九年級(jí)中考數(shù)學(xué)圓與相似解答題壓軸題提高練習(xí)及詳細(xì)答案

2020-2021九年級(jí)中考數(shù)學(xué)圓與相似解答題壓軸題提高專題練習(xí)及詳細(xì)答案

一、相似

1.如圖①，已知直線I】III2，線段AB在直線§上，BC垂直于§交％于點(diǎn)C,且AB=

BC,P是線段BC上異于兩端點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交1，§于點(diǎn)D,E（點(diǎn)A,E位

①②

（1）求證：△ABP空△CBE.

（2）連接AD、BD,BD與AP相交于點(diǎn)F,如圖②.

BC

——2

①當(dāng)8P時(shí)，求證：APXBD；

BCSi

…―-n—

②當(dāng)8P（n>l）時(shí)，設(shè)△PAD的面積為S],4PCE的面積為S2,求&的值.

【答案】（1）證明：BC,直線I1，

ZABP=ZCBE.

在^ABP和仆CBE中，

AB=CB,

{/ABP=NCBE,

BP=BE,

?/△ABP合△CBE,

/.ZPAB=NECB,

zPAB+ZAEH=ZECB+ZAEH=90°,

??.ZAHE=90°,

/.APJLCE.

BC

???而—：即P為BC的中點(diǎn),直線IJI直線|2,

△CPD-△BPE,

DPCP

--——1

EPBP，

/.DP=EP.

「?四邊形BDCE是平行四邊形，CEIIBD.

?/AP±CE,/.AP±BD.

BC

_一二力

②解：:BP,/.BC=nBP,

/.CP=(n-l)BP.

VCDIIBE,

△CPD?△BPE,

PDPC

---二n-]

：.PEPB

令SABPE=S則Sz=(nT)S，

S=S=nSSn+1S

APABABCE'APAE=<)-

S△PADPD

-------------77-/

,：s△PAEPE,

S]=(n+l)(n—1)S,

Si(n-f-1)(n-1)S

--------------------------------=n+1

S2(n-1)S.

【解析】【分析】(1)由已知條件用邊角邊即可證得△ABP2△CBE；

(2)①、延長(zhǎng)AP交CE于點(diǎn)H,由(1)知AABP合"CBE,所以可得NPAB=NECB,而

ZZECB+ZBEC=90"，所以可得ZPAB+ZBEC=90'，即NAHE=90",所以APJLCE；已知

BC

分=2,則點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，所以易證得BE=CD,由有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行

四邊形可得四邊形BDCE是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得CEIIBD,再根據(jù)平行線

的性質(zhì)即可求得AP_LBD；

②方法與①類似，由已知條件易證得ACPDs△BPE,則可得對(duì)應(yīng)線段的比相等，然后可

將^PAD的面積和4PCE的面積用三角形BPE的面積表示出來(lái)，則這兩個(gè)三角形的比值即

可求解。

2.已知拋物線y=ax2+bx-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0),頂點(diǎn)為D,點(diǎn)

C是直線I：y=x+5與x軸的交點(diǎn).

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)E是直線I在第三象限上的點(diǎn)，連接EA、EB,當(dāng)△ECA-△BCE時(shí)，求E點(diǎn)的坐

標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，連接AD、BD,在直線DE上是否存在點(diǎn)P,使得NAPD=NADB?

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)解：將A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3,

a-b-3=0,a=l

得：3+*-36,解得：!bT,

???該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=X2.2X-3

(2)解：當(dāng)y=0時(shí)，x+5=0,

解得：x=-5,

二點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-5,0).

■.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),

AC=4,BC=8.

