適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學一輪總復習第十一章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布高考解答題專項六課件

概率與統(tǒng)計綜合問題高考解答題專項六考情分析從近兩年的新高考試題來看,概率與統(tǒng)計是歷年高考的重點,約占整個試卷的15%,通常以一大兩小的模式命題,以中、低檔難度為主.考查了排列組合、隨機事件的概率、相互獨立事件、樣本的數(shù)字特征、離散型隨機變量的分布列與均值.著重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算核心素養(yǎng).考點一概率與頻率分布直方圖的綜合例1.(2023新高考Ⅱ,19)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.解(1)當p(c)=0.5%時,由患病者頻率分布直方圖可得第一個小矩形面積為0.002×5=0.01,由未患病者頻率分布直方圖可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)當c∈[95,100)時,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;當c∈[100,105]時,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.故當c=100時,f(c)取最小值,最小值為f(100)=0.02.名師點析頻率分布直方圖、頻率分布表等是考查數(shù)據(jù)收集和整理的常用依據(jù),掌握圖中常見數(shù)據(jù)的提取方法,將頻率看作概率是解決這類問題的關(guān)鍵.對點訓練1在一次聯(lián)考中某兩校共有3000名學生參加,成績的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求在本次考試中成績處于[110,130)內(nèi)的學生人數(shù);(2)以兩校這次考試成績估計全省考生的成績情況.現(xiàn)從全省考生中隨機選取3人,記成績在110分(包含110)以上的考生人數(shù)為X,求X的分布列和均值.解(1)由題知,成績處于[110,130)的頻率為0.01×20=0.2,故成績處于[110,130)的人數(shù)為3

000×0.2=600.(2)由頻率分布直方圖可知,成績在110分及以上的考生概率為考點二概率與經(jīng)驗回歸方程的綜合例2.(2023山東濰坊三模)某品牌中性筆研發(fā)部門從流水線上隨機抽取100件產(chǎn)品,統(tǒng)計其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖(如圖1),圖1圖2產(chǎn)品的性能指數(shù)在[50,70)的適合兒童使用(簡稱:A類產(chǎn)品),在[70,90)的適合少年使用(簡稱:B類產(chǎn)品),在[90,110]的適合青年使用(簡稱:C類產(chǎn)品),A,B,C三類產(chǎn)品的銷售利潤分別為每件1.5,3.5,5.5(單位:元).以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.(1)該公司為了解年營銷費用x(單位:萬元)對年銷售量y(單位:萬件)的影響,對近5年的年營銷費用xi和年銷售量yi(i=1,2,3,4,5)的數(shù)據(jù)做了初步處理,得到散點圖(如圖2)及一些統(tǒng)計量的值(如下表).根據(jù)散點圖判斷,y=a·xb可以作為年銷售量y關(guān)于年營銷費用x的回歸方程,求y關(guān)于x的回歸方程;(取e4.159≈64)(2)求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤,并用所求的回歸方程估計該公司應(yīng)投入多少營銷費,才能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大?(收益=銷售利潤-營銷費用)解

(1)由y=a·xb得,ln

y=ln(a·xb)=ln

a+bln

x.令u=ln

x,v=ln

y,c=ln

a,則v=c+bu.(2)由題意及(1),設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤為X元,則X的可能取值為1.5,3.5,5.5,由頻率分布直方圖可得,A,B,C三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15,0.45,0.4,P(X=1.5)=(0.004+0.011)×10=0.15,P(X=3.5)=(0.020+0.025)×10=0.45,P(X=5.5)=(0.023+0.017)×10=0.4,所以隨機變量X的分布列為X1.53.55.5P0.150.450.4E(X)=1.5×0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4,故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為4元.則f'(t)=256-4t3=4(64-t3).當t∈(0,4)時,f'(t)>0,f(t)在(0,4)內(nèi)單調(diào)遞增,當t∈(4,+∞)時,f'(t)<0,f(t)在(4,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,當t=4,即x=256時,z有最大值,為768.估計當該公司一年投入256萬元營銷費時,能使得該產(chǎn)品年收益達到最大,最大值為768萬元.名師點析概率與經(jīng)驗回歸方程的綜合常涉及相互獨立事件的概率、二項分布、超幾何分布及經(jīng)驗回歸方程等知識,考查學生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及應(yīng)用意識.對點訓練2某品牌汽車4S店對2023年該市前幾個月的汽車成交量(單位:輛)進行統(tǒng)計,用y表示2023年x月份該店汽車成交量,得到統(tǒng)計表格如下:xi12345678yi1412202022243026考點三概率與獨立性檢驗綜合例3.(2023全國甲,理19)一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng),試驗方案如下:選40只小白鼠,隨機地將其中20只分配到試驗組,另外20只分配到對照組,試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境,對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位:g).(1)設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù),求X的分布列和均值;(2)試驗結(jié)果如下:對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.225.8

