2024屆福建省十一校高三年級上冊期末聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（學(xué)生版+解析版）

2024屆福建省十一校高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

2i

z=---

1.若復(fù)數(shù)1+i,則z-5=（）

A2B.-2ic.-2D.2i

2.已知集合A={x|%2-6x+8>。},8={x|x-3<0},則AB=()

A.(2,3)B.(—*3)C.(-oo,2)D.(4,+oo)

3.已知向量方=(3,5),b-(m-l,2m+V),若W/〃，則加=（）

28

A.8B.-8C.——D.--

137

02

4.已知a=log()32,b=3-,C=0.2"3,則()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

5.已知函數(shù)/(x)=2及cos([+qcos停-x]，要得到函數(shù)g（x）=sin2x-2cos2x+1的圖象，只需

將/（x）的圖象（）

,,兀a、，，上3兀.,、

A.向左平移上個單位長度B.向左平移三個單位長度

84

3兀3兀

C.向右平移一個單位長度D.向右平移三個單位長度

48

6.拋物線。:尸=2〃以2>0）的焦點為凡M是拋物線C上的點，。為坐標(biāo)原點，若△OfM的外接圓與

拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36兀，則。=（）

A4B.8C.6D.10

7.已知是邊長為8的正三角形，。是AC的中點，沿3。將△88折起使得二面角A—60-C

TT

為一，則三棱錐C—A8O外接球的表面積為（）

3

“52〃208

A.52兀B.—71C.---7TD.

333

,、111號

8.在數(shù)列｛?！ǎ?，4=1,且。/〃+]=〃，當(dāng)〃22時，一+—++—<an+an+i-T,則實數(shù)X的

取值范圍為（）

A.y,i]B.[l,+00)C.(O,1JD.(-oo,4]

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列結(jié)論正確的是()

A.若a<匕<0,則/>a。>/

B.若xeR,則f+2+?。葑钚≈禐?

x+2

C,若a+b=2,則/+"的最大值為2

D.若xe(0,2),則工+----->2

x2-x

10.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中的十二時辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時(23點到次日凌晨1點)的睡眠對一天至關(guān)重要.相關(guān)數(shù)

據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體

的睡眠指數(shù)各取10個.如下表：

編號12345678910

早睡群體睡眠指數(shù)65687585858588929295

晚睡群體睡眠指數(shù)35405555556668748290

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()

A.早睡群體的睡眠指數(shù)一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高

B.早睡群體的睡眠指數(shù)的眾數(shù)為85

C.晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為66

D.早睡群體的睡眠指數(shù)的方差比晚睡群體的睡眠指數(shù)的方差小

11.已知點4(0,5),3(—5,0),動點p在圓C：(x+3『+(y—4『=8上，則()

A.直線AB截圓。所得的弦長為遙

B.B鉆的面積的最大值為15

C.滿足到直線AB的距離為血的P點位置共有3個

D.P8的取值范圍為［—2-4，^,-2+4>6］

12.己知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(x+2)+/(x)=/(2026),且/(x+1)-1是奇函數(shù).則()

A.〃1)+〃3)=2B./(2023)+/(2025)=/(2024)

2024

c./（2023）是/（2022）與/（2024）等差中項D.￡/（，）=2024

/=1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若函數(shù)/（x）=；x2—2*—的圖象在點（0,7（0））處的切線平行于x軸，則。=.

14.如圖，在長方體ABCD-AMGA中，AB=S,A￡>=6,異面直線6。與AG所成角的余弦值為

立，則cq=.

10

15.某美食套餐中，除必選菜品以外，另有四款涼菜及四款飲品可供選擇，其中涼菜可四選二，不可同

款，飲品選擇兩杯，可以同款，則該套餐的供餐方案共有種.

