2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

絕密★啟用前

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)(乙卷)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知全集。={123,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則加(舟”=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】A

【解析】

【分析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算即可.

【詳解】由題意可得：MUN={1,2,3,4},則說(MN)={5}.

故選：A.

2.設(shè)iz=4+3i，貝i」z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】C

【解析】

【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求得z的值.

【詳解】由題意可得：z二i±^=(4+3J4z-3

=3-4z.

-1

故選：C.

|x|

3.已知命題0：lxeR,sinx<l；命題,e>1,則下列命題中為真命題的是(

A.p^qB.…八qc.p人―D.-{pvq)

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題P的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題q的真假性，由此確定正

確選項(xiàng).

【詳解】由于sinO=O,所以命題，為真命題；

由于y=短在R上為增函數(shù)，兇之0,所以*i2e°=l，所以命題4為真命題；

所以，人4為真命題，T7人4、P八r、-i(pvq)為假命題.

故選：A.

YX

4,函數(shù)/(x)=sin§+cos1的最小正周期和最大值分別是()

A.37r和y/2B.3兀和2C,6兀和D.6兀和2

【答案】C

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡了(%),結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.

cos1應(yīng)sin]+?],所以"%)的最小正

【詳解】由題，/(%)=sin—+cos—=V2——sin—+——

331232

T_2P

周期為一丁一甲，最大值為④.

3

故選：C.

x+y>4,

5.若工。滿足約束條件<x-yV2,則z=3x+y的最小值為()

JW3,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由題意作出可行域，變換目標(biāo)函數(shù)為y=—3x+z,數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示,

%+y=4/、

由:可得點(diǎn)A（l,3）,

U=3

轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)z=3x+y為y=_3x+z,

上下平移直線y=-3x+z,數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過點(diǎn)A時,z取最小值,

此時Z血n=3義1+3=6.

故選：C.

5兀

6.cos2-兀--cos2

12，12

1R6C四

A.—D.----D

232T

【答案】D

【解析】

c715jrjrjr

【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得cos2—-cos2—=cos2――sin2—,再由二倍角公式即可得解.

12121212

,口=?2?25?2?2n7i2?.2?

【詳解】由寇思，cos---cos——cos----COS=cos---sm——

121212T-121212

故選：D.

7.在區(qū)間［o,；隨機(jī)取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于1的概率為（）

3

211

B.-C.一D.-

■336

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出.

【詳解】設(shè)o="區(qū)間［o,；區(qū)間長度為｝1,

隨機(jī)取1個數(shù)”，對應(yīng)集合為:x|0

2

A="取到的數(shù)小于g”，對應(yīng)集合為：1x|O<x<|1j,區(qū)間長度為1,

3

/、/（A）I-02

所以「（A）=君=匕=§

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是明確事件“取到的數(shù)小于對應(yīng)的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式即可準(zhǔn)確

3

求出.

8.下列函數(shù)中最小值為4的是（）

By=|Isi.nxI|+4

A.y=x2+2x+4M

C.y=2x+22rD.y=In%H----

Inx

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得

出5。不符合題意，C符合題意.

【詳解】對于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=—1時取等號，所以其最小值為3,A不

符合題意；

對于B,因?yàn)?<卜垣犬區(qū)1,y=|sinx|+^—^>274=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜inx|=2時取等號，等號取不到，

所以其最小值不為4,B不符合題意;

4「

對于C,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而2、>0,y=2x+22-"=2X+—>2^4=4,當(dāng)且僅當(dāng)2，=2,即％=1

2

時取等號，所以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y=lnx+—,函數(shù)定義域?yàn)?0,1)(L”)，而InxeH且InxwO,如當(dāng)lnx=—l,>=—5,

Inx

D不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)

的性質(zhì)即可解出.

9.設(shè)函數(shù)f(x)=t2,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+%

A./(x-l)-lB./(x—1)+1C./(%+1)-1D.f(x+l)+l

【答案】B

【解析】

【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.

1-Y2

【詳解】由題意可得了(%)=——=—1+——，

1+%1+%

對于A,y(x—1)—1=2-2不是奇函數(shù)；

對于B,7(X—1)+1=2是奇函數(shù)；

對于c,f(x+l)-l=——-2,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)；

對于D,/(%+1)+1=—,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù).

x+2

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對概念的理解，是一道容易題.

10.在正方體ABCD—中，P為B】D］中點(diǎn)，則直線總與所成的角為()

【答案】D

【解析】

【分析】平移直線至SC-將直線PB與A?所成的角轉(zhuǎn)化為pg與BQ所成的角，解三角形即可.

