2023-2024學年高二數(shù)學下學期講練結(jié)合（人教A版2019）導數(shù)的運算（解析版）

5.2導數(shù)的運算

理學習目標

1.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求簡單函數(shù)的導數(shù).

2.能夠綜合運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)

3.理解復合函數(shù)的求導法則,并能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù).

日考點預覽

考點oi基本初等函數(shù)的導數(shù)及運算法則

考點02復合函數(shù)的導數(shù)

導考點03解析式中含/（X。）

數(shù)

的考點04在點的切線萬程

運

算考點05“過”點的切線方程

考點06已知切線（斜率）求參數(shù)

\考點07利用相切關系求最短距離

。翅識精理

一、導數(shù)的計算

1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

基本初等函數(shù)導函數(shù)基本初等函數(shù)導函數(shù)

f(x)=c(c為常數(shù))ra)=of(x)=e*r(x)=ex

f(x)=x"(aeQ)尸(x)=ar"-/(x)=lnx

X

z

/(x)=ax(a>0,awI)f\x)=axIna/(x)=sinx/(x)=cosx

f\x)=-sinx

f(x)=log”x(a>0，aN1)f(x)=./(x)=cosx

x\na

2.導數(shù)的運算法則

若/'(X)，g'(x)存在,則有:

加減運算u(x)±g(x)]=/'(x)士g'(x)

乘法運算"(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)

除法運算g(x)NO,則必為=/'(x)g(x)「/(x)g'(x).

g(x)g-(x)

3.復合函數(shù)的導數(shù)

復合函數(shù)y=〃g(x)］的導數(shù)和函數(shù)y=/(〃)，〃=g(x)的導數(shù)間關系為”=yu-ux：

二、求切線方程

1.求曲線“在”P點處的切線方程：

第一步：計算切點的縱坐標了(4);第二步：計算切線斜率左=/(為；

第三步：計算切線方程.切線過切點p(x()，/(xo))，切線斜率％=r(x。)；

第四步：根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-f(x0)=f'(xn\x-xa).

2.求曲線“過”p點處的切線方程

第一步：設切點為。(%),/(7)))；第二步：求出函數(shù)y=/(x)在點/處的導數(shù)r(x°)；

第三步：利用Q在曲線上和/'(/)=即。，解出/及/'(%)；

第四步：根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-f(x0^f\x0)(x-x0).

史考點剖析

考點01基本初等函數(shù)的導數(shù)及運算法則

1.下列導數(shù)公式不正確的是()

A.(x")'=ar"TB.?)'=6"C.(cosx)'=sinxD.(sinx)'=cosx

【答案】C

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式直接判斷即可.

【詳解】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式可知，ABD正確；C錯誤，應為(cosx)'=-sinx.

故選：C.

2.(多選)下列求導運算正確的是()

A.(e'?)'=|e*&B.(2,-log?x)'=⑵-x)ln2

-/、，?cJnx、，1-lnx

C.(cosx)=-sinxD.(——)=——；—

xx

【答案】CD

【分析】利用求導公式及導數(shù)的運算法則逐項計算即得.

【詳解】對于A,(e'4)'=1(4+5)，A錯誤；

J

對于B,(2'-log2xy=2ln2一一二,B錯誤；

xln2

由求導公式得C正確，由商的導數(shù)運算法則得D正確.

故選：CD

3.已知函數(shù)"x)=2*,若/K)=ln4,貝.

【答案】I

【分析】對函數(shù)求導，求出了'(%),解方程即可得出答案.

【詳解】因為f(x)=2"所以r(x)=21n2,

又(為)=ln4,所以2&ln2=ln4=21n2，解得%=1.

故答案為：1.

4.已知〃x)=cosx,則/'O.

【答案】￡

2

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，再代入計算可得.

【詳解】因為〃x)=cosx,所以r(x)=-sinx,則/—sin]=—日.

故答案為：-立

2

5.求下列函數(shù)的導函數(shù).

(l)y=10l；

⑵y=i°gj；

&y-y[^；

2

/八?XX

(4)y=Isin—+cosI-1

【答案】(l)lO'lnlO

(2)---——

xln2

3

⑶通

(4)cosx

【分析】根據(jù)求導公式及導數(shù)的運算法則進行求導即可.

【詳解】(1)y=(10A)=10vlnl0.

