2024屆安徽“江南十校”3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

姓名座位號

（在此卷上答題無效）

絕密★啟用前

2024屆安徽省“江南十?！甭?lián)考

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試

卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.已知集合工=e2,訓(xùn)，B={JC|1-X2>0),則ZU8=

A.{x|-l<x<l}B.|x|0<x<l|C.{x|x>_“D.1x|x>0]

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+2i*=4+3i,貝Ijz=

2

A.2+iB.2-iC~—+iD.

55

3.己知向量a,b滿足a+b=（l,加），a_b=G,l）.若a〃b,則實數(shù)加

1

A.BC.3D.-3

3-i

4.已知函數(shù)/（》）=35拘（2》+夕）（|勿＜二）的圖象向右平移四個單位長度后，得到函數(shù)g（x）的圖

26

象.若g（x）是偶函數(shù)，則夕為

▲兀C九71c兀

A.—B.--C.—D.——

6633

5.酒駕嚴(yán)重危害交通安全.為了保障交通安全，交通法規(guī)定：機動車駕駛?cè)嗣?00加血液中酒精

含量達(dá)到20~797ng為酒后駕車，80啰及以上為醉酒駕車.若某機動車駕駛員飲酒后，其血

液中酒精含量上升到了L2mg/〃”.假設(shè)他停止飲酒后，其血液中酒精含量以每小時20%的速

度減少，則他能駕駛需要的時間至少為（精確到0.001.參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3010,1g3?0.4771）

A.7.963小時B.8.005小時C.8.022小時D.8.105小時

6.已知函數(shù)/（x）=lnx—g在點。,一1）處的切線與曲線y=ax2+（a-l）x-2只有一個公共點,

則實數(shù)a的取值范圍為

數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）

A.{1,9}B.{0,1,9}C.{-1,-9}D.{0,-1,-9）

7.已知圓Lx?+/-8x+12=0,點.過原點的直線與圓C相交于兩個不同的點4，B，

則|祝1+應(yīng)司的取值范圍為

A.（V7-2,V7+2）B.（3,V7+2]

C.（2萬-4,2"+4）D.（6,2>/7+4]

8.己知數(shù)列{（}的前〃項和為S“，數(shù)列也}的前〃項和為Tn,且a.=S“+〃，q=1，6“=—^―，

a”+1

則使得Tn<M恒成立的實數(shù)M的最小值為

37

A.1B.-C.-D.2

26

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.箱線圖是用來表示一組或多組數(shù)據(jù)分布情況的統(tǒng)計圖，因形似箱子而得名.在箱線圖中（如圖1），

箱體中部的粗實線表示中位數(shù)；中間箱體的上、下底，分別是數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（75%分位數(shù)）和

下四分位數(shù)（25%分位數(shù)）；整個箱體的高度為四分位距；位于最下面和最上面的實橫線分別表示

最小值和最大值（有時候箱子外部會有一些點，它們是數(shù)據(jù)中的異常值）.圖2為某地區(qū)2023年5

月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQD箱線圖.AQI值越小，空氣質(zhì)量越好；AQI值超過200,說明污染

嚴(yán)重.則

（第9題圖1）

A.該地區(qū)2023年5月有嚴(yán)重污染天氣

B.該地區(qū)2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中

C.該地區(qū)2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中

D.從整體上看，該地區(qū)2023年5月的空氣質(zhì)量略好于6月

數(shù)學(xué)試題第2頁（共4頁）

10.已知拋物線E:j，2=2p.v的焦點為尸，從點尸發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點P(原點除外)

反射，則反射光線平行于X軸.經(jīng)過點尸且垂直于X軸的直線交拋物線E于8,C兩點，經(jīng)過

點P且垂直于X軸的直線交.V軸于點。；拋物線E在點尸處的切線/與x,y軸分別交于點

M,N,則

A.\PQf=\BF\-\QF\B.=\BC\-\OQ\

c.|PF|=|A/F|D.FNLI

11.已知點S,48,C均在半徑為6的球面上，△NBC是邊長為2道的等邊三角形，SA1BC,

SA=3y[2,則三棱錐S-48C的體積可以為

A.——'B.—■^3C.3>/3D.J51

35

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.從0,2,4,6中任意選1個數(shù)字，從1,3,5中任意選2個數(shù)字，得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).在所

組成的三位數(shù)中任選一個，則該數(shù)是偶數(shù)的概率為.

