP與△QBP中，，∴，∴，又∵AB=BC，∴BC=BQ，又∵，在Rt△BCH與Rt△BQH中，，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH=QH，∴△PDH的周長為：DP+PH+DH=DP+AP+CH+DH=AD+CD=8，∴當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長不發(fā)生變化．【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質以及全等三角形的判定與性質，此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握數形結合思想的應用．17．如圖，已知正方形的邊長為5，點E為邊上一點（不與點C，D重合），將沿所在直線折疊得到，延長交邊于點G，連接、，可得．(1)判斷與是否相等，并說明理由；(2)若，求的長；(3)若，請直接寫出的值．【答案】(1)，理由見解析(2)的長是(3)【分析】（1）先由是正方形，再根據可求得；（2）由，得到，由勾股定理可得，且，可求得；（3）由，得，又可證明，則，，可求得的值是．【詳解】（1），理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，由折疊得，，，∴，，在和中，，∴，∴．（2）如圖1，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，且，∴，∴，∴的長是．（3）如圖2，∵，∴，∴，，∴，，，∴，∴，∴的值是．【點睛】此題考查正方形的性質、軸對稱的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理的應用等知識，此題綜合性強、難度較大．18．如圖將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使B點落在CD邊上一點E，壓平后得到折痕MN，當．(1)求NE的長；(2)連AN、AE，NG⊥AE，垂足為G，求GN的長；(3)直接寫出AM的長度．【答案】(1)NE=2.5；(2)NG=；(3)AM=0.5．【分析】（1）由折疊性質可得EN=BN，由題意可得CE=DE，在Rt△CEN中，利用勾股定理求解即可；（2）利用正方形面積減去△ABN，△ADE和△CEN的面積可得△AEN的面積，利用勾股定理可得AE，利用三角形面積公式即可求解；（3）連接BM，EM，由折疊性質可得AM=FM，AB=EF，∠BAD=∠EFM，可證得△ABM≌△FEM，從而得到BM=EM，在Rt△ABM和Rt△DEM中，設AM=x，則DM=4-x，利用勾股定理分別表示出BM，EM，利用等量關系構造方程即可求解．（1）解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠C=90°，∵，BC=CD=4，∴CE=DE=2，由折疊性質可得：EN=BN，設EN=x，則BN=x，∴CN=BC-BN=4-x，在Rt△CEN中，由勾股定理可得：NE2=CN2+CE2，即x2=（4-x）2+22，解得：x=2.5，∴NE=2.5；（2）解：在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE=，由（1）可得NE=2.5，∴BN=2.5，∴CN=BC-BN=1.5，∵S?ABCD=BC×CD=1