2024屆新高考卷重慶市適應卷（三）數學試題及答案

2024屆全國n卷適應卷（三）二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

數學試題

9.如圖1所示，圓臺的母線與下底面的夾角為60°,上底面與下底面的直徑之比為1:2,/尸為一條母線，H

注意事項：

I.本試題滿分150分，考試時間120分鐘；/尸=2,。為下底面圓周上的一點，ZABD=30°,則（）

2.考生答題前請在規(guī)定位置填寫姓名、班級、考號等相關信息，在答題卡上正確填涂準考證號（或粘貼A.三棱鐳尸-48。的體積為2B.圓臺的表面積為11a

條形碼）并仔細核對自己的信息；

3.選擇題請用2B鉛筆在答題卡對應的位置準確填涂，非選擇題請用0.5mm黑色字跡簽字筆在答題卡的C.的面積為3GD.直線4P與夾角的余弦值為J

4

非選擇題區(qū)域作答；在本試卷及草稿紙上作答，答案無效；圖1

10.設正實數1>0,>0,且滿足％+歹+3=孫，則（）

4.考試結束后，本試題、答題卡、草稿紙一并收回，請勿帶出考場。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

A.4x+y>13B.xy<9C.x2+y2<18D.也2

1.設，為虛數單位，則（匕）4二（）xy3

1+/

11.已知圓片：（x+l）2+j?=i,|W/^：（X-1）2+/=9,動圓戶與圓耳外切于點〃，與圓心內切于點N.

A.-1B.1C.iD.—i

圓心尸的軌跡記為曲線C,則（

2.已知集合/="|/一3工一4<0｝,B=｛x\x2-ax=0｝,若力中方且僅有兩個元素，則實數a的范圍

為（）A.C的方程為二十匕=1B.NMW的最小值為120°

43

A.（-1,4）B.（-1,0）C.（0,4）D.（—l,0）U（0,4）

3.某生產線正常生產狀態(tài)下生產的產品4的一項質量指標X近似服從正態(tài)分布若C.詼所+布配D.曲線。在點。處的切線與線段垂直

P（X<a）=P（X>\-2a）,則實數a的值為（）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

A.-10B.-19C.10D.1912.為弘揚志愿者精神，某校舉行“樂于助人”服務活動，現安排甲，乙等4人到三個不同地方參加活動，每

4.設。為雙曲線的中心，以雙曲線的實軸為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線交于4,8兩點，若必OB為等個地方至少1人，若甲和乙不能去同一個地方，則不同的安排方式有一

邊三角形，則雙曲線的離心率為（）

25109

13.已知(1—2x4-x)=al0x+a9xH—+4,則左

A2V326r44r

A.---B.飛—或2C.—D.—nV2*=i

333TT7T

14.已知f（）=sin（6?x+y）的圖象關于直線X=g對稱，且f（x）在（0,萬）上恰有兩條對稱軸.在\ABC中,

5.已知平面向量b滿足a-b=\a\=\b\=2,=a+tb（tsR），貝!I|A的最小值為（）x

A.-x/3B.3C.1D.2角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且G=JL/（|/）=0,則A48c面積的最大值為一

6.已知三棱錐尸一力8c中，PA=PB=PC=2AB=2BC=4,N/5C=120°,則三棱錐產一NBC外接球

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

的表面積為（）

15.（本小題滿分13分）

16646464G

A.71B.71C.--71D.-----71

332727設數列｛4｝的前幾項和為S”，｛曳｝為等比數列，且%=1,%,%，%-3成等差數列.

TT3n

7.設ale?]),tana=mtan0,sin(a-P)--,若滿足條件的a與4存在且唯一，則

（I）求數列｛%｝的通項公式;

tanatan0-()

（II）設“=4，數列｛------'------｝的前八項和為？；，證明：Tn<-.

1"+1（"十1）（加十1）3

A.一B.1C.2D.4

2

8.已知函數（a—l）x+l—a（a〉0）,g（x）=x+b,點。與0分別在函數y=f（x）與y=g（x）

的圖象.匕若|P0|的最小值為收，則6=（）

A.-1B.3C.一1或3D.1或3

數學試題【第1頁】（共4頁）數學試題【第2頁】（共4頁）

16.(本小題滿分15分)(II)為了進一步加強垃圾分類工作的宣傳力度，學校特舉辦垃圾分類知識問答比賽活動.每H比賽由二人

如圖2所示，在長方體485-4瑪U。1中，AA,=AD=y/2AB,“在棱4口上，且4C_L3M.參加，主持人4和8輪流提問，先贏3局者獲得第一名并結束比賽。甲，乙兩人參加比賽，已知主

21

若求平面河截長方體所得截面的面積;持人N提問甲贏的概率為一，主持人8提問甲贏的概率為一，每局比賽互相獨立，且每H都分輸贏.