13.若函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，y=g(x+l)-5是奇函數(shù)，且/(2-x)+g(x)=2,則“2023)=

14.過雙曲線E:=l(a>0,6>0)的右焦點F的直線分別在第一、第二象限交E的兩條漸

2

近線于M,N兩點，且。"若|。閡+|跖叮-|。乂|=鏟，則雙曲線E的離心率

為?

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知％6,c分別是△Z5C三個內(nèi)角4B,C的對邊，且JJcsinZ+acosC=6+c.

(1)求

(2)若BC=2,將射線3Z和O分別繞點8,C順時針旋轉(zhuǎn)15°，

30°.旋轉(zhuǎn)后相交于點。(如圖所示)，且NO5C=3(T,

求NO.

16.(15分)

如圖，在四棱錐尸-Z8C0中，底面488為平行四邊形,

PB=AB=1,AD=PD=2,ZBAD=60°.

(1)求證：平面PAB1平面ABCD；

(2)若二面角尸-8。-/的大小為12(T,點E在枝上，且

PE=2ED,求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

數(shù)學(xué)氏題第3貝(共4頁)

17.(15分)

某產(chǎn)品的尺寸與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的誤差絕對值不超過4mm即視為合格品，否則視為不合格品.假設(shè)

誤差服從正態(tài)分布且每件產(chǎn)品是否為合格品相互獨立.現(xiàn)隨機抽取100件產(chǎn)品，誤差的樣本均值

為0,樣本方差為4.用樣本估計總體.

(1)試估計100件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)(精確到1);

(2)在(1)的條件下，現(xiàn)出售隨機包裝的100箱該產(chǎn)品，每箱均有100件產(chǎn)品.收貨方對每箱

產(chǎn)品均采取不放回地隨機抽取方式進(jìn)行檢驗，箱與箱之間的檢驗相互獨立.每箱按以下規(guī)則

判斷是否接受該箱產(chǎn)品：如果抽檢的第1件產(chǎn)品不合格，則拒絕該箱產(chǎn)品；如果抽檢的第1

件產(chǎn)品合格，則再抽1件，如果抽檢的第2件產(chǎn)品合格，則接受該箱產(chǎn)品，否則拒絕該箱

產(chǎn)品.若該箱產(chǎn)品通過檢驗后生產(chǎn)方獲利1000元；該箱產(chǎn)品被拒絕，則虧損89元.求100

箱該產(chǎn)品利潤的期望值.

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(〃02),則P(〃-b<Z<〃+b)v0.6827,

P(〃-2b《Z<〃+2cr)a0.9545,尸(〃一3bMZM〃+3b)a0.9973.

18.（17分）

已知矩形ABC。中，=BC=2也，瓦死G,H分別是矩形四條邊的中點，以矩形中

心。為原點，所在直線為x軸，EG所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.直線

HF,BC上的動點R,S滿足OR=AOF,'CS=ACF(2GR).

(1)求直線ER與直線GS交點P的軌跡方程；

(2)當(dāng)a=-逅時，過點火的直線m(與x軸不重合)和點尸軌

3

跡交于M,N兩點，過點N作直線/:x=-3的垂線，垂足

為點0.設(shè)直線MQ與x軸交于點K,求4KMN面積的

最大值.

19.(17分)

已知函數(shù)/(x)=(x-a)e*-x,aeR,/'(X)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)證明：/'(X)在(-8,長。)上存在唯一零點七；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=(x2-奴+1/+X+1).