16.法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條互相垂直的

切線的交點的軌跡是以該橢圓的中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓

V2V2,,7,

C:鼻+方=13>力>0）的蒙日圓為一+丁=，則c的離心率為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝的前n項和S,,滿足2S?+4-1=0.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)勿=log”a“，求數(shù)列J」一!的前N項和

［她+J

18.已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量M（單位：g）服從正態(tài)分布

N（250,/）,且尸（“<248）=0.1.

（1）若從公司銷售的牛肉干中隨機選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率；

（2）若從公司銷售的牛肉干中隨機選取K（K為正整數(shù)）包，記質(zhì)量在248g~252g內(nèi)的包數(shù)為X,

且。（X）〉320,求K的最小值.

19.在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=3上，asin8=bsin（A+.

（1）求角A；

（2）作角A的平分線與BC交于點Q,且AO=G，求b+c.

20.如圖，在四棱錐產(chǎn)一A5c。中，底面ABC。為矩形，P。1平面ABC。，垂足為0,E為PC的中點,

（2）若A?=2A8=4,OC1OD,PC與平面ABCD所成的角為60。，求平面P8c與平面PCD夾

角的余弦值.

21.已知雙曲線■-與=1（。＞0力＞0）的離心率為叵，且其焦點到漸近線的距離為1.

a-b-6

（1）求C的方程；

（2）若動直線/與C恰有1個公共點，且與C的兩條漸近線分別交于P,。兩點，。為坐標(biāo)原點，證明：

△OP。的面積為定值.

22.已知函數(shù)y（x）=+",xe[l,+oo）.

x

（1）討論代X）的單調(diào)性.

（2）是否存在兩個正整數(shù)々，巧，使得當(dāng)%＞々時，（％-々戶的=片甘？若存在，求出所有滿足條

件為,巧的值；若不存在，請說明理由.

2024屆福建省十一校高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

2i

z=---

1.若復(fù)數(shù)1+i,則z-5=()

A.2B.-2iC.-2D.2i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運算即可求出結(jié)果.

2i2i(l-i),.

【詳解】因為z=+所以彳=1—i,故z—Z=2i,

l+i(l+i)(l-i)

故選：D.

2,已知集合A={x*-6x+8>。},8={x|x-3<0},則AB-()

A.(2,3)B.(-oo,3)C.(F,2)D.(4,+OO)

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式化簡集合4,結(jié)合交集的概念即可得解.

【詳解】因為A={x|x>4或x<2},8={目》<3},所以Ac8={x|x<2}.

故選：C.

3.已知向量方=(3,5),b=(/?j-l,2m+l),若“〃人，則加=()

28

A.8B.—8C.---D.---

137

【答案】B

【解析】

【分析】由平面向量平行的充要條件即可得解.

【詳解】因為W/人,所以3(2加+1)=5(加一1),所以加=一8.

故選：B.

02

4.已知。=log(),32,b=3-，C=0.2°3,則()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>h

【答案】A

【解析】

【分析】引入中間量，利用函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行大小的比較.

【詳解】因為。=10go,32<10go,31=。，人=3°二!>3°=bc=O.203e(O,l),所以b>c>a.

故選：A

5.已知函數(shù)/(x)=2085總+》卜《(：一》),要得到函數(shù)8(幻=$由2》一2以《2》+1的圖象，只需

將，(x)的圖象()

7T37r

A.向左平移^個單位長度B.向左平移一個單位長度

84

3兀3兀

C.向右平移等個單位長度D.向右平移胃個單位長度

4O

【答案】D

【解析】

【分析】先把/(x)，g(x)的解析式都化成丁=:Asin(a)x+e)或y=Acos(a)x+°)的形式，再用圖象

的平移解決問題.

【詳解】/(-V)=2血cosg+xk)s[:一x)=2x/2cos^+xjsii[g+x)=&sin尼+2x)=V2cos2x,

g(x)=sin2x-2cos2x+1=sin2x-cos2x=V2sin^2x-^=y/2cos(2x-,

故將/(x)的圖象向右平移3三個單位長度可得y=J^cos2((Xi—J=V2cos^2x——J,即為g(x)的圖

象.

