2022年上海市嘉定區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷【答案版】

2022年上海市嘉定區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）考生應(yīng)在答題

紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.已知集合力=（1,3）,B=（2,+8）,則NC8=.

x—1

2.不等式一；V0的解為

x+2----------

3.若等差數(shù)列｛斯｝滿足硝+。5=16,則“4=.

4.已知函數(shù)y（x）=l+log2Jc,它的反函數(shù)為G）,則/I（3）=.

5.在（2x+l）6展開式中，的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.

y>0

6.若實(shí)數(shù)無、y滿足x-y>0,則z=2x+y的最大值為.

.2x-y<2

7.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該

“塹堵”的體積為.

［，］*Hn

主視圖左視圖

俯視圖

8.若數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為:公比為a-粉的無窮等比數(shù)列,且數(shù)列｛斯｝各項(xiàng)的和為a,則實(shí)數(shù)a的值為

9.從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個(gè)數(shù)中任取5個(gè)不同的數(shù)，則這5個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為6的

概率為（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.

第1頁（共18頁）

10.已知函數(shù)歹=/（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)％<0時(shí)，/（%）=%+§+1.若函數(shù)y=/（x）在[3,

+°°）上的最小值為3,則實(shí)數(shù)。的值為.

11.已知橢圓后二；需（。為參數(shù)，a>0,b>0）的焦點(diǎn)分別為（-2,0）、F2（2,0）,點(diǎn)/為橢

圓「的上頂點(diǎn)，直線/尸2與橢圓「的另一個(gè)交點(diǎn)為2.若出尸1|=3|2尸2],則橢圓「的普通方程為.

12.已知函數(shù)/（x）=sin（3x+（p）,其中o）>0,0<（p<n,/（%）W/?）恒成立，且y=/G）在區(qū)間（0,

普）上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則3的取值范圍是.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的

相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.已知復(fù)數(shù)2=（2sina-1）+i（7?為虛數(shù)單位），則“z為純虛數(shù)”是“a=3’的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

_41

14.若。>0、b>0,且一+一=1,則的最小值為（）

ab

11

A.16B.4C.——D.-

164

—?T—>—?—?

15.在△A8C中，AB=AC=3,BD=2DC.若4D-BC=4,貝必B?4C=(

A.3B.-3C.2D.-2

16.在正方體力中，￡、尸分別是線段瓦力上的動(dòng)點(diǎn)，且直線防與441所成的角為

arctanV?.,則下列直線中與￡方所成的角必為arcta九告的是（)

A.CDB.BDC.BC\D.DCi

第2頁（共18頁）

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.（14分）如圖，圓錐的底面半徑04=2,高尸。=6,點(diǎn)C是底面直徑48所對(duì)弧的中點(diǎn)，點(diǎn)。是母線

PA的中點(diǎn).求：

（1）該圓錐的表面積；

（2）直線CD與平面以8所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

第3頁（共18頁）

18.(14分)設(shè)常數(shù)a&R,函數(shù)/(x)=2*+i+吳

(1)若函數(shù)y=/G)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若對(duì)任意xe[l,+8),/(x)>3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

第4頁(共18頁)

19.（14分）某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱N8與地面垂直，燈桿8C與燈柱所在

的平面與道路走向垂直，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線與平面/5C的部分截面如圖中陰影部分所示.已

知ZACD=路寬/。=24米.設(shè)（-<0<

3364

（1）當(dāng)。4時(shí)，求△/8C的面積；

（2）求燈桿8C與燈柱長度之和工（米）關(guān)于。的函數(shù)解析式，并求當(dāng)。為何值時(shí)，乙取得最小值.

第5頁（共18頁）

20.(16分)已知雙曲線C：4-4=1(〃>°，b>0)的一條漸近線的方程為:1|=0,它的右頂點(diǎn)

於b1V13I

與拋物線r：y2=4百%的焦點(diǎn)重合，經(jīng)過點(diǎn)/(-9,0)且不垂直于無軸的直線與雙曲線C交于M、N兩

點(diǎn).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)M是線段NN的中點(diǎn)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)設(shè)P、0是直線x=-9上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，求證：直線尸M與。N的交點(diǎn)必在直線x=-/上.