/\

1_]

⑵log,X

\2JI,1xln2,

xln

2

3

(3)因為>=后=/

(3\343

所以y'=/=-x=—產(chǎn).

4M

I/

2

(4)因為y=卜抽5+?0$5-1=sm~+2sin—cos—+cos-——1=smx，

2222

所以y'=(sinx)=cosx.

6.函數(shù)〃x)=^，如果尸(x)為奇函數(shù)，則。的取值范圍為

【答案】R

【分析】求出《(力，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出結(jié)果.

【詳解】由sinxwO可得xHE(keZ),即函數(shù)/(x)的定義域為卜卜二也/^2},

、6/sinx-axcosx

則f(x)=si3

又因為函數(shù)廣(x)為奇函數(shù)，對任意的xw{x\x^kn.,kGZ},

asin(r)二a(r)cos(「x)_asinx-cvccosx

=-/'(x),

sin2(-x)sin2x

對任意的實數(shù)〃都滿足條件，故實數(shù)。的取值范圍是R.

故答案為：R

7.已知函數(shù)/(1)=%1曲+以2+2,若/'(e)=0,則a=.

【答案】-』/_/

e

【分析】利用導數(shù)的運算法則及求導公式求出導數(shù)，再由給定的導數(shù)值求出”.

【詳解】函數(shù)〃耳=才1比+依2+2,求導得r(x)=l+lnx+2ax,

于是/'(e)=2qe+2=0,所以。=」.

e

故答案為：

e

考點02復合函數(shù)的導數(shù)

8.設函數(shù)小)=3(3父-2(0>0)的導函數(shù)尸(x)的最大值為2,則/(x)在「-[,外上的最小值為

\07.62.

()

A.叵2B.二

22

C.一正-2

D.-3

2

【答案】D

【分析】求IH函數(shù)的導數(shù)，依題意可得。=2,利用余弦函數(shù)性質(zhì)可求出f(x)的最小值.

【詳解】：/'(x)=-<osin"+力的最大值為2,二3=2.

cc「兀兀1_?！肛?兀

八，(6)L62j6L66J

.?.cos(2x+F)e[T,l].HP/(x)e[-3,-l],〃x)的最小值為—3.

故選：D.

9.(多選)下列函數(shù)的導數(shù)計算正確的是()

A.若函數(shù)〃X)=COS(T),則r(x)=sinx

B.若函數(shù)/(x)=Q(a>0且awl),貝4'(司=一。一一"

C.若函數(shù)〃x)=lg尤，則r(?=岑(e是自然對數(shù)的底數(shù))

D.若函數(shù)〃x)=tanx,則廣㈤=忌^

【答案】BCD

【分析】根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，結(jié)合基本初等函數(shù)求導公式以及求導法則即可逐一求解.

【詳解】對于A,/(x)=cos(-x)=cosx,所以r(x)=-sinx,A錯誤,

對于B,尸(x)=a~xInax(-x)=-axIna,故B正確,

對于c,r(x)=—5—=IneIse一一―

\lnl0=,10正確'

V7xlnlO

v(sinxAcosx-smx(-smx)1_「由

對十D,/(x)=(tanx)=------=-------------------------L=-z—,Di上確,

Icosxycosxcosx

故選：BCD

10.(多選)下列導數(shù)運算正確的是()

A.=B.(e2v)r=e2v

C.(sinx)=sm2xD.----------r=-----------

'7|_(2x+1)J(2x+D

【答案】AC

【分析】利用基本函數(shù)和復合函數(shù)的求導法則求解即可.

【詳解】選項A,(4*3)，=/故A正確；

選項B,(e2j)f=e2x(2x)I=2e2\故B錯誤；

選項C,(sin2x)'=2sinx(sinx)'=2sinxcosx=sin2x,故CiE確:

2x(2.r+l)3-6(2x+l)2x2-2x2+2x

選項D,故D錯誤.

(2X+1)3(2X+1)6-(2x+l)4

故選：AC.

ii.已知/(力=/，，則尸(耳=.

【答案】esinx.cosx

【分析】利用復合函數(shù)求導函數(shù)方法求解即可.

