2023-2024學(xué)年廣東省惠州市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省惠州市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=|A.i B.22?222.已知向量a=(1,2),b=(A.114 B.?114 C.13.下列說法正確的是(

)A.各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體

B.球的直徑是連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段

C.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐

D.用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)4.如圖所示，點(diǎn)E為△ABC的邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則A.13BA+23BC

5.如圖，四邊形ABCD的斜二測(cè)畫法的直觀圖為等腰梯形A′B′C′D

A.AB=2

B.A′D′=22

C.6.已知平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，AB?AD=A.[?1,8) B.(07.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為A.36

B.34

C.8.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊△ABC，若EF=2，sinA.8

B.7

C.6

D.5二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.A，B，C表示不同的點(diǎn)，n，l表示不同的直線，α，β表示不同的平面，下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.若α∩β=l，n/?/α，n/?/β，則n/?/l

B.若A，B∈l，A，B?α，則l/?/α

C.10.歐拉公式exi=cosA.e2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B.eπi為純虛數(shù)

C.exi11.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列四個(gè)命題中正確的命題是A.若acosA=bcosB=ccosC，則△ABC一定是等邊三角形

B.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(0,5)，b=(113.如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=16.若側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過AC，BC，14.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為6的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長均為2的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知平面向量a=(1,2),b=(?3,?2)．

(1)16.(本小題15分)

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)證明：△PBC是直角三角形；

(17.(本小題15分)

如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且AE=EB，BF=318.(本小題17分)

在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊長分別為a，b，c，已知sinA?sinBsinC=a?c19.(本小題17分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱BB1=1，∠ABC=2π3，且M，N分別為

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由題意可知：|1?i|=12+(?1)2=22.【答案】D

【解析】解：b=(1,?1)，c=(4,5)，

則b+λ?c=(4λ+13.【答案】B

【解析】解：對(duì)于A：雖然各側(cè)面都是正方形，但底面不一定是正方形，

所以該四棱柱不一定是正方體，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：球的直徑的定義即為“連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段”，故B正確；

對(duì)于C：以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，

以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)共底面的圓錐組成的幾何體，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)，故D錯(cuò)誤．

故選：B．

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)分析判斷．

本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】C

【解析】解：AF=AE+EF=12AC+23EB=15.【答案】D

【解析】解：如圖過D′作DE⊥O′B′，

由等腰梯形A′B′C′D′可得：△A′D′E是等腰直角三角形，

即A′D′=2A′E=12×(4?2)×2=2，即B錯(cuò)誤；6.【答案】A

【解析】解：如圖，設(shè)DP=xDC=xAB(0<x<1)，則CP=(x?1)AB，

∴PA=?AD?DP=?xAB?A7.【答案】A

【解析】解：如圖，延長CB到點(diǎn)E，使得EB=12BC，連接ME，NE，

由BE=BM，得∠EMB=∠MBC1=45°，即ME/?/BC1，

所以∠NME為異面直線MN和BC1所成的角或其補(bǔ)角，

8.【答案】B

【解析】解：由題意知，CF=AD=BE，CE=AF=BD，

所以EF=CF?EF，F(xiàn)D=AD?AF，DE=BE?BD，即EF=FD=DE，

所以△DEF為等邊三角形，

所以∠EFD=∠EDF=60°，

所以∠A9.【答案】BC【解析】解：A，B，C表示不同的點(diǎn)，n，l表示不同的直線，α，β表示不同的平面，

對(duì)于A，若α∩β=l，n/?/α，n/?/β，則由線面平行的性質(zhì)得n/?/l，故A正確；

對(duì)于B，若A，B∈l，A，B?α，則l/?/α或l與α相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若A，B∈α，A，B，C∈β，α∩β=l，則C不一定在l上，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若n⊥α，l⊥β，n/?/10.【答案】AC【解析】解：對(duì)于A：由題意可得：e2i=cos2+isin2，則其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(cos2,sin2)，

則cos2<0，sin2>0，

∴e2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A正確；

對(duì)于B：由題意可得：e11.【答案】AD【解析】解：若acosA=bcosB=ccosC，則sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，即tanA=tanB=tanC，即A=B=C，即△ABC是等邊三角形，故12.【答案】(2【解析】解：向量a=(0,5)，b=(1,2)，

所以a在b的投影向量為13.【答案】12

【解析】解：設(shè)△ABC的面積為a，底面ABC水平放置時(shí)，液面高為h，

側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，水的體積為V=34S△ABC?AA1=34a?14.【答案】22π【解析】解：因?yàn)槔忾L為a的正四面體的高為a2?(23×32a)2=63a，

所以截角四面體上下底面距離為63×6?63×2=463，

設(shè)其外接球的半徑為R，等邊三角形ABC的中心為O′，正六邊形EFHILK的中心為O′′15.【答案】解：(1)設(shè)c=(x,y)，2a+b=(?1,2)，且c⊥(2a+b)，

∴c?(2a+b)=2y?x=0，

∴x=2y，且【解析】(1)可設(shè)c=(x,y)，求出2a+b=(?1,2)，根據(jù)條件可得出2y?x=16.【答案】(1)證明：因?yàn)锳B是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn)，

所以BC⊥AC，

因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，

又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，

所以BC⊥平面PAC，

又PC?平面PAC，

所以BC⊥PC，

即△PBC是直角三角形；

(2)解：過A作AH⊥PC于H，

因?yàn)锽C⊥平面PAC，AH?平面【解析】(1)由圓的性質(zhì)可得BC⊥AC，再由PA⊥平面ABC，則PA⊥BC，然后由面面垂直的判定可得BC⊥平面PAC，從而可得BC⊥17.【答案】解：(1)∵AE=EB，BF=3FC，

∴AG=tAF=t(AB+BF)=tAB+3t4AD，

∵E，G，D三點(diǎn)共線，

∴存在λ，使得AG=λ【解析】(1)根據(jù)條件可得出AG=tAB+3t4AD，AG=12λ18.【答案】解：(1)由已知及正弦定理，得a?bc=a?ca+b，即(a?b)(a+b)=c(a?c)，即a2?b2=ac?c2，即a2【解析】(1)利用已知和正弦定理化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦定理可得角B的值；

(2)由于A+C=120°，c=219.【答案】(1)證明：取AC1的中點(diǎn)P，連接B1P、PN，如圖1所示：

因?yàn)镸，N分別為BB1，AC的中點(diǎn)，所以PN//C1C，且PN=12C1C，

又B