,/△ECA~△BCE,

ACEC4EC

zECA=ZBCE,EC=BC,BPEC=8,

二EC=4超或EC=-4,3(舍去)，

過(guò)點(diǎn)E作EF^x軸于點(diǎn)F,如圖1所示，

???直線I的函數(shù)表達(dá)式為y=x+5,

二△CEF為等腰三角形,

CE=EF=4,

OF=5+4=9,EF=4,

二點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-9,-4)；

(3)解：；y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4),

AD=BD=X1'[1~(-I)~~+(4-0尸=2\f2,

由(2)可知：點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-9,-4),

直線DE的函數(shù)表達(dá)式為y=-4,

過(guò)點(diǎn)A作AMJ_BD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作ANJ?直線DE于點(diǎn)N,如圖2所示,

,,SAABD=2X[3'(⑴]x4=8，

痣4ABD168^5

：.AM=-BD-=2\[i=5,

DM=\AD'-AM=5,

■：ZAPD=ZADB,

ANAM

tanZAPD=tanZADB,即PN=DM,

8\[i

~5~

4郎

：.PN=~,

PN=3,

又；點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-1,-4),

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,-4)或(2,-4).

綜上所述：在直線DE上存在點(diǎn)P(-4,-4)或(2,-4),使得NAPD=NADB.

【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)

式；（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A,B的坐標(biāo)利用

相似三角形的性質(zhì)可求出EC的值，過(guò)點(diǎn)E作EF_Lx軸于點(diǎn)F,則ACEF為等腰三角形，根

據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出CE,EF的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）利用配方法

可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出BD的長(zhǎng)度，結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)可得出直線DE的函數(shù)表達(dá)式

為y=-4,過(guò)點(diǎn)A作AM±BD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作AN_L直線DE于點(diǎn)N,利用面積法可求出

AM的值，由NAPD=NADB結(jié)合正切的定義可求出PN的值，再結(jié)合點(diǎn)N的坐標(biāo)可得出點(diǎn)P

的坐標(biāo)，此題得解.

3.已知在△ABC中，NABC=90。，AB=3,BC=4.點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作

AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長(zhǎng)線（如圖2）于點(diǎn)P.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△APQSAABC；

（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng).

【答案】（1））證明：ZA+ZAPQ=90°,NA+NC=90°,=NAPQ=NC.

在^APQ與^ABC中，ZAPQ=NC,ZA=ZA,

APQ-△ABC.

（2）解：在RSABC中，AB=3,BC=4,由勾股定理得：AC=5.

vzBPQ為鈍角，當(dāng)4PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=PQ.

（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示，

由（1）可知，△APQ-&ABC,

PAPQ3-PBPB4

~———PR二一

ACBC,即54,解得：3.

45

AP二AB-PB二3一二一

3J.

（ID當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示，

BP=BQ,ZBQP=NP.

,/ZBQP+ZAQB=90°,ZA+ZP=90",ZAQB=NA。BQ=AB。

AB=BP,點(diǎn)B為線段AB中點(diǎn)。

AP=2AB=2x3=6.

,5

綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為工或6.

【解析】【分析】(1)由兩對(duì)角相等(NAPQ=NC,NA=NA),證明△APQ-△ABC。

(2)當(dāng)APQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論.(I)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上

時(shí)，如題圖1所示.由三角形相似(△APQs△ABC)關(guān)系計(jì)算AP的長(zhǎng)；(II)當(dāng)點(diǎn)P在線

段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示.利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，從

而可以求出AP.

3

v--X+b

4.如圖1,直線I：/與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C是線

16

段OA上一動(dòng)點(diǎn)(0<AC<5),以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作OA交x軸于另一點(diǎn)D,

(1)求直線I的函數(shù)表達(dá)式和tanNBAO的值；

(2)如圖2,連結(jié)CE,當(dāng)CE=EF時(shí),

①求證：△OCE-△OEA；

②求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OE-EF的最大值.

33

V---r+b—

【答案】(1)解：把A(4,0)代入/,得4x4+b=0,

解得b=3,

3

p———r+A

二直線I的函數(shù)表達(dá)式為/,

B(0,3)，

VAO±BO,OA=4,BO=3,

J

tanZBAO"

(2)①證明：如圖，連結(jié)AF,

,/CE=EF,

??.ZCAE=ZEAF,

又「AC=AE=AF,

ZACE=ZAEF,

ZOCE=ZOEA,

又二ZCOE=ZEOA,

/.△OCE-△OEA.

