2021年12月第38屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽理論試題（含答案解析）

第38屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題

（2021年12月12日上午9:00-12:00）

考生必讀

1、考生考試前請(qǐng)務(wù)必認(rèn)真閱讀本須知。

2、本試題共7頁(yè)，總分為320分。

3、如遇試題印刷不清楚的情況，請(qǐng)務(wù)必向監(jiān)考老師提出。

4、需要閱卷老師評(píng)閱的內(nèi)容一定要寫在答題紙相應(yīng)題號(hào)后面的空白處；閱卷老師只評(píng)閱答題

紙上的內(nèi)容；寫在試題紙和草稿紙上的解答一律不被評(píng)閱。

一、（64分）一個(gè)不透明薄片上的小圓孔如圖la中黑I

色之間的部分所示，半徑OM為L(zhǎng)OOmm。用波長(zhǎng)

4=632.8nm的氫位激光作為光源從小孔左側(cè)平行正M

入射。在垂直于小孔的對(duì)稱軸上右側(cè)有某個(gè)點(diǎn)P;相t

對(duì)于P點(diǎn)，小孔處的波面可視為半波帶的組合：以P63一一

點(diǎn)為球心，P點(diǎn)到小孔中心O的距離為4（r0?A）,

分別以4+色、ZJ+2X-,4+3x2、…為半徑做球|

222圖la

面，將小孔所在平面的波面劃分成N個(gè)環(huán)帶（N為自

然數(shù)），P點(diǎn)到小孔邊緣M的距離為4+N&,半徑最小的環(huán)帶則是一個(gè)圓面，這樣劃分出

的環(huán)帶稱為半波帶（因?yàn)橄噜彮h(huán)帶的相應(yīng)邊緣到P點(diǎn)的光程差為人）。顯然，環(huán)帶的數(shù)目N

2

決定了P點(diǎn)的位置。在需要將原有半波帶重新劃分或合并時(shí)，只考慮將已有的每個(gè)半波帶

重新劃分為若干個(gè)新的半波帶，或者將已有的若干個(gè)半波帶重新合并為一個(gè)新的半波帶。

（1）（8分）若N=2〃+l,試分別求相應(yīng)于”=0和〃=1時(shí)P點(diǎn)的位置P°（P°為軸上最右

側(cè)的亮點(diǎn)，稱為主焦點(diǎn)）和耳（耳也為亮點(diǎn)，稱為|

次焦點(diǎn)）。I

（2）（24分）若N=4（4級(jí)波帶片），且在第1、3

半波帶放置透明材料（圖1b中灰色部分），使通過(guò)-----------------9---———

；°4琮

該透明材料的光增加尹程。求：

（i）（8分）此4級(jí)波帶片的主焦點(diǎn)斗的位置；|

（ii）（8分）緊鄰主焦點(diǎn)琮左側(cè)暗點(diǎn)巴的位置；圖北

（iii）（8分）緊鄰主焦點(diǎn)PJ右側(cè)暗點(diǎn)P；的位置。

（3）（32分）波帶片不僅可|

以實(shí)現(xiàn)平行光的聚焦，還可以|

成像。以上的4級(jí)波帶片平行

光的聚焦過(guò)程，相當(dāng)于物距無(wú),?_________________________________________________?

窮遠(yuǎn)、像距等于焦距的情形。$°;s，

將一個(gè)點(diǎn)光源（物）置于軸上|

。點(diǎn)左側(cè)3m處的S點(diǎn)，其像|

點(diǎn)為SL如圖1c所示。圖1c

1

（i）（10分）4級(jí)波帶片主焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的像距OS'是多少？并驗(yàn)證成像公式是否滿足。

（ii）（8分）如果該波帶片所成的像不是唯一的，軸上還有其他像點(diǎn)，那么距離第（3）

（i）問(wèn)所得到的像點(diǎn)最近的另一個(gè)像點(diǎn)在哪里？與此成像過(guò)程對(duì)應(yīng)的次焦點(diǎn)的焦距是多

少？（不能應(yīng)用成像公式）

（iii）（14分）如果將物放置于此波帶片左側(cè)，與0點(diǎn)距離為0P//2,求分別將4級(jí)

波帶片的主焦點(diǎn)和（3）（ii）所述的次焦點(diǎn)作為焦點(diǎn)而成的像的類型（虛像或?qū)嵪瘢┡c位置。

（不能應(yīng)用成像公式）

二、（64分）2021年6月神州12載人火箭與天宮太空站成功對(duì)接，這里涉及到追擊者（神

州12火箭）與目標(biāo)（太空站）在繞地軌道相遇的問(wèn)題。

本題采用霍爾曼變軌方案來(lái)探究追擊者如何改變速度

（速率和方向）與固定軌道上的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)對(duì)接（相遇）。

如圖2a,目標(biāo)A和追擊者c都在以半徑為4的圓

軌道上以速率。。逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。在0時(shí)刻兩者的位置分

別為

%=4,%=°，rA,i=rcJ=r0

在此時(shí)刻，追擊者c瞬間點(diǎn)火，速度瞬間改變Av（如

圖2b所示）；c的軌道也從半徑為"的圓軌道瞬間變?yōu)閳D

所示的橢圓軌道，橢圓軌道的長(zhǎng)軸與極軸方向（中心到點(diǎn)

