2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)與幾何圖形綜合問(wèn)題（重點(diǎn)突圍）(學(xué)生版)

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專(zhuān)題16反比例函數(shù)與幾何圖形綜合問(wèn)題

【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一反比例函數(shù)中K值的幾何意義】....................................................1

【考向二反比例函數(shù)與三角形的綜合問(wèn)題】..................................................8

【考向三反比例函數(shù)與矩形的綜合問(wèn)題】....................................................15

【考向四反比例函數(shù)與菱形的綜合問(wèn)題】...................................................22

【考向五反比例函數(shù)與正方形的綜合問(wèn)題】.................................................32

【考向六反比例函數(shù)與圓的綜合問(wèn)題】.....................................................42

《一角【直擊中考】

【考向一反比例函數(shù)中爪值的幾何意義】

例題：(2022?遼寧盤(pán)錦??？家荒?如圖，點(diǎn)A、C為反比例函數(shù)y=((x<0)圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、C分別

X

作工x軸，CD軸，垂足分別為8、。，連接CM、AC,0C,線段。C交于點(diǎn)E,點(diǎn)E恰好為0c

3

的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為5時(shí)，上的值為.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模)如圖，若反比例函數(shù)y=：(x<0)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)/,N3/X軸于比且V/O3

的面積為3,則左的值為.

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k

2.（2023?廣東深圳??？家荒＃┤鐖D，已知/是夕軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)8在反比例函數(shù)＞=嚏（》＞0）的圖像上,

交x軸于點(diǎn)C,OA=OB,ZAOB=120°,V/OC的面積為26，則左=.

3.（2022?黑龍江綏化??？级＃┤鐖D，在V/08中，OC平分/AOB,g=：,反比例函數(shù)V="（左＜。）

OD4x

圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，若V/05的面積為9,則上的值為.

k

4.（2023秋?安徽池州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)＞=一（4＞0）的

X

3

圖象上，/c交丁軸于點(diǎn)B,若點(diǎn)8是/c的中點(diǎn)，v/08的面積為5，則上的值為.

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5.（2023?重慶黔江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)了=&住wO）和y=3在第一象限內(nèi)的圖像依次

X%

是G和C2,設(shè)點(diǎn)P在G上，「<3，》軸于點(diǎn)。，交。2于點(diǎn)A,PDLy軸于點(diǎn)。，交G于點(diǎn)B,若四邊形

尸/。2的面積為5,則心.

k

6.（2023?湖北省直轄縣級(jí)單位??？家荒＃┤鐖D，矩形0/2C與反比例函數(shù)必=5（勺是非零常數(shù)，%>0）

x

的圖像交于點(diǎn)M,N,反比例函數(shù)為=2（e是非零常數(shù)，x>0）的圖像交于點(diǎn)3,連接<W,ON.若四邊

X

形OMBN的面積為3,則2k2-2kl=.

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【考向二反比例函數(shù)與三角形的綜合問(wèn)題】

例題：(2022?江西撫州?校考二模)如圖，在等腰三角形NO8中，/。=48,點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn),

點(diǎn)/在反比例函數(shù)y=；(x>0)的圖象上，已知04=5,05=6.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

(2)過(guò)點(diǎn)/作4P垂直CM,交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)尸，交x軸于點(diǎn)C.

①求直線NC的解析式；

②求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?遼寧盤(pán)錦?中考真題)如圖，點(diǎn)/的坐標(biāo)是(2,0),AAB。是等邊三角形，點(diǎn)8在第一象限，反

比例函數(shù)夕=勺的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)瓦

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

(2)坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)。，若以。，B,。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出。的坐標(biāo).

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2.（2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△0/8與△/CD是等邊三角形，邊ON,AC

k

在X軸上，點(diǎn)、B,。在第一象限.反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)邊08的中點(diǎn)M與邊ND的中點(diǎn)N,已

知等邊△048的邊長(zhǎng)為4.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式;

⑵求等邊的邊長(zhǎng).

