安徽六校教育研究會2023-2024學年高考沖刺數(shù)學模擬試題含解析

安徽六校教育研究會2023-2024學年高考沖刺數(shù)學模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（）

正視圖二；離觀圖

J?■????■Yi.1....

的規(guī)國

A.2對B.3對

C.4對D.5對

—+%2,X<1

2.已知函數(shù)/(%)=<alnx1,若曲線y二=/(%)上始終存在兩點A,B,使得且AB的中點在丁

------,%>1

x(x+l)

軸上，則正實數(shù)〃的取值范圍為()

A.(0,+oo)B.C.-,+<?jD.[e,+oo)

LeJ

3.設i是虛數(shù)單位，復數(shù)上匚=()

1

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

1uuuuim

4.已知ABC是邊長為3的正三角形，若80=

315

A.一一B.

2T

3_15

C.-D.

2一萬

5.若2皿>2">1,則()

1、1

A.—>-B.

mn

logirri>log】n

C.In(m-zi)>0D.

22

6.如圖，在三棱柱ABC-451cl中，底面為正三角形，側棱垂直底面，AB=4,A4=8.若￡,尸分別是棱3與CC

上的點，且3石=與后，GF=；C￡,則異面直線AE與人廠所成角的余弦值為（）

A.正B.叵C.叵D.叵

10131310

x+y<2

7.已知變量X,y滿足不等式組yWl,則2x—y的最小值為（）

x>0

A.-4B.-2C.0D.4

8.某地區(qū)高考改革，實行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)學、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必

選一門，“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學科中任意選擇兩門學科，則一

名學生的不同選科組合有（）

A.8種B.12種C.16種D.20種

9.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車登

山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時，發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同，且均沒有走天外村

汽車登山線路，三人向其他旅友進行如下陳述：

甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；

乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；

丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；

事實上，甲、乙、丙三人的陳述都只對一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說法正確的是（）

A.甲走桃花峪登山線路B.乙走紅門盤道徒步線路

C.丙走桃花峪登山線路D,甲走天燭峰登山線路

10.若函數(shù)〃％）=￡+2%-機cos（x+l）+"+3切—7有且僅有一個零點，則實數(shù)機的值為（）

A.--屈B.-3+歷c.-4D.2

22

11.劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學家，他在《九章算術》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為

青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也.合成弦方之塞，開方除之，即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的

邊長為1,其中“正方形ABC。為朱方，正方形BEFG為青方”,則在五邊形AGEE（內(nèi)隨機取一個點，此點取自朱方的

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.《九章算術》是中國古代的數(shù)學名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算公式.如圖所示，弧田是由圓弧

A5和其所對弦45圍成的圖形，若弧田的弧A3長為4心弧所在的圓的半徑為6,則弧田的弦A3長是

弧田的面積是

14.在正方體ABCD-A6G。中，E,尸分別為棱的中點，則直線所與直線4臺所成角的正切值為

15.已知數(shù)列｛風｝滿足：q=l,a“+i=：a；+M〃eN*),若對任意的正整數(shù)〃均有為<4,則實數(shù)，W的最大值是

O

16.在平面五邊形ABCDE中，ZA=60°,AB=AE=6y/3.BCLCD,且BC=DE=6.將五邊形ABCDE沿對

角線座折起，使平面ABE與平面3CDE所成的二面角為120。，則沿對角線座折起后所得幾何體的外接球的表面積

是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)正項數(shù)列｛4｝的前n項和Sn滿足：S；-(/+〃一1電—(二+”)=0

⑴求數(shù)列的通項公式

｛4｝qn，

M+1數(shù)列｛bn｝的前n項和為Tn,證明：對于任意的nWN*,都有Tn<9.

⑵令b.=

(〃+2)2%：，64

18.(12分)設函數(shù)/(x)=|x+l|+|2x—1].

(1)求不等式/(九)23的解集;

⑵若的最小值為。，且x+y+z=a,求V+(y+i)2+(z+2)2的最小值.

19.(12分)設不等式—2<卜—1卜|%+4<0的解集為M,a,beM.

11,1

(1)證明：-a+-b<-.

3644

(2)比較|1-4/與2|a-4的大小，并說明理由.

20.(12分)已知函數(shù)/(6=布一a|x-1|-1,aeR.

(1)當。=4時，求函數(shù)/(%)的值域;

(2)3xoe[O,2],/(x0)>a|x0+l|,求實數(shù)。的取值范圍.

21.(12分)某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調(diào)查，問卷共

100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績(單位：分)進行統(tǒng)計，將數(shù)

據(jù)按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于

60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.

