【人教版】2018年八年級上冊數(shù)學(xué)：第十三章《軸對稱解讀與拓展》：等腰三角形

第十三章軸對稱13.3等腰三角形文字?jǐn)⑹鰩缀握Z言圖例等腰三角形的概念有兩邊相等的三角形是等腰三角形在△ABC中，如果AB=AC，那么△ABC是等腰三角形等腰三角形的概念及性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)文字?jǐn)⑹鰩缀握Z言圖例等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C等腰三角形的性質(zhì)文字?jǐn)⑹鰩缀握Z言圖例等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)在△ABC中，AB=AC.①∵AD是△ABC的角平分線，∴BD=CD，AD⊥BC；②∵AD是BC邊上的中線，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC；③∵AD是BC邊上的高，∴AD平分∠BAC，BD=CD知識解讀(1)等腰三角形的兩腰相等，兩底角相等；(2)在“三線合一”中，①②③的證明依據(jù)都是△ABD≌△ACD注意：等腰三角形腰上的高、中線不一定重合.有關(guān)等腰三角形的性質(zhì)的一些結(jié)論：(1)等腰三角形兩底角的平分線相等，兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等；(2)等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩條腰的距離之和等于腰上的高.例1

如圖13-3-1，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD為∠ABC的平分線，則∠BDC的度數(shù)是_______.圖13-3-1解析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.∵∠A=40°，∴∠ABC=∠C=×(180°-40°)=70°.∵BD為∠ABC的平分線，∴∠DBC=∠ABC=×70°=35°.∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-70°-35°=75°.75°等腰三角形的兩底角相等，兩底角的平分線也相等例2

如圖13-3-2，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E．求證：∠CBE=∠BAD．圖13-3-2證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．又∵BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CAD=∠CBE，∴∠CBE=∠BAD．等腰三角形的判定文字?jǐn)⑹鰩缀握Z言圖例

等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)在△ABC中，∵∠B=∠C,∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形知識解讀(1)“等角對等邊”必須是在同一個三角形中；(2)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(定義)巧計(jì)樂背：性質(zhì)“等邊對等角”，判定“等角對等邊”，“三線合一”最廣泛.對等腰三角形“三線合一”的再思考：(1)在△ABC中，如果AD既是△ABC的角平分線，又是△ABC的中線，那么AB=AC；(2)在△ABC中，如果AD既是△ABC的角平分線，又是△ABC的高，那么AB=AC；(3)在△ABC中，如果AD既是△ABC的中線，又是△ABC的高，那么AB=AC.例3

如圖13-3-3，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分別平分∠ABC，∠ACB，DE經(jīng)過點(diǎn)M，且DE∥BC，則圖中有

個等腰三角形.圖13-3-35解析：∵BM平分∠DBC，∴∠DBM=∠CBM.又∵DE∥BC，∴∠DMB=∠MBC，∴∠DMB=∠DBM，∴BD=DM，∴△BDM是等腰三角形.同理，△CEM是等腰三角形.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠MBC=∠MCB，∴△CBM是等腰三角形.∵DE∥BC，∴△ADE是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形,∴共有5個等腰三角形．等邊三角形的性質(zhì)與判定文字?jǐn)⑹鰩缀握Z言等邊三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°在等邊三角形ABC中，AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°文字?jǐn)⑹鰩缀握Z言等邊三角形的性質(zhì)與判定判定三個角都相等的三角形是等邊三角形在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C,∴AB=BC=AC有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形在△ABC中，AB=AC①∵∠A=60°，∴AB=BC=AC；②∵∠B=60°，∴AB=BC=AC;③∵∠C=60°,∴AB=BC=AC知識解讀(1)等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)；(2)等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸，三邊的垂直平分線都是它的對稱軸；知識解讀(3)三條邊都相等的三角形是等邊三角形(定義)；(4)判定一個三角形是等邊三角形，可以先判定它是等腰三角形，再證明有一個角等于60°注意：判定一個三角形是等邊三角形時，要結(jié)合題目的已知條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?例4

