長沙市重點中學(xué)2024年高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

長沙市重點中學(xué)2024年高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．對于復(fù)數(shù)，定義映射.若復(fù)數(shù)在映射作用下對應(yīng)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限2．已知中，，，為邊上的中點，則()A．0 B．25 C．50 D．1003．某廠家生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的飲品?產(chǎn)量之比為2:3:4.為檢驗該廠家產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個容量為72的樣本，則樣本中乙類型飲品的數(shù)量為A．16 B．24 C．32 D．484．在中，角，，所對的邊分別是，，，，，，則（）A．或 B．C． D．5．甲乙兩名同學(xué)6次考試的成績統(tǒng)計如右圖，甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，標準差分別為則（）A． B．C． D．6．已知向量，且，則的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．47．已知.為等比數(shù)列的前項和，若，，則()A．31 B．32 C．63 D．648．已知曲線，如何變換可得到曲線（）A．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，再向右平移個單位長度B．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，再向左平移個單位長度C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向右平移個單位長度D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位長度9．函數(shù)的最小正周期為π，若其圖象向左平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象（）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于點對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱10．“”是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分又非必要二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．67是等差數(shù)列-5，1，7，13，……中第項，則___________________．12．過P(1,2)的直線把圓分成兩個弓形，當(dāng)其中劣孤最短時直線的方程為_________.13．設(shè)a＞0，角α的終邊經(jīng)過點P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于．14．已知數(shù)列的首項，其前項和為，且，若單調(diào)遞增，則的取值范圍是__________．15．從甲、乙、丙、丁四個學(xué)生中任選兩人到一個單位實習(xí)，余下的兩人到另一單位實習(xí)，則甲、乙兩人不在同一單位實習(xí)的概率為________.16．設(shè)偶函數(shù)的部分圖像如圖所示，為等腰直角三角形，，則的值為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知三角形的三個頂點，，.（1）求線段的中線所在直線方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.18．在△中，所對的邊分別為，，．（1）求；（2）若，求,，．19．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)，（1）若，求不等式的解集；（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由；（3）寫出函數(shù)在R上的零點個數(shù)（不必寫出過程）．20．如圖，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，，F(xiàn)是BE的中點，求證：（1）平面ABC；（2）平面EDB.（3）求幾何體的體積.21．已知圓關(guān)于直線對稱，半徑為，且圓心在第一象限．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若直線與圓相交于不同兩點、，且，求實數(shù)的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】，對應(yīng)點，在第四象限.2、C【解析】

三角形為直角三角形，CM為斜邊上的中線，故可知其長度，由向量運算法則，對式子進行因式分解，由平行四邊形法則，求出向量，由長度計算向量積.【詳解】由勾股定理逆定理可知三角形為直角三角形，CM為斜邊上的中線，所以，原式=.故選C.【點睛】本題考查向量的線性運算及數(shù)量積，數(shù)量積問題一般要將兩個向量轉(zhuǎn)化為已知邊長和夾角的兩向量，但本題經(jīng)化簡能得到共線的兩向量所以直接根據(jù)模的大小計算即可.3、B【解析】

根據(jù)分層抽樣各層在總體的比例與在樣本的比例相同求解.【詳解】因為分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同，所以各層在總體的比例與在樣本的比例相同，所以樣本中乙類型飲品的數(shù)量為.故選B.【點睛】本題考查分層抽樣，依據(jù)分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同.4、C【解析】

將已知代入正弦定理可得，根據(jù)，由三角形中大邊對大角可得：，即可求得.【詳解】解：，，由正弦定理得：故選C.【點睛】本題考查了正弦定理、三角形的邊角大小關(guān)系，考查了推理能力與計算能力.5、C【解析】

利用甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成績統(tǒng)計直接求解．【詳解】由甲乙兩名同學(xué)6次考試的成績統(tǒng)計圖知：甲組數(shù)據(jù)靠上，乙組數(shù)據(jù)靠下，甲組數(shù)據(jù)相對集中，乙組數(shù)據(jù)相對分散分散布，由甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，標準差分別為得，．故選：．【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查平均數(shù)、的定義和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．6、B【解析】

先求出，再利用向量垂直的坐標表示得到關(guān)于的方程，從而求出.【詳解】因為，所以，因為，則，解得所以答案選B.【點睛】本題主要考查了平面向量的坐標運算，以及向量垂直的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

首先根據(jù)題意求出和的值，再計算即可.【詳解】有題知：，解得，.故選：C【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及前項和的求法，屬于簡單題.8、D【解析】

用誘導(dǎo)公式把兩個函數(shù)名稱化為相同，然后再按三角函數(shù)圖象變換的概念判斷．【詳解】，∴可把的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位長度或先向左平移個單位，再把圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）可得的圖象，故選：D．【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，解題時首先需要函數(shù)的前后名稱相同，其次平移變換與周期變換的順序不同時，平移的單位有區(qū)別．向左平移個單位所得圖象的函數(shù)式為，而不是．9、C【解析】

利用最小正周期為π，求出的值，根據(jù)平移得出，然后利用對稱性求解.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為π，所以，圖象向左平移個單位后得到，由得到的函數(shù)是奇函數(shù)可得，即.令得，，故A,B均不正確；令得，，時可得C正確.故選C.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換和性質(zhì).平移變換時注意平移方向和對解析式的影響，性質(zhì)求解一般利用整體換元意識來處理.10、A【解析】