故選：C

6.拋物線。:^=2。道°>0)的焦點為尸，M是拋物線C上的點，。為坐標(biāo)原點，若△OfM的外接圓與

拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36兀，則。=()

A.4B.8C.6D.10

【答案】B

【解析】

【分析】綜合應(yīng)用三角形外接圓的性質(zhì)和拋物線的性質(zhì)即得答案.

【詳解】因為△ORW的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，

所以△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑.

因為圓的面積為36兀，所以圓的半徑為6,

又因為圓心在Ob的垂直平分線上，|。E|=￡,

2

所以的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離"+"=6,可得〃=8.

24

故選：B.

7.已知ABC是邊長為8的正三角形，。是AC的中點，沿3。將△88折起使得二面角A—60-C

TT

為一，則三棱錐C—A8O外接球的表面積為（）

3

c52〃208103

A.52兀B.—7tC.---兀D.---71

333

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合球的截面圓性質(zhì)確定球心位置，再求出球半徑即得.

［詳解】在三棱錐C-ABD中，BD1.AD,BD±CD,ADCD=D,AD,CDu平面ACD,

由二面角為1,45=8=4,得,ACD是正三角形，令其外接圓圓心為O',

則OZ>=2AOsin^=述，令三棱錐C—ABO外接球的球心為。，球半徑為R,

333

則OO'_L平面AC。，即有00'/AB。，顯然球心。在線段8。的中垂面上，令線段8。的中垂面交8。于

E*

則O￡_L8O,顯然O'DLBO,于是OE//O'。，四邊形是平行四邊形，且是矩形，

而?！?；BO=26，因此火2==。后2+DE2=（怨）2+（2道）2=與，

所以三棱錐C-AB。外接球的表面積5=4兀代=-n.

3

，、1I1,f

aa

8.在數(shù)列｛a“｝中，4=1,且a“a“+i=〃，當(dāng)〃22時，一+—++—-?+,,+i-2,則實數(shù)X的

取值范圍為（）

A.（—,1]B.[1,+℃）C.(0,11D.(-0,4]

【答案】A

【解析】

1

【分析】先根據(jù)遞推關(guān)系得到一=??+1-,把條件轉(zhuǎn)化為2'W2，從而可得答案.

an

【詳解】因為=〃，4=1,所以々=1,且當(dāng)〃22時，-n—\,

1

所以anan+l-an_｝an=1,所以一=??+,-,

an

111

所以一+一++一=&3—4+4—+&5-43++%+1_“"-1=+4+1=%+%+1—2.

“2aian

111.

a+a2

因為—+—++-nn+\~，

所以4+4+1-2Ma“+4+1-2',所以2'<2，故2Kl.

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.若a<〃<0,則/>">

B.若xeR,則V+2+一一的最小值為2

x+2

C.若a+b=2,則/+從最大值為2

D.若xe（0,2）,則_1+-1_22

x2-x

【答案】AD

【解析】

【分析】利用作差法比較大小判斷A,利用基本（均值）不等式判斷BCD,要注意“一正二定三相等”.

【詳解】因為。2-。。="（。一切>0,所以a?>ab，

因為ab—/=/a—b）>0,所以ab>〃,所以">〃,>/,故A正確；

因為f+2+-->2的等號成立條件V+2=--不成立，所以B錯誤；

x2+2x2+2

因為《tQzf"2]=1，所以/+/N2,故C錯誤；

2I2）

因為，+：=：（x+2—x）[，++）=：（2+三+六）N；（2+2）=2,

x2-x2\x2-xJ2vx2-xJ2

當(dāng)且僅當(dāng)'=—1—,即x=l時，等號成立，所以D正確.

x2-x

故選：AD

10.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中的十二時辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時（23點到次日凌晨1點）的睡眠對一天至關(guān)重要.相關(guān)數(shù)