【詳解】

如圖，連接3G，PG，PB，因?yàn)锳DI〃BCI，

所以NP5G或其補(bǔ)角為直線PB與AD,所成的角，

因?yàn)?片，平面4片。12，所以BB1工pq,又PCi』B]D[,BBiCBD=Bi，

所以PC]，平面PBBX,所以PC]，尸5，

設(shè)正方體棱長為2,則BQ=2V2,PCI=；D[B[=及,

sinNP3G=^^=：，所以NPBCi=j

凡126

故選：D

11.設(shè)2是橢圓。：會+>2=1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，則|P目的最大值為（）

A.|B.76C.非D.2

【答案】A

【解析】

2

【分析】設(shè)點(diǎn)夕（x0,y。），由依題意可知，5（0,1）,￡+$=1,再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到|尸8「,

然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

2

【詳解】設(shè)點(diǎn)夕伍,兀)，因?yàn)?(0,1),個+第=1,所以

=XQ+(%—I)?=5(1—y；)+(%—if=_4y：_2yo+6=—4(%+j

而一1<%<1，所以當(dāng)先=—:時，PM的最大值為g.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟悉橢圓的簡單幾何性質(zhì)，由兩點(diǎn)間的距離公式，并利用消元思想以及二次函數(shù)

的性質(zhì)即可解出.易錯點(diǎn)是容易誤認(rèn)為短軸的相對端點(diǎn)是橢圓上到上定點(diǎn)B最遠(yuǎn)的點(diǎn)，或者認(rèn)為是橢圓的

長軸的端點(diǎn)到短軸的端點(diǎn)距離最大，這些認(rèn)識是錯誤的，要注意將距離的平方表示為二次函數(shù)后，自變量

的取值范圍是一個閉區(qū)間，而不是全體實(shí)數(shù)上求最值..

12.設(shè)awO,若x=a為函數(shù)/(1卜爪尤一^^了一與的極大值點(diǎn)，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a20.ab>a2

【答案】D

【解析】

【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對a進(jìn)行分

類討論，畫出/(、,)圖象，即可得到6所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】若a=b,則/(x)=a(x—a)3為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故疝b.

.?./(可有x=a和九=b兩個不同零點(diǎn)，且在％=a左右附近是不變號，在尤=b左右附近是變號的.依題意，

1-。為函數(shù)八二</(v-u)(v-/>)的極大值點(diǎn)，,在x=。左右附近都是小于零的.

當(dāng)a<0時，由x>b,/(%)<0,畫出"％)的圖象如下圖所示：

由圖可知匕<a,。<0,故a/?〉/.

當(dāng)a>0時，由x>Z?時，/(^)>0,畫出了(%)的圖象如下圖所示:

1V

由圖可知Z?>a,a>0,故a/?〉。).

綜上所述，a匕>"成立.

故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a=(2,5),/?=(44),若“//6,則4=.

Q

【答案】I

【解析】

【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于2的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)X的值.

【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4—4x5=0,

Q

解方程可得：2=j.

Q

故答案為：—

14.雙曲線上-匯=1的右焦點(diǎn)到直線x+2y-8=0的距離為.

45

【答案】亞

【解析】

【分析】先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.

【詳解】由己知，°=，片+/=54=3,所以雙曲線的右焦點(diǎn)為(3,0),

|3+2x0-8|50

所以右焦點(diǎn)(3,0)到直線x+2y—8=0的距離為正一=左=",

故答案為：A/5

15.記_ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,6,c,面積為石，3=60。，〃+°2=3ac,貝=.

【答案】2-72

【解析】

【分析】由三角形面積公式可得ac=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】由題意，S,Br--acsmB-^-ac-A/3>

ABC24

所以ac=4,/+c?=12,

所以。2=a2+c2-2accosB=12—2x4xg=8,解得b=2血(負(fù)值舍去).

故答案為：2夜.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選

側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為(寫出符合要求的一組答案即可).

圖④圖⑤

【答案】③④（答案不唯一）

【解析】

【分析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.

【詳解】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長方體ABCD-4四。1。中，AB=BC=2,BB]=1,

瓦廠分別為棱的中點(diǎn)，

則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐石-ADF.

故答案為：③④.

【點(diǎn)睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)

系.

三、解答題.共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一

臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為最和亍，樣本方差分別記為s；和4,

（1）求了,y?s；,s2；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果歹—了》2、卮土正，則認(rèn)為

V10

新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

【答案】⑴1=10,7=10.3,s；=0.036,$=0.04；⑵新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯

著提高.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.

