云南省昆明市2023屆高三“三診一模”高考模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

昆明市2023屆“三診一?！备呖寄M考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡

上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形

碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,已知全集°={一1，°』，2},集合A={T0},則自A=()

A,{1,2}B.{-1,0}C.{-1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義，即可求解.

【詳解】全集。={—1,0,1,2},集合4={-1,0},則gA={1,2}.

故選：A

2.復(fù)數(shù)2i(l+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】計(jì)算出2i(l+i)=—2+2i,得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.

【詳解】2i(l+i)=2i+2i2=—2+2i,故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(—2,2),位于第二象限.

故選：B

3.倉(cāng)縻實(shí)，天下安.糧食安全是國(guó)家安全的重要基礎(chǔ).某實(shí)驗(yàn)農(nóng)場(chǎng)為研究甲、乙兩品種土豆苗的生長(zhǎng)狀

態(tài)，從種植的甲、乙兩品種土豆苗中各隨機(jī)抽取10株，分別測(cè)量它們的株高(單位：cm)數(shù)據(jù)如下表所

示，則下列結(jié)論中表述不正確的是（）

樣本號(hào)12345678910

甲品種82838182769183888993

乙品種68808872898895749071

A.甲品種土豆苗樣本株高的極差小于乙品種土豆苗樣本株高的極差

B.甲品種土豆苗樣本株高的方差大于乙品種土豆苗樣本株高的方差

C.甲品種土豆苗樣本株高的中位數(shù)小于乙品種土豆苗樣本株高的中位數(shù)

D.甲品種土豆苗樣本株高的平均值大于乙品種土豆苗樣本株高的平均值

【答案】B

【解析】

【分析】將甲乙兩組樣本數(shù)據(jù)從小到大排序，分別計(jì)算極差、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，比較結(jié)果即可得答案.

【詳解】甲品種土豆樣本從小到大排序?yàn)?6,81,82,82,83,83,88,89,91,93,

所以極差為93-76=17,中位數(shù)為"W=83,平均值為

2

76+81+82+82+83+83+88+89+91+93…

---------------------------------------------------------------=84.8,

『+(83-84.8)2+(83-84.8)2+(88-84.8)2+(89-84.8)2+(91-84.8)2+(93-84.8)2_2476乙品

10

種土豆樣本從小到大排序?yàn)?8,71,72,74,80,88,88,89,90,95,

on!oo

所以極差為95—68=27,中位數(shù)為竺上=84,平均值為

2

68+71+72+74+80+88+88+89+90+95

—oO11.5c,

甲品種土豆苗樣本株高的極差小于乙品種土豆苗樣本株高的極差，故A正確;

甲品種土豆苗樣本株高的方差小于乙品種土豆苗樣本株高的方差，故B不正確；

甲品種土豆苗樣本株高的中位數(shù)小于乙品種土豆苗樣本株高的中位數(shù)，故C正確;

甲品種土豆苗樣本株高的平均值大于乙品種土豆苗樣本株高的平均值，故D正確.

故選：B

4.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)T為C。的中點(diǎn)，則（）

A.AT=-AB+ADB.AT=AB+-AD

22

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)E,￡G,H,MN分別為AB,"。,C￡，GR，4，，AA的中點(diǎn)，證明6點(diǎn)共面，為六邊形，再

證明此平面滿足條件即可得解.

【詳解】如圖，

設(shè)E,F,G,H,M,N分別為AB,BC,CQ,CQ,A29的中點(diǎn)，

連接EF,FG,GH,HM,MN,NE,^B,CDX,AD1,,

FG//BC],MN//ADl,FG=^BCl,MN=^ADl,BCl//ADeBQ=AR,

FG//MN-FG=MN,

同理可得，EF//MH,EF=MH,GH//NE,GH=NE,

：.瓦尤G,H,Af,N共面,

AC//EF,ACa平面EFGHMN,即u平面EFGHMN,

:.AC//平面EFGHMN,

同理可得BCJI平面EFGHMN,

E為AB的中點(diǎn)，

A到平面EFGHMN的距離與3到平面EFGHMN的距離相等，

即平面EPGHMN為所求的平面1,故與正方體交線為正六邊形EFGHMN.

故選：D

7.已知a=cosl,b=log43,c=2~I,則()

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用“橋梁”比較大小.