時(shí)c的位置的連線）之間的夾角為。（。是沿順時(shí)針?lè)较?/p>

量的）。c的運(yùn)動(dòng)方向與極軸方向之間的夾角記為Q（Q正

向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颍?c與中心相距《（Q）。

（1）（10分）若飛行物的質(zhì)量機(jī)、能量E（實(shí)際為飛行

和地球組成系統(tǒng)的總機(jī)械能）和角動(dòng)量￡均為已知量，試

E、L、m和題給的已知參量%、%等來(lái)表示軌道參量］

￡。已知：正橢圓軌道（長(zhǎng)軸沿極軸方向）在極坐標(biāo)下的

式（原點(diǎn)取為右焦點(diǎn)）為

r（6＞）=---

1+2C0S。

其中，R是軌道尺寸參量，￡是軌道偏心率，統(tǒng)稱為軌

道參量。

（2）（6分）寫出點(diǎn)火（見(jiàn)圖2c）后追擊者c的軌道7（4）

的表達(dá)式，用“、偏心率￡和。表示。

（3）（6分）寫出點(diǎn)火后追擊者c的軌道周期7；與目標(biāo)

A的周期7；之比7；/1，用￡和。表示。

（4）（18分）定義兩個(gè)點(diǎn)火參數(shù)（見(jiàn)圖2b）：無(wú)量綱

的速度大小改變率6=電,△。與外之間的夾角a（重

°。

合時(shí)a=0,順時(shí)針?lè)较蛉檎较颍Ｔ囉命c(diǎn)火參數(shù)5和a來(lái)表示追擊者c的軌道的偏心率

￡和￡COS°o

（5）（9分）考慮追擊者c和目標(biāo)A在第一類軌道匯合點(diǎn)（見(jiàn)圖2c）相遇的情形。設(shè)自0

時(shí)刻起目標(biāo)A經(jīng)過(guò)第一類軌道匯合點(diǎn)的次數(shù)為"A，追擊者c經(jīng)過(guò)第一類軌道匯合點(diǎn)的次數(shù)

（起始時(shí)不計(jì)在內(nèi)）為電。在0時(shí)刻，%=00,%=0。求%，用%、4、￡和。表示。

2

（6）（3分）將"A用S、a表出，固定5,試求函數(shù)〃A（a）相對(duì)于a變化的兩個(gè)簡(jiǎn)單、明顯

的極值點(diǎn)/（以便即使噴火時(shí)角度a相對(duì)于為有一些偏差，但解依然近似成立，便于成功

對(duì)接）。

（7）如果取上述兩個(gè)％值之一，

（i）（6分）3值有一個(gè)上限般x（即若5＞黑x，追擊者c和目標(biāo)A不會(huì)相遇），求黑,；

（ii）（6分）令或的初始值為4，試寫出6與4、”A、』的關(guān)系式；并求當(dāng)d='|、

〃A=2、&=1時(shí)6的值。

三、（64分）宇宙中可能有四分之一的物質(zhì)是以暗物質(zhì)的形式存在的。暗物質(zhì)可能是由一種

新的基本粒子構(gòu)成的。人們一直在尋找暗物質(zhì)粒子和已知的粒子之間的相互作用，其中一類

重要的實(shí)驗(yàn)是尋找暗物質(zhì)粒子和原子核之間的相互作用。這類實(shí)驗(yàn)一般是以某種材料作為靶

物質(zhì)，當(dāng)暗物質(zhì)粒子飛入探測(cè)器時(shí)會(huì)和靶物質(zhì)的原子核發(fā)生碰撞。在這個(gè)過(guò)程中原本幾乎靜

止的原子核會(huì)從暗物質(zhì)粒子得到一部分動(dòng)能，從而在靶物質(zhì)中運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生光信號(hào)和電信號(hào)。

暗物質(zhì)探測(cè)器可以探測(cè)到這些信號(hào)從而對(duì)暗物質(zhì)進(jìn)行觀測(cè)。

（1）（35分）選取靶物質(zhì)為沆同位素原子核3xe,假設(shè)暗物質(zhì)粒子X(jué)和3xe核的質(zhì)量都是

質(zhì)子質(zhì)量%的132倍；在粒子X(jué)和"xe核的質(zhì)心系中，散射是各向同性的（出射粒子在各

個(gè)方向上出現(xiàn)的概率相等）。設(shè)有一個(gè)暗物質(zhì)粒子X(jué)以大小為200km/s的速度沿z方向進(jìn)

入探測(cè)器，與靜止的靶核⑶Xe碰撞。試推導(dǎo)實(shí)驗(yàn)室系（碰撞前相對(duì)于靶核⑶Xe靜止的參考

系）中碰撞后，

（i）（12分）3xe核的動(dòng)量與其出射角的關(guān)系；

（ii）（16分）^Xe核的角分布（按其出射角的概率分布）；

（出）（7分）及xe核動(dòng)能的分布。

（2）（11分）人們常常用散射截面來(lái)表示兩個(gè)粒子之間相互作用的大小，散射截面類似于

某種橫截面積，而橫截面積可理解為兩個(gè)粒子之間發(fā)生碰撞時(shí)的有效面積。例如，兩個(gè)半徑

分別為乙和々的剛性小球之間碰撞的橫截面積為?；?々）2,這就是兩小球碰撞的散射截面。

現(xiàn)在探測(cè)器中有1.0t值原子，暗物質(zhì)粒子X(jué)和3xe核之間碰撞的散射截面為1.0*10-38加2；

假設(shè)所有的暗物質(zhì)粒子X(jué)的速度大小都是200km/s,假設(shè)在地球附近的暗物質(zhì)的密度為

0.40嗎/cm,試求這個(gè)探測(cè)器里每年能發(fā)生多少次暗物質(zhì)粒子X(jué)和.Xe核之間的碰撞？阿

佛加德羅常數(shù)義=6.023xl02,為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假設(shè)質(zhì)子靜質(zhì)量為l.Og/mol。