(詳解】由尸(x)=(esin(J=esinx?(sinx)'=網(wǎng)"?cosx，

故答案為：esint.cosx

12.鹽城沿海灘涂濕地現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)高等植物559種、動物1665種，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)其中某生物種群數(shù)量的增長規(guī)

律可以用邏輯斯諦模型N(r)=^，刻畫，其中r是該種群的內(nèi)稟增長率，若「=。08,貝卜=0時，N。)的

瞬時變化率為.

【答案】0.04/^

【分析】求f=0時N⑺的瞬時變化率，即求在t=0處導數(shù)值，求導，代入r=0計算即可.

0.16整回

【詳解】當r=0.08時，N（t）=1芻前，則N'（f）=

1+e,]+e《08，y，

",,小0.16e0

則f=0時，N⑺的瞬時變化率為N（0）=西可5=0.04

故答案為:0.04.

13.求下列函數(shù)的導數(shù).

(l)y=(2x-l)4；

(2)y=cos(2x-：)；

⑶y=ln(4x-l)；

(冗).(71

(4)y=xcosl2x+—Isinl2x+—

(5)y=x\Ji+x2；

(6)j=sin3x+sinx3.

【答案】⑴y'=8（2%-l）3

(2)y，=-2sin(2x—5

4x-l

(4)y'=-sin4x-2xcos4x

l+2x2

⑸尸后

（6）y'=3sin%cosx+cosx3-3x2

【分析】（1）利用復合函數(shù)求導運算求解即可;

（2）利用復合函數(shù)求導運算求解即可；

（3）利用復合函數(shù)求導運算求解即可；

（4）誘導公式和二倍角公式先化簡，再直接求導;

（5）利用復合函數(shù)求導運算求解即可；

（6）利用復合函數(shù)求導運算求解即可.

【詳解】（1）由y=（2x—l）,

則y=4(2X-1)3x(2-o)=8(2x-l)1

(2)由y=cos(2x-：J,

貝ijy'=_sin(2x-；)x(2-0)=_2sin(2x-：

(3)由y=ln(4x-l),

i4

則~-x(4-o)=-

4x-l4x-l

(4)由y=xcos2%+色sin2工+四

=x(-sin2x)cos2x=-—xsin4x，

2

則yr=-g(sin4x4-xcos4xx4)=一；sin4x-2xcos4x.

(5)由y=x\J\+x2?

則y'=Jl+x?—?/1(2%4-0)=I：2".

(6)liH^=sin3x+sinx3,

則/=3sin2xcosx+cosx3-3x2.

考點03解析式中含r（%。）

14.已知函數(shù)/（x）=r（.cos2x+sinx,則/（尢）在x處的導數(shù)為（）

A.也B.也C.克D.一也

6422

【答案】A

【分析】對〃x）求導，將代入求r（力即可.

［詳解］由已知可得/⑺=-2/'（?sin2x+cosx,

所以/圖=-2//sin（2x￡|+cos：,所以邛

故選：A.

15.若函數(shù)I(x)=sin?+2靖(0),則7(0)=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【分析】利用導數(shù)的運算法則求得尸(x)，從而求得尸(0).

【詳解】因為〃x)=sinr+2H(0),所以r(x)=co&x+2/'(0),

則r(0)=cosO+2/'(0)=1+2/'(0),所以/'⑼=—1,

故選：B.

16.已知/(x)=/'(2024)lnx—gf+x,則廣(2024)=()

A.0B.-2023C.-2024D.2023

【答案】C

【分析】求導代入x=2024直接計算即可.

【詳解】求導得：/(X)="2024)…

X

所以f(2024)=/(2024)_2024+1，

2024

2023

即就/(2024)=-2023,解得：/(2024)=-2024.

故選：C

17.已知函數(shù)/(x)=-x2+3_^?)+61n(2x+l),則/⑴=.

【答案】61n3-4

【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，并求尸(1),再根據(jù)函數(shù)/(X)的解析式，即可求解.

10

【詳解】尸(力=一2》+37(1)+已，

則/'(1)=-2+3/'(1)+4,得/⑴=—1,

所以/(司=一/一3x+61n(2x+l),

故/(l)=61n3—4.

故答案為：61n3-4

18.設函數(shù)〃x）的導數(shù)為f（x）,且〃力=/，｝osx+sinx,則//=.

【答案】1

【分析】根據(jù)求導法則，建立方程，可得答案.

【詳解】由題意，可得（（x）=/'（R（-sinx）+cosx,

所以鷹卜砥卜sin#哼即唱=-“符￥，

故答案為：1.

