2024屆高三新高考數(shù)學改革適應性練習及答案（九省聯(lián)考題型）

2024年新高考改革適應性練習（九省聯(lián)考題型）

數(shù)學試題卷

（名師教研團隊命制2024.2.3）

考試須知：

1.本卷共4頁，四大題19小題，滿分150分，答題時間120分鐘；

2.答題時須在答題卡上填涂所選答案（選擇題），或用黑色字跡的簽字筆規(guī)范書寫答案與步驟（非選擇題）,

答在本試題卷上或草稿紙上的答案均屬無效；

3.考試結(jié)束時，考生須一并上交本試題卷，答題卡與草稿紙.

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.）

1.共同富裕是消除兩極分化和貧窮基礎(chǔ)上的普遍富裕.下列關(guān)于個人收入的統(tǒng)計量中，最能體現(xiàn)共

同富裕要求的是

A.平均數(shù)小、方差大B.平均數(shù)小、方差小

C.平均數(shù)大、方差大D.平均數(shù)大、方差小

2.已知復數(shù)z滿足|z|=1且2=i?z,則z可被表示為

AA.cosT-l+..is.in-37TBc.cos-37r+i.s.in7-1

4444

C.cos-71+isin-7rD,cos-+isin-

4444

3.1949年10月1日，開國大典結(jié)束后，新成立的中央人民政府在北京飯店舉行了有600余位賓客參

加的新中國第一次國慶招待會，史稱“開國第一宴”.該宴的主要菜品有：鮑魚濃汁四寶、東坡肉

方、蟹粉獅子頭、雞汁煮干絲、清炒翡翠蝦仁和全家福.若這六道菜要求依次而上，其中“東坡肉

方”和“雞汁煮干絲”不能接連相鄰上菜，則不同的上菜順序種數(shù)為

A.240B.480C.384D.1440

4.拋物線y2=4%的焦點為尸，已知拋物線上的三個點4,8,C滿足西+而+同=0,則同|+

[FB\+|FC|二

A.4B.5C.6D.7

5.遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國心理學家艾?賓浩斯（H.Ebbinghaus）研究發(fā)現(xiàn),

描述了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律.人體大腦對新事物遺忘的循序漸進的直觀描述，人們可以

從遺忘曲線中掌握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力.該曲線對人類記憶認知研究產(chǎn)

生了重大影響.陳同學利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率y與初次記憶經(jīng)過

的時間無(小時)的大致關(guān)系：

y=1—O.6%006

若陳同學需要在明天15時考語文考試時擁有復習背誦記憶的50%,則他復習背誦時間需大約在

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

6.已知數(shù)列｛即｝滿足an+1=an+an+2(nGN*),ara2=4且a2>0，則的+----H。2024的

最小值是

A.4B.3C.2D.1

7.已知函數(shù)/(x)=+4X3+2(7n+2)%2+小久圖像上的一極大值點為(—2,0),則實數(shù)TH的取值

范圍為

A.(—2,+oo)B.(—4,-2]C.(—co,—2]D.(—co,—2)

8.在正三棱錐P—ABC中，側(cè)棱P4與底面4BC所成的角為60。，且2B=3,則三棱錐P—ABC外

接球的表面積為

A.8兀B.127rC.16兀D.18兀

二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.)

9.已知a=sin(sin2024。)，b=sin(cos2024°),c=cos(sin2024°),d=cos(cos2024°),貝U

A.a<cB.b<dC.b<aD.d<c

10.已知長軸長、短軸長和焦距分別為2a、2b和2c的橢圓0,點/是橢圓0與其長軸的一個交點，

點B是橢圓。與其短軸的一個交點，點a和F2為其焦點，AB1B0?點P在橢圓管上，若P%1

PF2,則

A.a,b,c成等差數(shù)列B.a,b,c成等比數(shù)列

C.橢圓。的離心率6=花+1

D.△ABFr的面積不小于△PF/2的面積

11.積性函數(shù)人無)指對于所有互質(zhì)的整數(shù)a和b有f(ab)=⑻的數(shù)論函數(shù).則以下數(shù)論函數(shù)是

積性函數(shù)的有

A.高斯函數(shù)[n]表示不大于實數(shù)n的最大整數(shù)

B.最大公約數(shù)函數(shù)gcd(n,k)表示正整數(shù)n與k的最大公約數(shù)(k是常數(shù))

C.幕次函數(shù)/(n)表示正整數(shù)九質(zhì)因數(shù)分解后含血的嘉次數(shù)(血是常數(shù))

D.歐拉函數(shù)(p(n)表示小于正整數(shù)n的正整數(shù)中滿足與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知函數(shù)/'(%)=(/一。工+a)ln(x+1),aeR的圖像經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是

13.已知等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列｛"｝滿足的+a?=瓦+尻=30,=久+/=1。，則數(shù)列

｛anfen｝在n=時取到最小值.