（3）（7分）探測(cè)器探測(cè)到的信號(hào)是由⑶Xe核在碰撞過(guò)程中所得到的動(dòng)能產(chǎn)生的。然而，只

有當(dāng)該動(dòng)能超出探測(cè)器的閾值時(shí)這個(gè)信號(hào)才能被記錄下來(lái)。假設(shè)這個(gè)閾值為10keV,試估算

這個(gè)探測(cè)器每年可以探測(cè)到多少個(gè)暗物質(zhì)粒子X(jué)與3Xe核發(fā)生了碰撞？質(zhì)子的靜質(zhì)量為

0.94GeV/c2,c是真空中的光速。

（4）（3分）銀河系中的暗物質(zhì)粒子的速率服從一定的分布/（。），暗物質(zhì)粒子的速率有一個(gè)

上限，即當(dāng)。時(shí)，〃。）=。。請(qǐng)回答這個(gè)上限是由什么造成的？

（5）（8分）對(duì)于地球上的實(shí)驗(yàn)室參考系，暗物質(zhì)粒子速度分布的上限是真空中光速的0.002

倍。另外，我們實(shí)際上也不知道暗物質(zhì)粒子的質(zhì)量是多少。請(qǐng)問(wèn)當(dāng)暗物質(zhì)粒子的質(zhì)量小于多

少時(shí)，上面的探測(cè)器將不可能探測(cè)到暗物質(zhì)的信號(hào)？

四、（64分）在生物體中電相互作用起著很重要的作用。將一個(gè)類DNA的酸性分子放入水

中，分子上一些松散附著的原子可能解離，正離子漂走，留下一些電子，使這個(gè)大分子帶負(fù)

電。類似地，水中的細(xì)胞膜也會(huì)因此而帶上負(fù)電，它們之間的靜電排斥作用可使這些大分子

3

或細(xì)胞避免“結(jié)塊”。由于物質(zhì)本身是電中性的，溶液中漂浮著的大量正離子，會(huì)使這些大

分子之間的靜電力隨距離衰減。在常溫T下考察以下問(wèn)題：

（1）（31分）（i）（7分）考慮帶負(fù)電的細(xì)胞膜外側(cè)（朝向正離子漂浮的區(qū)域）附近靠近其

表面的區(qū)域。此時(shí)細(xì)胞膜可視為無(wú)限大平面。取x軸垂直于細(xì)胞膜外表面，方向指向膜外側(cè)，

原點(diǎn)在膜外表面上。膜周圍溶液的介電常量為￡,膜外表面上均勻分布的面電荷密度為-b

（b>0）。系統(tǒng)與環(huán)境保持熱平衡。由于靜電作用，溶液中各處正離子的密度并不均勻，但

可認(rèn)為各局域部分都是平衡態(tài)。此時(shí)正離子的行為與地面上大氣分子的行為類似，只是這里

正離子受到靜電場(chǎng)作用，而大氣分子受到重力場(chǎng)作用。取緊靠膜外表面處正離子數(shù)密度n0

為待定常量。試寫出膜外表面附近電勢(shì)夕滿足的微分方程。已知電子電量為-e,正離子電

量為+e,玻爾茲曼常量為依忽略重力和水的浮力。提示：玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)認(rèn)為，粒子處于

能量為E的狀態(tài)的幾率正比于exp（-二），T為粒子所處平衡態(tài)的絕對(duì)溫度。

kT

（ii）（3分）細(xì)胞膜表面內(nèi)的液狀組織可認(rèn)為是導(dǎo)電的；選取膜表面上的電勢(shì)為零。試

寫出在膜外表面上電勢(shì),p滿足的邊界條件。

（iii）（10分）在給定的邊界條件下，取對(duì)數(shù)函數(shù)°（x）=/ln（l+&）作為第（1）⑴問(wèn)

中得到的微分方程的試探解。試定出常量飛、42的值，并將0（x）和"（x）（在x處的正離子

數(shù)密度）用b、￡、7、e、左表出；

Civ）（3分）試驗(yàn)證，所求得的”（x）保證了整個(gè)系統(tǒng)是電中性的。

（v）（8分）求以帶電的膜外表面單位面積為底的足夠高的柱形體積內(nèi)的靜電場(chǎng)能q,

以及同一體積中的所有正離子在靜電場(chǎng)中的總電勢(shì)能上。

（2）（33分）考慮兩個(gè)細(xì)胞彼此靠近的情形。兩個(gè)細(xì)胞膜外側(cè)及它們之間的這個(gè)系統(tǒng)，可

用這樣的簡(jiǎn)化模型研究：已知兩個(gè)均勻帶負(fù)電的無(wú)限大平行平板各帶面電荷密度-b,相互

之間距離為2。。兩板正中間處選為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸垂直于平板，原點(diǎn)電勢(shì)選為零，原點(diǎn)處