(1)48=2,32

(II)若點N滿足國=陽，求平面8gM與所成夾角的余弦值.抽簽決定第一局由主持人4提問.

(1)求比賽只進行3H就結束的概率；

(2)設X為結束比賽時甲贏的局數，求X的分布列和數學期黑后(X).

18.(本小題滿分17分)

17.(本小題滿分15分)

已知實數函數/(x)=21n%—4%2有兩個不同的零點再，x2.

垃圾分類是普惠民生的一項重要國策.垃圾分類不僅能夠減少害垃圾對環(huán)境的破壞，減少污染，同時(I)求實數a的取值范圍；

也能夠提高資源循環(huán)利用的效率.垃圾分類共分四類，即rr害垃圾，廚余垃圾，可回收垃圾與其他垃圾.某

(II)設4°是方程lnx+ax-2=0的實根，證明：x0<X1X2<—.

校為了解學生對垃圾分類的了解程度，按照了解程度分為N等級和8等級，陵機抽取了100名學生作為樣

2

本進行調查.已知樣本中4等級的男生人數占總人數的一，兩個等級的女生人數一樣多，在樣木中隨機抽

5

取1名學生，該生是3等級男生的概率為一.

5

(I)根據題意，完成下面的二維列聯表.并根據小概率值a=0.05獨立性檢驗，判斷學生對垃圾垃圾分類

的了解程度是否與性別有關？

男生女生19.(本小題滿分17分)

A等級

已知直線>=丘+1(左二0)與拋物線￡:/=4y交于初，N兩點.7是線段MN的中點，點4在直

8等級

線》=-1上，且4T垂直于％軸.

a0.050.0250.010.005(I)求證：ZT的中點在q上；

3.8415.0246.6357.879

%(II)設點8在拋物線。2：>二—――1上，BP,8。是G的兩條切線，P,0是切點.若Z3//MN,

2

,n(ad-be)u.,,,

ri二------------------------,其中〃=a+b+c+d.且位于軸兩側，求證：|力兇=|"||『。|.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)4,8y0||7

數學試題【第3頁】(共4頁)數學試題【第4頁】(共4頁)

高中

2024屆全國II卷適應卷(三)

數學答案

--單選題：本大題共8小題,每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目的要求.

1.選B

1-712

【解析】(~T)4；]一一〃一L

1+1242

2.選。

【解析】A-(-l,4),因為AC3中有且僅有兩個元素，則3{0,。},則

ac(-l,0)U(0,4).

3.選

八【

【解析】由正態(tài)分布的概率分布曲線的對稱性知，a--,-1---2-/7-110,則Ea=-1'

2

4.選3

【解析】由題可以知道6一且或上5則由e、黑昌2解得e92

a3a\a3或.

5.選A

【解析】由條件得COS<-萬，萬--貝(]

2

|c|忐2,而2.2應下〃，4/2,4/2M11)2?|-V3

6.選_8

【解析】在\ABC中，由余弦定理得AC2-432+A022ABACcos_ABC-12,貝(J

AC-2B由正弦定理可得MB。的外接圓半徑為r-212.設'ABC的外接

圓的圓心為。I，過(/作平面A3C的垂線/,由外接球的性質知外接球的球心。在直線/上，

由于PAPBPC,則點尸在/上.計算得POi=，出2一戶一2言,則有

產+(24-R)2-R2,解得R-竽，則三棱錐產ABC的外接球表面積

高中1

高中

SfFh”.

3

7.選B

1T.?日cos(a_R=4

【解析】方法1：由條件得a-Bw(0,3),由$111"」”--,則

/c、tana-tanR3

tan(”11)-----------7，整理得3根tan2|i4(ml)tan|\+3-0.因為唯一

1+tanatanp4

存在，則有A-16g1)226m-0,解得機-4或機-1又因為“；邛，則機-4,

貝ij'anpJ_tanu2則tantan|-1.

2

方法2:因為滿足題意的”與「唯一存在，所以“與0的終邊關于角土的終邊對稱，且

4

(X+P-—,則tan(itanp-1.

2

8.選A

【解析】注意到，八⑺1,因為f'(x)aex"且f'W\所以函數y/(%)

在點3'"處的切線方程為>當"U時，由e”.上

x1可知，

f(x)-tzex-(tz-1>+1-<2>a(x+1)-(a-1)X+La-X+1,所以|PQ|的最小值為直

S-回解得

線,xl1與直線y-g{x}-x^b的距離，由點到直線的距離公式知

6—1或6-3(舍去)，所以。--1.

二.多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多

個選項要求，部分選對的得部分分，有選錯的不得分.