據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體

的睡眠指數(shù)各取10個.如下表：

編號12345678910

早睡群體睡眠指數(shù)65687585858588929295

晚睡群體睡眠指數(shù)35405555556668748290

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）

A.早睡群體的睡眠指數(shù)一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高

B.早睡群體的睡眠指數(shù)的眾數(shù)為85

C.晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為66

D.早睡群體的睡眠指數(shù)的方差比晚睡群體的睡眠指數(shù)的方差小

【答案】BD

【解析】

【分析】由樣本數(shù)據(jù)可判斷A；樣本數(shù)據(jù)的集中程度可判斷D；由眾數(shù)的概念可判斷B；由百分位數(shù)的概念

可判斷C.

【詳解】因為早睡群體的睡眠指數(shù)不一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高，所以A錯誤；

因為早睡群體的睡眠指數(shù)的10個樣本數(shù)據(jù)中85出現(xiàn)次數(shù)最多，所以B正確；

因為晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為"土歿=67,所以C錯誤；

2

由樣本數(shù)據(jù)可知，早睡群體的睡眠指數(shù)相對比較穩(wěn)定，所以方差小，故D正確.

故選：BD.

11.已知點A（0,5）,B（-5,0）,動點尸在圓C：（》+3）2+（丁—4）2=8上，則（）

A.直線截圓。所得的弦長為

B./VLB的面積的最大值為15

C.滿足到直線AB的距離為行的尸點位置共有3個

D.的取值范圍為[-22+41^]

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)點到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理即可求解弦長判斷A,根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合圓的

性質(zhì)即可求解B,根據(jù)圓上的點到直線的距離的范圍，即可求解C,根據(jù)向量的數(shù)量積的運算量，結(jié)合坐標(biāo)

運算即可求解D.

【詳解】對于A,因為4（0,5）,8（-5,0）,所以直線的方程為x-y+5=0,圓心C（—3,4）到直線A3

|-3-44-5|/—

的距離為4=小？+（曠=.2,又因為圓C的半徑廠=2夜,

所以直線A8截圓C所得的弦長為2x,8—（、歷了=2后，A錯誤.

對于B,易知|4卻=5及，要想243的面積最大，只需點P到直線AB的距離最大，而點P到直線AB

的距離的最大值為r+。=2應(yīng)+拉=3及，

所以B鉆的面積的最大值為，x30x5夜=15,B正確.

2

對于C,當(dāng)點P在直線A3上方時，點尸到直線A5的距離的范圍是（0"+⑹，即（0,3閭，由對稱性

可知，此時滿足到直線AB的距離為近的P點位置有2個.

當(dāng)點P在直線A3下方時，點P到直線A6的距離的范圍是僅，一勾，即倒,夜］,此時滿足到直線A3

的距離為J5的P點位置只有1個.

綜上所述，滿足到直線的距離為近的P點位置共有3個，C正確.

對于D,由題意知PAPB=(PC+C4)?(PC+CB)=PC2+PC(C4+C8)+C4.CB.

又因為A((),5),8(—5,0),C(-3,4),所以C4=(3,l),CB=(—2,T),

故C4.C3=3x(—2)+lx(-4)=-10,C4+CB=(l,-3).

設(shè)點0($,%)滿足C4+C8=CD，

x+3=l\x=—2

則8=(%+3,%-4),故，。-「：解得廣一「即。(一2,1),CD=W.

bo-4=-3,[%=L11

所以PAPB=PC2+PC(CA+CB)+CACB=S+\PC\-\CD\COSPC,CD-W

=-2+2&x廂cosPC,CD=-2+475cosPC,CD.

又因為46cosPC,CDe[-464⑸，

所以一2+46COSPUC。w[-2—4石，-2+4＞后],即pA/B取值范圍為[-2-4不，-2+4石],

D正確.