14.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線

的軸.過拋物線C:/=4y上的點P(不為原點)作C的切線Z,過坐標原點。作OQ_LZ,垂足為

Q,直線PF(F為拋物線的焦點)與直線OQ交于點T,點4(2,0),則|-4|的取值范圍是

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.(13分)

第一象限的點/在拋物線G：y2=2久上，過點力作軸于點B,點P為中點.

(1)求P的運動軌跡為曲線心的方程；

(2)記乙心的焦點分別為0,尸2,則四邊形AP0F2的面積是否有最值？

16.(15分)

如圖，已知四棱錐P—4BC0的底面是矩形且棱24垂直于其底面.Q為棱PD上一點,P4=

AB.

(1)若Q為PD中點,證明：PB1平面4CQ；

(2)若4Q為的高，AD=<2AP,求二面角P-AC-Q的正弦值.

CD

17.（15分）

從集合｛%G^*|1<%<9｝中隨機抽取若干個數(shù)（大于等于一個）.

（1）求這些數(shù)排序后能成等比數(shù)列的概率；

（2）求這些數(shù)排序后能成等差數(shù)列的概率.

18.（17分）

已知函數(shù)/（%）=?%—（%+2）ln（x+1）.

（1）若/（%）的零點也是其的極值點，求a；

（2）若人無）的圖像經(jīng)過四個象限，求a的取值范圍.

19.（17分）

對于非空集合G,定義其在某一運算（統(tǒng)稱乘法）“X”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為“群”（G,x）,簡記為

Gx.

而判斷Gx是否為一個群，需驗證以下三點：

1.（封閉性）對于規(guī)定的“X”運算，對任意a,bEG,都須滿足axbeG；

2.（結(jié)合律）對于規(guī)定的“X”運算，對任意a.b.cEG,都須滿足ax（bxc）=（axb）xc；

3.（恒等元）存在eEG,使得對任意aCG,exa=a；

4.（逆的存在性）對任意aCG,都存在bEG,使得axb=bxa=e.

記群GX所含的元素個數(shù)為n,則群Gx也稱作“n階群”.若群G*的“X”運算滿足交換律，即

對任意a.bEG,axb=bxa,我們稱Gx為一個阿貝爾群（或交換群）.

（1）證明：所有實數(shù)在普通加法運算下構(gòu)成群R+;

（2）記C為所有模長為1的復數(shù)構(gòu)成的集合，請找出一個合適的“X”運算使得C在該運算下構(gòu)

成一個群CX,并說明理由；

（3）所有階數(shù)小于等于四的群G'是否都是阿貝爾群？請說明理由.

2024年新高考改革適應性練習（九省聯(lián)考題型）

數(shù)學參考答案

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.）

題號12345678

答案DCBCAADC

二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.）

題號91011

答案ABDBDABD

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

題號121314

答案(-1°)5或6[V5-1,V5+1]

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

15.（13分）

（1）設(shè)ZOo，yo），則有羽=2久0，則B（0,yO）,因為P是的中點，所以

則yo=2%0=4O,即%=4xP,故點P在拋物線「：y2=4%（y＞0）的上運動.

（4分）

（2）因為4P與&尸2平行，所以四邊形4PF/2是梯形，

其上底為AP-^xA-，下底為F/2=段一軍=2-1=1,高為為=%,

所以其面積S=式六o+l）,又詔=2與，所以5=式9+1）=》計:仇＞0）

（8分）

令/仇）=：就+學仇＞。）,則f'仇）=|九+：＞。，所以/仇）即S關(guān)于y單調(diào)遞增,

OZOZ0

（10分）

又當y（）f0時，Sf0；泗―+8時，Sf+8,所以S在e（0,+8）上沒有最值.

（13分）

16.（15分）

（1）如答圖，取P4中點F,連接EF,BF,

因為P,E分別為PA,PD的中點，所以EF.