3.（2022?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)/的坐

Q

標(biāo)為（〃2,2）,點(diǎn)8在X軸上，將A48O向右平移得到使點(diǎn)。恰好在反比例函數(shù)y=—（x>0）的

"x

圖象上.

⑴求機(jī)的值和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵求。下所在直線的表達(dá)式；

⑶若該反比例函數(shù)圖象與直線。尸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)G,求S&EFG.

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【考向三反比例函數(shù)與矩形的綜合問(wèn)題】

例題：(2022春?河南南陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=￡(x>0)的圖像和

矩形/BCD都在第一象限，平行于x軸，且48=1,AD=2,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,4).

⑴直接寫(xiě)出B,C,。三點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵若將矩形向下平移，矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)/、C恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖像上，請(qǐng)求出矩形的平移距離

和左的值.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022秋,湖南永州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，矩形/BCD的兩邊2C=4,CD=6,￡是CD的中點(diǎn)，反比

k

例函數(shù)歹=一的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,與45交于點(diǎn)尸.

(1)若點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-6,0),求左的值；

(2)連接4E,若AF=AE,求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

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4

2.(2023春?遼寧大連?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))已知M、N為雙曲線夕=((x>0)上兩點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)分別為。,

a+2,分別過(guò)"、N作了軸、x軸的垂線，垂足分別為C、A,交點(diǎn)為3.

⑴若矩形CM3C的面積為12,求。的值；

⑵隨著。的取值的不同，M、N兩點(diǎn)不斷運(yùn)動(dòng)，判斷M能否為2c邊的中點(diǎn)，同時(shí)N為A8中點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理

由；

⑶矩形O48C能否成為正方形？若能，求出此時(shí)。的值及正方形的邊長(zhǎng)，若不能，說(shuō)明理由.

3.0023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0/2C的頂點(diǎn)2的坐標(biāo)為(8,4),OA,OC

分別落在x軸和y軸上，將VO4B繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8落在y軸上，得到VODE,0。與C8相交于

點(diǎn)、F,反比例函數(shù)y=.(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，交48于點(diǎn)G.

⑴求人的值.

⑵連接尸G,則圖中是否存在與△FBG相似的三角形？若存在，請(qǐng)把它們一一找出來(lái)，并選其中一種進(jìn)行

證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶點(diǎn)M在直線0。上，N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形GFAW是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo).

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【考向四反比例函數(shù)與菱形的綜合問(wèn)題】

例題：（2022?江蘇常州?常州實(shí)驗(yàn)初中校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形/BCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O

重合，點(diǎn)2在y軸的正半軸上，點(diǎn)/在反比例函數(shù)y=-（x>0）的圖象上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,3）.

X

（1）求左的值及N2所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）將這個(gè)菱形沿x軸正方向平移，當(dāng)頂點(diǎn)。落在反比例函數(shù)圖象上時(shí)，求菱形平移的距離.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?貴州安順?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形/BCD的頂點(diǎn)。在了軸上，A,C兩

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4,0）,（4,加），直線CD：y="+”a2O）與反比例函數(shù)y=勺左wO）的圖象交于C,

尸（-8,-2）兩點(diǎn).

⑴求該反比例函數(shù)的解析式及力的值；

⑵判斷點(diǎn)8是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由.

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2.（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系xQr中，四邊形043c是菱形，點(diǎn)/在y軸正半軸上,

點(diǎn)2的坐標(biāo)是（-4,8）,反比例函數(shù)＞=&（無(wú)＜0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

CD3

⑵點(diǎn)。在邊CO上，且麗=?，過(guò)點(diǎn)。作?！關(guān)x軸，交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)E,求點(diǎn)￡的坐標(biāo).

3.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考二模）如圖，一次函數(shù)＞=^x+l的圖象與反比例函數(shù)＞=/＞0）的圖象相交于

/、8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)。（1,-2）,連接OD、OC、AC,四邊形CMC。為菱形.