9.選ABD

【解析】由條件知圓臺的高為會,AB4,AD2,BD-2?,則

vpABD-x(1..2>2^)>y/32,所以選項人正確.設圓臺的上下底面圓的半徑分別為

32

丫r=]r=2

1’2,由條件可得，，則圓臺的表面積

12

S-*2+江產+兀(廠+廠).AP一11兀，肺敏8正確.如圖，過點p作AB的

212

垂線交A3于T,過點T作3。的垂線交3。于W連接PQ,則易證

高中2

高中

3則

PQBD,TQ萬PT73,則PQ

S\FBD--BD.PQ_L26.坦―也,所以選項C錯誤.過A作BD的平行線交底

2222

面圓周于點連接則加”即為直線A"與"”所成角（或補角）,在A加0

中，AMBD2也,A"；r[V1芍「由余弦定理得

AP2AM2PM2h叵

cos.PAM-.........................上，貝憧線AP與50夾角的余弦值為出，選項。

2AP.AM44

正確.選項。妙解，由三余弦定理得cos.4Mcosmosn

6~3

10.選AD

%+3

【解析】由條件C孫得>=--(^>1),則

x1

x+34144「

4xy-4x----41414(%-1)4__15-246+5.13

x-1X1x-1

xz,y3=xy.jzxyy~~

,當且僅當是取等號，選項A正確.由

（歷+1）（河3）-0,解得孫29,當且僅當">J時取等號，選項3錯誤.

由(%4,)22xy(xy3)22孫得f+V(孫>8冷49,從而

f+y2A18,當且僅當x寸-3時取等號，選項C錯誤.由科"‘孫傳

]]3112

1—,因為孫二-9,所以--------7,當且僅當"―y=3時取等號,選項”

xy------xyxy3正

確.

11.選BCD

I，411r>1irr9isjr

【解析】設動圓P的半徑為乙由條件得.

,則

I尸身I?I尸巴上4耳E,I,且尸，,N不重合，故點P的軌跡為以R,F

M為焦點的

2

22

橢圓（去掉與尸，M,N重合的三點），則曲線C的方程為常三-1（%'2）,選項4

錯誤.易知_MPN與/“穴2互補，而2的最大值為60。，則/MPN的最小值為

高中3

高中

120。，選項3正確.

4"，NPFF]r（r+1）-?r（3-r）-2r（l-r）s2.（Lil—2:，速正確.由

2J—2

橢圓的光學性質知。選項正確.

三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填寫在答題卡相應位置上.

12.答案為30

14cle1

【解析】先將4人任意分成3組，共有211-6種分法,而甲，乙在一組的分法有1種,

因此滿足題意的分組方法共有5種，再將分好的3組分配到三個不同的地方，有人±6種方

法，根據分步計數原理，滿足題意的安排方法共有5*6一30種.

13.答案為10

9

【解析】對條件兩邊求導得工1x2）4（2%-2）-10a10x+9a9爐

I,?,I的，再令九1

9

得的+2G++而〃1，則、3女一%十2%十.一，9例一10.

iok\

14.答案為

r砧1小中斗””的圖象關于直線nil7T7T兀777

【解析】因為一對稱，則一（?>，一一，反，鼠Z

3332即

3k,k>Z.因為/'（x）在（0沆）上恰有兩條對稱軸，當（?>>0時,

2

3n7157tB7135nn-3K

—(0^+—：—,斛倚,此時無解.當”<。時，—：?->7l+—?——

232bb232

解得-L此時，果實數（?>的值為3.貝ij/Xx）—sin（-?x+三），因

662223

為/'（44）=5皿4+1）=0,且46（06），則A+一且，三），則4三.在

533333\ABC

中，由余弦定理得3-/+02bc>bc,貝IJJ

,當且僅當C時取等號，則

AABC的面積Svwc--besinA-^bc-力◎,故AABC面積的最大值為WL

2444

四.解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

15.(I)a-(?1)2

"+X“-2(II)證明略.

【解析】(I)因為。，1a2a丁3成等差數列，所以2a5a十a33,g|Ea-2a-^1,

高中4

高中

QkJkJ±fW

又為等比數列，piiji,",W也成等比數列，貝/一^_)2=(_L_豈，聯立解

n/J23

cc

得…—8,則數列片｝的公比為；則.〃：即s〃i”.當…時,

UnI=(〃+1"2"-2,%「1也適合。/5+1)><2〃-2,則數列｛劣｝的通項公式為

n

an~(n1)22

a

(II)由(I)知，、傘+1)x2"2則6-"2"2,則

n〃+工

b?2"-22心

______1___________________rpC-______________IJ1I

(4+1)(4i+l)(2"-2+1)(2"1+1)，匚J(2"2.1)(2"1.1),J

*-4--------二，則

2?-2+12—+1

7.11111121m4

21?12°412°4121J2”+12"32,J卜1'

1>U而2T212

廣71’所以"一，尹丁》

16.(I)3回(II)典

211

【解析】（I）解法1：如圖，因為ABC。A0CP的長方體，所以33J.平面A3CD,

又因為AC二平面ABCD,則AC_又AC_,RBB^BMB,

BBVBM平面33",則AC一平面33M.設平面33M與棱AD交于點

Q,連接"Q,BQ,則AC.BQ.因為AD-JlAB,不妨設A3-a,

AOQO.