「e-4、

①當(dāng)aw—，用時，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;

_2)

②當(dāng)ae(v,三二)時，討論函數(shù)g(x)零點的個數(shù),

4

數(shù)學(xué)試題第4貝(共4頁)

2024屆安徽省“江南十?！甭?lián)考

數(shù)學(xué)試題評分參考

一、單項選擇題

1.己知集合/=卜,叫,5=卜卜一—>0),則/U8=()

A.{小1<》<1}B.{x10Wx<l}C.{x|x>-l}D.1x|x>0}

【解析】由2，之1得x?0，由1—f>0得—1<X<1,所以NU5={x|x〉—1}

【答案】C

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+2z?丘=4+3,，貝!|z=()

22

A.2+2B.2—iC.-----\~iD.------i

55

【解析】]=勺3=吆3=2—z,，所以z=2+i

l+2z5

【答案】A

3.已知向量〃，〃滿足〃+〃=(1,加)，a-b=(3,1).若aHb,則實數(shù)加二()

11c

A.--B.-C.3D.-3

33

m+1YYl—\

【解析】由于。+分=(1,m)，a—6=(3,1),所以。=(2,下一)，8=(一1，下一)，又因為?！ǚ?，所以

一加一1m+1人1

2---------1----------=0，解得m=—.

223

【答案】B.

4.已知函數(shù)〃x)=3sin(2x+0)(S[<二)的圖象向右平移四個單位長度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)是

26

偶函數(shù)，則9為

A兀R?！肛兀

6633

【解析】將函數(shù)/(x)=3sin(2x+e)(|0|<0)的圖像向右平移工個單位長度后得到g(x)的圖象，

6

則g(x)=sin(2x-M+9),因為g(x)是偶函數(shù)，所以2x0-2+夕=左萬+囚，keZ,即9=包+左左，ksZ,

3326

又|夕|苫,令左=一1,可得夕=_,

【答案】B.

5.酒駕嚴(yán)重危害交通安全.為了保障交通安全，交通法規(guī)定：機動車駕駛?cè)嗣?00成血液中酒精含量達(dá)

到20^坊次為酒后駕車，80喝及以上為醉酒駕車.若某機動車駕駛員飲酒后，其血液中酒精含量上

升到了1.2冽g/加.假設(shè)他停止飲酒后，其血液中酒精含量以每小時20%的速度減少，則他能駕駛需要

的時間至少為(精確到0.001.參考數(shù)據(jù)：lg2-0.3010,lg3ao.4771)

A.7.963小時B.8.005小時C.8.022小時D.8.105小時

1g6Ig2+lg3

【解析】由已知得：12x0.8工<0.2,所以x>

l-31g2l-31g2

0.3010+0.4771n77R]

即x>p8.022,所以8.022

1-3x0.30100.0970

【答案】C

1

6.已知函數(shù)/(x)=lnx-1在點(1,-1)處的切線與曲線y=ax?+(a-l)x-2只有一個公共點，則實數(shù)。的

取值范圍為

A.{1,9}B.{0,1,9}C.{-1,-9}D.{0,-1,-9}

【解析】由/'(x)=4+4得/''(1)=2

XX

所以切線方程是y=2(x—1)—1=2x—3

①若a=0,則曲線為y=-x-2,顯然切線與該曲線只有一個公共點；

②若aHO,貝!12x-3=渥+(a-1)》-2

即ax2+(a—3)x+l=0

由A=(a—3)2—4a=0,即。10。+9=0

得a=1或a=9

綜上：a—0或a=1或a=9

【答案】B

7.已知圓。:/+)2一8》+12=0,點M(0,G).過原點的直線與圓C相交于兩個不同的點4瓦則

|屆+應(yīng)回的取值范圍為

A.(近一2,77+2)B.(3,77+2]

C.(2近-4,2近+4)D.(6,277+4]

【解析】設(shè)48的中點為點P,貝“疝+而卜2|應(yīng)石，由垂徑定理知CPJ.QP,則可得點P的軌跡E為

以O(shè)C為直徑的圓(圓C內(nèi)部的圓弧)

其方程為E:(x-2)2+/=4(3<xW4),則可得點M(0,6)到軌跡E上點P的距離取值范圍為(3,g+2],

從而即+叫=2師]的取值范圍為(6,2b+4].