的正離子數(shù)密度小作為待定參量。取函數(shù)以無(wú)）=/ln[cos（&）]作為微分方程的試探解。

（i）（4分）由夕（x）滿足的微分方程定出常量43,用7、￡、e、k、“口表出。

（ii）（8分）求“0,用。、b、￡、「、e、％、9（若遇到超越方程，不必求解，該方程在物

理區(qū)域的解記為0）表出。

（iii）（5分）給出正離子在細(xì)胞外表面處與兩膜中心處的粒子數(shù)密度之差

Az;=n（±D）-n0,用cr、￡、7、人表出。

（iv）（3分）試驗(yàn)證，所求得的“（X）保證了整個(gè)系統(tǒng)是電中性的。

（v）（5分）試給出帶電平面（細(xì)胞膜）單位面積上所受的作用力的合力。己知細(xì)胞膜

內(nèi)外都充滿了密度相同的水。提示：正離子在水中的行為與理想氣體類似，且局域地處于熱

平衡。

（vi）（8分）如果其它條件不變，在兩平板仍可視為無(wú)限大的前提下，試討論在近距離

和遠(yuǎn)距離兩種不同的極限情形下，帶電平面單位面積上所受的作用力的合力大小如何隨距離

。而改變？

五、（64分）（1）（21分）一個(gè)電子的自旋磁矩為

式中-e（e>0）是電子電荷，加是電子質(zhì)量，一是電子的荷質(zhì)比；S是自旋角動(dòng)量，其z

4

分量，只能取兩個(gè)值，自旋向上時(shí)，=!力，向下時(shí)，=-工力，其中方=2，〃是普朗克常

-222兀

量。假設(shè)一個(gè)分子或原子的磁矩等于一個(gè)電子的自旋磁矩。

（i）（14分）將順磁體置于外磁場(chǎng)中，由于其分子的磁矩平行或反平行于磁場(chǎng)方向排列

的幾率發(fā)生變化而產(chǎn)生磁化；磁化程度用單位體積內(nèi)的磁矩（磁化強(qiáng)度）M描述，M=XH,

其中力為磁化率，"三巨-用為磁場(chǎng)強(qiáng)度，3為磁感應(yīng)強(qiáng)度，〃。為真空磁導(dǎo)率。在通常溫

Ao

度7（絕對(duì)溫度）下‘kT>A（左為玻爾茲曼常量）；設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度5是均勻

的，順磁體的分子數(shù)密度為"，試?yán)貌柶澛y(tǒng)計(jì)導(dǎo)出順磁體的磁化率滿足力=c",并給

_E_

出。的表達(dá)式。已知：玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)認(rèn)為，粒子處在某個(gè)能量狀態(tài)的幾率正比于一百，其中

E為該狀態(tài)的能量，7為粒子所處平衡態(tài)的絕對(duì)溫度。

（ii）（7分）鐵磁體不同于順磁體：在居里溫度以下，鐵磁體可以在沒(méi)有外磁場(chǎng)的環(huán)境

中產(chǎn)生并保持比較強(qiáng)的磁性，此稱為自發(fā)磁化；自發(fā)磁化產(chǎn)生“磁疇”，每個(gè)“磁疇”中分子磁

矩均沿著同一方向排列（順排），此時(shí)鐵磁體處于鐵磁相。磁矩發(fā)生順排的原因是因?yàn)榱孔?/p>

效應(yīng)，也可以認(rèn)為里面有很強(qiáng)的等效磁場(chǎng)，外斯稱其為“分子場(chǎng)”?！胺肿訄?chǎng)”比一個(gè)自旋磁矩

在原子間距上產(chǎn)生的磁場(chǎng)大3個(gè)量級(jí)左右。在居里溫度以上，鐵磁體轉(zhuǎn)變?yōu)轫槾朋w，它的磁

化率遵從居里-外斯定律力=二（其中e為居里溫度），與通常的順磁體有差異，其差異

來(lái)自于鐵磁體內(nèi)部的“分子場(chǎng)”Hm,凡，可表示為8",=7"。假設(shè)鐵磁體的分子數(shù)密度亦

為"，試給出/的表達(dá)式（居里溫度6可視為已知量）；并導(dǎo)出在所有磁矩都是順排的情形

下分子場(chǎng)的表達(dá)式。

（2）（9分）在鐵磁晶體中原子是在周期性的格點(diǎn)上排列的。每個(gè)原子所感受到的磁場(chǎng)可理

解為其最近鄰格點(diǎn)上的原子提供的“分子場(chǎng)”的平均值。

（i）（7分）考察如圖5a所示

AAAA

的一維晶格自旋系統(tǒng)，所有格

點(diǎn)上的磁矩都是順排的。這個(gè)

系統(tǒng)的居里溫度為假設(shè)上a

圖5a

一問(wèn)中導(dǎo)出的Hm與。之間的

關(guān)系仍然成立，且此系統(tǒng)包含N（N>>1）個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)上有一個(gè)原子；當(dāng)發(fā)生自發(fā)磁

化后，原子的自旋平行排列，這樣的排列會(huì)使系統(tǒng)能量最低。試給出此時(shí)一個(gè)自旋在其最近

鄰格點(diǎn)上產(chǎn)生的等效磁場(chǎng)、以及整個(gè)系統(tǒng)的磁能。

（ii）（2分）假設(shè)這個(gè)一維晶

格自旋系統(tǒng)中的某一個(gè)非端

點(diǎn)晶格上的自旋發(fā)生翻轉(zhuǎn)，變

為反平行排列，如圖5b所示。a

圖5b

相比于圖5a的情形，系統(tǒng)的

能量增加了多少？

（3）（17分）若原子自旋交替

反向排列，則稱為反鐵磁體。

反鐵磁體具有特殊的晶格結(jié)

ABAB

構(gòu)：該結(jié)構(gòu)由A位晶格和B位a

圖5c

晶格組成，如圖5c所示。A位

的最近鄰都是B,次近鄰才是A；B位類似。反鐵磁體的最近鄰“分子場(chǎng)”與鐵磁體的方向相

5

反，而且除了最近鄰自旋之外，次近鄰自旋對(duì)“分子場(chǎng)”也有貢獻(xiàn)。此時(shí)，A、B位的“分

子場(chǎng)”可分別表示為

"mA=—=AB〃B—”AA〃A，"mB二一"AB〃A—^BB^B，

式中，〃A、分別是A、B位上自旋磁矩。設(shè)所有A位原子都是相同的，所有B位原子

也都是相同的，則ag==B，4>位1。

（i）（5分）試給出具有N個(gè)格點(diǎn)（A、B各有N/2個(gè)格點(diǎn)）的反鐵磁體的磁能;

