2024年2月貴州省2024屆高三大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

高三聯(lián)考數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容:高考全部?jī)?nèi)容。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知集合A={H|R2—3工＞0},8={0,1,2,3,4},則403=

A.(0,1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{4}D.{0,3,4)

2.復(fù)數(shù)2=(—2+i)(2+2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若直線Z”=芯與圓M/+3—I)2=I只有一個(gè)公共點(diǎn)，則為=

A.—1B.1C.0D.2

4.有一組樣本數(shù)據(jù)都在區(qū)間口,211內(nèi)，將其制成如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)該組樣本數(shù)

據(jù)的平均數(shù)為(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

5.已知向量a=(3sin6+cos0,sin0—5cosO'),6=(3sinacosff)"G(0,-y)，若aj_b,則tan0—

Li

A*母B.—1C.yD.方

(.x—a)2,x<Z0,

6,已知函數(shù)/'(z)=12H+1、在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為

A.D,4-oo)B.(-oo,03C.(0,+2D.R

【高三數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))】?24-3610

7.大西洋酷魚每年都要逆游而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鯉魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)姓魚的游速。（單

位：m/s）可以表示為v=^log3備，其中。表示鞋魚的耗氧量的單位數(shù).若一條雄魚游速為

0,5m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù)為300,則一條雄魚游速為2m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù)為

A.100B.8100C,1200D,900

8,現(xiàn)準(zhǔn)備給一半徑為6cm的實(shí)心球體玩具制作一個(gè)圓臺(tái)型帶蓋的紙質(zhì)包裝盒,要使制成的包

裝盒能裝下該球體玩具，且該包裝盒的下底面是半徑為4cm的圓，則制成的包裝盒的容積最

小為

A.133kcm3B.399Kcm3C.2667rcm3D.5327rcm3

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)列&》的前n項(xiàng)和為Sn,a2=\,am+n=aman，則下列結(jié)論正確的是

A.如024=1

B.做023=1

C.若$2024=2024,則幻=1

D.若S2O23=—1，則<21=—1

10.已知函數(shù)f（G飛落我葭］，則下列結(jié)論正確的是

A/包）的圖象關(guān)于直線z=a對(duì)稱

B./U）的圖象關(guān)于點(diǎn)苧0）中心對(duì)稱

C.fCz）的最小正周期是27r

DJ（外在（一￡,苧）上有最大值,且最大值為號(hào)

11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),P,Q為拋物線C：/=2/火力>o）上兩點(diǎn),F為C的焦點(diǎn)，若F到準(zhǔn)線z

的距離為2,則下列結(jié)論正確的是

A若M（1,3），則周長(zhǎng)的最小值為2+V5

B.若直線PQ過點(diǎn)F,則直線OP,OQ的斜率之積為一卷

C.若N（0,—l）,則讖的取值范圍是口,原

D.若APOF的外接圓與準(zhǔn)線I相切，則該外接圓的面積為竽

【高三數(shù)學(xué)第2頁(yè)（共4頁(yè)）】?24-361C-

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.甲、乙等7名同學(xué)隨機(jī)站成一排，則甲、乙相鄰且甲不站兩端的不同排列方式有一^種.

13.已知雙曲線C?一忘=1（。>°心°）的右支上有一點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為B,F

為雙曲線C的左焦點(diǎn),且滿足AFJ_BF,當(dāng)NBAF=僉時(shí),雙曲線C的離心率卜

為'/\\

14.如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB_L平面ABC,PA=2,PB=/,AB=4a.…,一匚^

3,M為棱AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，且CM為NACB的角平分線，則二

面角P-AC-B的平面角的正切值的最小值為▲.°

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,6,c,已知6=1,c=cosA+空a.

U

⑴求B；

（2）若a=73,^AABC的面積.

16.（15分）

已知橢圓C：胃+￡=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為B,芯，上頂點(diǎn)為A（0,通），且

△ABFz為正三角形.

（D求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)B且垂直于AB的直線與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，求AADE的面積.

【高三數(shù)學(xué)第3頁(yè)（共4頁(yè)）】?24-361C-

17.(15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是菱形,/ABC=60°,BDXPC,AB=4,AP=

/10,CP=3V2.