（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.

……-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7,八

［詳解］（1）x=---------------------------------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

y=-----------------------------------------------------------------------------=10,3,

10

20.22+0,32+0+0.22+0.12+0,22+0+0.12+0.22+0.32…/

s、二----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=0.036,

110

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22i

-----------------------------------------------------------------------=0n.04.

10

(2)依題意，y-x=0.3=2x0.15=2A/0.152=270.0225?2j0-03^0-04=270.0076,

,所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

V10

18.如圖，四棱錐尸—A5CD的底面是矩形，底面A3CD,M為的中點(diǎn)，且

（1）證明：平面R4M_L平面PBD；

（2）若PD=DC=1,求四棱錐尸—A5CD的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）YZ.

3

【解析】

【分析】（1）由PD,底面ABCD可得又？8,AM,由線面垂直的判定定理可得AM,平

面PBD,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面R4M_L平面PBD；

（2）由（1）可知，AM±BD,由平面知識可知，^DAB~^ABM）由相似比可求出AD,再根據(jù)四棱

錐P—ABCD的體積公式即可求出.

【詳解】（1）因底面A3CD,AMu平面ABCD,

所以

又PBLAM，PBPD=P,

所以AM_L平面PSD,

而AMu平面RU/,

所以平面BVW_L平面尸BD.

（2）［方法一］:相似三角形法

由（1）可知

^ADAB

于是ABD^BMA,故——=

AB~BM

因?yàn)?加=工3。,4。=8。,45=1,所以工3。2=1,即BC=0.

22

故四棱錐尸一ABCD的體積V=1A3-BC-P￡>=也.

33

［方法二］:平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法

由（2）知所以的"?心。=T.

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)5C=2a（a>0）.

因?yàn)?。C=l，所以A(0,0),Bd,O),D(0,2a),

。一

02〃—02

從而^AM,^BD---x二〃x(—2a)=—2a=—1.

1-0---0-1

所以a=Y2,即=下同方法一.

2

［方法三］【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

設(shè)|D4|=￡,所以￡>(0,0,0),C(0,l,0),尸(0,0,1),A?,0,0),B(M,0).

所以Af1萬,1,0),PB=(Z,l,-1),AM=-,l,0j.

所以PRAM=J—3+lxl+0x(—1)=—5+1=0.

所以/'二四，§PIDA|=\/2.下同方法一.

［方法四］:空間向量法

由得

所以(PO+ZM+ABAAAf=0.

即PD?AM+DA?AM+AB?AM=0?

又PD_L底面ABC。，AM在平面ABCD內(nèi)，

因此PD_LAM，所以PD.AM=0.

所以AM+AB?AM=0，

由于四邊形A3CD是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，

得—L|ZM|2+|AB『=0,即—4|BC『+1=0.

22

所以|BCI=J5,即BC=J5.下同方法一.

【整體點(diǎn)評】（2）方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積；

方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積;

方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個邊長,為最常用的通性通

法，為最優(yōu)解；

方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長.

19.設(shè)｛叫是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列出｝滿足詈.已知%,3a2,9%成等差數(shù)列.

（1）求｛4,｝和也｝的通項(xiàng)公式；

C

⑵記S“和7；分別為｛4｝和也｝的前〃項(xiàng)和.證明：T“〈彳.

1n

【答案】（1）4=［尸，bn=—；（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列性質(zhì)及為得到9q2-6q+l=0,解方程即可；

（2）利用公式法、錯位相減法分別求出工,1，再作差比較即可.

【詳解】（1）因?yàn)椋?｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列且4,3a>9a3成等差數(shù)列,

所以6a2=4+9%,所以6qq=q+9%q2,

即9/—6q+l=0,解得q=；,所以

na_n

所以“n

33"

（2）［方法一］:作差后利用錯位相減法求和

12n-1n

——I—k+H--------rH-----f

3323”T3〃

1111

邑-.......1-------1-------1-

2213°3132

Sn123n111110--1--2--

§+*+于++5于+要+鏟++干----H2.2++

5=F3°---31----32

,1

n—1---

____2+2L-

3“T3"

,1

0-11-12--n—1---

設(shè)「=2,2,—2+,+—⑧

"-3°31323"-1

.1

,0--1--2--n—1—

則％=」+二+」+,_____2.⑨

n------------------------

3"3132333”

由⑧一⑨得倍+e++4匚」+」，力匚.

