2022-2023學(xué)年福建省福州八縣（市）一中高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市八縣（市）2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若，則復(fù)數(shù)（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，故選：D．2.已知向量在由小正方形（邊長1）組成的網(wǎng)格中的位置如圖所示，則（）A.12 B.4 C.6 D.3〖答案〗C〖解析〗以網(wǎng)格的小正方形相鄰兩邊所在方向單位向量為基底,如圖.則,所以，則.故選：C3.如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原圖的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法一：如圖所示：根據(jù)斜二測畫法，可知原圖形為平行四邊形，其中，，故面積為.方法二：直觀圖的面積為，原圖的面積與直觀圖的面積之比為，故原圖的面積為.故選：A4.如圖，在中，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，，∴.故選：A．5.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，即，，．故選：C．6.已知分別是內(nèi)角所對的邊，是方程的兩個根，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗是方程的兩個根，則有，則故選：B7.已知中，“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由正弦定理以及三角形大邊對大角可得：，又，在上單調(diào)遞減，，即，“”是“”成立的充分必要條件.故選：C.8.某工廠的煙囪如圖所示，底部為，頂部為，相距為的點，與點在同一水平線上，用高為的測角工具在，位置測得煙囪頂部在和處的仰角分別為，.其中，和在同一條水平線上，在上，則煙囪的高（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如下圖，在中，，由正弦定理可得，所以，從而，故，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法正確的是（）A.直四棱柱是長方體B.平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形C.棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點D.棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面〖答案〗BC〖解析〗對于A：因為直四棱柱上下底面平行，但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是長方體，故A錯誤；對于B：平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形，故B正確；對于C：由棱臺的定義知，棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點，故C正確；對于D：棱柱的兩個面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的側(cè)面，故D錯誤；故選：BC．10.下列命題正確的是（）A.B.已知，為非零實數(shù)，若，則與共線C.若為非零向量，若“”則“”D.若單位向量滿足，則與的夾角為0〖答案〗BD〖解析〗對于選項A，不妨設(shè)，，為非零向量，且，則，，即選項A錯誤；對于選項B，已知，為非零實數(shù)，若，，則與共線，即選項B正確；對于選項C，已知為非零向量，又,則，即或，即選項C錯誤；對于選項D，若單位向量滿足，即，即，即，則，則與的夾角為0，即選項D正確．故選：BD．11.已知滿足，則（）A.銳角三角形 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗已知滿足，則，即，即，對于選項A，為鈍角三角形，即選項A錯誤；對于選項B，，，，即選項B正確；對于選項C，，，即選項C正確；對于選項D，由，結(jié)合余弦定理可得：，即選項D正確．故選：BCD．12.對于函數(shù)，其中正確命題的是（）A.該函數(shù)的值域是，B.當(dāng)且僅當(dāng)或時，該函數(shù)取最大值1C.當(dāng)且僅當(dāng)時，D.當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增〖答案〗BC〖解析〗由，得，作出函數(shù)的圖像（圖中實線）如圖所示：結(jié)合圖形可知，函數(shù)的值域是，，故錯誤；由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)或時，函數(shù)取得最大值1，故正確；由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，，故正確；，函數(shù)為周期函數(shù)，由圖可知，當(dāng)，，時，單調(diào)遞增，故錯誤．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復(fù)數(shù)，則__．〖答案〗〖解析〗因為，則，則，故〖答案〗為：．14.已知向量，，若在方向上的投影向量為，則的值為__．〖答案〗〖解析〗，，，，在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，，，故〖答案〗為：.15.記的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，點為邊的中點．若，，，則的面積為__．〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，所以，因為為的中點，所以，所以，所以，故的面積．故〖答案〗為：．16.已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是__．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，則，可得，即，求得，則，函數(shù)在上遞增，；當(dāng)時，，，可知不存在，使得；當(dāng)時，則，由，得，令，，則，，，，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即．綜上所述，的取值范圍是．