考點04“在”點的切線方程

3

19.已知函數(shù)/*）是偶函數(shù)，當xvO口寸，fW=x-x+lf則曲線y=f（幻在x=l處的切線方程為（）

A.2x+y-l=0B.2x-y-3=0

C.2x+y-3=0D.2x-y-\=0

【答案】C

【分析】首先由奇偶性求得x>0時八乃的解析式，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義求切線方程即可.

【詳解】因為xvO,f(x)=x3-x+1,/(-1)=1,

又由/(x)是偶函數(shù)，.."⑴=1,

令一x<0,則/(-x)=-x3+x+l,

根據(jù)/(可是偶函數(shù)，/(-x)=/(x),

得至ijx>0時，/(x)=-x3+x+1,

所以，x>0時，ff(x)=-3x2+\,尸⑴=一2,

故曲線y=/(x)在冗=1處的切線方程為y-1=-2(x-1),

即2x+y-3=O.

故選：C.

20.函數(shù)〃司=廿+%在點（0,1）處的切線方程為（）

A.y=2x+lB.y=x+l

C.y=ex+lD.y=(e+l)x+l

【答案】A

【分析】利用導數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】由/(x)=e'+x,得r(x)=e'+l,

在點(0,1)處的切線斜率為/'(O)=e°+l=2,

所以切線方程為y-l=2(x-0),即y=2x+l.

故選：A.

21.已知『(cosa+sina)+2f(cosa-sina)=3-sin2a+sina-3cosa,則曲線g(%)=(x+1)?f(%)在(0,g(0))

處的切線方程為()

A.x-y=0B.x-y-\=0C.x+y=0D.x+y-\=0

【答案】C

【分析】將二換成-與原式聯(lián)立得到了(cosa-sina)=(cosa-sina)2-(cosa-sina),利用換元法求出

函數(shù)“X)的解析式，進而寫出g(x)的解析式，從而求得切線方程.

【詳解】因為/(cosc+sina)+27(cosa—sina)=3—sin2a+sina-3cosa(5),

將a換成-a,得/(cosa-sina)+2/(costz+sincr)=34-sin2cr-sincr-3cosa@,

①x2-②徂

得

f(cosa-sina)=1-sin2a+sina-cosa=(cosa-sina)2-(cosa-sina),

^>/=coscr-sina=\/2cos(a+?),re[-V2,V2],

則/(O=r2-r(re卜夜，夜]),故/(x)=x2-x(xe

故g(x)=(x+l)/(x)=(x+l)(x2-x)=Mx+l)(x-l)=X(X2-1)=X3-X,

則g，(x)=3f-l,

所以g'(0)=-l,g(0)=0,

故切點為(0,0),切線斜率為-1,故切線方程為x+y=0.

故選：C.

22.曲線/(x)=x3-lnx在點(1,/⑴)處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積為.

【答案】，/0.25

4

【分析】先求出切線方程，后求圍成的二角形面積即可.

【詳解】易知/(X)的定義域為xe(O,y),而/⑴=易故切點為(U),

設切線斜率為％,且一L故人=f1l)=3-l=2,

X

切線方程為y-i=2(x-D,化簡得y=2x-l,

當y=0時，X--,當x=0時，y=-1,

2

易知圍成的圖形是三角形，設面積為S,故S=gxgxH|=；.

故答案為：7

4

^X-\

23.曲線>=—在點(1,%)處的切線方程為.

X

【答案】ex—y=0

【分析】通過求導得出在點(1,%)的切線斜率，即可求出在點(1,%)處的切線方程.

【詳解】由題意,

當x=l時，y=2xlxe?"e-'=e,y=e

I2

在點(1,%)處的切線方程為：y-e=e(x-l),

即：ex-y=O,

故答案為：ex-y=O.

24.已知函數(shù)=卜+山，則在點處切線方程為.

【答案】3x+y+2=0

【分析】對f(x)求導可得尸(x)計算出/'(；)得f(x)，再根據(jù)題意利用導數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】對“X)求導可得(("=2'+2嗚)+：,則尸(￡)=1+2噌)+2,

解得,'(；)=一3,

.?./(x)=x2-6x+lnr,/./(l)=-5,

r(無)=2x-6+g,r⑴=一3,

,切線方程為y+5=—3（x—1）,整理得3x+y+2=0.