理科方向文科方向總計

卜頻率

組距

男

0.0150110

0.0125

O.O1OO

0.0075女50

0.0050三

C□340608TT30成薪，分總計

(1)根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關？

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文

科方向”的人數(shù)為若每次抽取的結果是相互獨立的，求J的分布列、期望■劣和方差。(J).

參考公式：黑3由'其中

參考臨界值:

2

P（K>ka）0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)如圖，平面四邊形ABC。中，BC//AD,ZADC=90°,ZABC=120°,E是AO上的一點，

48=50=2",尸是比的中點，以EC為折痕把△即C折起，使點。到達點P的位置，且PC,跖.

(1)證明：平面PECL平面A6CE；

(2)求直線PC與平面R43所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

畫出該幾何體的直觀圖P—ABCD,易證平面PAD_L平面ABCD,平面PCD_1_平面PAD，平面PAB_1_平面PAD，

平面？A3,平面PC。，從而可選出答案.

【詳解】

該幾何體是一個四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面A5CD,

作PO_LAO于O,則有PO_L平面45CZ),POLCD,

又AO_LC。，所以，。_1平面9。，

所以平面PCD_L平面PAD,

同理可證：平面平面R4D,

由三視圖可知：PO=AO=OD,所以，APVPD,又AP，C￡),

所以，APL平面PC。，所以，平面平面PCD,

所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對.

【點睛】

本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結構特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題.

2、D

【解析】

根據(jù)AB中點在y軸上，設出4,3兩點的坐標4(一//3+/2),a>0).對f分成=三類，利用

則04.03=0,列方程，化簡后求得。=二，利用導數(shù)求得上的值域，由此求得。的取值范圍.

In?In?

【詳解】

根據(jù)條件可知A,3兩點的橫坐標互為相反數(shù),不妨設A(T/3+/),/⑺)，(/〉0),若f<1,則/⑺=-f+產(chǎn)，

由。4,03,所以。4.03=0，即—『+(/+〃)(——+/)=0,方程無解；若/=1,顯然不滿足04,03；若/〉1,

,、a\nt,2/32\々In%八t(tyln/^-1t

則/⑺=,1、，由。4。3=0,即/+/+/),八=0,即a——，因為I=,、2，所以函數(shù)「

t(t+1)''t(t+V)In?UnrJ(In/)-Inr

在(O,e)上遞減，在(e,4w)上遞增，故在才=e處取得極小值也即是最小值自:=e,所以函數(shù)y一在(1+8)上的

In/

值域為[e,+oo),故ae[e,+8).故選D.

【點睛】

本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標表示，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最

小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.

3、D

【解析】

利用復數(shù)的除法運算，化簡復數(shù)小=l-i,即可求解，得到答案.

1

【詳解】

由題意，復數(shù)——二二:i,故選D.

11X(-1)

【點睛】

本題主要考查了復數(shù)的除法運算，其中解答中熟記復數(shù)的除法運算法則是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，

屬于基礎題.

4、A

【解析】

由可得AD=AB+BD=AB+』BC,因為A6C是邊長為3的正三角形,

所以

33

ADBC=(AB+^BC)BC=ABBC+^BC2=3x3cosl20°+1x32=-|,故選A.

5、B

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結合特殊值進行辨析.

【詳解】

若2皿>2">1=2°,：.m>n>0,：.7fn~'1>7^=\,故3正確；

而當機=—,"='時，檢驗可得，4、C、。都不正確，

24

故選：B.

【點睛】

此題考查根據(jù)指數(shù)塞的大小關系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)騫或對數(shù)的大小關系，需要熟練掌握指數(shù)

函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質，結合特值法得出選項.

6、B

【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線4E與AE所成角的余弦值.

【詳解】

依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設A6的中點為。，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以

A（0,-2,8）,E（0,2,4）,A（0,-2,0）,F（-2^,0,6）,所以4石=（0,4,—4）,AF=卜2石,2,所以異面直線與

\E-AF8—24726

AE所成角的余弦值為

4行義2相1T

故選：B

【點睛】

本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.

7、B

【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.

【詳解】

x+y<2

解：由變量x,V滿足不等式組卜-,畫出相應圖形如下:

x>Q

可知點A（l,1）,5（。，2）,

【點睛】

本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，運用了數(shù)形結合的方法，屬于基礎題.

8、C

【解析】

分兩類進行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對應的組合數(shù)，即可求出結果.

【詳解】

若一名學生只選物理和歷史中的一門，則有=12種組合；

若一名學生物理和歷史都選，則有禺=4種組合；

因此共有12+4=16種組合.

故選C

【點睛】

本題主要考查兩個計數(shù)原理，熟記其計數(shù)原理的概念，即可求出結果，屬于?？碱}型.

9、D

【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線，由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的，再分情況討論即可.

【詳解】

若甲走的紅門盤道徒步線路，則乙，丙描述中的甲的去向均錯誤，又三人的陳述都只對一半，則乙丙的另外兩句話“丙走紅

門盤道徒步線路”，“乙走紅門盤道徒步線路”正確，與“三人走的線路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確，故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯誤，“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中

“甲走桃花峪登山線路”錯誤，“丙走紅門盤道徒步線路”正確.

綜上所述,甲走天燭峰登山線路，乙走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路

故選：D

【點睛】

本題主要考查了判斷與推理的問題，重點是找到三人中都提到的內(nèi)容進行分類討論，屬于基礎題型.

10、D

【解析】

推導出函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線x=-1對稱，由題意得出了(-1)=0,進而可求得實數(shù)機的值，并對俄的值進

行檢驗，即可得出結果.

【詳解】

/(x)=(x+l)--mcos(x+l)+m2+3m-8，

貝!I/(-1+x)=(-1+x+l)2-mcos(-1+%+1)+m2+3m-8=x2—mcosx+)?r+3m—8,

=(—1-x+l)--mcos(-l-x+l)+m2+3m-8=x2—mcosx+m2+3m-8,

=所以，函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線％=—1對稱.

若函數(shù)y=/(x)的零點不為x=-1,則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn)，不合題意.

所以，/(-1)=0,即蘇+27-8=0,解得"z=T或2.

①當根=-4時，令=(%+1)2-4cos(1+1)-4=0,得4cos(x+1)=4-(x+l)2,作出函數(shù)y=4cos(x+l)與

函數(shù)y=4—(x+l)2的圖象如下圖所示：

②當m=2時，cos(x+l)<l,.?./(X)=(X+1)2-2COS(X+1)+2>0,當且僅當x=—1時，等號成立，則函數(shù)

y=/(x)有且只有一個零點.

綜上所述，m=2.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對稱性的應用，解答的關鍵就是推導出/(-1)=0,在求出參數(shù)

后要對參數(shù)的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

11,C

【解析】

首先明確這是一個幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.

【詳解】

因為正方形ABC。為朱方，其面積為9,

五邊形AGFID的面積為SABCD+SjjGFE+SM3CI+SZEF=37,

9

所以此點取自朱方的概率為5.

37

故選：C

【點睛】

本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.

12、A

【解析】

本題采用排除法：

由/［一:］=一/排除選項D；

根據(jù)特殊值f［普］>0排除選項C;

由％>0,且x無限接近于0時，/(耳<0排除選項B；

【詳解】

對于選項D：由題意可得，令函數(shù)/(X)=y=

cosX

5冗5%

(54、2、—27

對于選項C：因為/［々-J=—五一〉0,故選項C排除；

T

對于選項B：當尤>0,且x無限接近于0時,國-cosx接近于一1<0,2X-2~x>0>此時/(尤)<0.故選項B排除；

故選項:A

【點睛】

本題考查函數(shù)解析式較復雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負等有關性質進行逐一排除是解題的關鍵;

屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、67312TT-9G

【解析】

過。作OCL/R,交于。，先求得圓心角NAC石的弧度數(shù)，然后解解三角形求得A3的長.利用扇形面積減去三

角形Q4B的面積，求得弧田的面積.

【詳解】

?.?如圖，弧田的弧A5長為4小弧所在的圓的半徑為6,過。作OCL/R,交A5于。，根據(jù)圓的幾何性質可知，OC

垂直平分AB.

/4萬2乃.71

??a=Z.AOB=----,可得NAOD=—,04=6,

633

.*.AB=2AD=2OAsin-=2x6x—=673

32

11

二弧田的面積s=s扇形OAB-SAOAB=—x4n><6——x6^3x3=12TT-9G.

22

故答案為：6&,127r-96.

【點睛】

本小題主要考查弓形弦長和弓形面積的計算，考查中國古代數(shù)學文化，屬于中檔題.

14、G

【解析】

由中位線定理和正方體性質得EF//B￡,從而作出異面直線所成的角，在三角形中計算可得.

【詳解】

如圖，連接A2，BCi，AC，???￡,尸分別為棱4v24的中點，/〃

又正方體中AB〃G。,A3=G。，即是平行四邊形，二EE//BG，ZA.BC,（或其補角）

就是直線跖與直線48所成角，MBG是等邊三角形，.?.NA3￡=60。，其正切值為

故答案為：V3.