因為4D〃BC,AD=2BC,所以FE〃BC,EF=BC,

所以四邊形EFBC為平行四邊形，BF//CE,

因為BFu平面PAB,CEC平面24B,所以CE〃平面PAB.（6分）

（2）過點B作BHJ.AC于點“，連接

因為BF//CE,所以直線CE與平面PAC所成角和直線BF與平面PAC所成角相等，

因為PAJ■平面ABC。，BHABCD,所以

因為PACZC=4,P4,4Cu平面24C,所以BH1平面R4C,

所以為直線BF與平面P4C所成角，（11分）

BF=V22+I2=V5,AC=V22+I2=V5,BH=黑=卓,所以

故直線CE與平面24c所成角的正弦值為|.（15分）

17.（15分）

（1）若5、7在所抽取的數(shù)里，由于其是質(zhì)數(shù)，且無法找到其他被其整除的數(shù)，故5、7不能被抽取到.

①若抽取的數(shù)有1,

（I）若抽取三個數(shù)，設(shè)其他兩個數(shù)為a,b（a<b）,貝Ia?=力，符合條件的（a/）只能為（2,4）和（3,9）

兩組，此時所抽取的數(shù)為（1,2,4）和（1,3,9）,共兩組；

（II）若所抽取的數(shù)的個數(shù)大于3,記此等比數(shù)列的公比為q,則q22.若q=2,則所抽取的數(shù)為

（124,8）；若q”則該等比數(shù)列的最大一項大于等于33=27,明顯不符合題意，故該情況僅有

（1,2,4,8）1組符合條件.

②若抽取的數(shù)無1,則抽取的數(shù)應在｛2,3,4,689｝中.該等比數(shù)列公比q\2,因此若最小的一項為3,

則最大一項23X22=12,矛盾，所以最小的一項應為2.易知符合條件的僅有（2,4,8）1組.

綜合上述情況，僅有（1,2,4）,（1,3,9）,（1,2,4,8）,（2,4,8）共4組符合條件.（4分）

而抽取的所有結(jié)果共有29-1=511種，故概率P=±.（6分）

（2）①當抽取的數(shù)有3項時，⑴若該等差數(shù)列的公差d=1,則有（1,2,3）,（2,3,4）,…，（7,8,9）共

7組符合條件.（II）若該等差數(shù)列的公差d=2,則有（1,3,5）,（2,4,6）,…，（5,7,9）共5組符合條

ft.（III）若該等差數(shù)列的公差d=3,則有（1,4,7）,（2,5,8）,（3,6,9）共3組符合條件.（IV）若該等

差數(shù)列的公差d=4,則僅有（159）1組符合條件.（V）若該等差數(shù)列的公差d25,則沒有滿足條

件的選取組合.

故此情況共有7+5+3+1=16組符合條件.（8分）

②當抽取的數(shù)有4項時,（I）若該等差數(shù)列的公差d=1,則有（1,2,3,4）,（2,3,4,5）,…，（6,7,8,9）共

6組符合條件.（II）若該等差數(shù)列的公差d=2,則有（1,3,5,7）,（2,4,6,8）,（3,5,7,9）共3組符合條

件.（III）若該等差數(shù)列的公差d23,則沒有滿足條件的選取組合.

故此情況共有6+3=9組符合條件.（10分）

③當抽取的數(shù)有5項時，（I）若該等差數(shù)列的公差d=1,則有（1,234,5）,（2,3,4,5,6），…，（5,6,7,8,9）

共5組符合條件.（II）若該等差數(shù)列的公差d=2,則僅有（1,3,5,7,9）1組符合條件.（III）若該等差

數(shù)列的公差d>3,則沒有滿足條件的選取組合.

故此情況共有5+1=6組符合條件.（12分）

以此類推，當抽取6、7、8、9項時，都當且僅當公差為1時有符合條件的選取組合，分別有4、

3、2、1組，

綜上所述，滿足條件的選取組合共有16+9+6+4+3+2+1=41組，（14分）

由（1）,抽取的所有結(jié)果共有29—1=511種，故概率（15分）

18.(17分)

(1)f(x)=ax—(x+2)In(久+1),xE(―1,+oo),(2分)

觀察得〃0）=0，即x=0為其零點,（4分）

1

/（久）=。一1一-—M（久+D

所以尸(0)=a—2=0,即a=2.故a的值為2.（6分）

（2）由（1）得y=/Q）必經(jīng)過原點，若需使y=八均經(jīng)過四個象限，則/（K）需在區(qū)間（—1,0）和

（0,+oo）上均至少存在一個零點，

令f(x)=ax—(%+2)ln(x+1)=0=a=(久+”,一土。。0)在(—1,0)和(0,+oo)上均有根.