32(31323刃3"2」3"

一3

_3

所以r二]"2:”.

"一—4義3”2-2X3“T-—2X3”T

qnnn

因此7；--里<0.

〃23〃2X3"T2x3"

q

故《＜寸

［方法二］【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法

1x(1-；)

證明:由（1）可得S”=

3

T12n-1n

“3323"T3"

112n—1n

§(=3+系++^-+產(chǎn)，②

1(1-1

①.⑨得21111“_3(3"2Ll_l)_2L

3"+i=2n3"3日，

3

31n

所以，=—(1—一)------,

"43"2.3"

刻一?。?nn

所以1一于=<0,

2^3"2^3"

q

所以4〈才

［方法三］:構(gòu)造裂項(xiàng)法

由(I)知，令q=(a〃+0(g),且￡=c“—c“+i,即

-[a(n+1)+/7]

通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得a=：,"=?,所以+.

貝|1=2+么+

［方法四］:導(dǎo)函數(shù)法

1+wcn+'~(n+V)xn

(1-x)2

所以

北=4+4+&+

31+叫一(〃+1)電

4

【整體點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)

學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇,

關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.

（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；

方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯位相減法求得S”,7；,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；

方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造+,使〃=c,-c”+i，求得7”的表達(dá)

式，這是錯位相減法的一種替代方法，

方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.

20.已知拋物線C:/=2PHp>0）的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離為2.

（1）求C的方程;

（2）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，點(diǎn)。滿足尸Q=9Q/，求直線。。斜率的最大值.

【答案】（1）丁2=4%；（2）最大值為L

3

【解析】

【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；

⑵設(shè)由平面向量的知識可得尸（10%—9,10%）,進(jìn)而可得％=25；；"再由斜率公式及

基本不等式即可得解.

【詳解】（1）拋物線C:y2=2px（p〉0）的焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程為x=—

由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為勺=P=2,

所以該拋物線的方程為丁=4x；

（2）［方法一］:軌跡方程+基本不等式法

設(shè)。（后,%），則PQ=9QF=（9—9%—9%）,

所以尸（10%—9,10%）,

由P在拋物線上可得（10%『=4（10%—9）,即毛=25『9,

?Q

據(jù)此整理可得點(diǎn)Q的軌跡方程為丁=§x-石，

kJo；-_So

所以直線0Q的斜率%—所以+9—25y；+9,

10

當(dāng)先=0時，左00=0；

9I9-

當(dāng)先>°時，因?yàn)?5%H--->2/25yo—=30,

%V%

193

此時0<心。<一,當(dāng)且僅當(dāng)25%=-，即％=時，等號成立;

3%5

當(dāng)％)<0時，k°Q<0；

綜上，直線。。的斜率的最大值為

3

［方法二］:【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法

29

同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=j^--.

2Q

設(shè)直線。。的方程為y=Ax,則當(dāng)直線。。與拋物線丁=《工-三相切時，其斜率上取到最值.聯(lián)立

y=kx,/、2

，297\91

\29得二x2-±x+二=0,其判別式△=—±—4%2X二=0,解得左=±—,所以直線。。

>2=gx-石，525I5；253

斜率的最大值為

3

［方法三］:軌跡方程+換元求最值法

20

同方法一得點(diǎn)。的軌跡方程為/=

設(shè)直線。。的斜率為匕貝|左2=(2］=2一_9.

\x)5x25x

令一i=/(0<r<10x、，則上2=—9二/+2—f的對稱軸為f=5±,所以0K42?1—1〈左w—1.故直線。。斜

x9J2559933

率的最大值為』.

3

［方法四］:參數(shù)+基本不等式法

由題可設(shè)尸(4/,4。Q>O),Q(x,y).

因?yàn)镕(1,O),PQ=9QF,所以(x—4/,y—4。=9(1—九,一y).

［x-4t2=9(l-x)［10x=4r2+9

于是〈,所以〈

y-^t=-9y\10y=4t

y_4/_4<4_1

則直線OQ的斜率為T—4r+9二LZE31

當(dāng)且僅當(dāng)4f=—9,即f=32時等號成立，所以直線。。斜率的最大值為1一.

t23

【整體點(diǎn)評】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得。的軌跡方程，得到直線的斜率關(guān)于y的表達(dá)式,

然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；

方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線。。的斜率的最大值，

為最優(yōu)解；

方法三同方法一求得。軌跡方程，得到直線。。的斜率上的平方關(guān)于X的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二

次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線。。斜率的最大值；

方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)P(4r,40Q>0),QO,y),求得關(guān)于f的參數(shù)表達(dá)式，得到直線。。的斜

率關(guān)于f的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線。。斜率的最大值.

