浙江省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章基本圖形(一)第19講特殊三角形第1課時(shí)等腰三角形講解篇

第19講特殊三角形第1課時(shí)等腰三角形1．等腰三角形考試內(nèi)容考試要求概念有兩條邊的三角形是等腰三角形．a(chǎn)性質(zhì)1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，一般有條對(duì)稱軸．2．性質(zhì)1：等腰三角形的兩底角(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)”)．3．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的、底邊上的相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”)．c判定1.有兩邊相等的三角形是等腰三角形；2．有兩角相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)”)的三角形是等腰三角形．2.等邊三角形考試內(nèi)容考試要求概念有條邊相等的三角形叫做等邊三角形．a(chǎn)性質(zhì)1.具有一般等腰三角形的所有性質(zhì)；2．等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都于；3．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，共有條對(duì)稱軸．c判定1.三條邊相等的三角形是等邊三角形；2．三個(gè)角都的三角形是等邊三角形；3．有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形．拓展S等邊△ABC＝eq\f(1,2)ah＝eq\f(\r(3),4)a2，h＝eq\f(\r(3),2)a，其中a為邊長(zhǎng)，h為高．考試內(nèi)容考試要求基本方法求等腰三角形腰上的高，在所給條件不確定的條件下，應(yīng)按頂角為銳角和鈍角兩種情況來考慮：(1)當(dāng)頂角為銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)部；(2)當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外部．c(2017·臺(tái)州)如圖，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是()A．AE＝ECB．AE＝BEC．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABE2．(2017·麗水)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°，則頂角的度數(shù)是____________________．3．(2015·義烏)由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作．小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA＝OB＝18cm，若衣架收攏時(shí)，∠AOB＝60°，如圖2，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是____________________cm.【問題】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D為EC中點(diǎn)．(1)你能從圖中得到哪些信息？(2)求∠CAE的度數(shù)；(3)求證：△ADE是等邊三角形．【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)知識(shí)．類型一等腰三角形的性質(zhì)與判定eq\a\vs4\al(例1)如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)D在BC上．(1)若頂角40°，則一個(gè)底角的度數(shù)為________；(2)若一個(gè)內(nèi)角50°，則頂角的度數(shù)為________；(3)若一個(gè)外角為100°，則頂角的度數(shù)為________；(4)若AD⊥BC，AB＝6，CD＝4，則△ABC的周長(zhǎng)是________．(5)若BD＝DC，∠B＝50°，則∠DAC＝________．(6)若△ABC的兩條邊長(zhǎng)為7cm和14cm，則它的底邊為________cm.【解后感悟】解答此類問題時(shí)要注意角的指代明確性：頂角還是底角、內(nèi)角還是外角；對(duì)于(4)(5)沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況分類討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答．(1)(2016·泰安)如圖，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，則∠P的度數(shù)為()A．44°B．66°C．88°D．92°(2017·紹興模擬)如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，M為CD中點(diǎn)，今以B、M為圓心，分別以BC長(zhǎng)、MC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于P點(diǎn)．若∠PBC＝70°，則∠MPC的度數(shù)為()A．20°B．35°C．40°D．55°(2016·濱州)如圖，△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，則∠CDE的度數(shù)為()A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°(2017·溫州模擬)如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AE，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，若DE＝10cm，則AB＋BD＝cm.類型二等邊三角形的性質(zhì)與判定eq\a\vs4\al(例2)(1)等邊△ABC中，AB＝4，則它的高為________，△ABC的面積為________；(2)如圖1，等邊△ABC中，CD是∠ACB的平分線，過D作DE∥BC交AC于E，△ABC的邊長(zhǎng)為a，則△ADE的周長(zhǎng)是________；(3)如圖2，等邊△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝CD，則∠E的度數(shù)為________；(4)如圖3，等邊△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的點(diǎn)，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，則∠EDF的度數(shù)為__________．【解后感悟】解題的關(guān)鍵是利用現(xiàn)有圖形或畫出圖形，利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，揭示圖形之間的數(shù)量關(guān)系來解決問題．(1)(2016·本溪模擬)如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，則∠BED的度數(shù)是.(2017·上海模擬)如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結(jié)論：①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當(dāng)AB＝AC，∠BAC＝120°時(shí)，四邊形AEFD是正方形．其中正確的結(jié)論是.(請(qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào))．3．(2017·河北模擬)如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，且BD＝AE，AD與CE交于點(diǎn)F.(1)求證：AD＝CE；(2)求∠DFC的度數(shù)．類型三等腰三角形構(gòu)造的分類討論eq\a\vs4\al(例3)(2016·黃岡模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(2，2)，點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，△PQO是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)Q共有______個(gè)．【解后感悟】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是如何確定點(diǎn)Q(即分類討論)，以及利用勾股定理求出OP的長(zhǎng)．(1)(2017·西寧模擬)如圖，等腰直角三角形BDC的頂點(diǎn)D在等邊三角形ABC的內(nèi)部，∠BDC＝90°，連結(jié)AD，過點(diǎn)D作一條直線將△ABD分割成兩個(gè)等腰三角形，則分割出的這兩個(gè)等腰三角形的頂角分別是____________________度．(2016·丹東模擬)如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，BP＝4，∠PBC＝60°，點(diǎn)Q為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，且△PBQ是等腰三角形，則符合條件的Q點(diǎn)有個(gè)．類型四等腰三角形的探究問題eq\a\vs4\al(例4)(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連結(jié)BE.