故答案為：3x+y+2=0.

考點05“過”點的切線方程

25.己知函數(shù)〃耳=!-1,則曲線y=/(x)在點(-處的切線方程為()

A.er+y+l=0B.er-y+1=0

C.ex+y-1=0D.ex-y-l=0

【答案】A

【分析】先由導數(shù)求切線的斜率，再求出切點，結(jié)合點斜式方程寫出即可.

【詳解】由〃力=5一1,得廣(力=一二，

所以r(-l)=-e,又=

故曲線y=/(x)在點(TJ(T))處的切線的方程為y-(e—l)=-e(x+l),即er+y+l=0.

故選：A.

26.函數(shù)/。)=/+("1)/-》+匕為R上的奇函數(shù)，過點尸作曲線V=/(x)的切線，可作切線條數(shù)

為()

A.1B.2C.3D.不確定

【答案】A

【分析】根據(jù)奇函數(shù)確定/(x)=x'-x,求導得到導函數(shù)，設出切點，根據(jù)切線方程公式計算%=-1,計算

切線得到答案.

【詳解】f(--^)=+(^—l)x2+x+b=-f(x)=-x3—(ci—l)x2+x—b,故a=l,b=0f

f(x)=x3-x,f\x)=3x2-1,

設切點為〃伉，入)，則八天＞)=3x；T=+f,且/(/)=￡-%=%,

X°2

整理得至匹飛+1乂4/-%+1)=0,解得與=-1,/(-1)=2,

故切線方程為V=2x+2,

故選：A

27.(多選)過點A(l,2)與函數(shù)/(力=丁+》相切的直線為()

A.2x+y-4=0B.3x-y-\=0

C.4x-y-2=0D.7x-4y+l=0

【答案】CD

【分析】當A為切點時?，根據(jù)/(I)的值和A(l,2)直接求解出切線方程；當A不是切點時，設出切點+。，

然后根據(jù)斜率的表示求解出B的坐標，則切線方程可求.

【詳解】因為〃x)=d+x,所以/'(xNSd+l；

若A點是切點，則/。)=4,

則切線方程為y-2=4(x—l),即4x—y—2=0,故C正確；

若人點不是切點，設切點5”『+。，則8處切線斜率為/'⑺=3/+1,

又因為直線AB的斜率為kAB=，

則3/+1=r+t~2,3?-3r2+r-l=?+t-2,

t-\

化簡可得(2r+l)(r-1)2=0,所以f=或t=l(舍去，此時A,8重合)，

所以點8為‘提-|｝故切線斜率為尸卜[=],

7

則切線方程為尸2=^(犬-1)，即7x-4y+l=0,故D正確.

故選：CD.

28.若曲線y=(x-a)e”有兩條過點(1,0)的切線，則”的取值范圍是.

【答案】(v,l)U(5,"o)

【分析】先利用導數(shù)求曲線y=(x-a)e"過坐標(1,0)的切線方程，再列出關于。的不等式，進而求得。的取

值范圍.

【詳解】由y=(x-a)e*得y'=(x-a+l)e*,設切點坐標為&,(%-。)人),

則切線斜率％=(&-a+l)eM,

切線方程為y-(xo-a)e%=(%-4+1)6陽(x-x。)，

又因為切線過(1,0),所以O-(與-a)e%=(%-a+l)e&(l-x。)，整理得片一(。+1)與+2。-1=0,

又曲線有兩條過坐標原點的切線，所以該方程有兩個實數(shù)解，

所以△=(a+l)2-4(2a-l)>0,解得a<1或a>5,

所以。的取值范圍是(F』)U(5,yo),

故答案為：（TO/）（5,物）.

1Inxx之2

29.過原點與曲線f（x）=2；一；相切的一條切線的方程為.

【答案】y=2x或y=-2x或y='x（寫出其中一條即可）

e

【分析】根據(jù)曲線y=x2+l,x<2表示拋物線的一部分，設其切線方程為》="，利用判別式法求解；設

〃x）=lnx,xN2的切線的切點為盧（玉,幾），利用導數(shù)法求解.

【詳解】解：設曲線y=/+l,x<2表示拋物線的一部分，

設其切線方程為丫=丘，代入y=d+l,

得V—依+1=0.由4=公一4=0，得左=±2.

當&=2時，x=\,符合題意，

當氏=-2時，戶-1,均符合題意，

所以切線方程y=12x.

