2023-2024學(xué)年湖南省永州市東安縣一中高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年湖南省永州市東安縣一中高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結(jié)余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個(gè)月的平均收入為萬(wàn)元2．已知，則比多了幾項(xiàng)（）A．1 B． C． D．3．已知角α的終邊上有一點(diǎn)P（sin，cos），則tanα=（）A． B． C． D．4．中國(guó)數(shù)學(xué)家劉微在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣.”意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加的時(shí)候，它的周長(zhǎng)的極限是圓的周長(zhǎng)，它的面積的極限是圓的面積”.如圖，若在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為（）A． B． C． D．5．已知向量，則（）A．12 B． C． D．86．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則②若，，，則③若，，則④若，，則其中正確命題的序號(hào)是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④7．為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位8．已知向量，，若，則銳角α為()A．45° B．60° C．75° D．30°9．已知平面向量，，且，則＝A． B． C． D．10．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=1，則1a12．的值為_(kāi)_________．13．如圖是甲、乙兩人在10天中每天加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖，若這10天甲加工零件個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，乙加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，則______.14．若扇形的周長(zhǎng)是，圓心角是度，則扇形的面積（單位）是__________.15．在等差數(shù)列中，，，則的值為_(kāi)______.16．如圖所示，E，F(xiàn)分別是邊長(zhǎng)為1的正方形的邊BC，CD的中點(diǎn)，將其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三點(diǎn)重合.則所圍成的三棱錐的體積為_(kāi)__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，已知，其中角所對(duì)的邊分別為．求（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的值．18．在銳角中，角,,所對(duì)的邊分別為，，.已知,.（1）求的值；（2）若,求的面積.19．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前n項(xiàng)和為，且滿足，.（1）證明；（2）若，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，求首項(xiàng)的取值范圍.20．如圖所示，是一個(gè)矩形花壇，其中米，米．現(xiàn)將矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求：在上，在上，對(duì)角線過(guò)點(diǎn)，且矩形的面積小于150平方米．（1）設(shè)長(zhǎng)為米，矩形的面積為平方米，試用解析式將表示成的函數(shù)，并確定函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形的面積最?。坎⑶笞钚∶娣e．21．已知函數(shù)（，）為奇函數(shù)，且相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬(wàn)元，收入最低值為萬(wàn)元，其比是，故項(xiàng)正確；結(jié)余最高為月份，為，故項(xiàng)正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項(xiàng)正確；前個(gè)月的平均收入為萬(wàn)元，故項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上，故選．2、D【解析】

由寫(xiě)出，比較兩個(gè)等式得多了幾項(xiàng).【詳解】由題意，則，那么：，又比多了項(xiàng).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)函數(shù)的理解和帶值計(jì)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得tanα的值．【詳解】解：∵角α的終邊上有一點(diǎn)P（sin，cos），∴x＝sin，y＝cos，∴則tanα，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

設(shè)出圓的半徑,表示出圓的面積和圓內(nèi)接正六邊形的面積,即可由幾何概型概率計(jì)算公式得解.【詳解】設(shè)圓的半徑為則圓的面積為圓內(nèi)接正六邊形的面積為由幾何概型概率可知,在圓內(nèi)任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了圓的面積及圓內(nèi)接正六邊形的面積求法,幾何概型概率的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求出，即可得到模長(zhǎng).【詳解】由題，，所以.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算和減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示，并求向量的模長(zhǎng)，關(guān)鍵在于熟記公式，準(zhǔn)確求解.6、A【解析】

根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個(gè)平面的兩條直線不一定平行，垂直于同一個(gè)平面和兩個(gè)平面也不一定平行，可得③④不正確．由此可得本題的答案．【詳解】解：對(duì)于①，因?yàn)椋越?jīng)過(guò)作平面，使，可得，又因?yàn)?，，所以，結(jié)合得．由此可得①是真命題；對(duì)于②，因?yàn)榍遥?，結(jié)合，可得，故②是真命題；對(duì)于③，設(shè)直線、是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故③不正確；對(duì)于④，設(shè)平面、、是位于正方體經(jīng)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面，則有且，但是，推不出，故④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是①和②故選：【點(diǎn)睛】本題給出關(guān)于空間線面位置關(guān)系的命題，要我們找出其中的真命題，著重考查了線面平行、面面平行的性質(zhì)和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．7、D【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移的原則，即左加右減，即可得答案．【詳解】由，可以將函數(shù)圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位即可，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移變換，求解時(shí)注意平移變換是針對(duì)自變量而言的，同時(shí)要注意是由誰(shuí)變換到誰(shuí).8、D【解析】