【答案】D

8.已知數(shù)列{4}的前〃項和為S”,數(shù)列也,}的前"項和為7；,且%+1=與+〃，/=1,bn=---，則

.，%+]

使得7；<M恒成立的實數(shù)M的最小值為

A.1B.2C.ZD.2

26

【解析】當(dāng)"=1時，％=4+1=2

當(dāng)“22時，an=Sn_}+n-\

所以4+1_能=Sa+“_(S“T+?-1),即4+i=2a?+1

所以4+1+1=2(%+1)

[1,〃=1

則也+1},〃22為等比數(shù)列，4=

3-2>2

即〃22時，％+1=3?2"一之

111171177

所以(二—I—(1-\----1------1-----z-)=------x—-<—,得M2一

〃232*632〃-266

【答案】C

2

二、多項選擇題

9.箱線圖是用來表示一組或多組數(shù)據(jù)分布情況資料的統(tǒng)計圖，因形似箱子而得名.在箱線圖中（如圖1）,

箱體中部的粗實線表示中位數(shù)；中間箱體的上下底，分別是數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（75%分位數(shù)）和下四分

位數(shù)（25%分位數(shù)）；整個箱體的高度為四分位距；位于最下面和最上面的實橫線分別表示最小值和最

大值（有時候箱子外部會有一些點，它們是數(shù)據(jù)中的異常值）.圖2為某地區(qū)2023年5月和6月的空

氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）箱線圖.AQI值越小，空氣質(zhì)量越好；AQI值超過200,說明污染嚴(yán)重.則

異常值

上邊緣

上四分位數(shù)

平均值

中位數(shù)

下四分位數(shù)

下邊緣

異常值

（第9題圖1）（第9題圖2）

A.該地區(qū)2023年5月有嚴(yán)重污染天氣.

B.該地區(qū)2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中.

C.該地區(qū)2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中.

D.從整體上看，該地區(qū)2023年5月的空氣質(zhì)量略好于6月.

【解析】對于A選項可以從圖2所示中5月份有AQI值超過200的異常值得到判斷（也可以通過異常值

結(jié)合觀察5月份的平均值高于中位數(shù)輔助判斷）；對于B,C選項，圖2中5月份的箱體高度比6月份的

箱體高度小，說明5月的AQI值比6月的AQI值集中；對于D選項，雖然5月有嚴(yán)重污染天氣，但從圖

2所示中5月份箱體整體上比6月份箱體偏下且箱體高度小，AQI值整體集中于較小值，說明從整體上看,

該地區(qū)2023年5月的空氣質(zhì)量略好于6月.

【答案】ACD

10.已知拋物線E:j?=2px的焦點為尸，從點尸發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點P（原點除外）反射，則

反射光線平行于x軸.經(jīng)過點尸且垂直于x軸的直線交拋物線E于民C兩點，經(jīng)過點尸且垂直于x

軸的直線交x軸于。；拋物線￡在點P處的切線/與軸分別交于點則下列說法成立的是

A.\PQf=\BF\-\QF\B.\PQ^=\BC\-\DQ\

c.\PF\=\MF\D.FN

【解析】對于A,B選項，設(shè)點尸（x,y）,而|尸。|=J2Px,而忸曰=p]^）F\=y-x,px,

則A選項錯誤，又忸C|=2p,|O0|=x,則B選項正確；對于C選項，如下圖所示，過點尸作X軸的平行

線RH,與拋物線E的準(zhǔn)線交于點〃，又題意所給拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得=,又

ZSPR=ZPMF,所以NMPF=NPMF,從而忸刊=|九0]；對于D選項，因為NSPR=NHPM,所以

NMPF=NHPM,即為/打尸的角平分線，又由拋物線定義知7W=P尸，結(jié)合|尸尸|=|兒因，可得

QMFPH,而歹軸經(jīng)過線段切中點，從而PW與歹軸的交點即為點N,所以網(wǎng)