設/（x）=lnx,x22的切線的切點為尸伍,幾）.

由:（x）=L得m）=,，y0=lnx0,A0>2,

1

得切線方程為y=一匕

工0

將？（X。,幾）的坐標代入切線方程，得%=1,

所以x°=e,所以切線方程為、=,北

e

故答案為：>=2x或y=-2x或y=』x（寫出其中一條即可）

e

30.已知曲線y=丁-2x?+2x+l.

（1）求曲線在點P（O」）處的切線方程；

（2）求曲線過點戶（0，1）的切線方程.

【答案】⑴2x-y+l=0

⑵2x-y+l=0和x-y+l=0

【分析】（1）先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，利用點

斜式即可得到切線方程；

（2）設過點尸的切線與曲線相切于點Q,然后根據(jù)曲線在點。處切線的切線方程，求出切點坐標，從而可

求出結(jié)果.

【詳解】（1）由題意得y'=3xJ4x+2,則在點P（O,1）處的切線的斜率％=切1,=2,

所以曲線在點P（O,1）處的切線方程為y=2x+l,即2x-y+l=0.

（2）設曲線y=V—2/+2x+1與過點尸（0,1）的切線相切于點。5,%）,

設切線的斜率為3則由點斜式得直線方程為y-l=A（x-0）,又因為切點為Q（%,%）,

”=（「3%2-4玉,+2

則，％-I=-0），解得A=1或％=2,

%=年一2片+2%+1

則曲線過點尸（0,1）處的切線方程為2x-y+l=0和x-y+l=0.

考點06已知切線（斜率）求參數(shù)

31.已知函數(shù)〃x）在點x=2處的切線方程為2x+y-l=0,則（（2）+〃2）=（）

A.-5B.-3C.3D.5

【答案】A

【分析】根據(jù)導數(shù)的兒何意義求解即可.

【詳解】因為函數(shù)f（x）在點x=2處的切線方程為2x+y-l=0,

所以/'（2）=-2,且2x2+/（2）-l=0,所以42）=—3,

所以/（2）+"2）=-5.

故選：A.

32.已知直線y=ox-l與曲線>=也相切，則。的值為（）

x

1-ln2

A.1B.-cD.2e2

e4

【答案】A

【分析】設切點為（為,%）,再根據(jù)切點在直線與切線上,導數(shù)的幾何意義列式求解即可.

%="一［1Tn%

%=---------1

為=，故，%°，即

【詳解】>的導函數(shù)"卡,設切點為5,％）,則3

%=岫

a=Inx°X。

2

lnx1-In.

-----n-=-----;-------1,則21nx0+/-1=。.

玉)演)

易得函數(shù)八%)=21nx+x—l為增函數(shù)，且"1)=0,故/=1.

故選：A

33.若直線>=、+〃是曲線y=lnx(x>0)的一條切線，則實數(shù)6的值為()

4

A.4B.In4+1

C.In4-1D.In4

【答案】c

【分析】先求得曲線的導函數(shù)，由導函數(shù)幾何意義及直線方程可求得切點坐標，再代入宜線方程即可求得b

的值.

【詳解】；y=lnx的導數(shù)y'=3.?.☆：=；，得X=4,.?.切點為(4,ln4).

代入直線y=￡+b,得In4=1x4+6,即Z>=ln4-1.

44

故選：C

34.已知若曲線y=tflna與直線丫=m相切，則。=.

【答案】-

e

【分析】設出切點，利用切點在曲線上也在直線上和切點處的導數(shù)等于斜率列方程求解。

【詳解】設/(x)=“'lna,與直線》=改相切的切點為&,/仇))，

則((x)="(lna)2,

故y=〃x)在點■"(%))處的切線方程可寫為y=d(lna)2.(x-x0)+dIna,

v

即y=a”(ini?)'x-xoa°(Ina)'+a*Ina,

若切線為^^“，則-七。",(Ina)?+a*Ina=0且e=a*(Ina)?,得/=，一，

所以就(Ina)&，設就=機則g就=In/n，+卜4=皿"=1所以…e，

所以e(lnay=e,(Ina)。=i所以又因為(j<a<[,所以]na=-1解得a=1.

1

故答案為:

e

35.函數(shù)〃x）=（2x-a）e*的圖象在點（OJ（O））處的切線與直線x+2y+l=0垂直，則實數(shù)。=.