第6頁(共18頁)

21.(18分)若項(xiàng)數(shù)為左(去N*且無力3)的有窮數(shù)列｛%滿足:|ai-。2岡02-的|這…1-闔,則稱數(shù)

列｛斯｝具有“性質(zhì)M”.

(1)判斷下列數(shù)列是否具有“性質(zhì)M”，并說明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

(2)設(shè)冊(cè)=%-a”,+i|(俄=1,2,?■■,k-1),若數(shù)列｛*具有''性質(zhì)”)且各項(xiàng)互不相同.求證：“數(shù)

列｛斯｝為等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列出鬲為常數(shù)列”；

(3)已知數(shù)列｛“〃｝具有‘'性質(zhì)若存在數(shù)列｛斯｝,使得數(shù)列｛即｝是連續(xù)左個(gè)正整數(shù)1,2,后的一

個(gè)排列,且-。2什|。2-fl3|+--+|^-1-ak\=k+2,求k的所有可能的值.

第7頁C共18頁)

2022年上海市嘉定區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

參考答案與試題解析

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分)考生應(yīng)在答題

紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.已知集合/=(1,3),B=(2,+8),則/C8=(2,3).

解：:集合/=(1,3),B=(2,+8),

(2,3).

故答案為：(2,3).

x~l

2.不等式--<0的解為(-2,1).

%+2

x~l

解：不等式----<0等價(jià)于(x-1)(x+2)<0,

x+2

所以-2<x<l,

所以不等式的解集為(-2,1).

故答案為：(-2,1).

3.若等差數(shù)列｛“"｝滿足的+。5=16,則。4=8.

解：：｛斯｝是等差數(shù)列，

??。3+。5=2〃4=16,

??Q4=8.

故答案為：8.

4.已知函數(shù)y(x)=l+log2x,它的反函數(shù)為y=ri(x),則/I(3)=4.

解：由題意令l+log2X=3,解得元=4,

根據(jù)反函數(shù)的定義可得，1(3)=4,

故答案為：4.

5.在(2x+l)6展開式中，7的系數(shù)為60(結(jié)果用數(shù)值表示).

解：展開式中含，的項(xiàng)為。筑2尤)2=607,

所以7的系數(shù)為60,

故答案為：60.

y>0

6.若實(shí)數(shù)x、y滿足k—y20，則z=2x+v的最大值為6.

.2%—y<2

解：由約束條件作出可行域如圖,

第8頁(共18頁)

y

聯(lián)立解得N(2,2),

(zx—y=2

由z=2x+y,得＞=-2x+z,

由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過/時(shí)，直線在歹軸上的截距最大，2有最小值為2X2+2=6.

故答案為：6.

7.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該

“塹堵”的體積為2.

；2

?

1***1**

主視圖左視圖

俯視圖

解：根據(jù)題意知，直三棱柱的底面三角形是底面邊長為2,高為1的直角三角形，底面面積為S=3x2

Xl=l,

且直三棱柱的高為2,所以該“塹堵”的體積為k=577=1X2=2.

故答案為：2.

8.若數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為點(diǎn)公比為a-粉的無窮等比數(shù)歹U，且數(shù)列缶〃｝各項(xiàng)的和為0,則實(shí)數(shù)。的值為1.

1

解：由題意得——=—-~r=a,

l—q1—a+-

解得a=l或Q=

當(dāng)Q=*時(shí)，a—*=0顯然不符合題意，

故Q=1.

故答案為：1.

9.從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個(gè)數(shù)中任取5個(gè)不同的數(shù)，則這5個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為6的

第9頁(共18頁)

概率為三(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示).

解：根據(jù)題意，從10個(gè)數(shù)中任取5個(gè)數(shù)，則基本事件總數(shù)為Cfo=252,

而這5個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的基本事件數(shù)為鬣武=45,

455

故這5個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為6的概率為"=—.

25228

故答案為：皋.

28

10.已知函數(shù)歹=/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x〈0時(shí)，/(%)=%+^+1.若函數(shù)y=/(x)在［3,

+8)上的最小值為3,則實(shí)數(shù)〃的值為3.

解：因?yàn)榇?/(%)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)xVO時(shí)，/(%)=x+^+l.

