2022-2023學年江蘇省徐州市高一下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省徐州市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)z在復平面內所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因為，所以點位于第四象限.故選：D.2.先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，則兩次擲出的點數(shù)之和為6的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，共有種情況，點數(shù)和為6的有共5種情況，所以概率為，故選：B.3.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，與所成的角相等，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗D〖解析〗若，，則或，A錯；若，與所成的角相等，則或與相交或異面，B錯；若，，則與平行或相交，C錯；若，，所以，又，則，D正確.故選：D4.有一組樣本數(shù)據(jù)，，其平均數(shù)為，中位數(shù)為b，方差為c，極差為d.由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，…，，其中，則新樣本數(shù)據(jù)的（）A.樣本平均數(shù)為2a B.樣本中位數(shù)為2bC.樣本方差為4c D.樣本極差為〖答案〗C〖解析〗A選項，由題意得，則，故A錯誤；B選項，由于，故的大小排列順序與變化后的的大小排列順序一致，由于的中位數(shù)為，故的中位數(shù)為，B錯誤；C選項，由題意得，所以，C正確；D選項，由于，故中最大值和最小值，經(jīng)過變化后仍然為中的最大值和最小值，即，則，D錯誤.故選：C5.已知向量，的夾角為，若，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，即，故，.故選：C7.如圖，一種工業(yè)部件是由一個圓臺挖去一個圓錐所制成的.己知圓臺的上、下底面半徑分別為和，且圓臺的母線與底面所成的角為，圓錐的底面是圓臺的上底面，頂點在圓臺的下底面上，則該工業(yè)部件的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，該圓臺的軸截面為等腰梯形，如圖，所以即為圓臺母線與底面所成角，即，分別過點、在平面內作，，垂足分別為點、，因為，則四邊形為矩形，且，因為，，，所以，，所以，，且，因為，則，所以，圓臺，圓錐的高均為，所以，該工業(yè)部件的體積為.故選：B.8.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以由正弦定理得：,即，所以，即，又，所以.因為銳角三角形ABC，所以，即，解得..令，因為，所以，則在單調遞減，所以.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.設，是復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若是純虛數(shù)，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗A.，則，故A正確；B.當時，，但得不出，故B錯誤；C.設，則，，所以，C正確；D.設則得，又，，故成立，D正確.故選：ACD.10.有個相同的球，分別標有數(shù)字、、、，從中不放回的隨機取兩次，每次取個球，表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（）A.、相互獨立 B.、相互獨立C.、相互獨立 D.、相互獨立〖答案〗BC〖解析〗對于A選項，從上述四個球中不放回的隨機取兩次，每次取個球，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、，共種，對于A選項，，，事件包含的基本事件有：、、、，共種，則，故、不相互獨立，A錯；對于B選項，事件包含的基本事件有：、，共種，則，又因為，則，共、相互獨立，B對；對于C選項，事件包含的基本事件有：、，共種，則，則，故、相互獨立，C對；對于D選項，，故、不相互獨立，D錯.故選：BC.11.如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，設點，，，是線段BC的五等分點，則（）A.B.C.D.的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A：，故A錯誤；對于B：同上可得因為在等腰直角三角形ABC中，，所以，所以，，所以，故B正確；對于C：設的中點為，則所以，故C正確；對于D：設的中點為，為線段上一點，設，則，則，，所以，作點關于的對稱點，則四邊形為邊長為1的正方形，故，當三點共線時取等號，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.12.如圖，在矩形ABCD中，，M為邊BC的中點，將沿直線AM翻折成，連接，N為線段的中點，則在翻折過程中，（）A.異面直線CN與所成的角為定值B.存在某個位置使得C.點C始終在三棱錐外接球的外部D.當二面角為60°時，三棱錐的外接球的表面積為〖答案〗AC〖解析〗A選項，矩形ABCD中，，M為邊BC的中點，所以為等腰直角三角形，故，，翻折過程中，，取的中點，連接，因為N為線段的中點，所以，則或的補角為異面直線CN與所成的角，因為M為邊BC的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，其中，由余弦定理得，故，故，所以異面直線CN與所成的角的余弦值為，A正確；B選項，因為，所以，故⊥，假如，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，這與矛盾，故假設不成立，所以不存在某個位置使得，B錯誤；C選項，由于⊥，故外接圓的圓心為，設三棱錐外接球球心為，則⊥平面，連接，則即為三棱錐外接球的半徑，由于，所以，所以點C始終在三棱錐外接球的外部，C正確；D選項，取的中點，連接，，因為，所以⊥，且，所以⊥，所以即為二面角為平面角，即，過點作⊥于點，則，，，因為⊥，⊥，，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，由C選項可知，三棱錐外接球球心為，則⊥平面，過點作⊥于點，則，，若球心在平面的上方時，如圖，此時，由勾股定理得，，故，解得，不合要求，舍去；若球心在平面的下方時，如圖，此時，由勾股定理得，，故，解得，滿足要求，代入上式可得外接球半徑為，三棱錐的外接球的表面積為.