根據(jù)充分必要條件的判定，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，是函數(shù)的對稱軸，所以“”是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱”的充分條件，當(dāng)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱時，,推不出，所以“”是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱”的不必要條件，綜上選.【點睛】本題主要考查了充分條件、必要條件，余弦函數(shù)的對稱軸，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、13【解析】

根據(jù)數(shù)列寫出等差數(shù)列通項公式,再令算出即可.【詳解】由題意,首項為-5,公差為,則等差數(shù)列通項公式,令,則故答案為：13.【點睛】等差數(shù)列首項為公差為,則通項公式12、【解析】

首先根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，可分析出當(dāng)點是弦的中點時，劣弧最短，利用圓心和弦的中點連線與直線垂直，可求得直線方程.【詳解】當(dāng)劣弧最短時，即劣弧所對的弦最短，當(dāng)點是弦的中點時，此時弦最短，也即劣弧最短，圓：，圓心，,,直線方程是，即，故填：.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.13、﹣【解析】試題分析:利用任意角三角函數(shù)定義求解．解：∵a＞0，角α的終邊經(jīng)過點P（﹣3a，4a），∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，∴sinα+2cosα==﹣．故答案為﹣．考點：任意角的三角函數(shù)的定義．14、【解析】由可得：兩式相減得：兩式相減可得：數(shù)列，，...是以為公差的等差數(shù)列，數(shù)列，，...是以為公差的等差數(shù)列將代入及可得：將代入可得要使得，恒成立只需要即可解得則的取值范圍是點睛：本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系求通項，在含有的條件中，利用來求通項，本題利用減法運算求出數(shù)列隔一項為等差數(shù)列，結(jié)合和數(shù)列為增數(shù)列求出結(jié)果，本題需要利用條件遞推，有一點難度．15、.【解析】

求得從甲、乙、丙、丁四個學(xué)生中任選兩人的總數(shù)和甲、乙兩人不在同一單位實習(xí)的方法數(shù)，由古典概型的概率計算公式可得所求值．【詳解】解：從甲、乙、丙、丁四個學(xué)生中任選兩人的方法數(shù)為種，甲、乙兩人不在同一單位實習(xí)的方法數(shù)為種，則甲、乙兩人不在同一單位實習(xí)的概率為．故答案為：．【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】的部分圖象如圖所示，為等腰直角三角形，，，函數(shù)是偶函數(shù)，，函數(shù)的解析式為，故答案為.【方法點睛】本題主要通過已知三角函數(shù)的圖象求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.利用最值求出,利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點求出，正確求使解題的關(guān)鍵.求解析時求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，往往利用特殊點求的值，由特殊點求時，一定要分清特殊點是“五點法”的第幾個點.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）.【解析】

（1）先求出BC中點的坐標，再求BC的中線所在直線的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出邊上的高所在的直線方程.【詳解】（1）由題得BC的中點D的坐標為（2，-1）,所以,所以線段的中線AD所在直線方程為即.（2）由題得,所以AB邊上的高所在直線方程為，即.【點睛】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）【解析】（1）由得則有=得即.（2）由推出；而,即得,則有解得19、（1）（2）不存在這樣的實數(shù),理由見解析（3）見解析【解析】

（1）代入的值,通過討論的范圍,求出不等式的解集即可；（2）通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再求出函數(shù)的最值,得到關(guān)于的不等式組,解出并判斷即可；（3）通過討論的范圍,判斷函數(shù)的零點個數(shù)即可【詳解】（1）當(dāng)時,,則當(dāng)時,,解得或,故；當(dāng)時,,解集為,綜上,的解集為（2）,顯然,,①當(dāng)時,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為函數(shù)在上既有最大值又有最小值,所以,,則,即,解得,故不存在這樣的實數(shù)；②當(dāng)時,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為函數(shù)在上既有最大值又有最小值,故,,則,即,解得,故不存在這樣的實數(shù)；③當(dāng)時,則為上的遞增函數(shù),故函數(shù)在上不存在最大值和最小值,綜上,不存在這樣的實數(shù)（3）當(dāng)或時,函數(shù)的零點個數(shù)為1；當(dāng)或時,函數(shù)的零點個數(shù)為2；當(dāng)時,函數(shù)的零點個數(shù)為3【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,考查利用函數(shù)的單調(diào)性求最值,考查函數(shù)的零點個數(shù),著重考查分類討論思想20、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】

（1）如圖：證明得到答案.（2）證明得到答案.（3）幾何體轉(zhuǎn)化為，利用體積公式得到答案.【詳解】（1）∵F分別是BE的中點，取BA的中點M，∴FM∥EA，F(xiàn)MEA＝1∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM，又CD＝FM∴四邊形FMCD是平行四邊形，∴FD∥MC，F(xiàn)D?平面ABC，MC?平面ABC∴FD∥平面ABC．（2）因M是AB的中點，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB又EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE，又AE∩AB＝A，所以CM⊥面EAB，∵AF?面EAB∴CM⊥AF，又CM∥FD，從而FD⊥AF，因F是BE的中點，EA＝AB所以AF⊥EB．EB，F(xiàn)D是平面EDB內(nèi)兩條相交直線，所以AF⊥