2024屆山東省德州市平原縣八年級數(shù)學第二學期期末達標測試試題含解析

2024屆山東省德州市平原縣八年級數(shù)學第二學期期末達標測試試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知AABC,ZABC=9Q°,頂點4在第一象限，B,。在x軸的正半軸上（C

在3的右側），BC=2,AB=2日AAOC與AABC關于AC所在的直線對稱.若點A和點。在同一個反比例函數(shù)

y=勺的圖象上，則08的長是（）

A.2B.3C.2A/3D.3后

2.把分式產廠中的x和y都擴大為原來的5倍，那么這個分式的值（）

2x-3y

A.擴大為原來的5倍B.不變

C.縮小到原來的！D.擴大為原來的3倍

52

3.我校開展了主題為“青春?夢想”的藝術作品征集活動、從八年級某六個班中收集到的作品數(shù)量（單位：件）統(tǒng)計如

圖，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是（）

A.48,48,48B.48,47.5,47.5

C.48,48,48.5D.48,47.5,48.5

4.如圖，正方形ABCD的邊長為1,點E,F分別是對角線AC上的兩點，EG±AB.EI±AD,FH±AB,FJ±AD,

111

A.1B.-C.—D.-

234

X—2

5.當分式三一有意義時，則x的取值范圍是()

3x+6

11

A.x#2B.xW-2C.xW—D.xW——

22

6.如圖是一次函數(shù)y產kx+b與yz=x+a的圖象，則下列結論中錯誤的是()

C.b>0D.方程kx+b=x+a的解是x=3

7.如圖，當y〉y2時，x的取值范圍是()

C.x<lD.x<2

8.在平面直角坐標系中，點P(3,-V—1)關于“軸對稱點所在的象限是

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.一次函數(shù)丫=1^+1)(1#0)的圖象如圖所示，當y>0時，x的取值范圍是()

A.x<0B.x>0C.x<2D.x>2

10.如圖,在4ABC中,P為BC上一點,PR±AB,垂足為R,PS±AC,垂足為S,NCAP=NAPQ,PR二PS,下面的結

論:①AS=AR;②QP//AR;③△BRPgACSP.其中正確的是()

B.②③C.①③D.①②③

11.在四邊形ABCD中，AC=BD.順次連接四邊形ABCD四邊中點E、F、G、H,則四邊形EFGH的形狀是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.不能確定

12.在平面直角坐標系中，點。（-2,口）與點。（仇1）關于原點對稱，則4+力的值為（）

A.-1B.-3C.1D.3

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，在ABC。中，分別以點4、。為圓心，大于工人。的長為半徑作弧，兩弧交于點P、Q,作直線交

2

AB于點E,連接OE,若NC=x°,NEDC=y。,則丁與％之間的函數(shù)關系式是.

14.直角三角形的兩邊為3和4,則該三角形的第三邊為.

15.聰明的小明借助諧音用阿拉伯數(shù)字戲說爸爸舅舅喝酒：81979,87629,97829,8806,9905,98819,54949（大意

是：爸邀舅吃酒，爸吃六兩酒，舅吃八兩酒，爸爸動怒，舅舅動武，舅把爸衣揪，誤事就是酒），請問這組數(shù)據(jù)中，數(shù)

字9出現(xiàn)的頻率是.

16.關于x的方程x2+5x+m=0的一個根為-2,則另一個根是.

17.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3,點Q為對角線AC上的動點，則△BEQ

周長的最小值為

DC

a

AEB

18.小明對自己上學路線的長度進行了20次測量，得到20個數(shù)據(jù)xi,*2,…，xzo,已知為+刈+…+刈0=2019,當代

數(shù)式（X-Xl）2+（X-X2）2+...+（X-X20）2取得最小值時，X的值為.

三、解答題（共78分）

19.（8分）在我市某一城市美化工程招標時，有甲、乙兩個工」程隊投標，經(jīng)測算：甲隊單獨完成這項工程需要60天,

若由甲隊先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成.