【答案】0

【分析】根據(jù)導數(shù)得幾何意義，先求導尸（x）=（2x+2-a）e、，所以在點（OJ（O））處的切線斜率為r（0）=2-a,

再根據(jù)直線的垂直關系，即可得解.

【詳解】由題可得，r（x）=（2x+2-a）e',

所以在點（0,./（0））處的切線斜率為r（0）=2-a,

又切線與直線x+2y+l=0垂直，

所以2—a=2,解得a=0.

故答案為：0

36.已知拋物線y=2x?+l,求：

（1）拋物線上哪一點處的切線的傾斜角為45°?

（2）拋物線上哪一點處的切線平行于直線4x-y-2=0?

（3）拋物線上哪一點處的切線垂直于直線x+8y-3=0?

【答案】⑴盟

⑵。，3）

⑶（2,9）

【分析】（1）運用導數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線斜率與直線傾斜角之間的關系進行求解即可；

（2）運用導數(shù)的幾何意義，結(jié)合互相平行直線的性質(zhì)進行求解即可；

（3）運用導數(shù)的幾何意義，結(jié)合互相垂直直線的性質(zhì)進行求解即可；

【詳解】（1）由y=2x?+l=>y，=4x,設切點為

因為切線的傾斜角為45。，

所以切線的斜率為1,因此有4玉=1=占=；=x+1=\=>：

（2）由y=2/+iny=4x,設切點為現(xiàn)0力），

因為切線切線平行于直線4x-y-2=0,

所以切線的斜率為4,因此有4%=4n七=ln%=2xF+l=3nB（l,3）；

(3)由y=2x2+lny'=4x,設切點為＜?(毛,％)，

因為切線線垂直于直線x+8y-3=0,

所以切線的斜率為8,因此有4X1=8=>x,=2n%=2x22+l=9nC（2,9）

考點07利用相切關系求最短距離

37.若點P是曲線y=/-lnx上任一點，則點P到直線x-y-6=0的最小距離是（）

A.y[2B.2近C.3亞D.2石

【答案】C

【分析】利用導數(shù)求出與直線x-y-6=0平行的直線與曲線y=/_lnx的切點，再由點到直線的距離公式求

解.

【詳解】解：設與直線*7-6=0平行的直線與曲線片/一皿彳切于P（x°,九）,

由y=x2-lnx定義域為（0,+8）,得y=2x-‘，則y'lf=2x0-：,

X玉）

由解得%=1（舍去負值）.

工0

|1-1-6|

則點P至I」直線x-y-6=0的最小距離是372.

丘

故選：C.

38.已知函數(shù)為偶函數(shù),當xvO時,/（x）=ln（-x）+3x,則曲線y=f（x）上的點到直線y=-2x+l的

最小距離為（）

A.1B.柜C.—D.

555

【答案】B

【分析】首先求x>0的解析式，根據(jù)條件求/''（》）=-2的點，再求點到直線的距離的最小值.

【詳解】當"0時,設點產(chǎn)1,%）,廣（%）」+3=-2,

x\

解得：X,=-1,y=_ln5—|,

23

此時點尸到直線y=-2x+l的距離552+ln5,

4=忑

設x>0,-x<0,因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以〃x）=〃—x）=lnx—3x,

設點Q（孫必），f\x2）=-3=-2,解得：%,=1,%=-3,

I2-3-1L2

此時點Q至悄線y=-2x+\的距離d2=

因為&<4,所以曲線y=f(x)上的點到直線y=-2x+l的最小距離為出=孚.

故選：B

39.若點P是曲線y=-V上任意一點，則點尸到直線丁=尤+2的最小距離是.

【答案】迪

8

【分析】作直線y=x+2的平行線，使得與曲線y=-V相切，設切點為P(%,%),根據(jù)導數(shù)的幾何意義求

得切點為結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解.

【詳解】作直線y=x+2的平行線，使得與曲線y=-V相切，設切點為尸(%,%),

因為函數(shù)y=-x?,可得y'=-2x,

所以曲線在點尸(%),%)處的導數(shù)為川『,=-2々，即切線的斜率為k=-2%

令-2x0=l,解得/=-1，則％=-1即切點為尸

|-1+1+2廠

又由點到直線的距離公式，可得切線上到直線的距離為？47J2,

”-不訴下

即尸到直線y=》+2的最小距離為述.