(D證明:平面PACJ_平面ABCD

(2)求二面角C-PD-B的余弦值.

瓚

18.(17分)

某學(xué)校食堂每天中午為師生提供了冰糖雪梨湯和蘋果百合湯，其均有止咳潤(rùn)肺的功效?某同之

學(xué)每天中午都會(huì)在兩種湯中選擇一種,已知他第一天選擇冰糖雪梨湯的概率為作，若前一天

添

選擇冰糖雪梨湯,則后一天繼續(xù)選擇冰糖雪梨湯的概率為點(diǎn),而前一天選擇蘋果百合湯，后

3-

一天繼續(xù)選擇蘋果百合湯的概率為2,如此往復(fù).

引

(D求該同學(xué)第二天中午選擇冰糖雪梨湯的概率.

(2)記該同學(xué)第n天中午選擇冰糖雪梨湯的概率為P?，證明：止“一半｝為等比數(shù)列.堀

(3)求從第1天到第10天中，該同學(xué)中午選擇冰糖雪梨湯的概率大于蘋果百合湯概率的天數(shù).

哂

19.(17分)

已知函數(shù)f(x')=2eI+ax.

(D討論的單調(diào)性；

(2)若方程f(x)=m有兩個(gè)不相等的根刈，彳2,且0V?Vg"(工)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),證

明/(d五)V0.

【高三數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))】?24-361C-

高三聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案

l.CA=(—8,0)U(3,+8),則AAB={4}.

2.Cz=(—2+i)(2+2i)=—6—2i,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(一6,—2)位于第三象限.

3.C由題意可得直線,與圓M相切.因?yàn)橹本€I過定原點(diǎn)。，點(diǎn)。在圓M上，所以直線I與直

線0M垂直.因?yàn)橹本€0M的斜率不存在，所以人=0.

4.B樣本平均數(shù)約為0.02X4X3+0.08X4X7+0.09X4X11+0.02X4X15+0.04X4X19

=10.68.

5.D因?yàn)閍j_仇所以a?b=(3sin(9+cosO'),3sin0+(sin9-5cos6),cos0—9sin20+

4sin8cos0—5cos20=0.因?yàn)椋?0,費(fèi)),所以cosJ#0,tan6>0,則9tan2(9+4tan6—5=0,解

得tan0=g或tan。=—1(舍去).

6.A當(dāng)x<0時(shí),y=(1z—a)2>0.當(dāng)時(shí),y=一%-2《-1.若函數(shù)y—Cx-

aY在(一8,0)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為[0,+8).若/包)在R上單調(diào)遞減，則a的

取值范圍為[0,+8).

1y

7.B由題意可得;=Alog3^解得4=4"，所以二沙密令2=4-log3解得O—

乙J.UU乙LiJ.UULt-LUU

8100.

8.D要使制成的包裝盒的容積最小，則該球體玩具與包裝盒的上、下底面及側(cè)面都相切.

作該圓臺(tái)型包裝盒的軸截面，且AG，BC,EF，BC.BGc

易知AB=BF+AE,BG=BF—AE.因?yàn)锳R2=AG2+BG2,所以(BF+4)2Vfjoy

=122+(BF—4)2,解得BF=9.此時(shí)該包裝盒的容積(BF2KW

oA

AE+AE2)=[XnX12X(92+9X4+4?)=5327rcm3,

o

9.ACD令9=77=1,則a2=儲(chǔ)，解得田=±1.令77=2,則。加+2=。,必2=Q〃i，所以。2024=。2=1，

々2023=?=土1,A正確?B錯(cuò)誤.若S2024=2024,則a\=1,若S2023=—1,則=—1,C,D均

正確.

10.BCD由sinz+cos解得—亍+麻/GZ,所以/(z)的定義域?yàn)?/p>

{?rGRlzW—￡十標(biāo)"ez}.

令sinz+cos支=5/^5由(1+手)=Z,貝!]sinNCOSL令函數(shù)g(z)=^9^=-y(r--).