（1）乙隊單獨完成這項工程需要多少天？

（2）甲隊施工一天，需付工程款3.5萬元，乙隊施工一天需付工程款2萬元.若該工程計劃在70天內完成，在不超

過計劃天數(shù)的前提下，是由甲隊或乙隊單獨完成工程省錢？還是由甲乙兩隊全程合作完成該工程省錢？

20.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0,6）,點3在x軸的正半軸上.若點尸，。在線段A3上，且

PQ為某個一邊與x軸平行的矩形的對角線，則稱這個矩形為點尸、。的“涵矩形”.下圖為點P,。的“涵矩形”的示意

圖.

（1）點3的坐標為（3,0）.

3

①若點P的橫坐標為不，點。與點3重合，則點P、。的“涵矩形”的周長為.

2

②若點P,。的“涵矩形”的周長為6,點P的坐標為（1,4）,則點E（2,l）,F（l,2）,G（4,0）中，能夠成為點尸、Q

的“涵矩形”的頂點的是.

（2）四邊形PMQN是點尸、。的“涵矩形”，點以在AAOB的內部，且它是正方形.

①當正方形PMQN的周長為8,點P的橫坐標為3時，求點的坐標.

②當正方形PMQN的對角線長度為及時，連結直接寫出線段的取值范圍.

21.（8分）如圖，在ABC。中，AD//BC,AC=BC=4,ZD=90°,M,N分別是45、OC的中點，過3作BE_LAC

交射線AO于點E,BE與AC交于點F.

（1）當NACB=30°時，求MN的長：

⑵設線段CO=x,四邊形A5CO的面積為y,求y與x的函數(shù)關系式及其定義域；

（3）聯(lián)結CE,當CE=AB時，求四邊形ABCE的面積.

22.（10分）如圖，在平行四邊形A5C。中，。是A5的中點，連接并延長交C3的延長線于點E,連接AE、DB.

（1）求證：△A0〃g450E；

（2）若OC=Z>E,判斷四邊形AEBO的形狀，并說明理由.

23.（10分）列分式方程解應用題

“六一”前夕，某商場用7200元購進某款電動玩具銷售.由于銷售良好，過了一段時間，商場又用14800元購進這款

玩具，所購數(shù)量是第一次購進數(shù)量的2倍，但每件價格比第一次購進貴了2元.

（1）求該商場第一次購進這款玩具多少件？

（2）設該商場兩次購進的玩具按相同的標價銷售，最后剩下的80件玩具按標價的六折再銷售，若兩次購進的玩具全

部售完，且使利潤不低于4800元，則每件玩具的標價至少是多少元？

24.（10分）如圖，已知正方形ABCD中，以BF為底向正方形外側作等腰直角三角形BEF,連接DF,取DF的中點

G,連接EG,CG.

⑴如圖1,當點A與點F重合時，猜想EG與CG的數(shù)量關系為EG與CG的位置關系為,請證明你的結

論.

⑵如圖2,當點F在AB上（不與點A重合）時，（1）中結論是否仍然成立？請說明理由；如圖3,點F在AB的左

側時，（1）中的結論是否仍然成立？直接做出判斷，不必說明理由.

(3)在圖2中，若BC=4,BF=3,連接EC,求.石CG的面積.

25.(12分)如圖，已知反比例函數(shù)yi=4■與一次函數(shù)y2=kzx+b的圖象交于點A(2,4),B(-4,m)兩點.

X

(1)求ki,k2,b的值；

(2)求AAOB的面積；

(3)請直接寫出不等式公次2X+b的解.

X

3223

26.已知勿?=3,〃+〃=5，利用因式分解求ab+2ab+ab的值.

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、B

【解題分析】

作DEJ_y軸于E,根據(jù)三角函數(shù)值求得NACD=NACB=60。，即可求得NDCE=60。，根據(jù)軸對稱的性質得出CD=BC=2,

從而求得CE=1,DE=g,設A(m,2白)，則D(m+3,6),根據(jù)系數(shù)k的幾何意義得出k=2若m=(m+3)布，

求得m=3,即可得到結論.

【題目詳解】

解：作DELx軸于E,

??,HAABC中，ZABC^9Q°,BC=2,AB=2^3,

：.ZACB=60°,

：.ZACD=ZACB=60°,

：.NDCE=180°-60°-60°=60°,

?:CD=BC=2,

：.CE=-CD=1,DE^—CD^y/3,

22

設A（M,26）,則。（機+3,6），

k=2-j3m=（m+3）G，

解得m=3,

：.OB=3,

故選B.