②解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH^x軸于點(diǎn)H,

J

/tanZBAO=4,

???設(shè)EH=3x,AH=4x,

/.AE=AC=5x,OH=4-4x,

OC=4-5x,

,/△OCE-△OEA,

ObOC

??./=應(yīng),

即OE2=OAOC,

(4-4x)2+(3x)2=4(4-5x),

12

解得X『.，x2=0(不合題意，舍去)

5236

二E(25,25).

(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AMJ_OF于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作ON_LAB于點(diǎn)N,

cosZBAO=5,

16

AN=OA-cosZBAO=5,

設(shè)AC=AE=r,

16

：.EN=5-r,

ON±AB,AM_LOF,

1

：.ZONE=ZAME=90°,EM=￡EF,

又：ZOEN=ZAEM,

二△OEN-AAEM,

ObEN

7=?,

1

即OE-^EF=AEEN,

16

：.OE-EF=2AEEN=2r-<-j-r),

32812816

??OE-EF=-2r2+?>r-2(r-)2+-1^(0<r<5),

812b

二.當(dāng)r=7時(shí)，OE-EF有最大值，最大值為三彳.

【解析】【分析】(1)將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線I解析式即可求出b值從而得直線I的函數(shù)表

達(dá)式，根據(jù)銳角三角函數(shù)正切定義即可求得答案(2)①如圖，連結(jié)AF,根據(jù)等腰三角形

性質(zhì)等邊對(duì)等角可得兩組對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)相似三角形的判定即可得證

②如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH±x軸于點(diǎn)H,根據(jù)銳角三角函數(shù)正切值即可設(shè)EH=3x,AH=4x,從

而得出AE、OH、0C,由①中相似三角形的性質(zhì)可得OE2=OAOC,代入數(shù)值即可得一個(gè)關(guān)

于x的方程，解之即可求出E點(diǎn)坐標(biāo).

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM±OF于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作ON±AB于點(diǎn)N,根據(jù)銳角三角函數(shù)定義

16160b

可求得AN=OA-cosZBAO=5,設(shè)AC=AE=r?，則EN=5-r根據(jù)相似三角形判定和性質(zhì)可知月￡=

淤3216

或，即OE-EF=-2rz+5r=(0<r<5)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求此最大值.

5.如圖，拋物線y=ax2+bx+c過(guò)原點(diǎn)0、點(diǎn)A(2,-4)、點(diǎn)B(3,-3),與x軸交于點(diǎn)

C,直線AB交x軸于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)直線AF±x軸，垂足為點(diǎn)F,AF上取一點(diǎn)G,使AGBAsAAOD,求此時(shí)點(diǎn)G的坐

標(biāo)；

(3)過(guò)直線AF左側(cè)的拋物線上點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)N,若NBMN=NOAF,

求直線BM的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】(1)解：將原點(diǎn)。(0,0)、點(diǎn)A(2,-4)、點(diǎn)B(3,-3),分別代入

y=ax2+bx+c,

c=0a=1

{48+2b+c=-4{b=-4

得9a+3b+c=-3,解得c=0,

2

■-y=x2-4x=(X-2)-4,

：.頂點(diǎn)為(2,-4).

(2)解：設(shè)直線人8為丫=1^+13,

A=A=/

-4

力

得

解

得3--

由點(diǎn)A(2,-4),B(3,-3),

直線AB為v=x-6.

當(dāng)y==0時(shí)，x=6,.??點(diǎn)D(6,0).

二點(diǎn)A(2,-4),D(6,0),B(3,-3),

OA=>OD=6,AD=桂,AF=4,OF=2,DF=4,AB=/,

DF=AF,又DAF_Lx軸,

ZADONDAF=45°,

△GBA-△AOD,

AG_Ab

：.AD~Ob,

AG

.?.而-7,

AG--

解得3,

48

FG=AF-AG=4-J-3，

8

「?點(diǎn)G(2,J).

(3)解：如圖1,

國(guó)1

?-,zBMN=ZOAF,NBNM二ZOFA=90°,

???ZMBN=ZAOF,

設(shè)直線BM與AF交于點(diǎn)H,

,/ZABH=ZAOD,ZHAB=ZADO,

AAOD~zlHRA,

ODAL

ABAh,

64yf24

則/-AH,解得AH=,

6

：.H(2,j).