當(dāng)x>Q時(shí)，-x<0,

則/(-x)=-+1=-f(x),

所以/(尤)=x+7—1,

因?yàn)楹瘮?shù)>=/(x)在［3,+8)上的最小值為3,

當(dāng)aWO時(shí)，/(x)在［3,+8)上單調(diào)遞增，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得最小值/(3)=2+1=3,

解得。=3(舍)，

當(dāng)0<aW9時(shí)，函數(shù)在［3,+8)上單調(diào)遞增，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得最小值/(3)=2+1=3,

解得。=3,

當(dāng)。>9時(shí)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=VH時(shí)，函數(shù)取得最小值2份+1=3,

解得a=l(舍)，

綜上，a=3.

故答案為：3.

11.已知橢圓心?仁：七鬻(。為參數(shù)，a>0,b>0)的焦點(diǎn)分別尸i(-2,0)、尸2(2,0),點(diǎn)/為橢

—DSITlU

圓「的上頂點(diǎn)，直線/尸2與橢圓「的另一個(gè)交點(diǎn)為從若內(nèi)人|=3田尸2|，則橢圓「的普通方程為麥+

y2.

-=1.

-8

解：根據(jù)題意，橢圓(。為參數(shù)，”>0,6>0),其普通方程為馬+［=1,

(y=osintfazbz

若其焦點(diǎn)分別B(-2,0)、尸2(2,0),則c=2,則有/=y+4,①

點(diǎn)A為橢圓r的上頂點(diǎn)，則A的坐標(biāo)為(0,b),

第10頁(共18頁)

又由防|=30五2|,而防|+師2|=20,貝I］防|=羊，田尸2|=今

b

又由恒尸2|=0，且/、B、尸2三點(diǎn)共線，則8的坐標(biāo)為(3,

2

又由幽|=當(dāng),則有(3+2)2+"=*2,②

聯(lián)立①②，解可得：a2=n,廿=8；

、X2V2

故橢圓的方程為二；+—=1;

128

12.已知函數(shù)/(x)=sin(3x+(p),其中3>0,0<(p<n,/(%)</(與)恒成立，且歹=/(x)在區(qū)間(0,

詈)上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則3的取值范圍是(6,10)

解：二?函數(shù)/(x)=sin(3x+(p),其中o)>0,0<(p<ii,/(%)</?)恒成立,

TC37TIT

/./(")=1,+0=2版+],蛇Z,

._?兀37r,?

??(p2111+2-~~.

結(jié)合<p的范圍，可得左=0或左=1.

①當(dāng)左=0時(shí)，(p=3一竿,

L41

由3>0,且(pE(0,K),可得coE(0,2).

'：y=f(x)在區(qū)間(0,等)上恰有3個(gè)零點(diǎn)，3x+<pC(隼，—+(p),

3n〈蔡冗+叩W4TG即3n券—竿<4n,

ooZ4

“57Tam77r

即—V—<—，即20Vo)W28.

282

綜合可得，0)60.

第11頁(共18頁)

/S\il4[n-4-c,兀3兀57T0）71

②當(dāng)左7=1時(shí)，（p=2h+2—4=-^------

由3>0,且<p€（0,ii）,可得coE（6,10）.

?：y=f（x）在區(qū)間（0,學(xué)）上恰有3個(gè)零點(diǎn)，o）x+q）GC（p,-a）Ti+（p）,

?—^--3.art-^35TT（I）TC.

??3TCV"GCO1T+（PW：4IT,B|J3IT<TGCOTTHQ—W4TT,

ooZ4

即4<3W12.

綜合可得，此時(shí)，?e（6,10）.

綜上，結(jié)合①②可得，coe（6,10）,

故答案為：（6,10）.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的

相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.已知復(fù)數(shù)2=（2sina-1）+7,4為虛數(shù)單位），則“z為純虛數(shù)”是“a="的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

解：當(dāng)。=1時(shí)，z=（2sina-1）+i=（2x；—l）+i=z?為純虛數(shù)，

反之，若z為純虛數(shù)，則2sina-l,解得a=[+2而或a=些+2而，住Z.

6o

???“z為純虛數(shù)”是“a=[”的必要非充分條件，

O

故選：B.