【題目點撥】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理等知識，求得NDCE=60。是解題的關鍵.

2、B

【解題分析】

先將x和y都擴大為原來的5倍，然后再化簡，可得答案.

【題目詳解】

2x2x5%2%

解：分式:;一廠中的X和y都擴大為原來的5倍，得不二一丁丁=丁一T'，

2x-3y2x5x-3x5y2x-3y

所以這個分式的值不變，

故選：B.

【題目點撥】

此題考查了分式的基本性質，關鍵是熟悉分式的運算法則.

3、A

【解題分析】

根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義和加權平均數(shù)公式分別進行解答即可.

【題目詳解】

解：這組數(shù)據(jù)48出現(xiàn)的次數(shù)最多，出現(xiàn)了3次，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是48；

把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，最中間兩個數(shù)的平均數(shù)是（48+48）+2=48,則中位數(shù)是48；

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：（47x2+48x3+50）+6=48,

故選：A.

【題目點撥】

本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到

?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）.

4、B

【解題分析】

根據(jù)軸對稱圖形的性質，解決問題即可.

【題目詳解】

解：?.?四邊形ABCD是正方形，

二直線AC是正方形ABCD的對稱軸，

VEG1AB.EI±AD,FH1AB,FJ1AD,垂足分別為G,I,H,J.

二根據(jù)對稱性可知：四邊形EFHG的面積與四邊形EFJI的面積相等，

.11

S網(wǎng)==S正方形ABCD=~，

22

故選B.

【題目點撥】

本題考查正方形的性質，解題的關鍵是利用軸對稱的性質解決問題，屬于中考?？碱}型.

5、B

【解題分析】

根據(jù)分母不為零列式求解即可.

【題目詳解】

分式中分母不能為0,

所以，3x+6/O,解得：x#—2,

故選B.

【題目點撥】

本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：①分式無意義u分母為零；②分式有意義u分母

不為零；③分式值為零U分子為零且分母不為零.

6、B

【解題分析】

根據(jù)一次函數(shù)的性質對ABC選項進行判斷；利用一次函數(shù)與一元一次方程的關系對D項進行判斷.

【題目詳解】

???一次函數(shù)yi=kx+b經(jīng)過第一、二、三象限，

/.k<0,b>0,所以A、C正確；

.直線yz=x+a的圖象與y軸的交點在x軸的下方，

/.a<0,所以B錯誤；

,一次函數(shù)yi=kx+b與y2=x+a的圖象的交點的橫坐標為3,

x=3時,kx+b=x+a,所以D正確.

故選B.

【題目點撥】

本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式.從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次丫=1^+1）的值大于（或小于）0的自變量的

取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.

7、C

【解題分析】

分析：根據(jù)圖像即可解答.

詳解：觀察圖像可知：當x<l時，yi=kx+b在y2=mx+n的上方，即yi>y2..

故選C.

點睛：本題考查一次函數(shù)的圖像問題，主要是通過觀察當x在哪個范圍內時對應的函數(shù)值較大.

8、A

【解題分析】

【分析】先推出點P（3,-x2-l）在第四象限，再根據(jù)軸對稱推出對稱點所在象限.

【題目詳解】因為點P（3,-X?-1）在第四象限，所以點P（3,-x2-1）關于x軸對稱點所在的象限是第一象限.

故選：A

【題目點撥】本題考核知識點：平面直角坐標系中點的對稱問題.解題關鍵點：理解點的對稱規(guī)律.

9、C

【解題分析】

由圖象可知，直線與x軸相交于（1,0）,當y>0時，x<l.

故答案為xVL

10、A

【解題分析】

連接AP,由已知條件利用角平行線的判定可得N1=N2,由三角形全等的判定得AAPR義AAPS,得AS=AR,由已知

可得N2=N3,得到N1=N3,得QP〃AR,答案可得.

【題目詳解】

連接AP,

B

A0SC

；PR=PS,PR±AB,垂足為R,PS±AC,垂足為S,

；.AP是NBAC的平分線，Z1=Z2,

/.△APR^AAPS,

.\AS=AR,

又AQ=PQ,

.\Z2=Z3,

又N1=N2,

.\Z1=Z3,

；.QP〃AR,

BC只是過點P,沒有辦法證明ABRPgZ\CSP,③不成立.