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）計算：；（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值．解：（1）原式=（2）為純虛數(shù)，，或（舍去），即18.已知向量．（1）當(dāng)為何值時，與共線？（2）當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀楹沃禃r，與夾角為銳角？解：（1）與共線，，解得.所以當(dāng)時，與共線.（2）若與的夾角為銳角，則，解得．又由（1）得，當(dāng)時，與共線且同方向，故當(dāng)?shù)姆秶鸀闀r，與夾角為銳角．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，．（1）如果點使得四邊形為平行四邊形，求頂點的坐標(biāo)；（2）如果點滿足，設(shè)，求的最小值．解：（1）設(shè)的坐標(biāo)為，因為四邊形是平行四邊形，所以，由于，，故，所以，所以的坐標(biāo)為；（2），，，，，，，，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為．20.若函數(shù)同時滿足下列四個條件中的三個：①最小值為；②；③；④最小正周期為．（1）給出函數(shù)的〖解析〗式，并說明理由；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．解：（1）依題意，若函數(shù)滿足條件③，則有，因為，所以，③顯然不成立，所以應(yīng)滿足條件①②④，由條件④得，且，所以，由條件①得，再由條件②得有，所以.所以.因為，所以，所以.（2）由得所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.21.疫情后全國各地紛紛布局“夜經(jīng)濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足為常數(shù)，且，日銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：（天11418222630122135139143139135（1）給出以下四個函數(shù)模型：①；②；③；④．請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的〖解析〗式；（2）已知第1天的日銷售收入為244元．設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．解：（1）該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足為常數(shù)，且，日銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：（天11418222630122135139143139135由表格中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時間變長時，先增后減，①③④函數(shù)模型都描述的是單調(diào)函數(shù)，不符合該數(shù)據(jù)模型，所以選擇模型②：，由函數(shù)圖象對稱性可知，又由表格可知，，代入，得，解得，，所以日銷售量與時間的變化的關(guān)系式為，.（2）因為第1天的日銷售收入為244元，則，解得，則，由（1），知，由，當(dāng)，時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，當(dāng)，時，為減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為，綜上可得，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值1395元．22.已知的內(nèi)角所對的邊分別為從下列三個條件中選擇一個并解答問題：①；②；③.（1）求角的大?。唬?）（i）若的面積為，，角的內(nèi)角平分線交于，求．（ii）若，動點分別在邊，上，如果把成面積相等的兩部分，求長度的最短值．解：（1）若選①：因為，由正弦定理可得因為，可得，所以，即，所以，又因為，所以；若選②，因為，可得，即，由正弦定理得，因為，可得，所以，又因，所以；若選③，因為，可得，由正弦定理得，又由，所以，因為，可得，所以，即，所以，因為，所以，所以，解得.（2）（i）因為，解得，又因為，所以，故，又由等面積法得，解得.（ii）由題可知，又由，所以，由余弦定理可得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即的最短長度為．福建省福州市八縣（市）2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若，則復(fù)數(shù)（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，故選：D．2.已知向量在由小正方形（邊長1）組成的網(wǎng)格中的位置如圖所示，則（）A.12 B.4 C.6 D.3〖答案〗C〖解析〗以網(wǎng)格的小正方形相鄰兩邊所在方向單位向量為基底,如圖.則,所以，則.故選：C3.如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原圖的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法一：如圖所示：根據(jù)斜二測畫法，可知原圖形為平行四邊形，其中，，故面積為.方法二：直觀圖的面積為，原圖的面積與直觀圖的面積之比為，故原圖的面積為.故選：A4.如圖，在中，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，，∴.故選：A．5.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，即，，．故選：C．6.已知分別是內(nèi)角所對的邊，是方程的兩個根，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗是方程的兩個根，則有，則故選：B7.已知中，“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由正弦定理以及三角形大邊對大角可得：，又，在上單調(diào)遞減，，即，“”是“”成立的充分必要條件.故選：C.8.某工廠的煙囪如圖所示，底部為，頂部為，相距為的點，與點在同一水平線上，用高為的測角工具在，位置測得煙囪頂部在和處的仰角分別為，.其中，和在同一條水平線上，在上，則煙囪的高（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如下圖，在中，，由正弦定理可得，所以，從而，故，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法正確的是（）A.