21.已知函數(shù)/(X)=丁一/+奴+1.

(1)討論“X)的單調(diào)性;

(2)求曲線y=/(x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=/(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】⑴答案見解析；(2)(1,<;?I)和(―1,—1—.

【解析】

【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；

(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：f'(x)=3x2-2x+a,

導(dǎo)函數(shù)的判別式△=4—12a,

當(dāng)A=4—時，/'(x)?0,/(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)A412〃>0"「時，v)=。的解為：石=ha,=1+a-3a,

33，3

’l—Jl_3a)

當(dāng)xe-co,―當(dāng)——時，/'(、-)>0,(r)單調(diào)遞增；

I3J

當(dāng)xe時，〃、卜0.N)單調(diào)遞減；

1+J1—3a

當(dāng)工￡———,+8時，/'(工單調(diào)遞增；

綜上可得：當(dāng)“;>:時，“K)在R上單調(diào)遞增，

Iv1—A/1—3ci1+A/1—3ci

當(dāng)a?二時，/(z.r)在-8,---------,---------,+8上

?a、\3\37

品、用伊工品+1—y/1—3a1+J1—3〃匕品、小、田、修

單調(diào)遞增，在---------，----------上單倜遞減.

33

(2)由題意可得：/(/)=%；_君+叫+1,(x0)=3XQ-2X0+a,

則切線方程為：y—(%；-%；+ar()+1)=(3%；-2x0+,

切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則：。―(%；—/；+1)=(3/；—2%+〃)(。—%)，

整理可得：2只—%；—1=0,即：(/—1乂2片+/+1)=0,

解得：xt=I,則/(1)=1一1/“7“?|，尸(%)=，'⑴=1+〃

切線方程為：y=(〃+l)x,

與/(I)x-?■《八?I聯(lián)立得x3—x2+cix+l=(a+l)x,

化簡得d—/—l+1=0,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個根，「.(X—1)是％3—/—X+1的一個因

式，.??該方程可以分解因式為1)=0,

解得玉=1,冗2=-1，

綜上，曲線r-/(、)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線＞=/(.1)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1?，1)和(—1，—1—。).

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點(diǎn)所做曲線的切線問題，注

意單調(diào)性研究中對導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點(diǎn)的不同情況進(jìn)行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)時,

要注意除了已經(jīng)求出的切點(diǎn)，還可能有另外的公共點(diǎn)(交點(diǎn))，要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解

時要注意其中有一個實(shí)數(shù)根是求出的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考

壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.

(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做.則按所做的第一

題計(jì)分.

［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在直角坐標(biāo)系x0y中，。的圓心為C（2,l）,半徑為1.

（1）寫出：C的一個參數(shù)方程；

（2）過點(diǎn)/（4,1）作（C的兩條切線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線

的極坐標(biāo)方程.

x=2+cos。

【答案】（1）［?.,（。為參數(shù)）；

y=1+sin。

（2）psinl0+—\=2———WpsinI6*+—I=2+^-.

【解析】

【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；

（2）先求得過（4,1）的圓的切線方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式化簡即可.

【詳解】（1）由題意，一C的普通方程為5-2）2+（尸1）2=1,

x=2+cosa

所以C的參數(shù)方程為1,（戊為參數(shù)）

y=1+sin?

（2）［方法一］:直角坐標(biāo)系方法

①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x=4,此時圓心到直線的距離為2>r，故舍去.

②當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)其方程為丁=左。-4）+1,即日—y—4左+1=0.

故J］+?2=1，即|27|=J1+F,4K=1+左2,解得左=±y

所以切線方程為丁=￥（%—4）+1或y=一］?（》一4）+1.

兩條切線的極坐標(biāo)方程分別為夕sin，=pcos0-4f+1和夕sin，=pcos。+4f+1.

即夕sinV）=2一和夕sin16+=2+.

［方法二］【最優(yōu)解】：定義求斜率法

如圖所示，過點(diǎn)尸作CC的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.

在，ACF中，tanZAFC=—^又CR〃x軸，所以兩條切線的斜率分別走和一且.

AF333

故切線的方程為'=岑(》-4)+1，y=-^--(x-4)+b這兩條切線的極坐標(biāo)方程為

「sin。=/Pcos，-g有+1和psin。=-g/?cos，+gG+l?

即夕sin，+葛)=2—9和夕5由［8+?］=2