故選A.

【題目點撥】

本題主要考查角平分線的判定和平行線的判定；準確作出輔助線是解決本題的關鍵，做題時要注意添加適當?shù)妮o助線,

是十分重要的，要掌握.

11、B

【解題分析】

先由三角形的中位線定理求出四邊相等，進行判斷.

【題目詳解】

四邊形EFGH的形狀是菱形，

理由如下：

在AABC中，F(xiàn)、G分別是AB、BC的中點，

故可得：FG=UC,同理EH=[AC,GH=[BD,EF=±BD,

2222

在四邊形ABCD中，AC=BD,

/.EF=FG=GH=HE,

二四邊形EFGH是菱形.

故選B.

C

【題目點撥】

此題考查了菱形的判定，解題的關鍵是掌握菱形的判定定理.

12、C

【解題分析】

直接利用關于原點對稱點的性質得出a,b的值，進而得出答案

【題目詳解】

解：點P（—2,a）與點Q（b,l）關于原點對稱，

b=2,a=—1>

a+b=1.

故選：C.

【題目點撥】

此題主要考查了關于原點對稱點的性質，正確得出a,b的值是解題關鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、y-180-2%

【解題分析】

由題意可判定尸。是AO的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質即得進一步可得NA=NAOE,再根據(jù)平

行線的性質和平行四邊形對角相等的性質即得結果.

【題目詳解】

解：由題意可知，尸。是AO的垂直平分線,

：.ED=EA,

：.ZA=ZADE,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ZA=ZC=x°,AB//CD,

：.ZA+ZADC=180°,

即x+x+y=180,

y=180-2%.

故答案為y=180-2x.

【題目點撥】

本題考查了對尺規(guī)作線段垂直平分線的理解和線段垂直平分線的性質以及平行四邊形的性質，解題的關鍵是由作圖語

言正確判斷PQ是AD的垂直平分線.

14、5或J7

【解題分析】

本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊4既可以是直角邊，也

可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即4是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解.

【題目詳解】

解：設第三邊為x,

(1)若4是直角邊，則第三邊％是斜邊，由勾股定理得：

32+42=X2,所以X=5；

(2)若4是斜邊，則第三邊％為直角邊，由勾股定理得：

3Z+%2=42,所以x—V7;

所以第三邊的長為5或近.

故答案為：5或幣.

【題目點撥】

本題考查勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，并且分情況討論.

1

15、

3

【解題分析】

首先正確數(shù)出所有的數(shù)字個數(shù)和9出現(xiàn)的個數(shù)；再根據(jù)頻率=頻數(shù)+總數(shù)，進行計算.

解：根據(jù)題意，知在數(shù)據(jù)中，共33個數(shù)字，其中11個9；

故數(shù)字9出現(xiàn)的頻率是

333

16、-3

【解題分析】

解：設方程的另一個根為"，

則有-2+〃=-5,

解得：n=-3.

故答案為-3.

【題目點撥】

本題考查一元二次方程依2+bx+c=O（awO）的兩根是玉,馬,則為+%=——,%]-%2=—.

aa

17、1

【解題分析】

連接BD,DE,根據(jù)正方形的性質可知點B與點D關于直線AC對稱，故DE的長即為BQ+QE的最小值，進而可得

出結論.

【題目詳解】

V四邊形ABCD是正方形，

點B與點D關于直線AC對稱，

ADE的長即為BQ+QE的最小值，

???DE=BQ+QE=y/AD2+AE2=y/42+32=5，

ABEQ周長的最小值=DE+BE=5+1=L

故答案為L

考點：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知軸對稱的性質是解答此題的關鍵.

18、100.1

【解題分析】

先設出y=（X-X1>+（X-X2）2+（X-X3）2+...+（X-X20）2，然后進行整理得出y=20x2-2（X1+X2+X3+...+X20）X+（Xl2+X22+X32+...+X202），

再求出二次函數(shù)的最小值即可.