81

pk+b———k———

3i3

設(shè)直線BM為y=kx+b,7將點(diǎn)B、G的坐標(biāo)代入得3k+b~3,解得b=-2.

1

二直線BM的解析式為y=7-2；

如圖2,

ZBMN=ZOAF,ZGDB=NODA,

△HBD-△AOD.

BDDh形_DH

二而一元，即64^2,解得DH=4.

二點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2,0）.

設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b.

r2k+b=Q

■：將點(diǎn)B和點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得：｛3k+b=-3,解得k=-3,b=6.

直線BM的解析式為y=-3x+6.

1

綜上所述，直線MB的解析式為y=7"或y=-3x+6.

【解析】【分析】（1）將原點(diǎn)。（0,0）、點(diǎn)A（2,-4）、點(diǎn)B（3,-3）,分別代入

y=ax2+bx+c,聯(lián)立方程組解答即可a,b,c的值，得到二次函數(shù)解析式；將解析式配成頂點(diǎn)

AG_Ab

式，可得頂點(diǎn)；（2）由△GBA-zsAOD,可得0L,分別求出AD,AB,OD的長(zhǎng)即可

求出AG,由點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)G；（3）點(diǎn)M在直線AF的左側(cè)，可發(fā)出垂足N可

以在線段AB上，也可以在AB的延長(zhǎng)線上，故有如圖1和如圖2兩種可能；設(shè)直線BM與

直線AF的交點(diǎn)為H,由（2）可知，參加（2）的方法可求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，從而求出直線

BM的解析式.

6.如圖，AB是O0的直徑，弦CDXAB于H,G為。0上一點(diǎn)，連接AG交CD于K,在

CD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使EG=EK,EG的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于F.

(1)求證：EF是。。的切線；

(2)連接DG,若ACIIEF時(shí).

①求證：△KGD-△KEG;

4

cos「二—?—；

②若5,AK=\〃°,求BF的長(zhǎng).

【答案】(1)證明:如圖，連接OGTEG=EK,

ZKGE=NGKE=NAKH,

又OA=OG,ZOGA=ZOAG,

CD±AB,ZAKH+ZOAG=90°,

ZKGE+ZOGA=90°,

EF是。O的切線.

(2)解：①ACIIEF,ZE=ZC,

又NC=ZAGD,ZE=ZAGD,

又NDKG=ZCKE,

二△KGD-△KGE.

4

__COS。-—

②連接OG,如圖所示"5,AK=\1IG,

4CH

cosC二一二二k

設(shè)5ACCH=4k,AC=5k,則Aff=3k

KE=GE,ACIIEF,；.CK=AC=5k,/.HK=CK-CH=k.

在RtAAHK中，根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2,

即(3k)2**=(①%,k=1,CH=4,AC=5,則，歷=3,

設(shè)。0半徑為R,在RtZiOCH中，OC=R,OH=R-3k,CH=4k,

_25

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2,(R-3)2+F二代，：.6

40G125

cos。二cos/GOF----OF-----

在RtAOGF中，5OF,：.24,

1252525

BF=OF-0B=--------二一

24624

【解析】【分析】(1)連接OG.根據(jù)切線的判定，證出NKGE+NOGA=90。，故EF是。O的

4

cosC二一

切線.(2)①證NE二NAGD,又NDKG二NCKE,故△KGD~△KGE.②連接OG.'5,

4CH

cosC二一二―女

設(shè)'5AC,CH=4k,AC=5k,則,W=3%,在RtAAHK中，根據(jù)勾股定

理得AH2+HK2=AK2,即(3k)2+k2"I。)'；由勾股定理得：OH2+CH2=OC2,

4OG125

./reusC=CGS/GOF=一二—OF=---

//二產(chǎn)；在RsOGF中，5OF,24,

12525

BF=OF-OB=———.