AQ-fAD,設ACn3Q-。，易知\30C-XQOA,則標示,，又

C7C(JJD

ACA，BQJ2>2"a,貝1J有OBJ—3。，OC-^—AC,則

入+1A+1

坦二232+（空）2=（.）2,解得,1所以。為AD中點.由面面平行性質知

A+11+12

MQ//BB「則M為A。?的中點.設平面交棱A4于點P,連接MP,BP,則四

邊形3PM。即為所作截面.由面面平行性質知MP//3D,則P為A4的中點，則四邊形

3PMD為梯形.因為A3-2,則AD-2",貝2MP#,又BP3,

高中5

高中

MD加.設梯形3PMD的高為/?,則有&人+Ji。人_小,解得力,則

A/3

四邊形BPMD的面積S=L($+24)>華-電竺.

2732

解法2:以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(0,0,0),5(2,0,0),

C(2,272,0),M(O,y,20則AC-(2,2^0),甌(―2,H2回.因為

AC一BM,貝iRb一時,艮>412-0,解得y-又因為4。一2"所以M

為AR的中點.以下同解法L

⑵由(I)知〃為AR的中點，因為B則N為CC的中點.不妨設

A3-2,則A(0,0,0),。(2,200),“(0,區(qū)26。(0,2區(qū)0),NQ,2&g,

則ZC（2,272,0）,W（0，A2"）,ND（2,0,后.由（I）知平面33"

的一個法向量為KC-(2,2jI,0),設平面NMD的一個法向量為行-(x,/z),則

MDm-0

取x-1,貝1]z_軀、y-2>/2,則

NDin-0

m(1,-2江.⑨.所以cos.也加.包，則平面35"與NMD所成夾角的余

弦值更

11

17.(I)根據小概率值“0.05獨立性檢驗，學生對垃圾垃圾分類的了解程度與性別無關

⑴_(II)E(X)理

54108

【解析】(I)根據題意，樣本中A等級的男生有40人，3等級的男生有20人，兩個

等級的女生都為20人，列聯表如下：

男生女生合計

A等級402060

B等級202040

合計6040100

零假設Ho：學生對垃圾垃圾分類的了解程度與性別無關.

高中6

高中

則/=：°)—-2.78.3.841,所以沒有充分的理由說明"o不

60x40x40x609

成立，即學生對垃圾垃圾分類的了解程度與性別無關.

(II)(1)根據題意，比賽只進行3局就結束，則有甲連勝3局或者乙連勝3局兩種情況.

設比賽只進行3局就結束為事件A.

222

第一種情況，甲連勝3局.此時,P]—K

339

111

第二種情況，乙連勝3局.此時,P2=—x

3318

則P(A)-片+巴-』，即比賽進行3局結束的概率為-1.

1818

(2)由題意X取值為0,1,2,3.則

11112111111125

P(X0)—■一?——，P(X-l)-(——?—x—x—一—>

3231832332332336

“C、,21112121211111211111112113

r(X-2)-(―x—X—x-I--+—x—x—x—+—-x一?一+—x—x—x,x—=——

3232323232323232323232323108

37

則P(X-3)-1-P(X-0)-P(X-1)^P(X-2)則分布列如下：

54

X0123

I51337

P

183610854

則E(X)=0.—

183610854108

18.(I)a?(0,3

(II)證明略

e

/1'(X)—lax2(1-ax',若"?°,則當”€■(0,，工)時,

【解析】(I)

XX

f'(x)：.0,于(x)單調遞增，則/(%)至多只有一個零點，不符題意.若a>0,令/'(x)=0

得，X-—,則當X￡(0,回)時，/(X)>0,/(X)單調遞增，當％€(蟲,+力)時,

aaa

單調遞減.因為/(%)有兩個不同的零點，則必有

/■(蟲).21n?-a(蟲)2=_lna10,解得0<a.又x-,0時，

aaae

f(x)>—，，當%時，/(x)>z,故當0.4出，/(%)有兩個不同的零點,

e

所以實數。的取值范圍為(0.

高中7

高中

（II）由（I）知X,是函數/（X）的兩個不同零點，不妨設.X2

a

nnzinxaxzu.zinxax2n,/

則有/（占）=/（馬）=0,即ii22-0,作差得

A2X2

2221

2(lnx2-In)tz(x2-Xi),先證玉馬.-即1JE&%2<即證

a2(ln%2-Inxi)

x2x1

1<丁西,設t=x

x)則只需證1<即證/-->2