3

【答案】BCD

11.已知點S,A,B,C均在半徑為新的球面上，A43C是邊長為2G的等邊三角形，SAVBC,SA=342,

則三棱錐S-/2C的體積可以為（）

A.――B.—y/3C.3A/3D.VM

35

【解析】方法一：如圖，設(shè)三棱錐S-48C的外接球球心為。，ZU8C的中心為連接/O,SO,/O「延

長NO1交8C于。，連接SD,則。是3c中點，所以3CL4D,又8C1.&4,所以8C_L平面”D,又因

為BCu平面4BC，所以平面&4。1平面4BC,過S作/。的垂線，垂足為G,則SG1平面48C,在Rt^AOO,

中，OO|=V5^4=1,設(shè)/G=d,SG=肌過。作SG的垂線，垂足為E.若4&在SG的同側(cè)，則在必4G

25或1所以三棱錐&/BC的

中有屋+昭=]8,在RtAsOE中有“_2y+(A-1)=5聯(lián)立得

u7=—21

5

體積為N4■或36;若4Q在SG的異側(cè)，同理可解得5或（'=3,與"<2矛盾（舍去）.

521[d=3

a7=——'

15

【答案】BC.

S

方法二：設(shè)三棱錐S-43C的外接球球心為0,連接/O并延長交大圓于歹，過S作4。的垂線，垂直為G,

可證得SG,面45。

（1）若點S在直線4方的上方，設(shè)/SAF=a,/FAG=/3,則tana=Ltan/?=1

32

所以tan/"G=tan（a+2）=tana+tan/?二1，ZSAG=-

1一tanatan134

B

可得SG=AS?sinZ&4G=3V2--=3

2

，匕=gS/Bc.SG=3百

（2）若點S在直線/尸的下方，則tana=；,tan/=；

4

匚口、i,c、tan￡—tana1.,0,八

所以tan/SAG=tan(/7-a)=-----------=—,sinZSAG=—

1+tanatan(3710

可得SG=NS?sin/S/G=3JLJ=—

105

-.V2=-S.iBC-SG=—,故選BC.

【答案】BC.

三、填空題

12.從0,2,4,6中任意取1個數(shù)字，從1,3,5中任意選2個數(shù)字，得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).在所組成的

三位數(shù)中任選一個，則該數(shù)是偶數(shù)的概率為.

【解析】若0在，則三位數(shù)有C；4=12；若0不在，則三位數(shù)有C\Cl4=54.所以沒有重復(fù)數(shù)字的

三位數(shù)有66個，其中偶數(shù)的個數(shù)是C；￡=24個，所以在所組成的三位數(shù)中任選一個，是偶數(shù)的概率是

24_4

66-11

4

【答案】—

11■

13.若函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù),y=g(x+l)—5是奇函數(shù)，且/(2-x)+g(x)=2,則/(2023)=.

【解析】由/(x+2)為偶函數(shù)，得/(2-x)=/(2+x),

由〉=g(x+l)—5是奇函數(shù),得g(l+x)-5=-g(l-x)+5,即g(2-x)+g(x)=10

由/(2-x)+g(尤)=2,得/(x)+g(2—x)=2

相加得:/(2-x)+/(%)=-6(*)

用2+x代換x得/(2+x)+/(%)=-6

從而/(4+x)+/(x+2)=-6

故〃x+4)=/(x)

所以4是>=/⑺的一個周期

故/(2023)寸(3)=/(—I)結(jié)合(*)式得/(3)=/(-I)=-3

【答案】-3.

22

14.在平面直角坐標(biāo)系X。中，過雙曲線-4=1(a>0,6〉0)的右焦點尸的直線在第一、第二象限

a-b

2

交E的兩漸近線分別于兩點，且若|。7圖+|亞0|-|皈|=§.,則雙曲線E的離心率

為--

【解析】如圖，設(shè)NF0M=a,/M0N=20,因為(W,MTV,易知但叫=b,tana，所以|(W|=a；

214

又|(W|+WW|—|ON卜鏟，所以Ww|—|ON|=—§a,在直角AOW中，利用勾股定理可得阿乂|=§〃，

所以tan26=3,求得tan9=L(負(fù)值舍去)，也即tana=2=--一=2,所以可得離心率為痛.

32atan0

【答案】舊.

5

四、解答題

15.已知a,6,c分別是AA8C三個內(nèi)角4B,C的對邊，且6csin/+4cosC=b+c.