故選：BCD

12.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(x+2)+/(x)=/(2026),且/(x+l)—l是奇函數(shù).則()

A./(1)+/(3)=2B./(2023)+/(2025)=/(2024)

2024

C./(2023)是“2022)與/(2024)的等差中項D.^/(z)=2024

i=l

【答案】ACD

【解析】

【分析】由/(X+2)+/(x)=/(2026),可推出/(X)的周期為4,由是奇函數(shù)可推出/⑴=1,

通過賦值及函數(shù)的周期性可逐個判斷各個選項.

【詳解】因為f(x+2)+/(%)=/(2026),

所以/(x+4)+f(x+2)=/(2026),

兩式相減得f(x+4)=/(x),

所以f(x)的周期為4.

因為/(犬+1)-1是奇函數(shù)，

所以f(-x+1)-1=—于(x+1)+1,所以/(-%+1)+/(x+1)=2,

即/(—x)+于(x+2)=2,

令廣一1,得了⑴=1.

因為/(x+2)+/(x)=/(2026)=/(2),

令x=2,得/(4)+/(2)=/⑵，

所以f(4)=0,BP/(0)=0.

因為/(—x)+/(x+2)=2,

令x=0,得/(0)+/(2)=2,

所以〃2)=2,

所以f(x+2)+/(x)=2,

所以/(3)+/(1)=2,故A正確.

因為/(-x)+/(x+2)=2,

所以/(—1)+/(3)=2,即〃3)+。(3)=2,所以"3)=1.

因為/(2023)+/(2025)=/(3)+/⑴=2,/(2024)=/(0)=0,所以B錯誤.

因為/(2022)+/(2024)=/(2)+/(0)=2,/(2023)=/⑶=1,

所以/(2022)+/(2024)=2/(2023),

所以/(2023)是/(2022)與/(2024)的等差中項，故C正確.

因為/1⑴+A2)+F⑶+/(4)=(/(l)+/(3))+f(2)+/(4)=2+2+0=4,

2024

所以Z/⑴=506"⑴+/(2)+7(3)+7(4)]=506x4=2024，故D正確

<=1

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是通過其奇偶性得到其周期性，再結(jié)合等差中項的含義以及賦值法一一分析

選項即可.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若函數(shù)/(X)=-2*_起、的圖象在點(0"(0))處的切線平行于x軸，則。=.

【答案】-2

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.

【詳解】由題意得尸(x)=x—2—ae\

由函數(shù)f(x)=^X2-2X-ae*的圖象在點(0,/(0))處的切線平行于x軸，

可得尸(0)=_2_口=0,得a=_2,

故答案為：-2

14.如圖，在長方體ABC。-44GA中，AB=8,AO=6,異面直線與AQ所成角的余弦值為

亙,則CC,=.

10

n

【解析】

【分析】利用直線的平移，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，再解三角形求角.

【詳解】連接AC,交06于點O,取CG的中點E，連接。E,BE.

因為AC//OE,所以8。與AC所成的角為NBOE(或其補角).

令EC=x,在△8E0中，由A8=8,AD=6,得08=5.

又OE=《X2+25,BE=正+36，cos/BOE=架,

2

OE2+OB2-BE2%+25+5-~(-x~+36)yp]廣1—

由余弦定理得--、---------L=±L,解得x=百，所以CG=2g-

20E0B2A/7725X510

故答案為：26

15.某美食套餐中，除必選菜品以外，另有四款涼菜及四款飲品可供選擇，其中涼菜可四選二，不可同

款，飲品選擇兩杯，可以同款，則該套餐的供餐方案共有種.

【答案】60

【解析】

【分析】先選菜品，再選飲品，結(jié)合分步計數(shù)原理可得答案.

【詳解】由題意可知涼菜選擇方案共有C；=6種，飲品選擇方案共有C；+C；=l()種,

因此該套餐的供餐方案共有6x10=60種.

故答案為：60

16.法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條互相垂直的

切線的交點的軌跡是以該橢圓的中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓

A"2丫？_7o

C:3?+方=1(“>b>0)的蒙日圓為/+y-=,則C的離心率為.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】根據(jù)蒙日圓的定義得出點(。,勿一定在其蒙日圓上，從而可得離心率.