填空：①∠AEB的度數(shù)為________；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是________．(2)拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連結(jié)BE.請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝eq\r(2).若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．【解后感悟】本題主要考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力，而通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用(2)中的結(jié)論解決問題是解決第(3)題的關(guān)鍵．它是中考的熱點(diǎn)題型．(2016·江西模擬)有一三角形紙片ABC，∠A＝80°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是.類型五等腰三角形的綜合運(yùn)用eq\a\vs4\al(例5)(2016·石家莊模擬)如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連結(jié)OD.(1)求證：△COD是等邊三角形；(2)當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；(3)探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？【解后感悟】本題以“空間與圖形”中的核心知識(shí)(如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等)為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)，試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊(yùn)含著豐富的思想方法(如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等)．6．(2016·河南)(1)發(fā)現(xiàn)如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝a，AB＝b.填空：當(dāng)點(diǎn)A位于時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為.(用含a，b的式子表示)(2)應(yīng)用點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝3，AB＝1.如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連結(jié)CD，BE.①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；②直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值．圖1圖2(3)拓展如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.請(qǐng)直接寫出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【探索研究題】(2016·菏澤)如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連結(jié)BE.(1)如圖1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.①求證：AD＝BE；②求∠AEB的度數(shù)．(2)如圖2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM為△DCE中DE邊上的高，BN為△ABE中AE邊上的高，試證明：AE＝2eq\r(3)CM＋eq\f(2\r(3),3)BN.【方法與對(duì)策】(1)①通過角的計(jì)算找出∠ACD＝∠BCE，再結(jié)合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出“AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可證出△ACD≌△BCE，由此即可得出結(jié)論AD＝BE；②結(jié)合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通過角的計(jì)算即可算出∠AEB的度數(shù)；(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用(1)的結(jié)論，通過解直角三角形即可求出線段AD、DE的長(zhǎng)度，二者相加即可證出結(jié)論．這類探究性問題，往往從特殊到一般，積累經(jīng)驗(yàn)，利用前小題的結(jié)論或方法解決問題．這類問題是中考的熱點(diǎn)題型．【忽視等腰三角形腰的高線不明確】(2015·西寧)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是.參考答案第19講特殊三角形第1課時(shí)等腰三角形【考點(diǎn)概要】1．相等一相等等角中線高等邊2.三60°三相等60°【考題體驗(yàn)】1．C2.100°3.18【知識(shí)引擎】【解析】(1)從角、邊、對(duì)稱性、圖形的形狀角度去考慮，并注意之間的相關(guān)性．(2)根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠B＝30°，∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝120°－30°＝90°；(3)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AD＝eq\f(1,2)EC＝ED＝DC，得出∠DAC＝∠C＝30°，∴∠EAD＝60°，∴△ADE是等邊三角形．【例題精析】例1(1)70°(2)80°或50°(3)80°或20°(4)20(5)40°(6)7例2(1)2eq\r(3)；4eq\r(3)；(2)eq\f(3,2)a；(3)30°；(4)60°例3∵P(2，2)，∴OP＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，∴當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，2eq\r(2))，(0，－2eq\r(2))，(0，4)，(0，2)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2eq\r(2)，0)，(－2eq\r(2)，0)，(4，0)，(2，0)．所以共有8個(gè)．故答案為：8.例4①60°②AD＝BE；(2)∠AEB＝90°；AE＝2CM＋BE.理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰Rt△DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE.(3)eq\f(\r(3)－1,2)或eq\f(\r(3)＋1,2).∵PD＝1，∠BPD＝90°，∴BP是以點(diǎn)D為圓心、以1為半徑的⊙D的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn)．第一種情況：如圖1，過點(diǎn)A作AP的垂線，交BP于點(diǎn)P′，可證△APD≌△AP′B，PD＝P′B＝1，CD＝eq\r(2)，∴BD＝2，BP＝eq\r(3)，∴AM＝eq\f(1,2)PP′＝eq\f(1,2)(PB－BP′)＝eq\f(\r(3)－1,2).第二種情況如圖2，可得AM＝eq\f(1,2)PP′＝eq\f(1,2)(PB＋BP′)＝eq\f(\r(3)＋1,2).例5(1)∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等邊三角形．(2)當(dāng)α＝150°時(shí)，△AOD是直角三角形．理由是：∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°－∠α－∠AOB－∠COD＝360°－150°－110°－60°＝40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．(3)①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠OAD＝eq\f(180°－（α－60°）,2)＝120°－eq\f(α,2)，∴190°－α＝120°－eq\f(α,2)，解得α＝140°.綜上所述：當(dāng)α的度數(shù)為125°或110°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．【變式拓展】(1)D(2)B(3)D(4)102.(1)45°(2)①②3.(1)略．(2)60°.4.(1)120和150(2)55.25°或40°或10°6.(1)CB的延長(zhǎng)線上a＋b(2)①DC＝BE，理由如下：∵△ABD和△ACE為等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE.②BE的最大值是4.(3)AM長(zhǎng)的最大值是3＋2eq\r(2)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2－eq\r(2)，eq\r(2))．【熱點(diǎn)題型】【分析與解】(1)①∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB