2024屆河北省承德市部分高中二模數(shù)學(xué)試題（含答案）

數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.

第I卷（選擇題共58分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.若卜+0=卜—囚，。=（l,2）,b=（九3）,則m=（）

A.6B.-6C.3D,-3

2.某中學(xué)舉行數(shù)學(xué)解題比賽，其中5人的比賽成績分別為：70,85,90,75,95,則這5人成績的上四分位數(shù)是

（）

A.90B.75C.95D.70

3.生活中有很多常見的工具有獨(dú)特的幾何體結(jié)構(gòu)特征，例如垃圾畚箕，其結(jié)構(gòu)如圖所示的五面體ABCDEN,其

中四邊形ABFE與CDEF都為等腰梯形,ABCD為平行四邊形，若AO，平面ABFE,且

所=2鉆=24石=2加\記三棱錐￡）—4面的體積為匕，則該五面體的體積為（）

A.8KB.5Kc.4KD.3K

4.已知tan。=2,則一sin3s_=（）

sincr+costz

7272

A.—B.—C.——D.------

915915

5.將5本不同的書（2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書）分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書，每本書

只能分給1人，其中體育書只能分給甲、乙中的1人，則不同的分配方法數(shù)為（）

A.78B.92C.100D.122

22

6.已知耳，鳥分別為雙曲線?-2?=1（。〉0）〉0）的左、右焦點(diǎn)，過F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交

cib

雙曲線于點(diǎn)P,若|P用=3忸6|,則雙曲線的離心率為（）

A.3B，V3C#D.2

7,已知函數(shù)〃x）,g（x）的定義域?yàn)镽,g'（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù),且/（x）+g'（x）=2J（x）—g'（4—x）=2,

1

若g（x）為偶函數(shù)，則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A./（4）=2B.g'⑵=0c./（-l）=/（-3）D./（1）+/（3）=4

8.已知正數(shù)"c滿足e"=l.F,5〃+iob—3=0,e，=1.3,則（）

/\.a<c<bQ.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.已知zeC,彳是z的共輾復(fù)數(shù)，貝I］（）

什l+3i_-4-3i

A.右z=-一-—,貝nl！Jz=---

1—3i5

B.若Z為純虛數(shù)，則z2<0

C.若z-（2+i）>0,則z>2+i

D.若M={z||z+3i|?3},則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

。%+0）（。>0）的圖像與直線y=￥相鄰的三個交點(diǎn)，且

10.如圖，點(diǎn)是函數(shù)〃x）=sin（

\BC\-\AB\=^f0,則（）

A.G=4

兀71

BJ（X）在上單調(diào)遞減

3J2

9兀

D.若將/（X）的圖像沿％軸平移。個單位長度，得到一個偶函數(shù)的圖像，貝的最小值為最

11.一個棱長為4的正四面體7^43c容器,。是？B的中點(diǎn)，E是CD上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

2

TT

A.直線AE與？8所成角為一

2

B._ABE周長的最小值為4+9

C.如果在這個容器中放入1個小球（全部進(jìn)入），則小球的半徑的最大值為好

3

D.如果在這個容器中放入4個完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為挺二2

5

第II卷（非選擇題共92分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.設(shè)集合4=｛引尤之-2%-3<0,%eR｝,B=｛x||x|>?,?>0）,則AuB=R,則。的取值范圍為

13.已知圓x2+/=16與直線y=-限交于AB兩點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)A,B,C（8,0）的圓的方程為.

14.已知等差數(shù)列｛4｝（公差不為0）和等差數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和分別為S",卻如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程

1003/一+03%+加03=0有實(shí)數(shù)解，則以下1003個方程/—平+白=0?=1,2,,1003）中，有實(shí)數(shù)解的

方程至少有個.

四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（13分）

已知函數(shù)/（x）=g—sin%x+孚sin2（?x（ty>0）的最小正周期為4Tl.

（1）求/（%）在［0,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且（2a-c）cosB=b-cosC,求/（A）的取值范

圍.

16.（15分）

如圖，在四棱錐M—ABCD中，AB=AM=A￡>=2,M5=20,M￡>=2G.

（1）證明：A3,平面ADM；

3

（2）若DC/AB,BE=2EM,求直線EC與平面BDM所成角的正弦值.

