版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領
文檔簡介
2024年北京大學“物理卓越計劃”選拔考試數(shù)學試題
1.求滿足10(尤y+yz+zx)=9xyz(x<y<z)的所有正整數(shù)解.
2.若x2—xy—6y2=1,求x2+xy+y2的最小值.
2
3.已知數(shù)列{aj滿足C-m+n=|(?2m+?2n)-(m-Zl),d0=11,=11,求。2023.
4.函數(shù)y=%3+ax的圖像有唯一內(nèi)接正方形,求a與正方形的邊長.
5.求單位正方形的內(nèi)接正三角形的最大面積與最小面積.
6.網(wǎng)球比賽,本來要求每兩個人之間要比一場比賽,有三位選手每人比了2場比賽后
就退出了,最后只進行了50場比賽,問退出的三位選手之間比了幾場賽?
22九
7.求積分〃=用空一)dx.
u\sin%+cosxJ
8.30個同學,每個同學有23個朋友.現(xiàn)在定義好三角組為選擇三個同學,這三個人
互相都是朋友或互相都不是朋友,問有多少個好三角組?
9.對于任意正整數(shù)m,n證明:£匕0(-1)匕/島=£憶。(一1"魔焉.
1O.對于四邊形ABCD,有AB=^Y,BC=^-,CD=l,DA=y/3,且有ZX=75°,求
對邊中點距離之和.
北京大學2024年“物理卓越計劃”選拔考試數(shù)學試題解答
1.【解析】:10(-+-+-)=9<10--;所以》三",故x=2或3.
xyzx3
若x=2,貝心0(工+工)=4;5(-+-)=2<—,所以yV5,故y=3,4,5.
yzyzy
當y=3時,2=15;
20
當y=4時,z=—^z(舍);
當y=5時,2=5;
故(羽y,z)=(2,3,15)或(2,5,5).
若x=3,貝也0(工+工)="三型,所以yW竺,故y=2,3.
yz3y17
30
當y=3時,z=—z(舍);
而y=2<3=x.
綜上,原方程所有解為(2,3,15)或(2,5,5).
2.
【解析】由(一冷一6十2=I可得(x+2y)(x—3y)=1.
設m=x+2)\〃=工一3v,則有mn=1,
且有x二+(3"7+2〃),y=/(〃7—〃).
因此X2+y2+xy
二[J(3〃7+2〃)]~++-y(3/w+2/?)?!(/〃一〃)
="y^"(13/獷+3〃~+9/〃〃)=13/〃-+3〃一+9)
〉=(2回+9)=2弋+9
:(i_y
當且僅當腐&即/〃=
,時等號成立.
n=歲
3.【解析】:令〃=m+1
1、,
■1-a2m+l=~9z2m+%加+1)1
^m+2-a2m+l=a2m+l-a2n+2
ba
記k=k-4-i#GN*,b2m+2=b2m+1+2.①
令〃=m+2
1、)
za
a2nl+2=-(2,?+a2m+4)_4
a2m+4_a2m+2=%m+2—°2m+8
2。2nl+3+2=262nl+2-2+8
故2鼠+3=葭+2+2?②
由①、②知:4—4_1=2
{4}是以2為公差的等差數(shù)列.
?;a=0,/.bk=2k-2
=11+(0+4044)X2023=2023X2022+11=4090517
^2023=a0+Z-
i=l2
4.
【解析】①當時,y=f+ax在R上遞增,不存在內(nèi)接正方形.
②當a<()時,首先證明正方形的中心出現(xiàn)在原點處.設
5(x2,v2),C(-v?,3\),£>(x4,v4)J
于是"一=x;+xk2+V+。,
X|一不
同理可得女⑺=X;+XyX4+X4+a.
2
由=CO及kAli=ken可得⑶一占>=(與-/),
聯(lián)H(X「X—=3f)2可得取一兇.
同理有勺4=、兇,因此有x2=一相,
結(jié)合函數(shù)P=/+4工為奇函數(shù),有為=—乂,同理X1=—x3,—=—乃.
即正方形的中心出現(xiàn)在原點.