【詳解】y=cosx在上單調(diào)遞減，且巴<1（生，

I2J43

V271，兀1

—=cos—>a=cosl>cos—=—，

2432

b=log43>log42應(yīng)=-|>[,c=2，<27=g,

:.c<a<b,

故選：B

8.隨機(jī)化回答技術(shù)是為調(diào)查敏感性問(wèn)題特別設(shè)計(jì)的問(wèn)卷調(diào)查技術(shù)，其基本特征是被調(diào)查者對(duì)所調(diào)查的問(wèn)題

采取隨機(jī)回答的方式，避免在沒(méi)有任何保護(hù)的情況下直接回答敏感性問(wèn)題，從而既對(duì)被調(diào)查者的隱私和秘

密加以保護(hù)，又能獲得所需要的真實(shí)信息.某公司為提升員工的工作效率，規(guī)范管理，決定出臺(tái)新的員工考

勤管理方案，方案起草后，為了解員工對(duì)新方案是否滿意，決定采取如下隨機(jī)化回答技術(shù)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查：所

有員工每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，約定“若結(jié)果為一次正面朝上一次反面朝上，則按①回答問(wèn)卷,

否則按②回答問(wèn)卷

①：若第一次拋擲硬幣出現(xiàn)正面朝上，則在問(wèn)卷中畫(huà)“卡，否則畫(huà)“x”；

②：若你對(duì)新考勤管理方案滿意，則在問(wèn)卷中畫(huà)“小,否則畫(huà)“x”.

當(dāng)所有員工完成問(wèn)卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)畫(huà)4畫(huà)x的比例為3：2,用頻率估計(jì)概率，則該公司員工對(duì)考勤管理方

案的滿意率為（）

A.50%B.60%C.70%D.80%

【答案】C

【解析】

【分析】計(jì)算出回答①對(duì)于畫(huà)Y號(hào)的貢獻(xiàn)率，進(jìn)而得到回答②對(duì)于畫(huà)Y號(hào)的貢獻(xiàn)率，由貝葉斯概率公式進(jìn)行

求解.

【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，共出現(xiàn)以下情況，（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

共4種情況，

其中結(jié)果為一次正面朝上一次反面朝上為事件A,則共有2種情況滿足要求，

則尸（A）=；=；,P（A）=l-1=y,

設(shè)回答①且畫(huà)4號(hào)為事件8,則P（3|A）=g,則P（A>P（@A）=gxg=（,

設(shè)回答②且畫(huà)Y號(hào)為事件C,

--P（A）.P（B|A）31

則"，―,547

110

2

所以該公司員工對(duì)考勤管理方案的滿意率為70%.

故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是

符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知a,b,c為非零實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的是（）

A.若a,6,c成等比數(shù)列，則！，工成等比數(shù)列

abc

B.若a,b,c成等差數(shù)列，則!，工成等差數(shù)列

abc

C.若。2,b2,c2成等比數(shù)列，則a,b,c成等比數(shù)列

D.若a,Dc成等差數(shù)列,則2"，2b>2c成等比數(shù)列

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)公式，即可判斷.

【詳解】A.若a,b,c成等比數(shù)列，則尸=如，貝U［工］=---，所以工，」成等比數(shù)列，故A正

\b）acabc

確；

B.數(shù)列1,2,3是等差數(shù)列，但數(shù)列1,」不是等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

123

C.若心抉，Q成等比數(shù)列，則64=儲(chǔ)02,/=ac或/=一“c，若我=—ac，則a，b,c不成等比數(shù)

列，故C錯(cuò)誤；

D.若a,6,c成等差數(shù)列，則2b=a+c,則（2〃『=22&=2"?2'=2"。成立，所以2。，28，2「成等比

數(shù)列，故D正確.