根據(jù)向量的平行的坐標(biāo)表示，列出等式，即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，又為銳角，因此，即，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示．9、B【解析】

根據(jù)向量平行求出x的值，結(jié)合向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】且，則故故選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式求出x的值是解決本題的關(guān)鍵．10、D【解析】試題分析：在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上先增后減；在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上為減函數(shù)，選D.考點(diǎn)：函數(shù)增減性二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解析】

利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【詳解】解：∵正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=1，∴1a+12b=（2a+b∴1a+故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查了“乘1法”和基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.13、44.5【解析】

由莖葉圖直接可以求出甲的中位數(shù)和乙的平均數(shù)，求和即可．【詳解】由莖葉圖知，甲加工零件個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，乙加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用莖葉圖求中位數(shù)和平均數(shù)．14、16【解析】

根據(jù)已知條件可計(jì)算出扇形的半徑，然后根據(jù)面積公式即可計(jì)算出扇形的面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角弧度數(shù)為，所以即，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查角度與弧度的轉(zhuǎn)化以及扇形的弧長(zhǎng)和面積公式，難度較易.扇形的弧長(zhǎng)公式：，扇形的面積公式：.15、.【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件建立、的方程組，求出、的值，即可求出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解得，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的項(xiàng)的計(jì)算，常利用首項(xiàng)和公差建立方程組，結(jié)合通項(xiàng)公式以及求和公式進(jìn)行計(jì)算，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)折疊后不變的垂直關(guān)系，結(jié)合線面垂直判定定理可得到為三棱錐的高，由此可根據(jù)三棱錐體積公式求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)重合于點(diǎn)，如下圖所示：，，又平面，平面，即為三棱錐的高故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何折疊問(wèn)題中的三棱錐體積的求解問(wèn)題，處理折疊問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠明確折疊后的不變量，即不變的垂直關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）1.【解析】試題分析：(1)利用正弦定理角化邊，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得；(2)由△ABC的面積可得，由余弦定理可得，結(jié)合正弦定理可得：的值是1.試題解析：（1）由正弦定理，得，∵，∴.即，而∴，則（2）由，得，由及余弦定理得，即，所以．18、（1）2；（2）3.【解析】

（1）利用正弦定理可得，消元后可得關(guān)于的三角方程，從該方程可得的值.（2）利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式結(jié)合（1）中的結(jié)果可得，再根據(jù)題設(shè)條件得到后再利用正弦定理可求的值，從而得到所求的面積.【詳解】(1)在由正弦定理得，①，因?yàn)?所以，又因?yàn)?，所以，整理得到，?(2)在銳角中，因?yàn)椋?，將代入①?在由正弦定理得，所以.【點(diǎn)睛】在解三角形中，如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.另外，三角形中共有七個(gè)幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道兩角及一邊，用正弦定理.另外，如果知道兩個(gè)角的三角函數(shù)值，則必定可以求第三角的三角函數(shù)值，此時(shí)涉及到的公式有同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角和差的三角公式、倍角公式等.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,變形可證明為等差數(shù)列.結(jié)合條件,,可得,進(jìn)而表示出.由為等差數(shù)列,表示出,化簡(jiǎn)變形后結(jié)合不等式性質(zhì)即可證明.（2）將三角函數(shù)式分組,提公因式后結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn).再由平方差公式及正弦的和角與差角公式合并.根據(jù)條件等式,結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),即可求得.由,即可確定.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值,可得不等式組,即可得首項(xiàng)的取值范圍.【詳解】（1）證明:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則所以,,故為等差數(shù)列,因?yàn)?,所以,解得,因?yàn)?得故,從而.（2）而.由條件又由等差數(shù)列性質(zhì)知：所以,因?yàn)?所以,那么.等差數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值.,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,等差數(shù)列通項(xiàng)公式定義及變形式應(yīng)用.三角函數(shù)式變形,正弦和角與差角公式的應(yīng)用,不等式組的解法,綜合性強(qiáng),屬于難題.20、（1）,;（2）,.【解析】

（1）由可得，，∴．由，且，解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?）令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為米時(shí)，矩形花壇的面積最小，最小面積為96平方米．考點(diǎn)：1.分式不等式；2.均值不等式.21、（1），]（2）值域?yàn)閇，]．【解析】

（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)條件，可求出周期和，