（ii）（12分）奈爾溫度是指高出這個(gè)溫度時(shí)，反鐵磁相消失，反鐵磁體呈順磁性。這

時(shí)，A位晶格和B位晶格的磁化強(qiáng)

度和磁場(chǎng)分別滿足

CC

M.=————“B，

A2rjiHA，MDB=rjt

這里系數(shù)C與第（1）（i）問(wèn)中的類

同。試給出一維反鐵磁體的奈爾溫

度。

（4）（17分）下面考慮另一種情境:

原子分布在晶格常數(shù)為。的二維

x-y平面內(nèi)的正方點(diǎn)陣上,原子的磁

矩可在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖5d,在尺

寸為L(zhǎng)CL?a）的平面區(qū)域內(nèi)，

磁矩分布由各點(diǎn)上的箭頭所示。由

于“分子場(chǎng)”效應(yīng)，磁矩之間具有比

較強(qiáng)的相互作用，這種作用只明顯

存在于最近鄰分子之間。設(shè)此平面

內(nèi)第i個(gè)格點(diǎn)上的自旋角動(dòng)量S,與

x軸的夾角為目€[0,2兀],系統(tǒng)磁能

可表示為

EQ4｝）=_J，eS「Sj

=-J^cos（6>-6>y）

其中/、J（/、J>0）為常量，?,力

代表所有最近鄰（一個(gè)格點(diǎn)一般有四

個(gè)最近鄰的格點(diǎn)）的格點(diǎn)i和，，系統(tǒng)

構(gòu)型由花｝給出。假設(shè)系統(tǒng)與環(huán)境達(dá)到

熱平衡，系統(tǒng)體積不變，此時(shí)亥姆赫

茲自由能為尸=￡-小，其中￡為系統(tǒng)

內(nèi)能，S為系統(tǒng)端。

（i）（3分）系統(tǒng)中可能存在的渦

旋構(gòu)型如圖5e所示。沿著圍繞渦旋中

心的閉合回路走一圈，該閉合回路上圖5e

6

最近鄰格點(diǎn)力的磁矩取向角之差的和為

2（4心）=2兀/

。,力

這里，/是與渦旋結(jié)構(gòu)有關(guān)的一個(gè)正整數(shù)，/=1的情形如圖5e所示。為方便起見(jiàn)，考慮以

渦旋中心為圓心、較大半徑為r的閉合回路（圓），試求圓上相鄰格點(diǎn)取向角之差的平均值

（ii）（5分）當(dāng)圍繞渦旋中心的回路半徑/?比較大時(shí)，可近似認(rèn)為磁矩依次排列成半徑

差為°的一系列同心圓，相鄰?fù)膱A上最近鄰磁矩之間的夾角可認(rèn)為是零。半徑小的區(qū)域也

作同樣近似，對(duì)總能量影響不大。由此估算圖5e所示的一個(gè)渦旋系統(tǒng)的能量。

（iii）（3分）如果渦旋的中心放在不同的位置，則可以認(rèn)為系統(tǒng)處于不同的狀態(tài)。假

設(shè)在尺寸為￡、晶格常數(shù)為。的正方點(diǎn)陣上只有一個(gè)渦旋，試估算可能的狀態(tài)數(shù)A,進(jìn)而計(jì)

算系統(tǒng)的崎S三人In。。

（iv）（6分）若系統(tǒng)存在某個(gè)溫度，高于或低于此溫度，系統(tǒng)性質(zhì)有明顯不同，則可

能發(fā)生了相變。對(duì)于一個(gè)渦旋系統(tǒng)，找出可能的相變溫度，并加以說(shuō)明。

7

第38屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題與參考解答

一、（64分）一個(gè)不透明薄片上的小圓孔如圖la中黑I.

色之間的部分所示，半徑OM為1.00mm。用波長(zhǎng)

2=632.8nm的氮覆激光作為光源從小孔左側(cè)平行正M

入射。在垂直于小孔的對(duì)稱軸上右側(cè)有某個(gè)點(diǎn)P；相出

對(duì)于P點(diǎn)，小孔處的波面可視為半波帶的組合：以P01"一一

點(diǎn)為球心，P點(diǎn)到小孔中心O的距離為%.

分別以％+￡、4+2x,、%+3x白、…為半徑做球|

圖la

面，將小孔所在平面的波面劃分成N個(gè)環(huán)帶（N為自

然數(shù)），P點(diǎn)到小孔邊緣M的距離為4+N],半徑最小的環(huán)帶則是一個(gè)圓面，這樣劃分出

的環(huán)帶稱為半波帶（因?yàn)橄噜彮h(huán)帶的相應(yīng)邊緣到P點(diǎn)的光程差為4）。顯然，環(huán)帶的數(shù)目N

2

決定了P點(diǎn)的位置。在需要將原有半波帶重新劃分或合并時(shí)，只考慮將已有的每個(gè)半波帶

重新劃分為若干個(gè)新的半波帶，或者將已有的若干個(gè)半波帶重新合并為一個(gè)新的半波帶。

（1）（8分）若N=2"+l,試分別求相應(yīng)于〃=0和”=1時(shí)P點(diǎn)的位置P0（P。為軸上最右

側(cè)的亮點(diǎn)，稱為主焦點(diǎn)）和R也為亮點(diǎn)，稱為|

次焦點(diǎn)）。|

（2）（24分）若N=4（4級(jí)波帶片），且在第1、3

半波帶放置透明材料（圖1b中灰色部分），使通過(guò)-----------------

oP'i以]

該透明材料的光增加，光程。求；

（i）（8分）此4級(jí)波帶片的主焦點(diǎn)以的位置；|

（ii）（8分）緊鄰主焦點(diǎn)以左側(cè)暗點(diǎn)巴的位置；圖北

（iii）（8分）緊鄰主焦點(diǎn)以右側(cè)暗點(diǎn)舁的位置。

（3）（32分）波帶片不僅可|

以實(shí)現(xiàn)平行光的聚焦，還可以|

成像。以上的4級(jí)波帶片平行

光的聚焦過(guò)程，相當(dāng)于物距無(wú)一._________________________________________________.