246

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（20,0）和（0,15）,動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)在線段AO上以每秒2cm的速度向原點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從x軸開(kāi)始以每秒

1cm的速度向上平行移動(dòng)（即EFIIx軸），分別與y軸、線段AB交于點(diǎn)E、F,連接EP、

FP,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）求t=9時(shí)，△PEF的面積；

（2）直線EF、點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t使得△PEF的面積等于40cm2?若存

在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△EOP與△BOA相似.

【答案】（1）解：EFII0A,

ZBEF=ZBOA

又NB=NB,

BEF-△BOA,

EFBE

0A=BO,

當(dāng)t=9時(shí)，OE=9,OA=20,OB=15,

20X6

EF=15=8,

11

」?S?PEF=2EF?OE=2x8x9=36(cm2)

(2)解：△BEF-△BOA,

BE'OA(15-I)-264

：.EF=BO=25=3(15-t),

14

(15-t)xt=40>

整理，得埋15t+60=0,

'=152-4xlx60<0,

；?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

A不存在使得△PEF的面積等于40cm2的t值

(3)解：當(dāng)NEPO=ZBA。時(shí)，△EOP-△BOA,

OP0E20-21t

OA=6B,即-20=72,

解得t=6；

當(dāng)NEPONAB。時(shí)，AEOPsAAOB,

OP0E20-2tt

OB=OA,即-15=瓦，

8G

解得匕石.

86

二當(dāng)t=6或t=77時(shí),AEOP與ABOA相似

1

【解析】【分析】(1)由于EFIIx軸，則SAPEF=W?EF?OE.t=9時(shí)，OE=9,關(guān)鍵是求

EFBE

EF.易證△BEF-△BOA,則OA=BO,從而求出EF的長(zhǎng)度，得出△PEF的面積；(2)假設(shè)

存在這樣的t,使得△PEF的面積等于40cm2,則根據(jù)面積公式列出方程，由根的判別式

進(jìn)行判斷，得出結(jié)論；(3)如果△EOP與4BOA相似,由于NEOP=ZBOA=90°,則只能點(diǎn)

。與點(diǎn)O對(duì)應(yīng)，然后分兩種情況分別討論：①點(diǎn)P與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)；②點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng).

8.【問(wèn)題】

如圖1,在RtAABC中，ZACB=90。，AC=BC,過(guò)點(diǎn)C作直線I平行于AB.ZEDF=90。，點(diǎn)D

在直線I上移動(dòng)，角的一邊DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,另一邊DF與AC交于點(diǎn)P,研究DP和DB的

數(shù)量關(guān)系.

cDFC(P)

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用"從特殊到一般"的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D

移動(dòng)到使點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，通過(guò)推理就可以得到DP=DB,請(qǐng)寫出證明過(guò)程；

（2）【數(shù)學(xué)思考】如圖3,若點(diǎn)P是AC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、C）,受（1）的啟

發(fā)，這個(gè)小組過(guò)點(diǎn)D作DGJLCD交BC于點(diǎn)G,就可以證明DP=DB,請(qǐng)完成證明過(guò)程；

（3）【拓展引申】如圖4,在（1）的條件下，M是AB邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、

B）,N是射線BD上一點(diǎn)，且AM=BN,連接MN與BC交于點(diǎn)Q,這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)

多次取M點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M在某一位置時(shí)BQ的值最大,若AC=BC=4,請(qǐng)你直接

寫出BQ的最大值.

【答案】（1）解：ZACB=90",AC=BC

ZCAB=ZCBA=45°

VCDIIAB

ZCBA=ZDCB=45°,且BD±CD

/.ZDCB=ZDBC=45°

DB=DC

即DB=DP

(2)解：DG±CD,NDCB=45。

ZDCG=ZDGC=45°

DC=DG,ZDCP=ZDGB=135",

ZBDP=ZCDG=90"

ZCDP=NBDG,且DC=DG,ZDCP=NDGB=135。,

ACDP空△GDB(ASA)