故選：AD

22

10.己知橢圓。:上+上=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，直線y=根與C交于A,2兩點(diǎn)（A在y軸右側(cè)）,

54

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.[4胤+忸娟=26

B.當(dāng)m=述時(shí)，四邊形ABFiB為矩形

5

C,若AFX_1_BF[,則租=g

D,存在實(shí)數(shù)機(jī)使得四邊形ABHO為平行四邊形

【答案】ABD

【解析】

【分析】由橢圓的定義與對(duì)稱性可判斷A；求出A3,耳，鳥(niǎo)的坐標(biāo)，即可判斷B；超

22

A(n,m),B(—n,m),若期，則知=1一1+/=0,又((=1,求得加，即可判斷

C；若四邊形A3片。為平行四邊形，貝口45|=閨0|=。=1，即A的橫坐標(biāo)為;即可,代入橢圓方程可得

由橢圓與>關(guān)于y軸對(duì)稱，可得|明|+忸耳|=|明|+|鈣|=2小,故A正確;

則4鳥(niǎo)，大鳥(niǎo),=〃斗心，則四邊形A3丹鳥(niǎo)為矩形，故B正確;

設(shè)A(n,m),B(-n,m),則AFJ=(—1—n,—m),BFX-(—1+n,—rri),

22

若4耳，5月，則的?需=1—1+療=0,又g+?=i,

故c錯(cuò)誤;

若四邊形人幽。為平行四邊形，貝U|AB|=|4O|=c=l,即A的橫坐標(biāo)為3即可，

代入橢圓方程可得根=土返，故當(dāng)〃2=±返時(shí)，四邊形耳。為平行四邊形，故D正確.

55

故選：ABD.

11.已知球。的半徑為R,正四棱臺(tái)ABC。一AiBiCbDi的兩底面邊長(zhǎng)分別為2和4,高為/?,貝U()

A.對(duì)任意/7>0,都存在R>0,使點(diǎn)。到該棱臺(tái)所有面的距離都等于R

B.對(duì)任意//>(),都存在皮>0,使該棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上

C.若點(diǎn)。到該棱臺(tái)所有面的距離都等于R,則氏=拒

D.若該棱臺(tái)所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，且R=2后，則〃=&

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出正四棱臺(tái)的俯視圖與剖面圖，結(jié)合圖形即可得到結(jié)果.

由題意，正四棱臺(tái)的俯視圖如圖所示，

若點(diǎn)。到棱臺(tái)所有頂點(diǎn)距離都相同，則點(diǎn)。必位于正方形ABCD對(duì)角線交線的垂線上，

由于。可取直線上的任意一點(diǎn)，故B正確；

當(dāng)R=20時(shí)，0A=0A=2曰則=(2&『，解得/z="，故D正確;

對(duì)選項(xiàng)A,若成立，則取過(guò)。的剖面圖如圖所示，

由全等關(guān)系可得，F(xiàn)B'=B'G,E4'=EA',D'E=D'H,HC'=GC,

所以AB=DC'=3,此時(shí)/2=療二I=2j5,所以R=

故A錯(cuò)誤，C正確.

故選:BCD

12.如圖是電燈掛在圓形桌面正中央上方的示意圖，電燈在點(diǎn)。處，桌面直徑為2m,點(diǎn)M是桌面邊緣上一

兀

點(diǎn)，電燈與M之間的光線與桌面所成角為e電燈與M之間的距離為/.根據(jù)光學(xué)原理，/點(diǎn)

處的照度/滿足關(guān)系式：I=k-J(k為常數(shù),

k>Q).則下列說(shuō)法正確的是()

7/

JT

=一時(shí)的照度為人，則人=鳳

3

B./隨/的增大而減小

C./先隨。的增大而增大，后隨。的增大而減小

D.當(dāng)tan。=交時(shí)，/取得最大值

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】。在平面內(nèi)的投影為圓心〃，連接加，則ZOMH為光線與桌面所成角，確定

/=Z:(sin^-sin30),構(gòu)造/(無(wú))=x—求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，舉反例得到B錯(cuò)誤，計(jì)算得到

ACD正確，得到答案.

【詳解】如圖所示：。在平面內(nèi)的投影為圓心〃，連接則為光線與桌面所成角,

=^sin^cos20=A:sin^(1-sin28)=左卜in，一sin，,

0G0,—,設(shè)x=sine￡（0,l）,設(shè)/（尤）二九一尤③，則/（了）=1-3尤2,

I2J

（由

當(dāng)工￡0,于時(shí)，/^x）>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)工。方-」時(shí)，r（x）<o,函數(shù)單調(diào)遞減.