窮遠(yuǎn)、像距等于焦距的情形。$

將一個(gè)點(diǎn)光源（物）置于軸上I

O點(diǎn)左側(cè)3m處的S點(diǎn)，其像|

點(diǎn)為卜，如圖1c所示。圖ic

（i）（10分）4級(jí)波帶片

主焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的像距OS，是多少？并驗(yàn)證成像公式是否滿足。

（ii）（8分）如果該波帶片所成的像不是唯一的，軸上還有其他像點(diǎn)，那么距離第（3）

（i）問(wèn)所得到的像點(diǎn)最近的另一個(gè)像點(diǎn)在哪里？與此成像過(guò)程對(duì)應(yīng)的次焦點(diǎn)的焦距是多

少？（不能應(yīng)用成像公式）

（iii）（14分）如果將物放置于此波帶片左側(cè)，與O點(diǎn)距離為OP：/2,求分別將4級(jí)

波帶片的主焦點(diǎn)和（3）（ii）所述的次焦點(diǎn)作為焦點(diǎn)而成的像的類型（虛像或?qū)嵪瘢┡c位置。

（不能應(yīng)用成像公式）

1

參考解答：

（1）（8分）對(duì)于焦點(diǎn)P,固定點(diǎn)P0和PM的距離差為1/2波長(zhǎng)。設(shè)P到小孔中心的距離為

r0（P點(diǎn)位置坐標(biāo)為x）,由半波帶法有

次+.=^+y①

式中R是小圓孔半徑。利用題給數(shù)據(jù)得

2

1.00+x；=（x0+0.3164x10一3）2,

式中為=/mmo由此得

=1580mm②（4分）

設(shè)3波帶焦點(diǎn)耳到小孔中心的距離為耳（耳位置坐標(biāo)為王），由半波帶法有

卜+,=4+（2xl+l）g（3）

利用題給數(shù)據(jù)得

2-32

1.00+xf=（x1+3x0.3164xl0）,

式中a=%mm。由此得

rx=527mm（4）（4分）

（2）（i）（8分）由于灰色部分增加了1/2波長(zhǎng)，導(dǎo)致所有波帶到達(dá)固定點(diǎn)P；時(shí)，其光程差

同中心波帶的光程差變?yōu)?,九，九，因此四個(gè)波帶在固定點(diǎn)琮處并非兩兩相消，而是共同增

強(qiáng)，形成焦點(diǎn)。在計(jì)算幾何長(zhǎng)度時(shí)，最外側(cè)波帶外緣的幾何長(zhǎng)度與中心軸線的幾何長(zhǎng)度相比,

增加2人，故

卜+力=4+2%⑤（4分）

利用題給數(shù)據(jù)得

1.002+x,2=（xr+4x0.3164xlO-3）2,

式中療=/mm。由此得

“'=395mm⑥（4分）

（ii）（8分）緊鄰焦點(diǎn)以左側(cè)的暗點(diǎn)匕出現(xiàn)于進(jìn)一步劃分波帶片為8個(gè)波帶結(jié)構(gòu)，

封+以=,+4.⑦（4分）

利用題給數(shù)據(jù)得

1.002+%7=（X」+8x0.3164xmy,

式中=X：］mmo由此得到暗點(diǎn)P1］坐標(biāo)為

匕=198mm⑧（4分）

（出）（8分）緊鄰焦點(diǎn)以右側(cè)的暗點(diǎn)凡出現(xiàn)于四個(gè)波帶兩兩歸并，整體視為兩個(gè)波帶

時(shí)出現(xiàn)：

西+瑞=.+.⑨（4分）

利用題給數(shù)據(jù)得

2

1.0。2+兀］2=（篇+2x03164）2,

式中匕=Kimmo得到暗點(diǎn)P。坐標(biāo)為

￡=790mm⑩（4分）

（3）（i）（10分）光線從波帶片最外側(cè)經(jīng)轉(zhuǎn)折到達(dá)像點(diǎn)時(shí)，其幾何路徑長(zhǎng)度和軸線相比，增

加了24。方程為

Js%+R2+Jsj+R?=§物+s像+4Xy?（4分）

式中S物=OS,S像=os\利用題給數(shù)據(jù)得

222

A/3000+1.00+1.00=3000+x2+2A

式中s像=x2mmo由此解出

s像=455mm?（4分）

成像公式為

代入題給數(shù)據(jù)得

f=395mm?（2分）

和4級(jí)波帶片焦距成即⑥式一致，成像公式成立。

（ii）（8分）下一個(gè)像點(diǎn)，需要將4級(jí)波帶片拆解為12級(jí)波帶片。因此上一問(wèn)中所表述的

路徑差即為6九，方程為

+R?++R。=s物+s%+3x4x萬(wàn)?（2分）

利用題給數(shù)據(jù)得

222

A/3000+1.00+7^3+1.00=3000+x3+62

式中s%=x3mm。由此解出

5^=137mm?（2分）

對(duì)應(yīng)的次焦點(diǎn)是將4級(jí)波帶片拆解為12級(jí)波帶片時(shí)對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)。每個(gè)波帶片按照奇數(shù)