4LJCjtLtt

當(dāng)一~^<zV苧時(shí),sinz+cos7=5/^5淪(1+￡)>0,且函數(shù)y=5/^sin(z+g)在(一手今)

【高三數(shù)學(xué)?參考答案第1頁(yè)(共7頁(yè))】?24-361C-

上單調(diào)遞增，在（寵苧上單調(diào)遞減.

又因?yàn)間⑺在（0,十8）上單調(diào)遞增，所以/（外在（一親,￡）上單調(diào)遞增，在（于，苧）上單調(diào)

遞減，所以/（為的圖象不關(guān)于直線■對(duì)稱,A錯(cuò)誤.

/Cz）在（一￡,苧）上有最大值，且最大值為/（￡）=￥，D正確.

//、sinxcosx_A/2sin2JT

J~r~,

~S?in7十COSX.zI7T、

2osm（z十?）

DQJ^sin2（空+力）A/2sin2（苧一比）J^sin（萼+2x）

f（囪_i_^\_|_f（囪一于）=_________________I__________3_____=_______L______

44?ZSKII7：x.Z3TVI7ux2sin（7c+z）

29sm（才十z十彳）Z9sin（~：—x-\--r）

4444

需I二事=冬（鼻孑+3箸）=°，所以f⑴的圖象關(guān)于點(diǎn)亭°）中心對(duì)稱，

B正確.

由對(duì)稱性可得/殳）在（竽，苧）上單調(diào)遞減，在（中,令上單調(diào)遞增，所以在（一于，?）

上不具有周期性.

又因?yàn)榱遂?2儲(chǔ)=邛當(dāng)鏟＞*=羋史江=/包），所以人公的最小正周

sin（?r十2兀）十cos（?z十2穴）sinJ:+COSx

期為2元,C正確.

11.BCD由題意可知，力=2,所以]2=4?*（0,1）.

作PB_U，垂足為B（圖略），△PMF的周長(zhǎng)為|PF|+|PM|+|MF|=|PB|+|PM|+

|MF|24+|MF|=4+四,A錯(cuò)誤.

\y=kx-\-1,

若直線PQ過點(diǎn)F，可設(shè)直線PQ的方程為、=丘+1,由V,得/一4標(biāo)一4=0.設(shè)

〔/=44，

2

P（JCI，:yi）,Q（H2，2），則Xi+工2=4A,H2=—4,則y\y2=Ckx\+1）（^2+1）=kX]X2+

后（乃+彳2）+1=1，所以直線0「，8的斜率之積為"?3=-J,B正確.

eTo4

若N（0,—1）,則躅=0+（名±或=述理+喑+止,令片、+12,0＜十＜1,

所以禺=-'"—4=J"+尸=7-4（7-1）2+2'可得制G[1，/]，C正確?

若△POF的外接圓與準(zhǔn)線/相切，設(shè)△POF的圓心為。，則|DF|=|D0],所以圓心。的縱

坐標(biāo)尸斗^得，則其半徑廠=；+1=母，面積為好D正確.

乙乙乙乙4

12.1200先確定甲的位置,再確定乙的位置及其他同學(xué)的位置，則有5修7=1200種不同的

【高三數(shù)學(xué)?參考答案第2頁(yè)（共7頁(yè)）]-24-361C-

排列方式.

13.72如圖，設(shè)F'為雙曲線C的右焦點(diǎn)，連接AF',BF'.由AF±BF

及雙曲線的對(duì)稱性得四邊形AFBF'是矩形，|=|FF'|=2c,則

\AF\=\AB\?cosZBAF=2ccos\AFf\=\BF\=\AB\-

sinNB4F=2c?sin得，由雙曲線定義得|AF|—|AF'|=2c(cos得

?1.乙1.乙

—siny^)=2c?7^cos(￡+￡)=2a,即々C=2Q,所以離心率e=—=V2.

_L乙_L乙4Cl

14.273如圖1,過點(diǎn)P作PQ_LAB,垂足為Q,過點(diǎn)Q作QH_LAC,垂足為H,連接PH.

因?yàn)槠矫鍼ABJ_平面ABC,所以PQ_L平面ABC,PQ_LHQ,久

PQLAC.