設直線OA:y=kx、與y=.r+ar聯(lián)立可得工力=T—a+k,
于是OA—J1+。,1—〃+A.
化簡可得(”十)2—水一+)+2=0.令/="+,%>0,
則/€火且/與片是一一對應的.
方程化為r—。/+2=0,
討論方程在R上解的個數(shù)即對應著正方形的個數(shù),L=cr-8.
(1)當-2V2<?<0Ht,A<0,貝[函為攵y=x'+"x不存在內(nèi)接正
方形.
(2)當"=一2,1叱△=(),則函數(shù)j=x'+"x存在1個內(nèi)接正方
形.
(3)當aV—20時,△>0,則函數(shù).y=A;+av存在2個內(nèi)接正方
形.
因火匕a=—2V2,/=k—J7=-6,A=.
KZ.
于是正方形邊長為,產(chǎn)?,一a+左=72:.
5.【解析】
如圖,正方形A5CD的邊長為1,不失一般性假設AERG是其滿足條件的內(nèi)接正三角形,邊長為。,過ER
的中點“作MNLA5垂足為N,連的4、MG、MN、MB,又設NAEG=a,
:.ZAEM=600+a
:.ZAGE=900-a
ZMGB=60°+a=ZAEM
.,.點A、E、M、G四點共圓,同理點3、G、M、F,
ZMEG=ZMAB=60°
ZMFG=ZMBA=60°
.,.點ER必過M點,AAMB是邊長為1的等邊三角形,
MN=F,,當G點與N重合時=g,..?(SAEFG)mm=^AMAB=金.
???石6三。6,當且僅當七點與。點重合時,EG最大,止匕時a=15°
2
.-.(EG)max=V6-V2,/.(SA£CF)max=^-(V6-V2)=2V3-3,
所以所求內(nèi)接正三角形的最大面積與最小面積分別為2百-3、—.
4
6.【解析】:設共有”(〃eN*且〃〉3)名選手,除去這3名,還剩下(〃-3)名選手.
設這3名選手之間比了x場比賽(x=0,l或2).
除去這3名選手的比賽,剩余人共比賽了("—4)5—3)場.
2
(1)x=0時,——_^+6=50na?—7〃-76=0n力仁N",不符合;
2
(2)x=l時,——‘("_12+1+1+3=50=>7/-7”-78=0=>"=13或一6;
2
由于,且〃>3,故〃=13符合;
(3)x=2時,——_^+1+1+1+1=50n〃2_7"-80=0=>〃任N",不符合;
2
所以,x=1時,滿足條件,故退出的3名選手之間比賽了1場。
7.
/\3/
Lz麗辦工一CO&T(7t\
:"/-------------=tailITI.
'siivx-+COST14-
.../;仁川比[Cgr)在=
J(i\sinx-rcosx;
/3儼G一學《一方
?「0w工W彳一彳Wz—Jwo,設-Jwh-Jwo.妥求.原積分也就
444
是吳求然分jtan2ntdt.
被四函數(shù)是修函數(shù)二切力a=f\a,^xtb.
"7"
X2N三2L
=p(8in.r-co^\,=Ifan211xdx—1/an27,~2x(scc2^—l)(ir
nJ??诹Ρ?d'JnJi)
=jtan-rt~2x'sec2xdx-jtan2n^2xdx
JOJ1)
=J4tan2"-2zdxdianx-/4lan'^xdx
二得通推公式/“
=9i+/“T,由/?=j,所以:
?,/=(T)"[彳'(13+5……+2n-l)]
8.【答案】:2080個
k
證法遞推公式迭代)SAm,n)=E?=0(-l)C*^r.則由C=CT+C2可得
外,璜=白郎+2(-a(*++(-1)-^^^
+茄?1)七二;島+(-1)"』c舄
^TT6"-1+第”-1)k(:?-1m+k+l7T7
=陽(+器式T"舄目短
Iik
=?m,"D一Q匕(一a』*;ETT=3,n-D-滔-(一D""不罰
="-'=式-aF(1-常專)
=/(m,n-l)-i[S=1(-1)*C*m::;]一駕八(一1)閹
=f(m,n-l)--^Ek=o(-1)上瑞丁+.+]-E*=o(-l)*^n]
=f(m,n-1)--l)"dm+;+]=f(m,n-1)-n)
m
故f(m,n)=—^—1)=加+震,+G/(m,n-2)=???=,m+B,n,";n'fm+3.f(>D
?n+n+i(ni+n+i)(Tn+n)(m+n+i)(m+n)…(m+s)
乂f(,n,D=-^+2=(m+2)(m+l)'
則"m,n)=仙+"+1而+”:5+2)而+b=而喘聲于是"m,n)=f(n,m).