⑴求N;

⑵若8c=2,將射線胡和C4分別繞點民C順時針旋轉(zhuǎn)15°,30°,旋轉(zhuǎn)后相交于點。（如圖所示），且

/DBC=3Q。,求4D.

.0

IV

15.【解析】（1）因為百csinZ+acosC=b+c

所以gsinCsinZ+sinAcosC=sin5+sinC

又因為sin5=sin（/+C）=sinAcosC+cosAsinC

所以百sinCsin/=cos/sinC+sinC.......................................................................................（3分）

由于sinC>0,所以6sin4=cos/+1,即sin（Z,

62

冗.TC5TCI-.I71IT>>i冗八、

又——<Z----<——，則/=一，因此4=一?.....................................（z6分）

666663

（2）在A48C中，由正弦定理得/C=—些—sin//BC=拽

sinABAC3

在ASOC中，由于NB￡）C=45°

由正弦定理得CD=———sinZD5C=V2.......................................................................（10分）

sinZBDC

于是，在A4CD中，由余弦定理得：

AD=4AC1+CD2-2AC-CDcosZACD=J-+2-2-41--=—...................（13分）

V3323

6

16.如圖，在四棱錐尸一/BCD中，底面/BCD為平行四邊形，PB^AB=l,AD=PD=2,ZBAD=60°.

(1)求證：平面PAB1平面ABCD；

(2)若二面角2-3D-4的大小為120°,點E在棱尸。上，且PE=2ED,求直線CE與平面PBC所成

角的正弦值.

【解析】(1)證明：由余弦定理得BD=V12+22-2-1-2COS60°=V3

所以=7^2+BD2,PD2=PB2+BD1

因此PB±BD

又因為48cPB=B,AB,PBu平面PAB

所以8D_L面P48

又因為BDu平面48CD

故平面平面/BCD....................................................(6分)

(2)由于A8LAD,PB±BD

所以二面角P——/的平面角為NPA4,即/尸氏4=120°........................(7分)

在平面P48內(nèi)過點5作48的垂線，交4P于E

由平面PAB，平面ABCD,得斯，平面ABCD

以5為坐標(biāo)原點，343。，3尸為》//軸正方向

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系5-xyz

則5(0,0,0),。(0,0,0),。(一1,石,0),P(--,0,^)................................(9分)

設(shè)平面PBC的法向量為“=(x,y,z),

-x+6y=0

,[n-BC=0

則\__,,即＜]由，令x=V3,則y=z=1

n?BP-0——x+——z=0

I22

7

所以3=（百,1,1）.......................................................................................................................................（11分）

設(shè)直線CE與平面PBC所成角為（9

?.?屈=而+而=屈+29烏

3636

.門?-IICE-n|

sm0=cos<CE,n>=-=——；

\CE\-\n\

（15分）

5

17.某產(chǎn)品的尺寸與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的誤差絕對值不超過4mm就視為合格品，否則視為不合格品.假設(shè)誤差服從

正態(tài)分布且每件產(chǎn)品是否為合格品相互獨立.現(xiàn)隨機抽取100件產(chǎn)品，誤差的樣本均值為0,樣本方差為4.

用樣本估計總體.

（1）試估計100件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)（精確到1）;

（2）在（1）的條件下，現(xiàn)出售隨機包裝的100箱該產(chǎn)品，每箱均有100件產(chǎn)品.收貨方對每箱中產(chǎn)品均

不放回地隨機抽取進(jìn)行檢驗且箱與箱之間檢驗相互獨立.每箱按以下規(guī)則判斷是否接受一箱產(chǎn)品：如

果抽檢的第1件產(chǎn)品為不合格，則拒絕整箱產(chǎn)品；如果抽檢的第1件產(chǎn)品合格，則再抽1件，如果

抽檢的第2件產(chǎn)品合格，則接受整箱產(chǎn)品，否則拒絕整箱產(chǎn)品.若整箱產(chǎn)品通過檢驗后生產(chǎn)方獲利1000

元；整箱產(chǎn)品被拒絕，則虧損89元，求該100箱產(chǎn)品利潤的期望值.