因?yàn)镼HJ_AC,所以AC,平面PQH,ACJ_PH,/\\\

所以NPHQ為二面角P-AC-B的平面角.4怨卡藝

2

在MAB中,cosNPAB’P裝記

圖1

所以/PAB=60°,

貝ijPQ=AP?smZPAB=^3,AQ=AP?cos/PAB=l.

^hAABC中，HQ=AQ?sinNBAC=sinNjBAC,所以tan/PHQ=A=-.鼻”.

sinzIJAU

如圖2,在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)C作CN_LCM交直線AB于點(diǎn)/一、

N,所以點(diǎn)C在以MN為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).設(shè)MN的中點(diǎn)為。，/\

連接OC.因?yàn)?CAN=/NMC—/ACM,/BCO=/MCO—------力

NMCB,所以NCAN=NBCO.因?yàn)镹AOC=/COB,所以

△AOCs/xCOB,所以鋁=麻，即解得0C攵c

圖2

=2,OA=4.

當(dāng)直線AC與圓O相切時(shí),/BAC最大，因此tan/PHQ最小.

(sin/BAC)1rax=售=｝，(tan/PHQ)mM=2痣.故二面角P-AC-B的平面角的正切值的

最小值為2質(zhì).

注:①在求點(diǎn)C的軌跡時(shí)，也可在平面ABC內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，用解析幾何的方法求解.

②在求sin/BAC的最大值時(shí)，也可用如下方法：

由題意可得,AC=2BC,cosNBAC=AB；Ag：U0=盒+苧*，所以sin/BACX：

15.解：(D因?yàn)閏=cosA+喙a,"=l,所以c=6cosA+喙a.............................................1分

乙乙

【高三數(shù)學(xué)?參考答案第3頁(yè)(共7頁(yè))】?24-361C-

由正弦定理得sinC=sinBcosAH--^sinA,....................................2分

乙

貝(Jsin(A+B)=sinBcosA+4sinA,..........................................3分

BPsinAcosB+cosAsinB=sinBcosA+丁sinA,

所以sinAcosB=§sinA....................................................4分

乙

因?yàn)閟inA>0,所以cosB=§,...............................................5分

Li

又OVBVn,所以B=*......................................................6分

zx?2+c2—62(A/3^)2+C2-1A/3

(29)cosBr=---z-----=-----------=f,

Zac2痣c2

整理得c2—3c+2=0,解得c=l或2...........................................8分

當(dāng)c=l時(shí),cosA=c-與a=—1■，貝!jsinA=*,

乙乙乙

SAABC=y6csin4=停..........................................................10分

當(dāng)c—2時(shí)，cosA=c—§a=則sinA=喙，

乙乙乙

S/^Anc-y6csinA=噂........................................................12分

綜上,AABC的面積為?；?yàn)?...............................................13分

16.解：（1）由題意可得。=偌......................................................1分

因?yàn)椤鰽BF?為正三角形，所以。=孕=1,。=/石廬=2,.....................3分

O

22

所以橢圓C的方程為T+*=l................................................4分

4o

（2）設(shè)直線DE與直線AE交于點(diǎn)G.

由題意可得DE為線段AG的垂直平分線，所以1AG|=1,.......................6分

直線DE的斜率為冷，直線DE的方程為z—西6+1=0..........................8分

O

X—痣3；+1=0,

設(shè)D（%I,?］）上（22，丁2），聯(lián)立V2得1392—6痣？-9=0,

匕+K=L

則”+北=鬻,“>=一卷...................................

10分

【高三數(shù)學(xué)?參考答案第4頁(yè)（共7頁(yè)）】?24-361C?

則|DE|=，1+(回2加一21=2/(?1+?2)2—4,12=普..................13分

JLO

故SZ^E=9|DE|?|AG|=||.......................................................................................15分

乙1.0

17.(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以BDJ_AC......................................................1分

因?yàn)锽DUGPCU平面PACACU平面PAC,且ACDPC=C，

所以平面PAC...........................................................................................................3分

因?yàn)锽DU平面ABCD,平面PACJ_平面ABCD...........................................................5分

(2)解:過點(diǎn)P作PEJ_AC,垂足為E.