【題目詳解】

解：設y=（X-X1）2+（X-X2）2+（X-X3）2+...+（X-X20）2

=X2-2XX1+X12+X2-2XX2+X22+X2-2XX3+X32+..,+X2-2XX2?+X202

=20x2-2（X1+X2+X3+...+X20）x+（Xl2+X22+X32+...+X202）,

=20X2-2X2019X+（XI2+X22+X32+...+X202）>

2x2019

則當X=---------時，（X-X1）2+（X-X2）2+（X-X3）2+...+（X-X20）?取得最小值，

40

即當X=100.1時，（x-Xl）2+（X-X2）2+（X-X3）2+...+（X-X20）2取得最小值.

故答案為100.1.

【題目點撥】

此題考查了二次函數(shù)的性質，關鍵是設丫=（x-Xl）2+（X-X2）2+（X-X3）2+…+（X-X20）2,整理出一個二次函數(shù).

三、解答題（共78分）

19、（1）乙隊單獨完成需2天；（2）在不超過計劃天數(shù)的前提下，由甲、乙合作完成最省錢.

【解題分析】

（1）求的是乙的工效，工作時間明顯.一定是根據(jù)工作總量來列等量關系.等量關系為：甲20天的工作量+甲乙合作

24天的工作總量=1.

（2）根據(jù)題意，分別求出三種情況的費用，然后把在工期內的情況進行比較即可.

【題目詳解】

解：（1）設乙隊單獨完成需X天.

根據(jù)題意，得：—x20+（-+—）x24=l.

60X60

解這個方程得：X=2.

經(jīng)檢驗，X=2是原方程的解.

...乙隊單獨完成需2天.

（2）設甲、乙合作完成需y天，則有（4+上）義丁=1，

6090

解得，y=36；

①甲單獨完成需付工程款為：60x3.5=210（萬元）.

②乙單獨完成超過計劃天數(shù)不符題意，

③甲、乙合作完成需付工程款為：36x（3.5+2）=198（萬元）.

答：在不超過計劃天數(shù)的前提下，由甲、乙合作完成最省錢.

【題目點撥】

本題考查分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.

20、(1)①9.②/(1,2)；(2)①點。的坐標為(1,5)或(5,1).②當WOM<5.

【解題分析】

⑴①利用A、B的坐標求出直線AB的解析式，再將P點橫坐標代入，計算即可得點P、。的“新矩形”的周長；②由

直線AB的解析式判定是否經(jīng)過E、F、G三點，發(fā)現(xiàn)只經(jīng)過了F(1,2),能夠成為點P、。的“涵矩形”的頂點的是

F(1,2)

(2)①①根據(jù)正方形的性質可得出NABO=45°,結合點A的坐標可得出點B的坐標及直線AB的函數(shù)表達式，由尸

的橫坐標為3,可得出點P的坐標，再由正方形的周長可得出點Q的坐標，進而可得出點Q的坐標；②由正方形的對

角線長度為形，可得正方形的邊長為1,由直線AB的解析式y(tǒng)=-x+6可知M點的運動軌跡是直線y=-x+5,由點〃在

AAO8的內部，x的取值范圍是0<x<5,0MV5,0M最小值是由0向直線y=-x+5作垂線段，此時011=述，可得0M的

2

取值范圍.

【題目詳解】

⑴①解:由A(0,6),B(3,0)可得直線AB的解析式為：y=-2x+6,

3

???P點橫坐標是一

2

.,.當x=3時，y=3

2

3

；.P(-,3).

2

?:點。與點3重合，

AQ(3,0)

33

???點P、。的“涵矩形”的寬為：3--=-,長為3-0=3

22

3

.?.點P、。的“涵矩形”的周長為：2x(—+3)=9

2

故答案為9

②.由①可得直線AB的解析式為：y=-2x+6可設Q(a,-2a+6),則成為點P、Q的“涵矩形”的頂點且在AOB內部的一

點坐標為M(1,-2a+6)

/.PM=4-(-2a+6)=2a-2,MQ=a-l

丁點尸，。的“涵矩形”的周長為6

APM+MQ=3

:.2a-2+a-l=3

解得：a=2

AM(1,2)

故答案為F(l,2),只寫尸或(1,2)也可以.

(2)①點尸、。的“涵矩形”是正方形，

ZABO=45°,

二點4的坐標為(0,6),

..?點3的坐標為，

直線AB的函數(shù)表達式為y=-x+6.

點P的橫坐標為3,

二點尸的坐標為(3,3).