/.DB=DP

（3）解：如圖4,過(guò)點(diǎn)M作MH_LMN交AC于點(diǎn)H,連接CM,HQ,

MH±MN,

ZAMH+ZNMB=90°

,/CDIIAB,ZCDB=90°

/.ZDBM=90°

/.ZNMB+ZMNB=90°

??.ZHMA=ZMNB,且AM=BN,ZCAB=ZCBN=45°

△AMH^△BNQ(ASA)

/.AH=BQ

,/ZACB=90°,AC=BC=4,

???AB=4造，AC-AH=BC-BQ

/.CH=CQ

ZCHQ=ZCQH=45°=ZCAB

HQIIAB

ZHQM=ZQMB

,/ZACB=ZHMQ=90°

「?點(diǎn)H,點(diǎn)M,點(diǎn)Q,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，

ZHCM=ZHQM

/.ZHCM=ZQMB,且NA=ZCBA=45°

△ACM-△BMQ

AC

BAf~BC

4_AA

???442-AMBQ

一(AM-2\⑵%

：.BQ=1+2

.?.AM=2v￡時(shí)，BQ有最大值為2.

【解析】【分析】(1)DB二DP,理由如下：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出

ZCAB=ZCBA=45°,根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出NCBA=NDCB=45。，根據(jù)三角形的

內(nèi)角和得出ZDCB=ZDBC=45°,最后根據(jù)等角對(duì)等邊得出DB=DC,即DB=DP；

(2)利用ASA判斷出△CDPM△GDB,再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出DB=DP；

(3)如圖4,過(guò)點(diǎn)M作MH±MN交AC于點(diǎn)H,連接CM,HQ,利用ASA判斷出

△AMHM△BNQ根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出AH=BQ,進(jìn)而判斷出點(diǎn)H,點(diǎn)M,點(diǎn)

Q，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得出NHCM二NHQM,然后判斷出△ACM-△BMQ,

根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出就'瓦，根據(jù)比例式及偶數(shù)次幕的非負(fù)性即可得出求

出答案.

二、圓的綜合

9.如圖，在AA8P中,C是BP邊上一點(diǎn)/PAONPBA,。。是AABC的外接圓,AD是。。的

直徑，且交BP于點(diǎn)E.

（1）求證：PA是。。的切線；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CF_LAD,垂足為點(diǎn)F,延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G,若AG?AB=12,求AC的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2G

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理得出NACD=90。以及利用NPAC2PBA得出

ZCAD+ZPAC=90。進(jìn)而得出答案；

（2）首先得出ACAG-ABAC,進(jìn)而得出AC±AG-AB,求出AC即可.

試題解析：（1）連接CD,如圖，

A。是。。的直徑，

ZACD=90e,

ZCAD+Z.。=90°,

ZPAC=4PBA,ZD=ZPBA,

：.ZCAD+ZPAC=90Q,

即NPAD=90°,

PA±AD,

???%是。。的切線；

P

(2)CF±AD,

：.Z4CF+ZCAF=90°,ZCAD+ZD=90°,

/.ZACF=4D,

ZACF=4B,

而NCAG=ZBAC,

△ACG-△ABC,

AC：AB=AG：ACf

■-AC2=AG^AB=12,

???AC=2G.

10.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4-8,0),8(0,6),點(diǎn)M在線段AB上。

(1)如圖1,如果點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，且OM的半徑等于4,試判斷直線。B與OM

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,0M與x軸，y軸都相切，切點(diǎn)分別為E,F,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)如圖3,0M與x軸，y軸，線段AB都相切，切點(diǎn)分別為E,F,G,試求出點(diǎn)M的

坐標(biāo)(直接寫出答案)

2424

【答案】(1)。8與0/W相切；(2)M,—)；(3)M(-2,2)

77

【解析】

分析：(1)設(shè)線段。8的中點(diǎn)為。，連結(jié)MD,根據(jù)三角形的中位線求出MD,根據(jù)直線和

圓的位置關(guān)系得出即可；

3

(2)求出過(guò)點(diǎn)A、8的一次函數(shù)關(guān)系式是y=ax+6,設(shè)M(。，-a),把x=a,y=-。代

3

入片^x+6得出關(guān)于。的方程，求出即可.