、幾十粉(%+2)ln(x+1)%2+2x-2(x+l)ln(x+l)

設(shè)函數(shù)g(x)=----------------，g'(x)=---------(八2---------，

X(%+l)xz

令h(x)=x2+2x—2(%+1)ln(x+1),h'(x)=2[%—ln(x+1)],

令w(x)=x—ln(x+1),0'(久)=，當xe(—1,。)時，(p'(x)<0,0(無)單調(diào)遞減；當x6(0,+oo)

時，(p'(x)>0,0(X)單調(diào)遞增.所以％=0是(p(x)的極小值點，0(尤)min=9(。)=0?

所以8(x)20恒成立，即》(久)之0,故/i(x)單調(diào)遞增.又/i(0)=0,所以當xC(-1,0)時，/i(x)<

h'(0)=0,即g'(x)<0,所以g(尤)單調(diào)遞減；當%€(0,+8)時,%(無)>?(0)=0,即“(%)>0,

所以g(x)單調(diào)遞增.

又當尤—0時，g(X)t2,所以要使得g(x)=。在(一1,0)和(0,+8)上均有根，a需滿足ae(2,+oo).

綜上所述，若/(%)的圖像經(jīng)過四個象限，貝IJa6(2,+8).(17分)

(方法不唯一，若考生從極值點等其他角度入手，依據(jù)實際情況酌情賦分)

19.(17分)

(1)我們需證R在普通加法下可構(gòu)成一個群，由題意，需從以下四個方面進行驗證：

①封閉性：對a,beR,則a+beR,封閉性成立.(1分)

②結(jié)合律：對a,瓦cCR,a+(h+c)=(a+b)+c,結(jié)合律成立.(2分)

③恒等元：取e=06R,則對任意aCR,0+a=a.符合恒等元要求.(3分)

④逆：對任意aeR,b——aER,且a+b=a+(—a)-0=e,滿足逆的存在性.

(4分)

綜上所述，所有實數(shù)在普通加法運算下可構(gòu)成群R+.

(2)首先提出，C的“X”運算可以是復數(shù)的乘法：Z1Z2(Vzi，Z2CC),理由如下.

(6分)

即證明S在普通乘法下可構(gòu)成一個群，同(1),需從四方面進行驗證：

①封閉性：設(shè)Z]=a+bi,z2—c+di,其中z^ZzCC,即a2+b?=?2+d?=1.

則ztz2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i,

2222222222

所以\z1z2\=y/(.ac—bd)+(ad+be)=Vac+bd+ad+bc

=y/c2(a2+b2)+d2(a2+b2)=Vc2+c/2=1,即eC,封閉性成立.(7分)

②結(jié)合律：設(shè)Z]=a+bi,z2—c+di,z3—e+fi,其中Zj_,Z2，Z3eC,

zi(z2z3)=(a+bi)[(ce—df)+(cf+de)i]

=[a(ce—df)—b(cf+de)]+[a(cf+de)+b(ce—d/)]i

(z1z2)z3=[(ac—bd)+(ad+bc)i](e+fi)

=[e(ac—bd)—f(ad+be)]+[/(ac—bd)+e(ad+be)]

對比后容易發(fā)現(xiàn),Z1Q2Z3)和(Z[Z2)Z3實部和虛部分別對應相等，即(Z2Z3)=(Z1Z2)Z3,結(jié)合律成立.

(8分)

③恒等元：取e=lec,則對任意zee,l-z=z,符合恒等元要求.(9分)

④逆的存在性：對任意z=a+bieC,取其共輾z=a-bi,則z,N=a?+=1=e,滿足逆的存

在性.(10分)

綜上所述，C在復數(shù)的乘法運算下構(gòu)成一個群。乂.

(構(gòu)造不唯一，證明方法也不唯一，本題較為開放，不同的方法應據(jù)實際情況酌情賦分)

(3)所有階數(shù)小于等于四的群G*都是阿貝爾群，理由如下.(11分)

若群G'的階數(shù)為0,則G為空集，與定義矛盾.所以GX的階數(shù)為1,2,3,4.下逐一證明.

①若群G'的階數(shù)為1,則其唯一的元素為其恒等元，明顯符合交換律，故此時G,是阿貝爾群.

(12分)

②若群G'的階數(shù)為2,設(shè)其元素為e,a,其中e是恒等元，則exa=axe=a,符合交換律，故此

時G,是阿貝爾群.(13分)

③若群G*的階數(shù)為3,設(shè)其元素為e,a,b,其中e是恒等元，由群的封閉性，axb*.

若axb=a,又axe=