41

14.若a>0、b>0,且一+-=1,則ab的最小值為（）

ab

11

A.16B.4C.—D.-

164

解：〈a>。，b>0,

???1.+人4瑞,當(dāng)且僅當(dāng)[J即6=2,a=8時(shí)取等號(hào)，

...解得。6216,當(dāng)且僅當(dāng)“=8,6=2時(shí)等號(hào)成立，

：.ab的最小值為16.

故選：A.

—>T—>—>—>一

15.在△/3C中，AB=AC=3,BD=2DC.若4D-BC=4,則4B?AC=（）

A.3B.-3C.2D.-2

解：△ABC中，AB=AC=3,BD=2DC,

第12頁（共18頁）

T2T

所以BD=，C,

所以AD=AB+BD=AB+jBC=XB+|(AC-AB)=^AB+冢C,

T—?

因?yàn)?。-BC=4,

1T2TTTn—>[T—[Tn>T[

所以(-AB+-ac)?(ac—a8)=^AC2-^AB-AC-^AB2=x32-^AB'AC-x32=4,

333333DD

—>T

解得AB?AC=-3.

故選：B.

16.在正方體48CO-NL8ICLDI中，E、尸分別是線段/8、上的動(dòng)點(diǎn)，且直線跖與441所成的角為

arctany/2,則下列直線中與E尸所成的角必為arctcm學(xué)的是（）

A.CDB.BDC.BCiD.DCi

解：連接小。交/Di于N,過/作交3。1于〃，過N作2W_LN，于

:E、廠分別是線段/2、2D1上的動(dòng)點(diǎn)，.?.斯在平面ABD1內(nèi)，

易證小。1_平面ABO1，：.A\D±AH,又4OC4M=Ni，所以平面/iMW,

：.AH±AiM,

則N44H■為直線即與44i所成的角，又直線EF與AAi所成的角為arctma,

.".tanZAiAH==V2,設(shè)正方體的棱長為1,貝?？傻?/1/=學(xué)，A\M=

在RtA/AfiV中，tan/MAN=^=+=*,

T

又ADi//BC\,故直線BCi與EF所成的角必為arctcm號(hào)，

故選：C.

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.（14分）如圖，圓錐的底面半徑。4=2,高產(chǎn)0=6,點(diǎn)C是底面直徑所對(duì)弧的中點(diǎn)，點(diǎn)。是母線

第13頁（共18頁）

PA的中點(diǎn).求:

（1）該圓錐的表面積;

（2）直線。）與平面為8所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

解：（1）?.?圓錐的底面半徑04=2,高尸。=6,

圓錐的母線長PA=7P。2+。序=〃+36=2710,

,該圓錐的表面積為:

1__

S=71r2-j--xPAx2TIxOA=(4+4V10)n.

（2）由題意OC,OB,。尸兩兩垂直,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C,OB,0P所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

P(0,0,6),D(0-1,3),

CD=(-2,-1,3),平面以3的法向量為￡=(1,0,0),

設(shè)直線CD與平面PAB所成角為

TT,——

則sme=3=*=孚

\CD\-\n\/

V14

直線CD與平面PAB所成角的大小為arcsin—.

18.(14分)設(shè)常數(shù)a€R,函數(shù)f(x)=2*+i+方.

（1）若函數(shù)》=/（無）是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的值;

第14頁（共18頁）

(2)若對(duì)任意x€[l,+8),/(x)>3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：⑴因?yàn)楹瘮?shù)〃久)=2支+1+去為偶函數(shù)，

所以/(-x)=f(X),

即21+x+^,

整理得a(4X-1)=2(4X-1),

所以a=2：

(2)對(duì)任意x€[l,+8),fQ)=2丫+1+愛〉3,

整理得a>-2?22斗3?2匕

因?yàn)樗?*22,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)》=2時(shí)，-2”2x+3?2x取得最大值-2,

所以a>-2,

所以。的取值范圍為(-2,+8).

19.(14分)某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱N5與地面垂直，燈桿2C與燈柱43所在

的平面與道路走向垂直，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線與平面N8C的部分截面如圖中陰影部分所

示.已知乙12C=",ZACD=路寬40=24米.設(shè)(-<0<-).