【點睛】

本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.

15、2

【解析】

根據(jù)遞推公式可考慮分析4+1-2，再累加求出關于關于參數(shù)以〃的關系，根據(jù)表達式的取值分析出mW2,再用數(shù)

學歸納法證明m=2滿足條件即可.

【詳解】

="。；_4+相="（為一4）2

因為%+1+m-2>m-2,

n-\

累加可得+Z（W+1一%）21+（加一2）（〃一1）.

k=l

若機>2,注意到當〃一中?時,（加-2）（n-1）一不滿足對任意的正整數(shù)九均有見<4.

所以加工2.

當相=2時,證明：對任意的正整數(shù)〃都有。<4<4.

當〃=1時，4=1<4成立.

假設當n=k,（k>l）時結論成立，即0<%.<4,

貝！J0〈以+i=2+'5<2+'X42=4,即結論對〃=左+1也成立.

88

由數(shù)學歸納法可知，對任意的正整數(shù)〃都有0<%<4.

綜上可知，所求實數(shù)加的最大值是2.

故答案為：2

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解，同時注意結合參數(shù)的范圍問題

進行分析.屬于難題.

16、2527r

【解析】

設AABE的中心為。-矩形3CDE的中心為。2,過。?作垂直于平面ABE的直線4,過■作垂直于平面3C0E的

直線6,得到直線4與4的交點。為幾何體ABCDE外接球的球心，結合三角形的性質，求得球的半徑，利用表面積公

式，即可求解.

【詳解】

設MBE的中心為。i,矩形BCDE的中心為02,

過。1作垂直于平面ABE的直線k，過。2作垂直于平面BCDE的直線12,

則由球的性質可知，直線乙與6的交點。為幾何體ABCDE外接球的球心，

取3E的中點口，連接。z，O.F,

由條件得OZ=QF=3,NOZQ=120。，連接O尸，

因為bOFO、=KOFO,,從而OOX=3A/3,

連接Q4,則。4為所得幾何體外接球的半徑，

22

在直角AAOO]中，由@A=6,OOX=373,of#OA=OO[+QA=27+36=63,

即外接球的半徑為R=OA=而,

故所得幾何體外接球的表面積為S=41火2=252兀.

故答案為：252?.

【點睛】

本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及多面體的外接球的表面積的計算，其中解答中熟記空間幾何體的結構特

征，求得外接球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔試題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)an=2n;(2)見解析

【解析】

⑴因為數(shù)列的前項和'滿足：$，-氏溫由-，匚，

所以當時，金―士革腐.研心T，

即舞一通演理

解得-一或--

因為數(shù)列都是正項，

所以一，

因為敢￡木?:渴瑟

所以任，此.覘顯：C。

解得國,一』匕匕或--1，

因為數(shù)列都是正項，

所以船一J也，

當時，有卻遙,旦［，

所以如,勤,電t&*觀

解得---'n,

當I時，工小，贊？標符合.1

所以數(shù)列的通項公式:，.'J；

⑵因為"中;、由

雨|、產(chǎn)一鳴’：甲I沙-'

所如‘4港潛心段心中

141

喂/宣/

所以數(shù)列；的前項和為：

丁_1.3.:I.1:I:I,1III:l3

&r銀山"/嗑’藤‘君士黎話".-有港’也軀如修，環(huán)麗

_I,：1：1：1,,,

口福從亭'化r'E&X?講

學X,'I..：1.

和F九癡釀1"4產(chǎn)

當時，

云“1.：1..5

有加儂、富小烤'，/'

所以」.

U1

所以對于任意數(shù)列的前項和.1.

(14

27

18、(1){x|xW-4或％之1}(2)最小值為了.

【解析】

(1)討論x<—1,-l<x<-,x>,三種情況，分別計算得到答案.

22

3

（2）計算得到x+y+z=5,再利用均值不等式計算得到答案.

【詳解】

~3x,x<—1,

(1)=<—x+2,—,

當尤v-l時，由一3x23,解得xv-l；

當一l?x?,時，由一x+2N3,解得x=-l；

2

當元〉,時，由3x23,解得x2l.

2

所以所求不等式的解集為{x|x<-1或X之1}.

133

(2)根據(jù)函數(shù)圖像知：當x=5時，a=/(x)min=-,所以x+y+z=5.

因為[x+(y+l)+(z+2)J

=%2+(j+1)2+(Z+2)2+2[x(y+l)+x(z+2)+(y+l)(z+2)]

<3p+(y+l)2+(z+2)2l,

可知[x+(y+l)+(z+2)T=\

由x+y+z=

所以x?+(y+l)~+(z+2y>—,

311

當且僅當％=y=Z=——時，等號成立.