26.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.835.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù),完成如下列聯(lián)表:分組數(shù)據(jù)個數(shù)合計<m≥m對照組

試驗組

合計

②根據(jù)①中的列聯(lián)表,根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,分析小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有無差異.α0.100.050.01xα2.7063.8416.635(2)①m=23.4.列聯(lián)表如下:分組數(shù)據(jù)個數(shù)合計<m≥m對照組61420試驗組14620合計202040②零假設(shè)為H0:小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量沒有差異.由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),可得χ2==6.4>3.841=x0.05,根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,推斷小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.名師點析概率與獨立性檢驗的綜合應(yīng)用也常涉及頻率與概率、古典概型、相互獨立事件的概率、二項分布、超幾何分布、獨立性檢驗等知識,考查了信息提取與數(shù)據(jù)處理能力.對點訓練3語音正成為手機一族重要的聯(lián)系方式,為了解某市語音的使用情況,某公司隨機抽查了100名語音用戶,得到如下數(shù)據(jù):每天使用語音次數(shù)123456及以上30歲及以下人數(shù)334783030歲以上人數(shù)4564620合計7810111450(1)如果認為每天使用超過3次語音的用戶是“喜歡使用語音”,完成下面2×2列聯(lián)表,根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,分析“喜歡使用語音”與年齡是否有關(guān)聯(lián).年齡是否喜歡使用語音合計不喜歡喜歡30歲及以下人數(shù)

30歲以上人數(shù)

合計

(2)每天使用6次及以上語音的人稱為“語音達人”,視頻率為概率,在該市所有“語音達人”中隨機抽取3名用戶.①求抽取的3名用戶,既有30歲及以下的“語音達人”又有30歲以上“語音達人”的概率;②為鼓勵30歲以上用戶使用語音,對抽取的30歲以上“語音達人”,每人獎勵100元話費,記獎勵總金額為X,求X的均值.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解

(1)由題中表格數(shù)據(jù)可得2×2列聯(lián)表如下:零假設(shè)為H0:“喜歡使用語音”與年齡無關(guān)聯(lián).將列表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得年齡是否喜歡使用語音合計不喜歡喜歡30歲及以下人數(shù)10455530歲以上人數(shù)153045合計2575100根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認為H0成立,即“喜歡使用語音”與年齡無關(guān).考點四正態(tài)分布與概率統(tǒng)計的綜合例4.某學校高二年級舉行了由全體學生參加的一分鐘跳繩比賽,計分規(guī)則如下表:每分鐘跳繩個數(shù)[145,155)[155,165)[165,175)[175,185)[185,+∞)得分1617181920年級組為了解學生的體質(zhì),隨機抽取了100名學生的跳繩個數(shù)作為一個樣本,繪制了如下樣本頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從樣本的100名學生的跳繩個數(shù)中,任意抽取2人的跳繩個數(shù),求兩人得分之和小于35分的概率;(2)若該校高二年級共有2000名學生,所有學生的一分鐘跳繩個數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中σ2≈225,μ為樣本平均數(shù)的估計值(同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點值作代表).利用所得的正態(tài)分布模型,解決以下問題:①估計每分鐘跳繩164個以上的人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));②若在全年級所有學生中隨機抽取3人,每分鐘跳繩在179個以上的人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列、均值與方差.附:若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解

(1)設(shè)“兩人得分之和小于35分”為事件A,則事件A包括以下四種情況:①兩人得分均為16分;②兩人中一人16分,一人17分;③兩人中一人16分,一人18分;④兩人均17分.由頻率分布直方圖可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,則由古典概型的概率計算公式可得名師點析正態(tài)分布與概率統(tǒng)計的綜合,考查了學生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力及應(yīng)用意識,解讀這類問題的關(guān)鍵是培養(yǎng)敢于克服困難完成讀題、建模的能力.對點訓練4某公司擬對某手機芯片進行科技升級,根據(jù)市場調(diào)研與模擬,得到科技升級投入x(單位:億元)與科技升級直接收益y(單位:億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:序號12