(3)連接ME、MF、MG.MA,MB.MO,設(shè)ME=MF=MG=r,根據(jù)

1111

S“sc=2A0，ME+2B0*MF+2AB?MG=-AO?BO求得42,據(jù)此可得答案.

詳解：(1)直線。8與。M相切.理由如下：

設(shè)線段。8的中點(diǎn)為D,如圖1,連結(jié)MD,

.?,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，所以MD1M。，MD=4,

NAO8=NMDB=90°,MD±OB,點(diǎn)。在。M上.

又,點(diǎn)D在直線。8上，.?.直線。8與0M相切;

(2)如圖2,連接ME,MF,

—8Z+b=0

?,■4(-8,0),B(0,6),設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,：.S，/，解

b=6

33

得：k=~,b=6,即直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y=4*+6.

???OM與x軸、y軸都相切，，點(diǎn)M到x軸、y軸的距離都相等，即ME=MF,設(shè)M

33

(o,-a)(-8<a<0),把x=a,y=-a代入y=1X+6,得：-a=—a+6,得：a--

242424

萬(wàn)■，:.點(diǎn)、M的坐標(biāo)為(-—?—).

(3)如圖3,連接ME、MF、MG、MA.MB、MO,

?「OM與x軸，y軸，線段AB都相切，.?.MELA。、MF工BO、MG±AB,設(shè)

1111

ME=/WF=MG=r,則5^-AO?ME+—BO?MF+-AB?MG^—AO?BO.

△AAaBrC2222

,.?(-8,0),8(0,6),4。=8、BO=6,AB7AO?+BOi=10,

1111

-r?8+-r?6+yr?10=-x6x8,解得：r=2,即ME=MF=2,.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,

點(diǎn)睛：本題考查了圓的綜合問(wèn)題，掌握直線和圓的位置關(guān)系，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的

解析式的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵，注意：直線和圓有

三種位置關(guān)系：已知O。的半徑為r,圓心。到直線/的距離是d,當(dāng)d寸時(shí)，直線/和0。

相切.

11.如圖AB是AABC的外接圓的直徑，過(guò)點(diǎn)C作。。的切線CM,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使

CD=BC,連接AD交CM于點(diǎn)E,若。OD半徑為3,AE=5,

(1)求證：CM±AD；

(2)求線段CE的長(zhǎng).

A

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）垂

【解析】

分析：（1）連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理證得AC垂直平分BD,然后根據(jù)平行

線的判定與性質(zhì)證得結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可.

詳解：證明：（1）連接0C

CM切。。于點(diǎn)C,

???ZOCE=90°,

AB是。0的直徑，

/.ZACB=90°,

,/CD=BC,

」?AC垂直平分BD,

AB=AD,

ZB=ZD

,/ZB=ZOCB

/.ZD=ZOCB

OCIIAD

??.ZCED=ZOCE=90°

CM±AD.

(2),/OA=OB,BC=CD

oc=—AD

2

AD=6

DE=AD-AE=1

易證△CDE-△ACE

.CEDE

"AECE

...CE2=AEXDE

CE="

點(diǎn)睛：此題主要考查了切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，靈活判斷邊角之間

的關(guān)系是解題關(guān)鍵，是中檔題.

12.如圖，。是△A8c的內(nèi)心，8。的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于D,連結(jié)。C、DA.

OA、0C,四邊形OADC為平行四邊形.

(1)求證：△BOC^△CDA.

(2)若48=2,求陰影部分的面積.

A

9

【解析】

分析：(1)根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)得N1=N2,Z3=Z4,則AD=CD,于是可判斷四邊形OADC為菱

形，則BD垂直平分AC,Z4=Z5=Z6,易得OA=OC,Z2=Z3,所以O(shè)B=OC,可判斷點(diǎn)。

為4ABC的外心，則可判斷4ABC為等邊三角形，所以NAOB=ZBOC=ZAOC=120°,

BC=AC,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得NADC=NAOC=120。，AD=OC,CD=OA=OB,則根據(jù)

"SAS"證明△B08ACDA；

(2)作。H_LAB于H,如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到

NBOH=30。，根據(jù)垂徑定理得到BH=AH=；AB=1,再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系

得至|J0H="BH=8,OB=2OH=2/，然后根據(jù)三角形面積公式和扇形面積公式，利用

333

S=SAO/AAOB進(jìn)行計(jì)算即可?