如圖13-3-4，一張等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α+∠β=()圖13-3-4A.180°B.220°C.240°D.300°C圖13-3-5解析：如圖13-3-5，由題意知∠3=60°.∵∠α+∠1=180°，∠β+∠2=180°，∴∠α+∠β=360°-(∠1+∠2).又∵∠1+∠2=180°-∠3，∴∠α+∠β=360°-(180°-∠3)=360°-(180°-60°)=240°.故選C.例5

如圖13-3-6，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∠BAD=30°.求證：△ABC是等邊三角形.證明：∵AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°.∴△ABC是等邊三角形.圖13-3-630°角的直角三角形的性質(zhì)文字?jǐn)⑹鰩缀握Z言圖例30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半在Rt△ABC中，∠C=90°.若∠B=30°，則AC=AB知識解讀(1)性質(zhì)使用的前提：直角三角形.(2)性質(zhì)的證明：如圖，延長AC至點(diǎn)A′,使A′C=AC，易證Rt△ABC≌Rt△A′BC，∴AB=A′B,∠ABA′=2∠ABC=60°.∴△ABA′是等邊三角形.∴AB=AA′=2AC,即AC=AB注意：這一性質(zhì)是含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，其余直角三角形沒有這個性質(zhì).(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB，則∠B=30°；(2)如果一個三角形中30°角所對的邊等于另一邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.例6

如圖13-3-7，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于點(diǎn)D，垂足為E，連接CD，若BD=1，則AB的長是_____.圖13-3-73解析：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-90°=60°.∵DE垂直平分斜邊AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=30°.∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=60°-30°=30°.∵BD=1，∴CD=AD=2.∴AB=AD+DB=2+1=3.忽視等腰三角形為鈍角三角形的情形

例7

已知等腰三角形ABC一腰上的高與另一腰的夾角為50°，設(shè)這條高與等腰三角形底邊上的高所在的直線的夾角中，有一個銳角為α，求α的度數(shù).解：分兩種情況討論：(1)如圖13-3-8，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC.∵∠ABE=50°，∴∠EBC=∠C-50°.∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°.∴∠C+∠EBC=90°，∴∠C-50°+∠C=90°，∴∠C=70°，∴∠EBC=70°-50°=20°.∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°.∴α=90°-∠EBC=90°-20°=70°.(2)如圖13-3-9，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC.∵∠ABE=50°，∴∠EBC=∠ABC+50°=∠C+50°.∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°.∴∠C+∠EBC=90°,∴∠C+50°+∠C=90°,∴∠C=20°.∴∠EBC=20°+50°=70°.∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°.∴α=90°-∠EBC=90°-70°=20°.綜上所述，α的度數(shù)為70°或20°．圖13-3-8圖13-3-9等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當(dāng)三角形為等腰直角三角形時不可能出現(xiàn)題中所說情況，所以此題存在等腰三角形的頂角為銳角或鈍角兩種情況，在解答時最容易遺漏頂角為鈍角的情況.運(yùn)用30°角的直角三角形的性質(zhì)時出錯例8如圖13-3-10，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，∠A=30°，AD與BD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°,∴BC=2BD.∴AB=4BD.∴AD=3BD.圖13-3-10在運(yùn)用30°角的直角三角形的性質(zhì)時,易把“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”誤用為“30°角所對的直角邊等于另一條直角邊的一半”，導(dǎo)致錯誤.題型一等腰三角形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)的綜合

例9

如圖13-3-11，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，D為垂足，連接EC．(1)求∠ECD的度數(shù)；(2)若CE=5，求BC的長.思路導(dǎo)圖：由線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求解得出∠ECD的度數(shù)，進(jìn)而得出BC的長解：(1)∵DE垂直平分AC，∴CE=AE.∴∠ECD=∠A=36°.(2)∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°(等邊對等角).∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°.∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5(等角對等邊).題型二等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用