⑴求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

⑵設(shè)點(diǎn)尸是直線48上一動(dòng)點(diǎn)，且Svo/p=gs菱形o/cD，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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4.(2022春,湖北恩施?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形N2CZ)的頂點(diǎn)。在/軸上，A,

k

。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,0),(2,m),直線CD：為=辦+6與雙曲線：及=一交于C,尸(-4,-1)兩點(diǎn).

x

y

\C」

⑴求雙曲線乃的函數(shù)關(guān)系式及％的值；

⑵判斷點(diǎn)3是否在雙曲線上，并說(shuō)明理由；

(3)若R4的延長(zhǎng)線與雙曲線”=勺交于另一點(diǎn)E,連接CE,DE,請(qǐng)直接寫(xiě)出△COE的面積.

【考向五反比例函數(shù)與正方形的綜合問(wèn)題】

例題：(2022秋,全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形N5CD的頂點(diǎn)/、8分別在x

軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y="(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,OA=2,08=4.

X

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵若將正方形N8CD沿x軸向右平移得到正方形49CO,當(dāng)點(diǎn)。在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)夕

的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)夕是否在該反比例函數(shù)的圖象上，說(shuō)明理由.

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【變式訓(xùn)練】

1.（2022春,湖北恩施,九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形。42c在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)2的坐標(biāo)是（2,

2）,頂點(diǎn)/、C在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)＞=工（七0）在第一象限的圖象分別交BC、BA于E、F,連接

x

OE、CF交于M,△OEC的面積等于1.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵求四邊形O4EW的面積.

2.（2022?山東濟(jì)南??？家荒＃┤鐖D，四邊形O/8C為正方形，反比例函數(shù)了=l的圖象過(guò)N2上一點(diǎn)

X

AE3

BE=2,

~OE5

⑴求人的值.

⑵反比例函數(shù)的圖象與線段2C交于點(diǎn)D,直線方辦+6過(guò)點(diǎn)。及線段的中點(diǎn)R探究直線。下與直線

。廠的位置關(guān)系，并證明.

（3）點(diǎn)尸是直線。尸上一點(diǎn)，當(dāng)尸D+PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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3.（2022?山東濟(jì)南?統(tǒng)考一模）如圖，四邊形N02C是的正方形，。為2c中點(diǎn)，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,

k

所在的直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，/點(diǎn)坐標(biāo)（0,4）,過(guò)點(diǎn)。的反比例函數(shù)y=—（笈0）的圖象

x

與邊NC交于E點(diǎn)，F(xiàn)是線段。5上的一動(dòng)點(diǎn).

備用圖

⑴求k的值并直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）若4D平分NC4F,求出廠點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶若A4ED的面積為Si，A4F。的面積為S2.若SyS?=3：2,判斷四邊形/斯。的形狀.并說(shuō)明理由.

4.（2022春?江蘇蘇州?八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形/BCD為正方形,

已知點(diǎn)工（-6,0）、。（一7,3）,點(diǎn)3、C在第二象限內(nèi).

（1）點(diǎn)3的坐標(biāo);

⑵將正方形/BCD以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向右平移t秒，若存在某一時(shí)刻乙使在第一象限內(nèi)點(diǎn)3、D

兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8'、。，正好落在某反比例函數(shù)的圖像上，請(qǐng)求出此時(shí)f的值以及這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；

⑶在⑵的情況下，問(wèn)是否存在y軸上的點(diǎn)尸和反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)。，使得以尸、0、BJ四個(gè)點(diǎn)

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合題意的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考向六反比例函數(shù)與圓的綜合問(wèn)題】

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例題：(2022春?廣東佛山?九年級(jí)佛山市華英學(xué)校?？计谥?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，

4

尸(-4,")是反比例函數(shù)＞=-1(x＜0)圖象上的一點(diǎn)，以尸為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點(diǎn)/、

⑴求直線N2的表達(dá)式；

4

⑵點(diǎn)M是反比例函數(shù)丁=-/無(wú)＜0)圖象上的一點(diǎn)，連接線段M