正方形PMQN的周長為8,

.?.點。的橫坐標為3—2=1或3+2=5,

..點。的坐標為(L5)或(5,1).

②?.?正方形的對角線長度為0,

二可得正方形的邊長為1,

因為直線AB的解析式y(tǒng)=-x+6可設M點的運動軌跡是直線y=-x+b,且過(0,5)

故M點的運動軌跡是直線y=-x+5

:點"在AA6?的內部，x的取值范圍是0<x<5,

...當M落在0B或者0A邊上時，0M取得最大值，此時0M=5,由于點M在AAOB的內部,

.\0M<5,

當0M,直線y=-x+5時，0M取得最小值，此時0M=%^,

2

???0M的取值范圍.逑<OM<5.

2

故答案為逑<0M<5

2

【題目點撥】

本題考查了新型定義題型，矩形、正方形、一次函數(shù)、線段最值等問題，難度較高，審清題意，會綜合運用矩形、正

方形、一次函數(shù)以及最值的求法，是解題的關鍵.

21、(1)MN=2+百；(2)y=；J16—爐2x(0VxV4)；(3)1或1&.

【解題分析】

(1)解直角三角形求出AD,利用梯形中位線定理即可解決問題；

(2)求出AD,利用梯形的面積公式計算即可；

(3)作AG±BC于G,EH_LBC于H.想辦法證明AABC也AECB,推出AC=BE=4,因為AC_LBE,可得S四邊形ABCE=-?AC?BE,

2

由此計算即可；

【題目詳解】

(iy：AD//BC,

ZDAC=ZACB=30°,

在Rt/XAC。中，；AC=4,ZZ>=90°,NACI>=30°,

：.CD=^AC=2,AD=MCD=2M，

"：AM=BM,DN=CN,

：.MN是梯形ABC。的中位線，

:*MN=^{AD+BC)=2+73.

⑵在RtZXACD中，'：AC=4,ZD=90°,CD=x,

.,.AZ>=A/AC2_CD2=1J16_X2,

.力=4(AD+50.]6-x2+4)X==.X.J]6-x2+2x(0Vx<4).

⑶①當點E在線段AD上時，作AG_LBC于G,EH,5c于77.

'：AD//BC,AGJ_3C于G,EH±BC^H.

：.AG^EH,ZAGB^ZEHC^90°,

'：AB=EC,

???RtAABG^RtAECH,

:.ZABC=ZECBf

*:AB=EC9BC=CB,

:?△ABSAECB,

：.AC=BE=4,

VAC±BE9

；?S四邊形A3CE=—?AC^BE=—X4X4=1.

22

②當點E在AD的延長線上時，易證四邊形ABCE是平行四邊形，

\'BE±AC,

二四邊形A5CE是菱形，

'：BC=AC=AB,

：.AABC,ZkACE是等邊三角形，

=2

???S四邊形ABCE2XX2.X4=I；/3-

【題目點撥】

本題考查四邊形綜合題、勾股定理、梯形的中位線定理、梯形的面積、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵

是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

22、(1)證明見解析；(2)四邊形AE5O是矩形.

【解題分析】

(1)利用平行線得到N4O0=N3E。，再利用對頂角相等和線段中點，可證明

(2)先證明四邊形AE3O是平行四邊形，再利用對角線相等的平行四邊形的矩形，可判定四邊形AE5O是矩形.

【題目詳解】

(1)I?四邊形ABCZ)是平行四邊形，J.AD//CE,：.ZADO=ZBEO.

是BC中點，J.AO^BO.

XVZAOD=ZBOE,:AAOD%/XBOE(AAS)；

(2)四邊形AE3O是矩形，理由如下：

'：/^AOD^/XBOE,：.DO=EO.

又40=80,.?.四邊形AE8O是平行四邊形.

DC=DE=AB,二四邊形AEBD是矩形.

【題目點撥】

本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質，解決這類問題往往是把四邊形問題轉

化為三角形問題解決.

23、(1)該商場第一次購進這款玩具100件；(2)每件玩具的標價至少是100元.

【解題分析】

(1)設該商場第一次購進這款玩具x件，則第二次購進這款玩具2x件，根據(jù)兩次購得的單價的差值為2元列出分式

方程;

(2)設每件玩具的標價為y元，根據(jù)利潤不低于4800元列出不等式并解答.