故當二面角為60°時，三棱錐的外接球表面積為，D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.己知一組數(shù)據(jù)：24，30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為______.〖答案〗36〖解析〗因為，故這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，因為，所以第50百分位數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為，故〖答案〗為：36．14.已知，，則的值為______.〖答案〗〖解析〗由，代入，解得，.故〖答案〗為：.15.在中，角、、的對邊分別為、、，已知，與的平分線交于點，則的值為______.〖答案〗〖解析〗由，可得，由正弦定理可得，即，整理可得，由余弦定理可得，因為，則，所以，，因為與的平分線交于點，所以，.故〖答案〗為：.16.在正四棱柱中，已知，，則點到平面的距離為______；以A為球心，2為半徑的球面與該棱柱表面的交線的總長度為______.〖答案〗①.②.〖解析〗空1：由題意可得：，因為平面，平面，可得，設點到平面的距離為d,因為，則，解得，即點到平面的距離為；空2：由題意可知：球A僅與平面ABCD、平面、平面和平面相交，因為，此時球A與平面的交線為半徑為2的圓的，則交線的長度為；設球A與棱的交點為，即，可得，則，且為銳角，則，即，所以球A與平面的交線為半徑為2的圓的，則交線的長度為；同理可得：球A與平面的交線的長度；可知，所以球A與平面的交線為半徑為的圓的，則交線的長度為；所以球面與該棱柱表面的交線的總長度為.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，.（1）若∥，求；（2）若，求.解：（1）因為∥，向量，所以，當時，不成立，則，從而，所以（2）因為，所以，即，故，因為，所以.當時，不成立，則，故，所以.18.如圖，四棱錐的底面為梯形，，，底面，平面平面，點在棱上，且.（1）證明：平面；（2）證明：.證明：（1）在平面中，過作交于點，連接，因為，所以.又，所以.又，所以，所以四邊形為平行四邊形.所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為底面，平面，所以.在平面中，過點作，交于點，因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.又平面，平面，，所以平面.又平面，所以.19.近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動消費的一種流行營銷形式.某直播平臺有800個直播商家，對其進行調查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務買賣雙方，該直播平臺打算用分層抽樣的方式抽取60個直播商家進行問詢交流.（1）應抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？（2）在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的60個商家的平均日利潤進行了統(tǒng)計（單位：元），所得頻率直方圖如圖②所示.（i）估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)與平均數(shù)（求平均數(shù)時同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點的數(shù)值為代表）；（ii）若將平均日利潤超過470元的商家稱為“優(yōu)質商家”，估計該直播平臺“優(yōu)質商家”的個數(shù).解：（1）根據(jù)分層抽樣知：應抽取小吃類家，生鮮類家，所以應抽取小吃類21家，生鮮類9家.（2）（i）根據(jù)題意可得，解得，設中位數(shù)為x，因為，，所以，解得，所以該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)為元.平均數(shù)為所以該直播平臺商家平均日利潤的平均數(shù)為440元.（ii），所以估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)為256.20.每年的月日為國際數(shù)學日，為慶祝該節(jié)日，某中學舉辦了數(shù)學文化節(jié)，其中一項活動是“數(shù)學知識競賽”，競賽共分為兩輪，每位參賽學生均須參加兩輪比賽，若其在兩輪競賽中均勝出，則視為優(yōu)秀，已知在第一輪競賽中，學生甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪競賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪競賽中是否勝出互不影響.（1）若，求甲恰好勝出一輪的概率；（2）若甲、乙各勝出一輪的概率為，甲、乙都獲得優(yōu)秀的概率為會.（i）求，，的值；（ii）求甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率.解：（1）設“甲在第一輪競賽中勝出”為事件，“甲在第二輪競賽中勝出”為事件，“乙在第一輪競賽中勝出”事件，“乙在第二輪競賽中勝出”為事件，則，，，相互獨立，且，，，.設“甲恰好勝出一輪”為事件，則，，互斥.當時，.所以當，甲恰好勝出一輪的概率為.（2）由（1）知，（i）記事件為“甲、乙各勝出一輪”，事件為“甲、乙都獲得優(yōu)秀”，所以，.因為甲、乙兩人在每輪競賽中是否勝出互不影響，所以，，則，解得或（舍去）.綜上，，.（ii）設事件為“甲獲得優(yōu)秀”，事件為“乙獲得優(yōu)秀”，于是“兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀”，且，，所以，，所以.故甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率為.21.在①，②，③的面積這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答.在中，角、、的對邊分別為、、，已知______.（1）求角；（2）若點在邊上，且，，求.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分解：（1）若選擇①：因為，結合余弦定理，得，即，由正弦定理可得，所以，又，所以，所以，即，又，所以；若選擇②：因為，結合正弦定理可得，即，，即，又，，故，即，所以，即，因為，，所以，得；若選擇③：條件即，又，，所以，即，所以，又因為，則，所以，又因為，所以.（2）設，則.因為，，故，所以，在中，由正弦定理可得，即，在中，同理可得，，因為，所以，即，整理得，即.22.如圖，在三棱錐中，底面BCD是邊長為2的正三角形，平面BCD，點E在棱BC上，且，其中.（1）若二面角為30°，求AB的長；（2）若，求DE與平面ACD所成角的正弦值的取值范圍.解：（1）取CD中點F，連接BF，AF.因為為等邊三角形，所以.因為平面BCD，BC，平面BCD，所以，，又因為，所以，因為F為CD中點，所以.因此為二面角的平面角，所以.所以在直角三角形ABF中，.（2）因為平面BCD，所以.在中，，所以，所以.設E到平面ACD的距離為d，所以，所以.因為，所以，解得.在中，由余弦定理得，所以.設DE與平面ACD所成角為.則令，則，因為，所以，所以，所以DE與平面ACD所成角的正弦值的取值范圍是.江蘇省徐州市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)z在復平面內所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因為，所以點位于第四象限.故選：D.2.先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，則兩次擲出的點數(shù)之和為6的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，共有種情況，點數(shù)和為6的有共5種情況，所以概率為，故選：B.3.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，與所成的角相等，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗D〖解析〗若，，則或，A錯；若，與所成的角相等，則或與相交或異面，B錯；若，，則與平行或相交，C錯；若，，所以，又，則，D正確.故選：D4.有一組樣本數(shù)據(jù)，，其平均數(shù)為，中位數(shù)為b，方差為c，極差為d.由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，…，，其中，則新樣本數(shù)據(jù)的（）A.樣本平均數(shù)為2a B.樣本中位數(shù)為2bC.樣本方差為4c D.樣本極差為〖答案〗C〖解析〗A選項，由題意得，則，故A錯誤；B選項，由于，故的大小排列順序與變化后的的大小排列順序一致，由于的中位數(shù)為，故的中位數(shù)為，B錯誤；C選項，由題意得，所以，C正確；D選項，由于，故中最大值和最小值，經(jīng)過變化后仍然為中的最大值和最小值，即，則，D錯誤.故選：C5.已知向量，的夾角為，若，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，即，故，.故選：C7.如圖，一種工業(yè)部件是由一個圓臺挖去一個圓錐所制成的.己知圓臺的上、下底面半徑分別為和，且圓臺的母線與底面所成的角為，圓錐的底面是圓臺的上底面，頂點在圓臺的下底面上，則該工業(yè)部件的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，該圓臺的軸截面為等腰梯形，如圖，所以即為圓臺母線與底面所成角，即，分別過點、在平面內作，，垂足分別為點、，因為，則四邊形為矩形，且，因為，，，所以，，所以，，且，因為，則，所以，圓臺，圓錐的高均為，所以，該工業(yè)部件的體積為.故選：B.8.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以由正弦定理得：,即，所以，即，又，所以.因為銳角三角形ABC，所以，即，解得..令，因為，所以，則在單調遞減，所以.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.設，是復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若是純虛數(shù)，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗A.，則，故A正確；B.當時，，但得不出，故B錯誤；C.設，則，，所以，C正確；D.設則得，又，，故成立，D正確.故選：ACD.10.有個相同的球，分別標有數(shù)字、、、，從中不放回的隨機取兩次，每次取個球，表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（）A.、相互獨立 B.、相互獨立C.、相互獨立 D.、相互獨立〖答案〗BC〖解析〗對于A選項，從上述四個球中不放回的隨機取兩次，每次取個球，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、，共種，對于A選項，，，事件包含的基本事件有：、、、，共種，則，故、不相互獨立，A錯；對于B選項，事件包含的基本事件有：、，共種，則，又因為，則，共、相互獨立，B對；對于C選項，事件包含的基本事件有：、，共種，則，則，故、相互獨立，C對；對于D選項，，故、不相互獨立，D錯.故選：BC.11.如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，設點，，，是線段BC的五等分點，則（）A.B.C.D.