8

故答案為：述.

8

40.若點尸是曲線y=f-hu?上任意一點，點。是直線x-y-3=0上任意一點，則|PQ|的最小距離為.

【答案】也》叵

22

【分析】利用導數(shù)的幾何意義處理即可.

【詳解】y=x?-lnx(x>0),；.y'=2x-1

令y'=l,則x=l,即曲線y=—-lnx在(1,1)處的切線方程為：y-l=l?(x1),

即丫=工，

如下圖所示，當P(1,1)時尸。的最小值為點P到直線x-y-3=o的距離(。為垂足).

41.若點尸是曲線y=x2—lnx-1上任意一點，則點尸到直線），=x-3的最小距離為.

【答案】>/2

【分析】由已知，先在曲線上設出點。（毛,為）,然后寫出以。（玉）,%）點為切點的曲線的切線方程，根據(jù)題意，

找到距離直線y=x-3最近的點，即攵=2%-工=1,從而求解出切點以及切線方程，最后計算兩條平行線之

間的距離即可.

【詳解】由已知，設點。（玉），九）曲線y=l2_1nx7上一點，則有%=/2_［叫,

因為y=/一所以y'=2x-」，所以了1氣=2/一-

x/

所以曲線y=f-lar-l在。（%,yQ）處的切線斜率為&=2%,

無0

則曲線y=f-Inx-1在0（%,%）處的切線方程為>一（%2-1啄-1）=（2%-，）（x-%）,即y=（2%-，）x-年-In%.

%"o

要求得曲線y=*2-Inx-1上任意一點，至I］直線y=x-3的最小距離即找到曲線上距離直線最近的點，即

k=2Xo--=l,解得%=1或%=-4（舍去），

此時，以點。（1,0）為切點，曲線的切線方程為：y=x-i,

此時，切點。0,0）為曲線上距離直線y=x-3最近的點，即點尸與點。重合,

最小距離為直線y=X-3與直線y=x-1之間的距離，設最小距離為d,

1-1-(-3)1

所以"

故答案為：血.

42.設點尸是曲線y=上的任意一點則尸到直線了=-X的最小距離是

【答案】V2

【分析】對函數(shù)y=?-jinx求導，由題意得在P點的切線與直線＞=-、平行，從而求出尸點坐標，根

據(jù)點到直線的距離進行求解即可

(詳解】由題意得在尸點的切線與直線)'=一%平行

設曲線y=上與直線產(chǎn)一%平行的切線的切點卜°，衣一jinx。)，

人,13

由y=-%的斜率為-1,y=―7=——

2%

,113

則由二訴一五='解得％=】，故切點為(U)

切點(U)至1Jx+y=o的距離d=點.

故答案為：V2

,精準煉習

基礎過關練

1.下列式子錯誤的是()

A.(sinx)z=cosxB.(cosx)'=s\nx

C.(21nxy=-D.(e-'j=_eT

X

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，依次計算選項函數(shù)的導數(shù)，綜合即可得答案.

【詳解】對于A：(sinx)'=cosx,故正確；

對于B：(cosx)'=-situ,故錯誤；

2

對于C：(21nx)'=-,故正確；

X

對于D：(e-T)r=-e-S故正確，

故選：B.

2.已知函數(shù)/(x)=lnx-_f(l)x2+3x-4,則/〈3)=()

【答案】A

【分析】在等式〃力=11^-1/'(1b2+3尤-4兩邊求導，令x=l,可求得廣⑴的值，可得出尸(力的表達式,

代值計算可得出r⑶的值.

［詳解］因為/(x)=lnx__f(l)x2+3x_4,則/'(x)=——2r(l)x+3,

418

所以，r⑴=4-2,⑴,解得廣⑴三，所以，r(x)=;_|x+3,

114

因此，r(3)=--8+3=-y.

故選：A.

3.曲線/(x)=e*+公在點(0,1)處的切線與直線y=2x平行，則。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】確定曲線/(x)=e*+ar在點(0,1)處的切線的斜率，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可

求得答案.

【詳解】因為曲線/(x)=e'+or在點(0,1)處的切線與直線y=2x平行，

故曲線/(x)=e'+④在點(0,1)處的切線的斜率為2,

因為f'(x)=e*+a,所以/