7

【詳解】由題意可知點9,勿一定在其蒙日圓上，所以/+從=—/，

3

所以=2,故橢圓C的離心率為e=￡=Jl—

\a）4a\\a）2

故答案為：y

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛%,｝的前〃項和S?滿足25?+a?-l=0.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)勿=log,’a”，求數(shù)列I—一|的前〃項和

【她+J

【答案】（1）匿」口

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件，利用/與S“間的關(guān)系，得到3a“=a,i，從而得出數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，即可

求出結(jié)果；

（2）由（1）得出勿=一己，從而得出三二=9'--'，再利用裂項相消法即可求出結(jié)果.

3bnbn+in+\）

【小問1詳解】

因為2s,+4-1=0,所以當(dāng)〃=1時，4=g,

當(dāng)〃22時，2S,i+a“_i—l=0,兩式相減得3%=a,i，又4=；中。，

所以數(shù)列｛%｝是以;為首項，1為公比的等比數(shù)列，

【小問2詳解】

1YI

n

因為a=log27an=log27(-)=--,

19J\1>

所以T「=一―n=9------7

她+i〃(〃+D1〃n+\)

11111+上，］=9(1一，］二①

所以

22334nH+1)\n+lj〃+1

18.已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量A/(單位：g)服從正態(tài)分布

%(250,〃)，且P(M<248)=0.1.

(1)若從公司銷售的牛肉干中隨機選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率：

(2)若從公司銷售的牛肉干中隨機選取K(K為正整數(shù))包，記質(zhì)量在248g~252g內(nèi)的包數(shù)為X，

且。(X)>320,求K的最小值.

【答案】(1)0.243

(2)2001

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出P(M2248)的值，再結(jié)合二項分布的概率計算，即可得答案；

(2)根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出P(248<M<252)的值，確定X~8(K,0.8),結(jié)合正態(tài)分布的方差公式,

列出不等式，即可求得答案.

【小問1詳解】

由題意知每包牛肉干的質(zhì)量〃(單位：g)服從正態(tài)分布N(250,〃)，且P(M<248)=0.1,

所以「(Mi248)=1—0.1=0.9,

則這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率為C；*0守x0]=0.243.

【小問2詳解】

因為P(M<248)=0.1,所以尸(248<M<252)=(0.5—0.1)x2=0.8,

依題意可得X~B(K,0.8),所以￡>(X)=Kx0.8x(l—0.8)=0.16K,

因為￡>(X)>320,所以0.16K>320,K>2000,

又K為正整數(shù)，所以K的最小值為2001.

19.在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為b,c,。=3四，asinB=+

(1)求角A；

(2)作角A的平分線與BC交于點。，且求b+c.

【答案】(1)v

3

(2)6

【解析】

【分析】(1)由正弦定理邊角互化，化簡后利用正切值求角即得;

(2)充分利用三角形的角平分線將三角形面積進(jìn)行分割化簡得匕+。=仍，再運用余弦定理解方程即得.

【小問1詳解】

因asin8=/?sin（A+巴兀],由正弦定理可得：sinB—sin>4+—^-C0ST4-sinAsin8=O,

I3j[22）

11

即sinBcosA——sinA=0.

2）

因Bw（O,兀），故sinB/O,則有《tcosA=」sinA，即tanA=6

22

因AG(0,TI),故A=

【小問2詳解】

因為A￡>為角平分線，所以SOAB+SDAC=SA8C，

所以,AB?ADsinNDAB+-AC-ADsinZDAC='AB-ACsinABAC.

222

因NBAC=二，ZDAB^ZDAC^-,AD=5則立A8+且AC=3AbAC，

36444

即46+AC=A6-AC,所以匕+c=cZ?.

又由余弦定理可得：a2^b2+c2-2Z?ccosy=（/?+c）2-3bc,

把a=3&，b+c="分別代入化簡得：S+C）2-3S+C）-18=0,

解得：A>+c=6或8+c=-3（舍去），所以6+c=6.