例10

如圖13-3-12，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長線上一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M．求證：M是BE的中點(diǎn).圖13-3-12思路導(dǎo)圖：構(gòu)造等腰三角形由“三線合一”證得結(jié)論證明：如圖13-3-13，連接BD.圖13-3-13∵在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°.∵CE=CD，∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴BD=ED，即△BDE為等腰三角形.又∵DM⊥BC，∴M是BE的中點(diǎn)．題型三等腰(邊)三角形的性質(zhì)與全等三角形的綜合

例

11如圖13-3-14，點(diǎn)C在線段AB上，以AC和BC為邊在AB的同側(cè)作等邊三角形ACM和等邊三角形BCN，連接AN，BM，分別交CM，CN于點(diǎn)P，Q．求證：PQ∥AB．圖13-3-14思路導(dǎo)圖：證明△ACN≌△MCB，△PCN≌△QCB得到△PCQ是等邊三角形運(yùn)用平行線的判定定理證明PQ∥AB證明：∵△ACM和△BCN都是等邊三角形，∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=CM，BC=CN．∵點(diǎn)C在線段AB上，∴∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°.∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN=120°，即∠NCA=∠BCM=120°.在△ACN和△MCB中，AC=MC,∠ACN=∠MCB,CN=CB,∴△ACN≌△MCB(SAS)，∴∠ANC=∠MBC．在△PCN和△QCB中，∠ANC=∠MBC,CN=CB,∠PCN=∠QCB,∴△PCN≌△QCB(ASA)，∴PC=QC．又∵∠PCQ=60°，∴△PCQ是等邊三角形.∴∠PQC=60°，∴∠PQC=∠QCB，∴PQ∥AB．

例12

如圖13-3-15，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CF⊥BD,交BD的延長線于點(diǎn)F．求證：BD＝2CF．圖13-3-15證明：延長BA,CF交于點(diǎn)E.∵BD平分∠ABC，∴∠EBF=∠CBF.在△BFE和△BFC中，∠EBF=∠CBF，BF=BF,∠BFE=∠BFC=90°，∴△BFE≌△BFC(ASA),∴EF=CF=CE.∵∠E+∠ABD=∠E＋∠ACE=90°,∴∠ABD=∠ACE.在△ABD和△ACE中，∠ABD=∠ACE,AB=AC,∠BAD=∠CAE=90°，∴△ABD≌△ACE(ASA),∴BD=CE=2CF.方法點(diǎn)撥：證明線段的和差倍分關(guān)系，一般通過對線段割補(bǔ)或相等線段的代換，轉(zhuǎn)化為證明線段的相等問題來解決.題型四30°角的直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用

例13

已知：如圖13-3-16，在等邊三角形ABC中，AE=CD，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q．求證：BP=2PQ.圖13-3-16證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠C=∠ABC=60°，AB=BC=AC.∵AE=CD，AC=BC，∴EC=BD.在△BEC和△ADB中，EC=DB，∠C=∠ABD，BC=AB，∴△BEC≌△ADB(SAS)，∴∠EBC=∠DAB.∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°.∵∠BPQ是△ABP的外角，∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ.又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°.∴BP=2PQ．題型五與等邊三角形有關(guān)的綜合探究例14