9.【解析1
即瑞)(-1)9用=釀。(-1)F/
if漢:(教學,I納法)Q=
nt+lr”
/(m,1)=£;~o(-1)*日wiM/l=w44-wt+2-(Nt^lKiiH-2>a
f(m,2)。EL?(-1),GR■MKI….
ffm.3).yl^(-i】Y-----i-__L?-2_—JL_________t______.
'."73wi"*l*4*1m>2wH-SwiX(NH-IXWH-ZXM^IXM4M)
wtnl
M£i/(".").卜面川教學打納法證期.
I-n=1frf,你m,D.而最;而?隔?
②以設-PSGAT)時,。想成立.W"m,p)??E?P+1時.
f(m,p+l)-^(-l)*CjHm+L]
Y"STT+*=i(tF+im+;+i+(t*謁,:72咽
7“』+匾(FC+c尸)5r占訂+(-1尸;^"端
?+Ek,一齊夕srrkisrrkr+(一產(chǎn)
--1)tc?i;rnFTT+^(-1W^n-
?〃m,p)-C:;(-1廣號:+(\1)+2?八m,L(-?^srrrr2
m!p!(m4*l)!p!
■―/Xm+1?p)-_._4,
(m/*p*1)!(m>p42)!
m!p!(m+p?2)-(m?l)!p!(m11)!(pf1)?
(m>p>2)?(M?p?2)(
山,②及數(shù)學“納法可知;((
i"E,n(JW)fl,=&JIr?rm,n)=rn,m).
即黑o(-i)y$=E1(-ip《島p
10.【解析工以A3為x軸正反向建立平面直角坐標系,所以得出3(7,0),。(3—]、,3—:、)
C為以3為圓心,半徑等于巫的圓與以3為圓心,半徑等于1的圓的交點,存在兩個C.
2
.-.qc21BD,^KBD=-l,.-.KClC2=l
設C點坐標為(x,y)
,36-屈、2/3V2+V6
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 《培養(yǎng)契約精神》課件
- 養(yǎng)老院老人物品寄存制度
- 養(yǎng)老院老人緊急救援人員考核獎懲制度
- 向量的數(shù)量積課件
- 房屋封陽臺協(xié)議書(2篇)
- 《廣汽鄉(xiāng)鎮(zhèn)巡展》課件
- 2025年威海c1貨運從業(yè)資格證模擬考試
- 《學會與父母溝通》課件-圖
- 2024年度物業(yè)維修基金管理合同示范3篇
- 2025年遵義貨運資格證培訓考試題
- 02565+24273中醫(yī)藥學概論
- 【MOOC】市場調(diào)查與研究-南京郵電大學 中國大學慕課MOOC答案
- 2023年中央紀委國家監(jiān)委機關直屬單位招聘工作人員考試真題
- 2024-2025學年度教科版初中物理八年級上冊期末模擬卷(含答案)
- 《旅游概論》考試復習題庫(附答案)
- 1000畝水產(chǎn)養(yǎng)殖建設項目可行性研究報告
- 量子計算與區(qū)塊鏈
- 微電子器件期末復習題含答案
- 廣東珠海市駕車沖撞行人案件安全防范專題培訓
- 2022版ISO27001信息安全管理體系基礎培訓課件
- 廣東省深圳市寶安區(qū)多校2024-2025學年九年級上學期期中歷史試題
評論
0/150
提交評論