2

五八山/AMPA^PC-AC75.八”275

在△PAC中，cos/APC=2PA?PC=虧，sin/APC=—

所以SP=+PA?PCsinNAPC=6.

AAC乙

因?yàn)镾“AC=MAOPE,所以PE=3,AE=/X產(chǎn)不可=1,OE=OA—AE=1.…7分

乙

設(shè)AC^BD^O.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以求,仍的方向

為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

B(0,-273,0),C(2,0,0),D(0,2V3,0),P(—1,0,3),

則坊=(-1,2悟,3),H=(-1,—2痣,3),9=(-3,

0,3)...........................................................................9分

設(shè)平面PBD的法向量為機(jī)=(才|，",zi),

m?方聲=-?-2乃yi+3zi=0,

貝6令乃=3,得m=(3,

m,B?=—x\+2聲例+3zi=0,

0,1)...................................................................................................................................H分

設(shè)平面PCD的法向量為〃=(Z2，”，Z2),

fn,Dp——4—2療3；2+3次=0,人

貝必令及二遍,得”=(痣,1,6)............................13分

n,CP=_3J;2+3Z2=0,

設(shè)二面角C-尸D-B的大小為0,易得。為銳角，

則?cos例=Icos〈〃,，〃〉|=群"=笑支，

即二面角C-PD-B的余弦值為互等......................................15分

00

18.(1)解:設(shè)A|表示第一天中午選擇冰糖雪梨湯,A2表示第二天中午選擇冰糖雪梨湯，則否

表示第一天中午選擇蘋果百合湯.

9__11__11

根據(jù)題意得P(A|)=^,P(A])=等,P(A21A])=卷,P(A21Al)=1一卷=卷......3分

oo0乙乙

X=

P(A2)=P(A1)P(A2|A!)+P(A7)P(A2|A7)=4X4+T4^........................5分

oooZlo

【高三數(shù)學(xué)?參考答案第5頁(yè)(共7頁(yè))】?24-361C-

（2）證明:設(shè)4表示第"天中午選擇冰糖雪梨湯，則P”=P（A”），P（A“）=1—P“，

根據(jù)題意得P（A?|A?）=^-,P（A?|A?）=l-4=y.

+1O+1乙乙

由全概率公式得尸（A“+|）=P（A“）P（A“+JA“）+P（_A__“）P（A“+||_A__"）=《1P“+^1（1—P“）=

~"，即P”+i=一-T'-Pn+y-.............................................8分

0z0z

不妨設(shè)P”+i+a=一■^（P"+/O,即P"+1=一~rP?—?7-A—A,

000

所以—"4=；,解得a=一■y9

0ZI

則尸"+1一■|=一，（？"一!）,又尸1一1=1土0,

（0/IZ1

所以仍“一|｝是以1r為首項(xiàng),-1為公比的等比數(shù)列............................12分

Izib

（3）解:由⑵得,P.=QL+六RX（一專1）I.

由題意，只需?"＞1-?“,即？”＞得（"=1,即?“,10）,

乙

則1+＞x（一看尸〉與即（一卷尸＞*”=1,2產(chǎn).,10）....................14分

顯然"必為奇數(shù),偶數(shù)不成立.

11Q

當(dāng)〃=1,3,5,7,9時(shí),有（一.尸=緒）”-1＞奇................................15分

當(dāng)”=1時(shí)，顯然成立.

當(dāng)〃=3時(shí)，（看尸一卷＜0,所以當(dāng)〃=3時(shí)不成立.

因?yàn)閥=（《）"T單調(diào)遞減，所以"=5,7,9也不成立............................16分

0

綜上，該同學(xué)只有1天中午選擇冰糖雪梨湯的概率大于蘋果百合湯的概率.........17分

19.（1）解:y'Cz）=2eT+a........................................................1分

當(dāng)a＞0時(shí)殳）＞0在R上恒成立，即/Cr）在R上單調(diào)遞增....................2分

當(dāng)aVO時(shí),由/'（Z）＞0,得x＞ln（—,由/'（才）