直四棱柱是長方體B.平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形C.棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點D.棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面〖答案〗BC〖解析〗對于A：因為直四棱柱上下底面平行，但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是長方體，故A錯誤；對于B：平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形，故B正確；對于C：由棱臺的定義知，棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點，故C正確；對于D：棱柱的兩個面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的側(cè)面，故D錯誤；故選：BC．10.下列命題正確的是（）A.B.已知，為非零實數(shù)，若，則與共線C.若為非零向量，若“”則“”D.若單位向量滿足，則與的夾角為0〖答案〗BD〖解析〗對于選項A，不妨設(shè)，，為非零向量，且，則，，即選項A錯誤；對于選項B，已知，為非零實數(shù)，若，，則與共線，即選項B正確；對于選項C，已知為非零向量，又,則，即或，即選項C錯誤；對于選項D，若單位向量滿足，即，即，即，則，則與的夾角為0，即選項D正確．故選：BD．11.已知滿足，則（）A.銳角三角形 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗已知滿足，則，即，即，對于選項A，為鈍角三角形，即選項A錯誤；對于選項B，，，，即選項B正確；對于選項C，，，即選項C正確；對于選項D，由，結(jié)合余弦定理可得：，即選項D正確．故選：BCD．12.對于函數(shù)，其中正確命題的是（）A.該函數(shù)的值域是，B.當(dāng)且僅當(dāng)或時，該函數(shù)取最大值1C.當(dāng)且僅當(dāng)時，D.當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增〖答案〗BC〖解析〗由，得，作出函數(shù)的圖像（圖中實線）如圖所示：結(jié)合圖形可知，函數(shù)的值域是，，故錯誤；由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)或時，函數(shù)取得最大值1，故正確；由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，，故正確；，函數(shù)為周期函數(shù)，由圖可知，當(dāng)，，時，單調(diào)遞增，故錯誤．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復(fù)數(shù)，則__．〖答案〗〖解析〗因為，則，則，故〖答案〗為：．14.已知向量，，若在方向上的投影向量為，則的值為__．〖答案〗〖解析〗，，，，在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，，，故〖答案〗為：.15.記的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，點為邊的中點．若，，，則的面積為__．〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，所以，因為為的中點，所以，所以，所以，故的面積．故〖答案〗為：．16.已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是__．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，則，可得，即，求得，則，函數(shù)在上遞增，；當(dāng)時，，，可知不存在，使得；當(dāng)時，則，由，得，令，，則，，，，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即．綜上所述，的取值范圍是．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）計算：；（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值．解：（1）原式=（2）為純虛數(shù)，，或（舍去），即18.已知向量．（1）當(dāng)為何值時，與共線？（2）當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀楹沃禃r，與夾角為銳角？解：（1）與共線，，解得.所以當(dāng)時，與共線.（2）若與的夾角為銳角，則，解得．又由（1）得，當(dāng)時，與共線且同方向，故當(dāng)?shù)姆秶鸀闀r，與夾角為銳角．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，．（1）如果點使得四邊形為平行四邊形，求頂點的坐標(biāo)；（2）如果點滿足，設(shè)，求的最小值．解：（1）設(shè)的坐標(biāo)為，因為四邊形是平行四邊形，所以，由于，，故，所以，所以的坐標(biāo)為；（2），，，，，，，，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為．20.若函數(shù)同時滿足下列四個條件中的三個：①最小值為；②；③；④最小正周期為．（1）給出函數(shù)的〖解析〗式，并說明理由；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．解：（1）依題意，若函數(shù)滿足條件③，則有，因為，所以，③顯然不成立，所以應(yīng)滿足條件①②④，由條件④得，且，所以，由條件①得，再由條件②得有，所以.所以.因為，所以，所以.（2）由得所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.21.疫情后全國各地紛紛布局“夜經(jīng)濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足為常數(shù)，且，日銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：（天11418222630122135139143139135（1）給出以下四個函數(shù)模型：①；②；③；④．請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，