次拆分時(shí)可獲得對(duì)應(yīng)的新的次級(jí)焦點(diǎn)，因此4級(jí)波帶片中的每個(gè)波帶需拆分為3個(gè)波帶才

能獲得此次焦點(diǎn)。

“2+.2=/，+3x4xg?（2分）

其中/'為次焦點(diǎn)的焦距。利用題給數(shù)據(jù)得

7/，2+1.002=f'+6A

由此解出：

/r=132mm?（2分）

3

即次焦距為132mm。

（iii）（14分）考慮將4級(jí)波帶片的主焦點(diǎn)作為焦點(diǎn)而成的像。由于物點(diǎn)在左側(cè)主焦點(diǎn)和波

帶片之間，仍然在左側(cè)。由⑥式或?式知

于=%=395mni,

據(jù)題意知物距為

f

s物=3=198mm?

設(shè)像距為sQ則

Js二+—2++R2=5物+s[+4x—?（3分）

利用題給數(shù)據(jù)得

222

A/198+1.00+7X4+1.00=198+X4+22

式中s%=X4inm。由此解出

Sg=-396mm,?（2分）

即該像點(diǎn)為虛像，在左側(cè)焦點(diǎn)位置。?（2分）

考慮將在第（3）（ii）小問(wèn)中所述的次焦點(diǎn)作為焦點(diǎn)所成的像。設(shè)像距為感，則

&+R2+反+*=%+SQ3x4x1?（3分）

利用題給數(shù)據(jù)得

222

7198+l+7%f+1=198+x5+6/l

式中s*=x5mmo由此解出

5^=393mm,@（2分）

即該像點(diǎn)為實(shí)像，在波帶片右側(cè)393mm處的位置。?（2分）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：

第（1）問(wèn)8分，②④式各4分；

第（2）問(wèn)24分，

第（i）小問(wèn)8分，⑤⑥式各4分；

第（ii）小問(wèn)8分，⑦⑧式各4分；

第（iii）小問(wèn)8分，⑨⑩式各4分；

第（3）問(wèn)32分，

第（i）小問(wèn)10分，??式各4分，?式2分；

第（ii）小問(wèn)8分，????式各2分；

第（iii）小問(wèn)14分，?式3分，??式各2分，?式3分，③式2分，結(jié)論?式2分。

4

二、（64分）2021年6月神州12載人火箭與天宮太空站成功對(duì)接，這里涉及到追擊者（神

州12火箭）與目標(biāo)（太空站）在繞地軌道相遇的問(wèn)題。

本題采用霍爾曼變軌方案來(lái)探究追擊者如何改變速度

（速率和方向）與固定軌道上的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)對(duì)接（相遇）。

如圖2a,目標(biāo)A和追擊者c都在以半徑為4的圓

軌道上以速率。。逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。在0時(shí)刻兩者的位置分

別為

名,=4,%=。，K產(chǎn)％=4

在此時(shí)刻，追擊者C瞬間點(diǎn)火，速度瞬間改變（如

圖2b所示）；c的軌道也從半徑為4的圓軌道瞬間變?yōu)閳D2c

所示的橢圓軌道，橢圓軌道的長(zhǎng)軸與極軸方向（中心到點(diǎn)火

時(shí)c的位置的連線）之間的夾角為。（。是沿順時(shí)針?lè)较驕y(cè)

量的）。c的運(yùn)動(dòng)方向與極軸方向之間的夾角記為Q（Q正方

向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颍?c與中心相距1（Q）-

（1）（10分）若飛行物的質(zhì)量〃八能量E（實(shí)際為飛行物

和地球組成系統(tǒng)的總機(jī)械能）和角動(dòng)量工均為已知量，試用

E、L、切和題給的已知參量%、%等來(lái)表示軌道參量R、

￡。已知：正橢圓軌道（長(zhǎng)軸沿極軸方向）在極坐標(biāo)下的形圖2b

式（原點(diǎn)取為右焦點(diǎn)）為

1+2C0S。

其中，R是軌道尺寸參量，￡是軌道偏心率，統(tǒng)稱為軌

道參量。

（2）（6分）寫出點(diǎn)火（見(jiàn)圖2c）后追擊者c的軌道MQ）

的表達(dá)式，用“、偏心率￡■和0表示。

（3）（6分）寫出點(diǎn)火后追擊者c的軌道周期7；與目標(biāo)

A的周期7；之比北/北，用￡和。表示。

（4）（18分）定義兩個(gè)點(diǎn)火參數(shù)（見(jiàn)圖2b）：無(wú)量綱圖2c

的速度大小改變率6=3，與%之間的夾角a（重

%

合時(shí)a=0,順時(shí)針?lè)较蛉檎较颍?。試用點(diǎn)火參數(shù)5和a來(lái)表示追擊者c的軌道的偏心率

￡?和€COS°o

（5）（9分）考慮追擊者c和目標(biāo)A在第一類軌道匯合點(diǎn)（見(jiàn)圖2c）相遇的情形。設(shè)自0

時(shí)刻起目標(biāo)A經(jīng)過(guò)第一類軌道匯合點(diǎn)的次數(shù)為"A，追擊者c經(jīng)過(guò)第一類軌道匯合點(diǎn)的次數(shù)