3364

(1)當(dāng)e屋時(shí)，求△/BC的面積；

(2)求燈桿2C與燈柱長度之和工(米)關(guān)于e的函數(shù)解析式，并求當(dāng)e為何值時(shí)，工取得最小

值.

解：⑴當(dāng)時(shí)，ZACB=ZBAC==

o3366

TTTT

：.ZCAD=J-LBAC=J,

TT

XVZACD=J,4)=24,

AACD為邊長為24的等邊三角形，

第15頁(共18頁)

ABACRnAB24

△Z5C中,―—77?即=~n=-；―27r>

sinZ-ACBsinZ-Bsin—sin—

63

解得AB=8班,

?SC的面積為S^XACXABXs嗚另x24x4=48百平方米.

(2)在△40中，ZACD=AD=24,ZADC=2n-=

,TO”口ADAC24s譏6―8)L

由正弦定理得，—^=-一兀.、，解得4。=——殍'=16^cose,

sin-sm(--0)sin^

在△/8C中，ZABC=ZBAC=^-6,ZBCA=Q,NC=168cos。，

ABBCAC

由正弦定理得,

Sind~sin(-0)-s譏竽

..AB=32sin9cos0,BC—16y/3cos23-16cos0sin0,

L=BC+AB=16V3cos29—16cos0sin9+32sin0cos0=16V3cos29+16cos0sin0=8V3(l+cos20)+8sin20

1,—TT,—TCTC

=16sin29+—cos26)+8V3=16sin(20+勿+8V3(-<0<-),

22364

TC7TTT27r57r

643L36」

.?.當(dāng)20+卷=孚，即。=￡時(shí)，/取得最小值16sin曰+8舊=8+8W.

3646

20.(16分)已知雙曲線C：鳥—鳥=1(40,6>0)的一條漸近線的方程為:11=0,它的右頂點(diǎn)

azb1V13I

與拋物線r：y2=48萬的焦點(diǎn)重合，經(jīng)過點(diǎn)A(-9,0)且不垂直于X軸的直線與雙曲線C交于M、

N兩點(diǎn).

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)M是線段NN的中點(diǎn)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）設(shè)P、。是直線x=-9上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，求證：直線尸河與。N的交點(diǎn)必在直線工=-

上.

'b__

解：（1）由題意得公=g，解得/=2，

L=V316=回

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-±=1；

339

（2）設(shè)N（xo,則），因?yàn)镸是線段/N的中點(diǎn)，所以也審，學(xué)）,

則得顯一遺=1,業(yè)=L

3393X439X4

解得xo=4,/=±13,

所以所求點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4,13）或（4,-13）；

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（3）證明：由題意可設(shè)直線MN的方程為>=左G+9）,

X2yl

聯(lián)立方程組至一而Ml,消去力并整理得

y=k（x+9）

（13-必）x2-18必x-3（27廬+13）=0（13-必W0）,

設(shè)AfCxi,yi),N(尤2,了2),

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得X1+*2=，%1X2=—乳也已箸，

13-/13-fc2

又設(shè)P（-9,力，Q（-9,-力GW0）,則得直線尸初的方程為y—t=^^（%+9）,

X-￡I>

直線QN的方程為y+t=號(hào)（x+9）,兩個(gè)方程相減得

久2十V

2t=(關(guān):-衿$0+9)①，

Ao?>

國石g+tYi-tk(x+9)+tk(%+9)-tt(%1+%2+18)

因?yàn)?--二一---二=----2-------------—

X2+9久I+9)X2+9%i+9%i、2+9g+%2)+81'

%1+%2+18

把它代入①得2?(x+9),

4％2+9(無1+%2)+81

2型2+9&+X2)2XL唔舞+9(霽)

所以％=

%1+%2+18鳥+18

13-々/

因此直線尸〃與QN的交點(diǎn)在直線x=-1±.

21.（18分）若項(xiàng)數(shù)為左（陡N*且欄3）的有窮數(shù)列｛即｝滿足:⑶52匹也-。3反…W*i-砒則稱數(shù)

列｛斯｝具有“性質(zhì)M".

（1）判斷下列數(shù)列是否具有“性質(zhì)M”，并說明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

（2）設(shè)狐=%-。加+1|（加=1,2,???,左-1）,