【題目詳解】

(1)設該商場第一次購進這款玩具x件，則第二次購進這款玩具2x件,

148007200

依題意得:

2xx

解得x=100

經(jīng)檢驗x=100是原方程的解.

即該商場第一次購進這款玩具100件；

(2)設每件玩具的標價為y元，則

(100+200-80)J+80X60%J-7200-14800>4800

解得心100

即每件玩具的標價至少是100元.

【題目點撥】

考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用.分析題意，找到合適的數(shù)量關系是解決問題的關鍵.

24、(1)EG=CG,EG±CG；(2)當點F在AB上(不與點A重合)時，(1)中結論仍然成立，理由見解析，點F

在AB的左側時，(1)中的結論仍然成立；(3)SACEG==苧.

8

【解題分析】

/91

(1)過E作EMLAD交AD的延長線于M,證明aAME是等腰直角三角形，得出AM=EM=、—AE=—AB,證出

22

DG=AG=-AD=AM=EM,得出GM=CD,證明△GEMg/XCGD(SAS),得出EG=CG,ZEGM=ZGCD,證出

2

ZCGE=180°-90°=90°,即可得出EG_LCG；

(2)延長EG至H,使HG=EG,連接DH、CH、CE,證明△EFG絲/MiDG(SAS),得出EF=HD,ZEFG=ZHDG,

ffi^ACBE^ACDH(SAS),得出CE=CH,ZBCE=ZDCH,得出NECH=/BCD=90°,證明是等腰直角

三角形，得出CG=-EH=EG,EG±CG；延長EG至H,使HG=EG,連接DH、CH、CE,同理可證CG」EH=EG,

22

EG±CG；

(3)作EM垂直于CB的延長線與M,先求出BM,EM的值，即可根據(jù)勾股定理求出CE的長度，從而求出CG的

長，即可求出面積.

【題目詳解】

解：(1)EG=CG,EG±CG；理由如下：

過E作EMLAD交AD的延長線于M,如圖1所示：

則NM=90°,

???四邊形ABCD是正方形，

.*.AB=AD=CD,ZBAD=ZD=90°,

/.ZBAM=90°,

???ABEF是等腰直角三角形，

；.NBAE=45°,AE=—AB,

2

/.ZMAE=45°,

：.AAME是等腰直角三角形，

/.AM=EM=—AE=-AB,

22

?；G是DF的中點，

1

:.DG=AG=-AD=AM=EM,

2

.\GM=CD,

在aGEM和ACGD中，

EM=DG

<NM=ND=90,

GM=CD

.-.△GEM^ACGD(SAS),

AEG=CG,ZEGM=ZGCD,

VZGCD+ZDGC=90°,

.*.ZEGM+ZDGC=90o,

.?.ZCGE=180°-90°=90°,

AEG±CG；

(2)當點F在AB上(不與點A重合)時，(1)中的結論仍然成立，理由如下:

延長EG至H,使HG=EG,連接DH、CH、CE,如圖2所示：

是DF的中點，

/.FG=DG,

EG=HG

在aFFG和aIIDG中，<ZEGF=ZHGD,

FG=DG

/.△EFG^AHDG(SAS),

；.EF=HD,ZEFG=ZHDG,

ABEF是等腰直角三角形，

.\EF=BE,ZBFE=ZFBE=45°,

；.BE=DH,

???四邊形ABCD是正方形，

；.AB〃CD,ZABC=ZBCD=90°,BC=CD,

.,.ZAFD=ZCDG,

.\ZAFE=ZCDH=135°,

VZCBE=90°+45°=135°,

.\ZCBE=ZCDH,

在和△CDH中，

BE=DH

<ZCBE=ZCDH,

BC=CD

.,.△CBE^ACDH(SAS),

/.CE=CH,ZBCE=ZDCH,

.?.ZECH=ZBCD=90°,

...AECH是等腰直角三角形，

VEG=HG,

1

.\CG=-EH=EG,EG±CG；

2

E

圖2

點F在AB的左側時，(1)中的結論仍然成立，理由如下：

延長EG至H,使HG=EG,連接DH、CH、CE,如圖3所示：

；G是DF的中點，

?\FG