（起始時(shí)不計(jì)在內(nèi)）為電。在0時(shí)刻，%=00,%=0。求力4，用%、為、￡和。表示。

（6）（3分）將〃人用6、a表出，固定試求函數(shù)相對(duì)于&變化的兩個(gè)簡(jiǎn)單、明顯

的極值點(diǎn)/（以便即使噴火時(shí)角度a相對(duì)于為有一些偏差，但解依然近似成立，便于成功

對(duì)接）。

（7）如果取上述兩個(gè)％值之一，

⑴（6分）S值有一個(gè)上限黑，（即若，追擊者c和目標(biāo)A不會(huì)相遇），求黑x；

（ii）（6分）令”的初始值為q，試寫出S與劣、限、/的關(guān)系式；并求當(dāng)為=］、

〃A=2、4=1時(shí)S的值。

5

參考解答：

（1）由軌道方程可知

①（2分）

總能量￡、軌道角動(dòng)量工為守恒量：

L=俏°近樂(lè)=mv^r&=mvr

或

L

v=——②（2分）

mr

系統(tǒng)總能量為

17cz2CI}

E=----1------=------1-------③（2分）

r

&2mr近r&2mr&

其中

C=GMm=m%v：

這里，利用了

GMm說(shuō)

——--=m—

44

由①②③式和。的表達(dá)式得

￡2

R=F~~r④（2分）

mrovQ

⑤（2分）

（2）追擊者c的橢圓軌道點(diǎn)火后變?yōu)槠D(zhuǎn)的橢圓。按題中角度定義，這偏轉(zhuǎn)的橢圓軌道為

^（^0）=--------Z-示⑥（3分）

l+￡COS（q+0）

初始條件為

%=!，當(dāng)q=o

代入⑥式得

R=4（1+￡COS。）⑦（1分）

于是

心善比*⑧（2分）

l+￡COS（q+0）

（3）由⑥式可得點(diǎn)火后的橢圓軌道的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度2a為

2a=b+””+￡cos。）+%（l+￡cos0）=27式1+￡；0$0）⑨（2分）

1+￡1-f1-￡2

目標(biāo)A的軌道長(zhǎng)軸為2%。由開(kāi)普勒第三定律得

導(dǎo)修―「⑩（4分）

6

（4）現(xiàn)將點(diǎn)火后速度用點(diǎn)火參數(shù)表達(dá)。取極坐標(biāo)，徑向（從圓軌道中心即焦點(diǎn)指向追擊者c

所在位置的矢徑方向）速度為

vr=v08sina

切向（垂直于矢徑的方向）速度為

%=%（1+Scosa）?（1分）

由角動(dòng)量Z守恒有

L=mrove=mrovo（l.+8cosa）?（2分）

由?式和

“（1+ECOS0）“（1+ECOS0）

生=-iT；—'位=一二一

得，在近地和遠(yuǎn)地點(diǎn)速率為

L4%(l+bcosa)(1+^)(1+8cosa)

°近二=-------------------------=Vr.

冽生q(l+￡COS/)u1+￡COS。

l+￡?（2分）

Lrovo(1+rJcoscr)(1一g)(l+bcosa)

°遠(yuǎn)==---------------------=Vn

mr遠(yuǎn)樞1+ecos。)1+ECOS0

\-￡

由能量守恒有

C12cL2

E=--------F—mv=----+-------?（2分）

r2r2mr

在遠(yuǎn)地和近地點(diǎn)有

C1i=~~+\mv&

-------1——mv

七2r訴2

此即

(1一￡)。1(1-￡,)(1+8cosa)(1+￡)C1(l+￡)(l+5cosa)

-----------------+-m+—m

“(1+￡COS。)21+ECOS。4(1+￡COS°)21+ecos。

化簡(jiǎn)后有

C2（l+5cosa）2

—二mvQ-----------------

r01+ecos。

利用。的表達(dá)式，上式即

1+￡cos0=(1+5cos。)？

或

8cos°=bcosa(2+8cosa)?（3分）

點(diǎn)火后(，=0)沿軌道徑向速度和切向速度大小之比為

v_3sina_1dry_esin。

r?（3分）

"ol+5cosa41d，J4=01+￡COS。

此即

7

6sina

￡sin/=(l+￡cos°)

l+5cosa

=(1+23cosa+32cos2a)-------------?（1分）

1+8cosa

=5sina(l+5cosa)

由??式得

s=sjl+3cos2a+25cosc(1+cos2a)+81cos2a?（4分）

［（解法二）

現(xiàn)將點(diǎn)火后速度用點(diǎn)火參數(shù)表達(dá)。取極坐標(biāo)，徑向（從圓軌道中心即焦點(diǎn)指向追擊者c所在

位置的矢徑方向）速度為

vr=sina

切向（垂直于矢徑的方向）速度為

（分）

ve=%(l+bcosa)?1

由角動(dòng)量工守恒有

（分）

L-mrQv0=mr0v0fl+8cosa)?2

由④?式得

尺」叫。。（l：S：osa）］2=%（i+5c°se）2?（2分）

由⑦?式得

(1+ecos0)=(1+5cosa/?（2分）

于是

scos0=3cosa(2+8cosa)?（3分）

變速后的能量

lGMm+；加［W(1+bcosa)2+v1S2sin2a~\

E二----------------?（2分）

利用C=GMm=mrovl得

1

E=-mv1+—m［若(1+Scoscz)2+說(shuō)*sin2tz］?（2分）

2

將?式代入⑤式得

a+23cosa(l+cos2tx)+8~cos2a?（4分）

1

（5）在,時(shí)刻兩者相遇，要求：

=nT=nT--^-T

tccAAA?（3分）

利用⑩?式得

3/2

%北綜1+￡COS0