如圖13-3-17，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點(diǎn)，由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(與點(diǎn)A，C不重合)，Q是CB延長線上一動點(diǎn)，與點(diǎn)P同時以相同的速度由點(diǎn)B向CB延長線方向運(yùn)動(點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合)，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PQ,交AB于點(diǎn)D.(1)當(dāng)∠BQD=30°時，求AP的長.(2)在運(yùn)動過程中，線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果發(fā)生改變，請說明理由.(1)(2)圖13-3-17圖13-3-18解：(1)設(shè)AP=BQ=x，則PC=6-x，QC=6+x.在△QCP中，∠CQP=30°,∠C=60°，∴∠CPQ=90°.∴QC=2PC,即6+x=2(6-x)，∴x=2，∴AP=2.(2)在運(yùn)動過程中線段ED的長不會發(fā)生變化.如圖13-3-18，過點(diǎn)P作PF∥QC，則△AFP是等邊三角形.∵點(diǎn)P，Q同時出發(fā)，速度相同，即BQ=AP，∴BQ=PF，∴△DBQ≌△DFP，∴BD=DF.∵△APF是等邊三角形，PE⊥AF,∴AE=EF，∴DE+(BD+AE)=AB=6,∴DE+(DF+EF)=6，即DE+DE=6，∴DE=3，即DE的長不變.解讀中考：等腰三角形是中考的重要考點(diǎn)之一.當(dāng)以選擇題或填空題命題時，常常結(jié)合線段垂直平分線、平行線、角平分線、30°角的直角三角形以及軸對稱等，求角度、線段長度或線段和的最小值；當(dāng)以解答題命題時，通常與全等三角形綜合，進(jìn)行證明或計(jì)算．考點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)

例15(湖北黃石中考)如圖13-3-20，線段AC的垂直平分線交線段AB于點(diǎn)D，∠A=50°，則∠BDC=()B圖13-3-20A.50°B.100°C.120°D.130°解析：設(shè)線段AC的垂直平分線交線段AC于點(diǎn)E.∵DE是線段AC的垂直平分線，∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°.故選B.

例16(山東濱州中考)如圖13-3-21，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AC=CD=BD=BE，若∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)為()D圖13-3-21A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°解析：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED.∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°.∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=×(180°-25°)=77.5°，∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°.故選D.考點(diǎn)二等腰三角形的判定例18(新疆內(nèi)高班中考)如圖13-3-24，輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達(dá)C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，則C處與燈塔A的距離是()海里．DA.25B.25C.50D.25圖13-3-24解析：如圖13-3-25，根據(jù)題意，得∠1=∠2=30°.∵∠ACD=60°，∴∠ACB=30°+60°=90°.∵∠CBA=75°-30°=45°，∴△ABC為等腰直角三角形.∵BC=50×0.5=25(海里)，∴AC=BC=25(海里)．故選D.考點(diǎn)三等邊三角形的性質(zhì)與判定

例19(江蘇泰州中考)如圖13-3-27，已知直線∥，將等邊三角形如圖放置，若∠α=40°，則∠β=_____.20°圖13-3-27圖13-3-28解析：如圖13-3-28，過點(diǎn)A作AD∥

，∴∠BAD=∠β．∵∥

，∴AD∥

，∴∠DAC=∠α=40°．∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴∠β=∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-40°=20°．

例20(河北中考)如圖13-3-29，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有()D圖13-3-29A.1個B.2個C.3個D.3個以上解析：若點(diǎn)Ｍ，Ｎ分別在ＯＡ，ＯＢ上，滿足上述條件的△PMN有1個；若點(diǎn)M，N中有一個和點(diǎn)O重合，滿足上述條件的△PMN有2個；若點(diǎn)Ｍ，Ｎ分別在ＯＡ，ＯＢ的反向延長線上，滿足上述條件的△PMN有1個.故選D.

例22(吉林中考)如圖13-3-32，在三角形紙片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點(diǎn)D(不與點(diǎn)B，C重合)是BC上任意一點(diǎn).將此三角形紙片按下列方式折疊，若EF的長度為a，則△DEF的周長為_____(用含a的式子表示).圖13-3-323a解析：由折疊的性質(zhì)，得點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于折痕所在的直線對稱，∴DE=BE.又∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠A=60°.由折疊的性質(zhì)知，F(xiàn)D∥AC，∴∠EFD=∠A=60°.又∵∠FED=60°，∴△EFD是等邊三角形，則DF=DE=EF=a，∴△DEF的周長為DE+EF+DF=3a.考點(diǎn)四30°角的直角三角形的性質(zhì)

例23(湖北荊州中考)如圖13-3-34，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線交BC于點(diǎn)D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E．若BC=3，則DE的長為()A圖13-3-34A.1B.2