I3）

2=2

對(duì)選項(xiàng)A：Ix=ksin—cos—=—,I?ksin—cos—=,則/]=J§/2，正確；

6682338

對(duì)選項(xiàng)B：取cosG]=。，則sin，i=g，4=手，此時(shí)/]=筆七,取名=W，貝1Jcos2=等，

則sin=—,I=2^^,此時(shí)I]=—,/[>4,A>12，錯(cuò)誤；

22238i-i2

對(duì)選項(xiàng)C：尤=5近。在，e[上單調(diào)遞增，故/先隨。的增大而增大，后隨。的增大而減小，正確；

對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)工=5：111。=走時(shí)，函數(shù)有最大值，此時(shí)cos，=包，tan^=-1正確；

332

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，利用求導(dǎo)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能

力和綜合應(yīng)用能力，其中，構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（公+工）5的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

x

【答案】10.

【解析】

【詳解】解：因?yàn)橛啥?xiàng)式定理的通項(xiàng)公式可知

C"i°d10—3廠=4/=2的系數(shù)為C；=10

14.已知雙曲線C：1—與=1（0〉0）〉0）的左，右焦點(diǎn)分別為&,離心率為e,點(diǎn)P在C上，且

ab

歸國(guó)=2\PF^,則滿足條件的一個(gè)e的值為.

【答案】2（寫(xiě)出（1,3]中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)即可）

【解析】

【分析】利用雙曲線的定義及性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】先證雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小為C—。.

22

設(shè)C:?—/=1（4〉0口〉0）右支上一點(diǎn)尸（%,%）（%>〃），笈（G。），

則尸K_c）+y；=、-^片—2CXQ+4=卜%0—tz|?

由九.24得PF2=exQ-a>c-a.

由題意及雙曲線的定義得|P耳|=2|PE|』P娟—忸到=|「囚=2a2c—ane?l,3］,

故寫(xiě)出。,3］中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)即可.

故答案為：2（寫(xiě)出（1,3］中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)即可）.

6Farey序列是指把在。到1之間的所有分母不超過(guò)〃（〃eN*）的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)及0（視為；）和1（視為：；）

0111231

按從小到大的順序排列起來(lái)所形成的數(shù)列，記作尸一小例如尸一4就是則下一7的項(xiàng)數(shù)

1432341

為.

【答案】19

【解析】

【分析】根據(jù)Farey序列構(gòu)成的數(shù)列｛E-科的性質(zhì)，利用列舉法，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意Farey序列構(gòu)成的數(shù)列但一科,

0111121231432534561

可得但-7｝的各項(xiàng)為:

1765473572753745671

共有19項(xiàng)，所以7的項(xiàng)數(shù)為19.

故答案為：19.

16.已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,對(duì)于任意實(shí)數(shù)須丁均滿足了［三苴〃x)+2〃y)

"2)=1,/⑸=10,則/(50)=

【答案】145

【解析】

【分析】令x=5,y=2即可求出/(3)=4,令％=2,y=5即可求出/(4)=7,觀察猜想

/(八)=3(〃—1)—2=3"—5,再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

【詳解】令x=5,y=2即可求出/'(3)=4,

令x=2,y=5即可求出"4)=7,

=—〃6)=3/^±1^,2〃3)=3/(4)—2/(3)=13

結(jié)合"2)=1,/(3)=4,〃4)=7,"5)=10,"6)=13可猜想”")=3(〃—1)—2=3n—5.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時(shí)，由上述知/(〃)=3/-5成立.

假設(shè)當(dāng)〃三左(“，左eN*)時(shí)有f(n)=3n-5,

則當(dāng)〃=左+1時(shí)，不妨設(shè)左26,

+1+25

/(^+1)=3/^^^3^-^-2/(^-5)=3/(^-3)-2/(^-5)

=3(3(3—3)—5)—2(3(左一5)—5)=3(3+1)—5.

所以/(〃)=3〃一5成立，所以f(50)=3x50—5=145.

故答案為：145.

四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖1,在梯形ABCQ中，ABCD,AB=AD=-CD,/A￡>C=120°,E為。中點(diǎn)，將VADE

2

(1)證明：PBLAE-,

(2)當(dāng)二面角尸-AE-3等于90°時(shí)，求以與平面PEC所成角正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

VfT

(2)

7

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，取AE中點(diǎn)為。，連接尸。，BO,BE,由線面垂直的判定定理可得AE,平面PO8,

從而證明PBLAE-,

(2)根據(jù)題意，以。為原點(diǎn)，04OB,。尸所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空

間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

證明：取AE中點(diǎn)為。，連接尸。，BO,BE,

由題可知，DA^DE=AB=BE,又PE=DE,所以已4=尸石，

所以POLAE,BOLAE,

又POcBO=O,PO,30u平面POB,

所以平面尸。8,

又因?yàn)镻Bu平面尸。2，所以

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)槎娼鞘?AE-3等于90°,所以平面朋平面ABCE,

平面PAE、平面A8CE=AE,因?yàn)镻0_LAE,所以P0_L平面42CE,

所以04,OB,0P兩兩垂直.