的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A：，故A錯誤；對于B：同上可得因為在等腰直角三角形ABC中，，所以，所以，，所以，故B正確；對于C：設的中點為，則所以，故C正確；對于D：設的中點為，為線段上一點，設，則，則，，所以，作點關于的對稱點，則四邊形為邊長為1的正方形，故，當三點共線時取等號，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.12.如圖，在矩形ABCD中，，M為邊BC的中點，將沿直線AM翻折成，連接，N為線段的中點，則在翻折過程中，（）A.異面直線CN與所成的角為定值B.存在某個位置使得C.點C始終在三棱錐外接球的外部D.當二面角為60°時，三棱錐的外接球的表面積為〖答案〗AC〖解析〗A選項，矩形ABCD中，，M為邊BC的中點，所以為等腰直角三角形，故，，翻折過程中，，取的中點，連接，因為N為線段的中點，所以，則或的補角為異面直線CN與所成的角，因為M為邊BC的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，其中，由余弦定理得，故，故，所以異面直線CN與所成的角的余弦值為，A正確；B選項，因為，所以，故⊥，假如，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，這與矛盾，故假設不成立，所以不存在某個位置使得，B錯誤；C選項，由于⊥，故外接圓的圓心為，設三棱錐外接球球心為，則⊥平面，連接，則即為三棱錐外接球的半徑，由于，所以，所以點C始終在三棱錐外接球的外部，C正確；D選項，取的中點，連接，，因為，所以⊥，且，所以⊥，所以即為二面角為平面角，即，過點作⊥于點，則，，，因為⊥，⊥，，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，由C選項可知，三棱錐外接球球心為，則⊥平面，過點作⊥于點，則，，若球心在平面的上方時，如圖，此時，由勾股定理得，，故，解得，不合要求，舍去；若球心在平面的下方時，如圖，此時，由勾股定理得，，故，解得，滿足要求，代入上式可得外接球半徑為，三棱錐的外接球的表面積為.故當二面角為60°時，三棱錐的外接球表面積為，D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.己知一組數(shù)據(jù)：24，30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為______.〖答案〗36〖解析〗因為，故這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，因為，所以第50百分位數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為，故〖答案〗為：36．14.已知，，則的值為______.〖答案〗〖解析〗由，代入，解得，.故〖答案〗為：.15.在中，角、、的對邊分別為、、，已知，與的平分線交于點，則的值為______.〖答案〗〖解析〗由，可得，由正弦定理可得，即，整理可得，由余弦定理可得，因為，則，所以，，因為與的平分線交于點，所以，.故〖答案〗為：.16.在正四棱柱中，已知，，則點到平面的距離為______；以A為球心，2為半徑的球面與該棱柱表面的交線的總長度為______.〖答案〗①.②.〖解析〗空1：由題意可得：，因為平面，平面，可得，設點到平面的距離為d,因為，則，解得，即點到平面的距離為；空2：由題意可知：球A僅與平面ABCD、平面、平面和平面相交，因為，此時球A與平面的交線為半徑為2的圓的，則交線的長度為；設球A與棱的交點為，即，可得，則，且為銳角，則，即，所以球A與平面的交線為半徑為2的圓的，則交線的長度為；同理可得：球A與平面的交線的長度；可知，所以球A與平面的交線為半徑為的圓的，則交線的長度為；所以球面與該棱柱表面的交線的總長度為.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，.（1）若∥，求；（2）若，求.解：（1）因為∥，向量，所以，當時，不成立，則，從而，所以（2）因為，所以，即，故，因為，所以.當時，不成立，則，故，所以.18.如圖，四棱錐的底面為梯形，，，底面，平面平面，點在棱上，且.（1）證明：平面；（2）證明：.證明：（1）在平面中，過作交于點，連接，因為，所以.又，所以.又，所以，所以四邊形為平行四邊形.所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為底面，平面，所以.在平面中，過點作，交于點，因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.又平面，平面，，所以平面.又平面，所以.19.近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動消費的一種流行營銷形式.某直播平臺有800個直播商家，對其進行調查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務買賣雙方，該直播平臺打算用分層抽樣的方式抽取60個直播商家進行問詢交流.（1）應抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？（2）在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的60個商家的平均日利潤進行了統(tǒng)計（單位：元），所得頻率直方圖如圖②所示.（i）估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)與平均數(shù)（求平均數(shù)時同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點的數(shù)值為代表）；（ii）若將平均日利潤超過470元的商家稱為“優(yōu)質商家”，估計該直播平臺“優(yōu)質商家”的個數(shù).解：（1）根據(jù)分層抽樣知：應抽取小吃類家，生鮮類家，所以應抽取小吃類21家，生鮮類9家.（2）（i）根據(jù)題意可得，解得，設中位數(shù)為x，因為，，所以，解得，所以該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)為元.平均數(shù)為所以該直播平臺商家平均日利潤的平均數(shù)為440元.（ii），所以估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)為256.20.每年的月日為國際數(shù)