222

027

所以X2+(y+1)20+(Z+2)2的最小值為丁.

【點睛】

本題考查了解絕對值不等式，函數(shù)最值，均值不等式，意在考查學生對于不等式，函數(shù)知識的綜合應用.

19、(1)證明見解析；(2)11—4a「|>2|a—川.

【解析】

試題分析：

⑴首先求得集合M,然后結合絕對值不等式的性質即可證得題中的結論;

⑵利用平方做差的方法可證得|1-4"|>2\a-b|.

試題解析：

(I)證明：iH/(x)=|x-l|-|x+2|,

3,x<-2

-2<x<l,所以解得故"=(-1，]).

則/(*)=<-2%-1,

2222

-3,x>1.

廣…ab1111111

所以，1彳+工區(qū)7|fl|+?|Z，l<3Xi+6X—=——

36324

(II)由(I)得0%2<4，0<Z>2<-.

44

\l-4ab^-4\a-b^=(l-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-l)(b2-l)>0.

所以，\l-4ab\>2\a-b\.

3

20、(1)[-9,+co)；(2)—00,—

4

【解析】

(1)將。=4代入函數(shù)y=/(x)的解析式，將函數(shù)y=/(x)的及解析式變形為分段函數(shù)，利用二次函數(shù)的基本性質

可求得函數(shù)y=/(x)的值域;

x2-l

(2)由參變量分離法得出aV在區(qū)間［0,2］內(nèi)有解，分xe［0,l］和xe(L2］討論，求得函數(shù)

|x-l|+|%+1|

%2-1

y=的最大值，即可得出實數(shù)”的取值范圍.

X—1+X+1

【詳解】

x2-4x+3,x>l

(1)當〃=4時，/(X)=X2-4|X-1|-1=<

x2+4x-5,x<l

當xN1時，/(x)=(x-2)2-1G[-l,+oo)；

當xvl時，/(x)=(x+2)2-9G[-9,+oo).

?二函數(shù)V=/⑴的值域為［-9,+8)

(2)不等式/(x)等價于-4i|x-l|-l>a|%+l|,

x2-l

即4V----:一;----1在區(qū)間［0,2］內(nèi)有解

l|%-1|+|%+1|

r2-lv2-lx2-l

當尤e［0,l］時，a<X此時,--------e,0,貝!j。4。；

1—x+x+1222

當尤e(L2］時

函數(shù)>j在區(qū)間。,2］上單調(diào)遞增，當xc(l,2］時，m,3

則aV二.

4

綜上，實數(shù)。的取值范圍是1-8,1.

【點睛】

本題主要考查含絕對值函數(shù)的值域與含絕對值不等式有解的問題，利用絕對值的應用將函數(shù)轉化為二次函數(shù)，結合二

次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.

21、(1)列聯(lián)表見解析，有；(2)分布列見解析，乎.

【解析】

(1)由頻率分布直方圖可得分數(shù)在［60,80)、［80,100］之間的學生人數(shù)，可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計算K?的值，結合

參考臨界值表可得到結論；

(2)從該校高一學生中隨機抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率P.由題意B(3,p),求出分布列，根據(jù)公式

求出期望和方差.

【詳解】

(1)由頻率分布直方圖可得分數(shù)在[60,80)之間的學生人數(shù)為0.0125x20x200=50,在[80,100]之間的學生人數(shù)為

0.0075x20x200=30,所以低于60分的學生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為

理科方向文科方向總計

男8030110

女405090

總計12080200

200x(80x50-30x40)2

又K?=。16.498>6.635,

120x80x110x90~

所以有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關.

on2

(2)易知從該校高一學生中隨機抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為2=礪=1.

依題意知4~3(3[],所以==[1—2]([?=(),1,2,3),所以J的分布列為

0123

2754368

P

125125125125

所以期望E(J)=7zp=3x]=\,方差==—=

D3。。JND

【點睛】

本題考查獨立性檢驗，考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差，屬于中檔題.

22、(1)見解析；(2)西

5

【解析】

(1)要證平面PECL平面A3CE,只需證政，平面PEC,而PCL3/，所以只需證而由已知的數(shù)

據(jù)可證得AfiCE為等邊三角形，又由于歹是EC的中點，所以從而可證得結論；

(2)由于在RfAPEC中，PE=DE=PF=-EC=2a,而平面PEC,平面A6CE,所以點P在平面A3CE的投