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布"（〃,d）,則P（〃-bWZV〃+b）a0.6827,

-2crVZV〃+2cr）?0.9545,-3crVZV〃+3（r）?0.9973.

【解析】（1）分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計正態(tài)分布的參數(shù)〃和b,得產(chǎn)品的尺寸誤差X?M0,22）,

P（忖＜4）=尸（〃—2bWZW〃+2b）“0.9545,因此估計這批產(chǎn)品的合格率為95.45%.

因此樣本的不合格品率為1-0.9545=0.0455,

所以估計100件產(chǎn)品中有100x0.0455=4.5525件不合格品..............................（6分）

（2）方法一：設(shè)&="抽檢的第1件產(chǎn)品不合格”，4="抽檢的第2件產(chǎn)品不合格”，則一箱產(chǎn)品被

拒絕的事件為4。（彳4）-

8

因此p(4U(44))=P(4)+P(%4)=P(4)+P(4)P(a|4)

595597

------1-----x-----.......................................................................................................(10分)

10010099990,

893

設(shè)100箱產(chǎn)品通過檢驗的箱數(shù)為Z,則Z?8(100,施).

所以100箱利潤W=1000Z+(-89)(100-Z)=10897-8900

893

因此平均利潤E(沙)=E(1089Z-8900)=1089E(Z)—8900=1089x100x8900

=89330(元)..(.1.5.分..)....................................................

C297

方法二：記一個整箱產(chǎn)品被拒絕為事件A,則尸(2)=1——六=——.......................(10分)

Goo990

9797893

設(shè)整箱產(chǎn)品的利潤為隨機變量自,則PC=-89)=—=1000)=1--

990

884367

所以E(J)=—89x——+1000x——

990990990

設(shè)100箱該產(chǎn)品的利潤為隨機變量X,則X=1004

所以E(X)=E(100J)=100E(J=89330(元)........................................(15分)

18.已知矩形48CD中，AB=2瓜BC=2亞,E,￡G,〃分別是矩形四條邊的中點，以矩形中心。為

原點，放所在直線為x軸，EG所在直線為y軸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系.直線上的動

點R,S滿足OR=WF,CS=2CF(2GR).

(1)求直線ER與直線GS交點P的軌跡方程；

(2)當(dāng)彳=一中時，過點火的直線加(與x軸不重合)和點尸的軌跡交于M,N兩點，過點N作直線

/:x=-3的垂線，垂足為點。.設(shè)直線與x軸交于點K,求面積的最大值.

H

【解析】(1)設(shè)點P(x〃)，R(XR,0),S(布,外)

由OR=AOF得4=s/~6A,即7?(V6A,0)

由赤=2而得力=血(1_為，即S(布，血(1—4))

當(dāng)時，直線=—亞①

V6A

9

直線GS：y=+6②

V6

由①②消去參數(shù)力得3+五）3-五）=-；x?

22

即上+匕=l（xwO）；

62

當(dāng)2=0時，得交點尸（0,五）；

22

綜上：直線ER與直線GS交點P的軌跡方程：土+匕=1（不含點（0,-亞））..................（6分）

62

（2）當(dāng)彳=一日時，點R（-2,0）,過點火的直線加可設(shè)為x=q—2（7w-亞）

22

代入3+三=1得-2）2+3/=6

即（/+3）y2_4夕—2=0

設(shè)"（XQJ,N（22）

4t-2

貝匹

由題得0（—3,%）

則直線〃0:了-了2Jf（X+3）

演+3

所以令y=0

得4=一型玉+3）_3=-噠F.......................................................（8分）

71-^2月一了2

又因為再=Wi-2,2tyry2=-(必+%),代入上式得:

X「2肛-2)-3Y二-tyiy2+2y2-3y}/+%)+2%-3M

k

Ji-y2必一力%一為

55

12必+/_5

%一當(dāng)2

所以直線MQ過定點^(-1,0)...........................................................(12分)

由于SAKMN=；|m限一%|=；-2+3%_了2|=：>1一%|

而|%-巴卜J(%+八2>-4必為==2而，;'2........................................(1