3

17.（15分）

王老師每天早上7：00準(zhǔn)時從家里出發(fā)去學(xué)校，他每天只會從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個乘坐.

王老師多年積累的數(shù)據(jù)表明，他到達(dá)學(xué)校的時間在兩種交通工具下的概率分布如下表所示：

到校時7:30之7:30-7:357:35-7:407:40-7:457:45-7:507:50之

間,刖>r.后

乘地鐵0.10.150.350.20.150.05

乘汽車0.250.30.20.10.10.05

（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當(dāng)天乘地鐵去學(xué)校，則他到校時間在7：35-7：40的概率為0.35.）

（1）某天早上王老師通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學(xué)校，若正面向上則坐地鐵，

反面向上則坐汽車，求他當(dāng)天7：40-7：45到校的概率；

（2）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校，從第二天開始，若前一天到校時間早于7：40,則當(dāng)天

他會乘坐地鐵去學(xué)校，否則當(dāng)天他將乘坐汽車去學(xué)校，且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時

間是否早于7:40,第II天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學(xué)校前坐地鐵的

次數(shù)為X,求E（x）；

（3）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時間早

于7:40,則當(dāng)天他會乘坐地鐵去學(xué)校；若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時間晚于7:40,則當(dāng)天他會乘坐汽車去

學(xué)校；若他前一天乘坐汽車去學(xué)校，則不論他前一天到校的時間是否早于7:40,當(dāng)天他都會乘坐地鐵去學(xué)校.

記P?為王老師第?天坐地鐵去學(xué)校的概率，求｛Pn｝的通項(xiàng)公式.

18.（17分）

已知"x）=ae"—2xe”（其中e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）當(dāng)a=0時，求曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,7（1））處的切線方程；

（2）當(dāng)a時，判斷y=/（x）是否存在極值，并說明理由；

（3）VxeR,/（x）+：,,0，求。的取值范圍.

19.（17分）

圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，如下方式可以得到部分的有心圓錐曲

2

線，已知動點(diǎn)P與定點(diǎn)A（m,0）的距離和P到定直線x=—的距離的比為常數(shù)竺，其中m>0,">0,且

mn

4

m#"，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程，并說明軌跡的形狀；

(2)設(shè)點(diǎn)8(—7%0),若曲線C上兩動點(diǎn)均在x軸上方,AM//3N,且AN與6M相交于點(diǎn)。.

L11

(i)當(dāng)〃z=2后,〃=4時，求證：同年+的的值及△A6Q的周長均為定值；

(ii)當(dāng)機(jī)〉"時，記的面積為S,其內(nèi)切圓半徑為廠,試探究是否存在常數(shù)尢使得S=2廠恒成立？若存

在，求;I(用以〃表示)；若不存在，請說明理由.

參考答案及解折

一、選擇題

l.B2,A3.C4.D5.C6.B7.C8,D

二、選擇題

9.AB10.ABD11.ACD

三、填空題

12.(0,1)13.(x-3)2+(y-V3)2=2814.502

四、解答題

11-COS2(T)Xy/3.八

15.解：(1)/(-sin2ox+sin2?x=-------------------1----sin2cox

「22222

6.0,1o.〃J

=——sin2s:H?—cos2公r=sin2cox+—

22I6

2JT1

因?yàn)門=——=4兀,所以。=—,

2?4

故/(x)=sinj;x+g］.

由一巴+2E轟/x+工—+2kn,keZ,

2262

47T27r

解得4E—-->4E+,/eZ,

33

當(dāng)左=0時,-如硼—,

33

27r

又X?0,可，所以/(力在［0,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間為0,y

(2)由(2Q-C)COS5=Z??COSC,

5

得(2sinA-sinC)cos5=sinBcosC,

所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA.

因?yàn)閟inAw0,所以cosB=L

2

又5￡(0,7l),所以3=

所以/(A)=sin(/A+￡)

Lf、t兀A兀LL…兀A71571

因?yàn)?<Av”,所以:〈二十:〈)，

6242612

的“夜.吟V2+V6

所以一<sin—+-<----------,

2(26J4

所以/(A)的取值范圍為.

I24J

16.(1)證明：因?yàn)?=2,MB=20,

所以AA^+AB?=也2,所以.，聞奴.

又AB_LAD,且AAfcAD=A,AM,ADu平面ADM,

所以AB,平面ADM.

(2)解：因?yàn)锳M=A。=2,MD=26，

4+4-121

所以cos/MAZ>=-----------=——，且0</M4D<180,可知/M4D=120.

2x2x22

在平面ADM內(nèi)過點(diǎn)A作x軸垂直于由⑴知AB_L平面以所在直線分別為y,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則。（6-1,0）,《后-1期,5（0,0,2）,“（0,2,0）.

6

因?yàn)?石=29,所以E1O,:|

可得EC=^,-|,|j,5M=（0,2,-2）,BD=（A-l,-2）.

設(shè)平面的法向量為”=（羽％z）,

BM?〃=2y—22=0,

則.r-

BD?n={3x-y-2z=。,

取2=1,得〃=（?1,1）,

TT

設(shè)直線EC與平面5DM所成角為0,-,

4

\EC-n\3

貝i]sin。=cos<EC,n>\

-|EC||/7|-4A/55

x

3

所以直線EC與平面BDM所成角的正弦值為g.

17.解：⑴記事件A="硬幣正面向上”,事件5="7:40—7:45到?！?

則由題有P（A）=0.5,P（B|A）=0.2,P（B|A）=0.1,故

P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=0.5x0.2+0.5x0.1=0.15.

（2）X可取L2,3,?,9,10,

由題得，對于1M9（JteN*）,P（X=^）=-x

+月田+呵|[,

3./s,232/3丫+8X2X（3]+9x-xf-^+10x（3]

_E（—1x_x—F2x_x_+

5v7555⑸515；5⑸⑸

77737

以上兩式相減得T（X）=M+M=+^+

332

故￡（X）=l+『

7

口5)、55,/3)

1-122(5)

5

所以E（X）=g—gx

32

（3）由題得《=1,/^=［匕+1_匕=_］與+1,

則匕+i_!■=_!■

5522

這說明彳q是以4—亍=亍為首項(xiàng)，一1為公比的等比數(shù)歹!）.

18.解:(1)當(dāng)a=0時，/(x)=-2xe”,

則/'(%)=—2(x+l)e'.

因?yàn)?'⑴=Te,所以曲線y=/⑺在點(diǎn)(1,/(1))

處的切線方程為y=-4e(x—l)-2e=-4ex+2e.

(2)當(dāng)a=g時，〃x)=ge2=2xe一定義域?yàn)?―e,+”)，

則/'(%)=e2x-2(%+l)ev=eA(ex-2x-2).

令尸(x)=e*—2x—2,貝。/，(無)=e￥-2,

當(dāng)xe(-8,ln2)時，尸(x)<0；當(dāng)xe(ln2,+oo)

時/(x)>0,

所以/(九)在(―8,ln2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln2,+a)內(nèi)單調(diào)遞增,

F(x)n,n=F(ln2)=2-21n2-2=-21n2<0,

8

F(-l)=->0,F(2)=e2-6>0.

e

存在玉e(-l,ln2)，使得F(%)=0；存在％e(山2,2),使得F(x2)=0,

當(dāng)xe(-8,%)時,歹(x)>0,f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x?再，W)時,"％)<0,/(%)<0,/(力單調(diào)遞減；

當(dāng)為?々,+。)時,尸(%)>0,/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時,〃力有一個極大值，一個極小值.

(3)r(X)=2?e2x-2(x+l)eA=2ex(?eA-x-l),

由VxeR,/(》)+▲,,0,因?yàn)?(0)+1=a+'=4+),0,得a<0.

aaaa

令g(x)=ae*-x-1,則g(%)在R上單調(diào)遞減，

當(dāng)x<0時，e*e(0,l),?e￥e(a,0),

所以g(x)=ae*-x-l>a-x-L

所以g(Q-1)〉a-(Q_1)_]=。，

又g(T=aeT<0,

%使得g(Xo)=。,

即g(x0)=ae^-x0-1=0,

當(dāng)xe(f飛)時,g(x)>0,即r(x)>0,

當(dāng)xe(Xo，+8)時,g(x)<0,即r(x)<0,

所以/(%)在(—8,5)內(nèi)單調(diào)遞增，在(如+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

x

所以/(x)max=/(/)=ae%-2xQe°.

x

由g(x0)=ae°-xo-l=O,?=^|^,

ie

由〃x)1mx+1,0,得(x°+l)e%—2x°e%+臺,,0,

9

即(1-尤0)(1+尤0)+1n

即----------：------,,U,

%+1

由花+1<0,得片—1,,1,所以-V^,%0<—1,

因?yàn)閍=個?，所以設(shè)妝x)=t卜也，x<T)，

則1(x)=-1>0,

可知〃(九)在［—0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,人(%)../《—夜)=

匕￡=(1-應(yīng)產(chǎn),〃(%)<〃(-1)=0,

e

故。的取值范圍是［0-3卜夜,0).

小(x-m)+y"_m

19.(1)解：設(shè)P(x,y),依題意得萌=7'

X----

m

兩邊平方去分母得〃2(工一加)2+/y2=(如一〃2J,

整理得-m2jx2+n2y2-n2(^n2-m2),

22

經(jīng)化簡得C的方程為=+-7—=1,

n~n~-m

當(dāng)機(jī)<〃時，曲線。是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

當(dāng)機(jī)>72時，曲線。是焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線.

(2)設(shè)點(diǎn)”(%,%),"(%,%)，“'(兀3，%)，其中%，%>。且尤3=一%2，％=一%?

(2也0),網(wǎng)-260),

(i)證明:由(1)可知。的方程為±+±=1,A

168

因?yàn)锳M〃BN,

-5

所以X1—20—&+20——%-20X3-2A/2

22

因此M,A,M'三點(diǎn)共線，且|8N|=1+2何+￡=J(-x2-2V2)+(-y2)=\AM'\.

(解法一)設(shè)直線初0'的方程為x=9+20,

聯(lián)立C的方程得“2+2)/+4何-8=0,

10

畫上4M8

則i=一不2一。

=4—金

由（1）可知|AM|=

2

\BN\=\AM'\=4-^X3,

11

所以/忸閭

IM+忸叫

~\AM[\BN\

4--2-4X+%)

yfl(4A/2?

______=（定值）.

8

r+2

八\AM\2A/2

（解法二）設(shè)/—，則有步,/何丁工

解得恒閭=^^?

\AM'\272

同理，由2形+|AM[c°s/丁

解得1AM卜二念彳

…11112+V2cos^

所以1-----T+1F-1-----7+l------7------------------F

\AM\網(wǎng)\AM\\AM'\4

2-技。sJi（定值）.

4

由橢圓定義忸。|+|。叫+|他4|=8,

n\QM\=8-\BQ\-\AM\,

因?yàn)锳4〃BN,

\AM\\QM\8-\BQ\-\AM\

斤以忸N|\BQ\\BQ\

斛州QJ|AM|+忸N|'

同理可得AQ=\J|I.

11\AM\+\BN\

所以|AQ|+忸Q|

（8-|BA^|）-|AW|（8-.網(wǎng)

\AM\+\BN\|AM|+忸N|

8（|AM[+忸N|）-21AMl.忸N|

—MM+忸N|

=8j-------j—=8-2=6

|阿十忸N|

因?yàn)閨Afi|=4五，所以的周長為6+40（定值）.

（ii）解：當(dāng)機(jī)〉”時，曲線C的方程為「一一三方=1,

nm-n

軌跡為雙曲線，

根據(jù)⑴的證明，同理可得MA”三點(diǎn)共線，^.\BN\=\AM'\.

（解法一）設(shè)直線初0'的方程為1=0+相，

聯(lián)立C的方程得—〃2）$2_〃2],2+2s7〃（蘇一4）y+（療一外）'=0,

12

2

機(jī)(根2-222

2snm-n

所以％+%=—d_/'(*)

m：2-n2m2-n2

n2、m

因?yàn)?生——Xj—Tl,忸N[=\AMf\=-x-n,

nnn3

所以向+血

1i_|AM|+|AM,|

----------1----------------------------------

\AM\\AM'\|AM|-|AM,|

m2s2

%%+------r2-(%+%)+

n2n2