以。為原點(diǎn)，。4OB,。尸所在直線分別為無(wú)軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

不妨設(shè)AB=2,由已知得NAPE=120°,所以O(shè)P=Ofi=l,OA=OE=0

則P(0,0,l),A(G,0,0),5(0,1,0),C(-273,l,0),E(-A0,0),PA=(Ao,-1),=(73,0,1),

EC=(-73,1,0),

.,、\Gx+z=0

設(shè)平面PEC的法向量"=(x,y,z),則《廣，

[-氐+y=0

取平面PEC的一個(gè)法向量n=。，出，-塔,

設(shè)剛與平面PEC所成角為氏貝！Jsin9=COS(PA,72)=——廠=—

即PA與平面PEC所成角的正弦值為叵.

7

18.記A5C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知」RC的面積為43r.

12

-、.4_兀esin8

6sinC

22

(2)求巴上。的最大值.

ac

【答案】(1)也

(2)4

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理及三角形面積公式計(jì)算即可；

(2)利用三角形面積公式結(jié)合余弦定理化問(wèn)題式為-------=4sinB+-\,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最

acI6J

值即可.

【小問(wèn)1詳解】

由于IS^ABC=g'匕csinA=■匕*,所以。=J^c,

由正弦定理可得辿曰=2=6.

sinCc

【小問(wèn)2詳解】

由于S^BC=；acsin3=普。2,所以y=2JjacsinB；

由余弦定理可得4+°2=2accos5+〃，

22(2y/3sinB+2cosB^ac

所以廠+礦=2氐inB+2cosB=4sin[5+￡),

acac

2,2

則當(dāng)8=9時(shí)，取得最大值4.

19.已知某排球特色學(xué)校的校排球隊(duì)來(lái)自高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為7人、6人、2人.

(1)若從該校隊(duì)隨機(jī)抽取3人拍宣傳海報(bào)，求抽取的3人中恰有1人來(lái)自高三年級(jí)的概率.

(2)現(xiàn)該校的排球教練對(duì)“發(fā)球、墊球、扣球”這3個(gè)動(dòng)作技術(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，且在訓(xùn)練階段進(jìn)行了多輪測(cè)

試，規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”.已知在

某一輪測(cè)試的3個(gè)動(dòng)作中，甲同學(xué)每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為3，乙同學(xué)每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的

2

概率均為且每位同學(xué)的每個(gè)動(dòng)作互不影響，甲、乙兩人的測(cè)試結(jié)果互不影響.記X為甲、乙二人在該

輪測(cè)試結(jié)果為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)—

35

(2)分布列見(jiàn)解析；期望為生

54

【解析】

【分析】(1)根據(jù)抽取的3人中的人數(shù)分配情況，結(jié)合古典概型，即可求解；

(2)由題意可知，甲和乙都分別服從二項(xiàng)分布，并分別計(jì)算甲和乙優(yōu)秀的概率，再根據(jù)隨機(jī)變量X的取值,

并計(jì)算概率，即可求分布列和數(shù)學(xué)期望.

【小問(wèn)1詳解】

02cl

設(shè)事件A為“抽取的3人中恰有1人來(lái)自高三年級(jí)”，則有。(4)=患2=獲

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)甲同學(xué)在一輪測(cè)試中3個(gè)動(dòng)作“優(yōu)秀”的個(gè)數(shù)為匕則有y?33,g；

設(shè)乙同學(xué)在一輪測(cè)試中3個(gè)動(dòng)作“優(yōu)秀”的個(gè)數(shù)為Z,則有Z~B3,：

所以甲同學(xué)在一輪測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率

I3

P(y.2)=P(y.2)+P(y=3)=cIgJxg+c^ljxQj4

乙同學(xué)在一輪測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率

P（Z,2）=P（Z=2）+P（Z=3）=C^|JX[0+C（|JX[1J=|2

由題意，得X可取0,1,2；

則有P(x=0)=1—撲1一卦》P(x=i)=lxi-|2+1-1x|2=l;

P(X=2)」x""

'/22727

所以X的分布列為:

因此X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X(+1X5+2X^=^.