20.如圖，在四棱錐P—ASCO中，底面AB8為矩形，PO1平面ABCO,垂足為。，E為PC的中點,

(1)證明：PC=PD；

(2)若AD=2A3=4,OCLOD,PC與平面ABC。所成的角為60。，求平面P8C與平面PCD夾

角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）一.

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線線平行可得面面平行，進(jìn)而根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得線線垂直可求證線面

垂直，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可求證，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.

【小問1詳解】

證明：取CO的中點/，連接EE,PF,OF,因為E為PC的中點，所以EF//PD.

又切■平面P4。，P￡）u平面Q4。，所以瓦'//平面APZ）.

因為OE//平面PA。，OEEF=E,OE,EFu平面OEF,

所以平面OEF〃平面PAD.

因為平面ABCOc平面OE尸=0/，平面ABCDc平面R4Q=AD,所以O(shè)FV/AZ）.

因為AO_LCO,所以O(shè)E_LC。.

由PO1平面ABC。，COu平面ABC。，可得R9J_CD.

又POcOF=O,PO,O/u平面20戶,所以CO_L平面POf,PEu平面POb,

從而PFLCD.

因為。尸是CD的中垂線，所以PC=P￡>.

【小問2詳解】

因為PO1平面ABCD，所以PC與平面ABC。所成的角為ZPCO=60°,

又OCJ_OO,OC=OD,AB=CD=2,所以O(shè)C=OD=O,PO=囪CO=瓜.

作OGLBC,垂足為G,分別以O(shè)G,OF，OP的方向為x，九z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則￡>（一1,1,0）,以1,一3,0）,C（l,l,0）,P僅,0,網(wǎng)，

./I—\UUU1

BC=（0,4,0）,PC=（1,1,-V6）,DC=（2,0,0）.

設(shè)平面PBC的法向量為〃7=(玉,y,zj,

m-BC=4必=0,

則〈令Z]=1,得加=（逐,0,1）.

m-PC=須+%一瓜z、-0,

設(shè)平面PCD的法向量為〃=(%2，%，22)，

n?DC—2X=0,

則《9令必=逐，得〃=(0,灰,11

n.PC=x2+y2-V6Z2=0,

/\m-n111

所以cos也,〃)=j-n-7=萬萬=-9即平面PBC與平面PCZ)夾角的余弦值為-.

21.已知雙曲線C:二-衛(wèi)?=1(4>0力>0)的離心率為逅1,且其焦點到漸近線的距離為1.

a-b-6

(1)求C的方程;

(2)若動直線/與C恰有1個公共點，且與。的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，。為坐標(biāo)原點，證明:

△OP。的面積為定值.

【答案】(1)—-y2=l

6-

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由點到直線的距離公式、離心率公式以及平方關(guān)系再結(jié)合已知即可求解.

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時，不妨設(shè)/:丁=束+加，且左#±也.動直線/與C相切可得△=()即

6

6公=利2+1，再由弦長公式、點到直線的距離公式表示出三角形面積，結(jié)合6左2=%2+1即可得解.

【小問1詳解】

設(shè)右焦點為F(c,0),一條漸近線方程為法-做=0,

be

所以該焦點到漸近線的距離為=〃=1.

\Ja2+/?2

因為e=￡=,c2=a2+b2?所以a=V6,c=S.

a6

丫2

故C的方程為二->2=1.

6一

【小問2詳解】

當(dāng)直線/的斜率不存在時，/的方程為x=±&,此時|PQ|=2,S”°=gx2x#=J4.

當(dāng)直線/的斜率存在時，不妨設(shè)/：y=丘+加，且4工±45.

6

y=kx+m,

2

聯(lián)立方程組〈x2得0_6%2卜2_]2小依_64一6=0.

-^一曠=1,

o

由4=144療左2+40—6后2）（6〉+6）=0,得6公=>+1.

y=kx+m