陰影部分扇形AOB-△AOB

詳解：

(1)證明：,；。是△ABC的內(nèi)心，

Z2=Z3,Z5=Z6,

?「Z1=Z2,??.Z1=Z3,

由ADWCO,AD=CO,：.Z4=Z6,

△BO?△CDA(AAS)

(2)由(1)得，BC=AC,A3=Z4=Z6,

ZABC-Z.ACB

：.AB=AC

△ABC是等邊三角形

J.。是4ABC的內(nèi)心也是外心

OA=OB=OC

設(shè)E為8。與AC的交點(diǎn)，BE垂直平分AC.

11

在RtAOCE中,CE=-AC=-AB=1,ZOCE=30",

OA=OB=OC=

3

???ZAOC=120",

.?.5=S-S

陰影扇4OBNAOB

120兀2小、,1.W

=-------()2--x2x

360323

4n-3§

9

點(diǎn)睛:本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三

角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心

就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和扇形面積的計(jì)

算.

13.如圖所示，以RSABC的直角邊AB為直徑作圓0,與斜邊交于點(diǎn)D,E為BC邊上的

中點(diǎn)，連接DE.

(1)求證：DE是00的切線；

(2＞連接?！?AE,當(dāng)NCAB為何值時(shí)，四邊形AOED是平行四邊形？并在此條件下求

sinzCAE的值.

【答案】⑴見(jiàn)解析乂2）子.

【解析】

分析：（1）要證DE是。0的切線，必須證ED_LOD,即NEDB+NODB=90°

（2）要證AOED是平行四邊形，則DEIIAB,D為AC中點(diǎn)，又BD_LAC,所以△ABC為等

腰直角三角形，所以NCAB=45。，再由正弦的概念求解即可.

詳解：（1）證明：連接。、D與B、D兩點(diǎn)，

△BDC是R3,月.E為BC中點(diǎn)，

二NEDB=ZEBD.（2分）

又；OD=OB且NEBD+ZDBO=90°,

ZEDB+ZODB=90°.

?DE是DO的切線.

（2）解：■:乙EDO=ZB=90°,

若要四邊形AOED是平行四邊形，則DEIIAB,D為AC中點(diǎn)，

丈:BD±AC,

A△ABC為等腰直角三角形.

ZGAB=45°.

過(guò)E作EH_LAC于H,

J2

設(shè)BC=2k,則EH=]k,AE="k,

AsinZCAE-^.回

AE10

點(diǎn)睛：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心

和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可.

14.定義:

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一

半，那么稱三角形為“智慧三角形

理解：

⑴如圖1，已知43是。。上兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿足條件的點(diǎn)。，使，必。為“智慧三

角形"（畫出點(diǎn)C的位置，保留作圖痕跡）；

⑵如圖2,在正方形且B8中，E是上C的中點(diǎn)，下是CD上一點(diǎn)，且5=18,試

4

判斷是否為"智慧三角形"，并說(shuō)明理由；

運(yùn)用：

（3）如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1,點(diǎn)0是直線y=3上的一點(diǎn)，若

在。。上存在一點(diǎn)P,使得人。尸。為"智慧三角形"，當(dāng)其面積取得最小值時(shí)，直接寫出此

時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）P的坐標(biāo)（屹，（），（2遮，

333

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)A0并且延長(zhǎng)交圓于C1,連結(jié)B0并且延長(zhǎng)交圓于C2,即可求解；

（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,表示出DF=CF以及EC、BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理列式表示

出AF2、EF2、AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性

質(zhì)可得△AEF為"智慧三角形”；（3）根據(jù)“智慧三角形”的定義可得AOPQ為直角三角形，

根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí)，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，

由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊，再根據(jù)三角形面積可

求斜邊的高，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo),從而求解.

試題解析：

(1)如圖1所示：

S1

(2)△AEF是否為"智