20.雪花是一種美麗的結(jié)晶體，放大任意一片雪花的局部，會(huì)發(fā)現(xiàn)雪花的局部和整體的形狀竟是相似的,

如圖是瑞典科學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，其作法如下：

將圖①中正三角形的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形，再去掉底邊，得到

圖②；

將圖②的每條邊三等分，重復(fù)上述的作圖方法，得到圖③；

按上述方法，所得到的曲線稱為科赫雪花曲線(Kochsnowflake).

現(xiàn)將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為《、鳥(niǎo)、…、己、….小明為了研究圖形匕的面積，把圖

形4的面積記為4,假設(shè)。1=1,并作了如下探究：

—???

P1P2尸3尸4Pn

n-1

前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積是[I]

???

P1Pl尸3尸4Pn

_

.??

邊數(shù)312481923X4"T

???

從尸2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)\,312483x4""

j_11r

從尸2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積???

\J991

=一+邛『（

所以%=a_+3x4"一2neN\n>2）.

nx74

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)?shù)吨?時(shí),

a

n=（a“—）+（a”T一q.2）+（?！?2—?！啊?）+…+（。1一。2）+（。2一

n

44

n—1n-2.

344+1=，9

I++???+§

44IT

又因?yàn)榍?1,符合上式,

所以七小電（

〃￡N*

小問(wèn)3詳解】

797383,4丫一|7971

由>TT7T，得-----X—>-----，則<---,

50055（9）500100

/、41

所以（〃-1）35＜一2,故"〉環(huán)也+1,

由lg3a0.477,1g2?0.301,故〃>6.682,又因〃eN*，所以〃之7,

797

所以從第7個(gè)圖形開(kāi)始雪花曲線所圍成的面積大于——

500

21.已知?jiǎng)狱c(diǎn)T為平面內(nèi)一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，T到點(diǎn)b（1,0）的距離比點(diǎn)T到y(tǒng)軸的距離大1.設(shè)點(diǎn)T的軌

跡為c.

(1)求c的方程；

(2)設(shè)直線/：x=-l,過(guò)尸的直線與C交于A,8兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為過(guò)M且與y軸垂直的直

線依次交直線04,0B,/于點(diǎn)N,P,Q,直線。2與/交于點(diǎn)E.記的面積為△EPQ的面

積為邑，判斷SrS2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)V=4%

(2)S,=S2,證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)利用兩點(diǎn)距離公式及點(diǎn)線距離求軌跡方程；

(2)設(shè)直線AB:x="y+l,A"，乂,B，聯(lián)立軌跡C,應(yīng)用韋達(dá)定理依次求出M,N,P,Q

I4JI4J

坐標(biāo)，進(jìn)而確定|MN|=|PQ|,再求出E坐標(biāo)，即可證結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)T(x,y),由題意得J(x—I)?+/二二x+1，化簡(jiǎn)得y2=4x,

故所求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程CV=4x

【小問(wèn)2詳解】

SrS?的大小相同，證明如下：

(2\

B小，

設(shè)直線AB：x="y+l,A—，^,

14)L7

x=my+l。

由《？得：y-4mx-4=0,A=16m2+16>0,則%+%=4m，y^=-4.

y=4x2

(22

線段AB的中點(diǎn)為M,則取"%,

I8

又直線。4:y=&x,令y=%+為，則x=23=.，故N下，『，

X-288I82J

同理,21二4,則|MN|=才+￡_y”4=￡+4ip1=

(82)888118v78

\MN\=\PQ\.

4—4yy

又直線03:y=-x,令》=—1,則丁=一=即E（—1,%）,

為為為7

綜上，S1=S>

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由M,N,P,Q共線，求出它們的點(diǎn)坐標(biāo)證明|MN|=|PQ|,再證A、E縱坐標(biāo)相等.

22.己知函數(shù)/'(x)=(x-e)lnx.

(1)若直線y=(l—e)x+b與曲線y=/(x)相切，求6的值；

⑵若