2024屆江蘇省南通市海安高級中學高三下學期二模數(shù)學試題及答案

江蘇省南通市海安高級中學2023-2024學年高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z12i,za2i(其中i為虛數(shù)單位,aR).若zz是純虛數(shù),則a（）1212A.-4B.-1C.1D.42.直線xtany20的傾斜角為()5A.B.C.D.5101053.有6名男教師和5名女教師,從中選出2名男教師、1名女教師組成一個支教小組,則不同的選法共有()A.60種B.70種C.75種D.150種n4.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且511146,則aa是a中的()310A.第28項B.第29項C.第30項D.第32項)條件5.在中,已知B30,c2,則“b2”是“C”成立的(A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要x26.已知雙曲線C:y21,直線l:xy10.雙曲線C上的點P到直線l的距離最小,則點P的橫坐4標為()2343323343A.B.C.D.337.若命題:“a,bR,使得a?ba”為假命題,則a,b的大小關系為（）A.abB.abC.?bD.…b8.設實數(shù)a,,c滿足a2b??1,則abc的最小值為（2）2122A.1B.C.D.-122二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對得部分分,有選錯的得0分.9.下列可以反映總體數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計特征數(shù)為()A.方差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.眾數(shù)10.已知不等式A.-4(axx2b?0對任意x(0,)恒成立,其中a,b是整數(shù),則ab的取值可以為()B.-2C.0D.811.直線l與拋物線C:x2py(p0)相交于,B兩點,過,B兩點分別作該拋物線的切線,與直線2yp均交于點P,則下列選項正確的是()A.直線l過定點(0,p)B.,B兩點的縱坐標之和的最小值為2pC.存在某一條直線l,使得為直角D.設點Q(0,2p)在直線l上的射影為H,則直線FH斜率的取值范圍是(,3][3,)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.15x?0,Nxx,則MN___________.2M∣x212.已知集合x,0x1若f(a)f(a,則f___________.13.設f(x)2(x…1a14.在長方體ABCD中,ABBCBBE,F分別是棱AB,AD的中點,則平面CEF截1111111該長方體所得的截面為___________邊形,截面面積為___________.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)如圖,在四棱錐P中,已知棱AB,AD,AP兩兩垂直,長度分別為1,2,2,若DCAB,且向量15與BD夾角的余弦值為.15(1)求實數(shù)的值;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.16.（15分）已知向量m(cosx,sinx),n(cosx,sinx2x),xR.設f(x)mn.(1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;(2)在中,若f(BAC)ABBC6,BAC的平分線交BC于點D,求AD長.x22y22317.(15分)在平面直角坐標系xOy中,設橢圓C:ab0)的離心率為,F,F分別是橢圓的12ab2左、右焦點,過F作兩條互相垂直的直線l,l,直線l與C交于A,B兩點,直線l與C交于D,E兩點,且21212AFF的周長是423.12(1)求橢圓C的方程;3(2)當ABDE時,求的面積.218.(17分)設函數(shù)f(x)(xa)lnxxa,aR.(1)若a0,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;2(2)若a0,試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間e2,e2內(nèi)的極值點的個數(shù),并說明理由;e2(3)求證:對任意的正數(shù)a,都存在實數(shù)t,滿足:對任意的x(t,ta),f(x)a1.19.(17分)“踩高蹺,猜燈謎”是我國元宵節(jié)傳統(tǒng)的文化活動.某地為了弘揚文化傳統(tǒng),發(fā)展“地推經(jīng)濟”,在元宵節(jié)舉辦形式多樣的猜燈謎活動.(1)某商戶借“燈謎”活動促銷,將燈謎按難易度分為B、C兩類,抽到較易的B類并答對購物打八折優(yōu)惠,抽到稍難的C類并答對購物打七折優(yōu)惠.抽取燈謎規(guī)則如下:在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片,其中3張寫有A字母,3張寫有B字母,2張寫有C字母,顧客每次不放回從箱中隨機取出1張卡片,若抽到寫有A的卡片,則再抽1次,直至取到寫有B或C卡片為止.求該顧客取到寫有B卡片的概率.(2)小明嘗試去找全街最適合他的燈謎,規(guī)定只能取一次,并且只可以向前走,不能回頭,他在街道上一共會遇到n條燈謎（不妨設每條燈謎的適合度各不相同）,最適合的燈謎出現(xiàn)在各個位置上的概率相等,小明準備采用如下策略:不摘前k?kn)條燈謎,自第k1條開始,只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的燈謎適合的,就摘這條燈謎,否則就摘最后一條.設k,記小明摘到那條最適合的燈謎的概率為P.①若nk2,求P;②當n趨向于無窮大時,從理論的角度,求P的最大值及P取最大值時t的值.11k11n1nk(取)k2023-2024學年度第二學期高三年級模擬考試數(shù)學一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A2.D3.C4.C5.B6.D7.B8.B二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對得部分分,有選錯的得0分.9.10.11.三、填空題：本題共3小題，每小題5分,共15分.31117612.,313.614.五,四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)解:依題意,以A為坐標原點,AB,AD,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系Axyz則B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),因為DCAB,所以C(,2,0),……2分(1)從而PC(,2,2),BD(1,2,0),則PC,BDPCBD415,……4分|PC||BD|15285解得2;……6分(2)易得PC(2,2),PD(0,2),設平面PCD的法向量n(x,y,z),則nPC0,且nPD0,即xyz0,且yz0,所以x0,不妨取yz1,則平面PCD的一個法向量n,…………9分又易得PB2),故PB,nPBn225105|PB||n|,………………12分.………………13分所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為516.(15分)解:(1)由f(x)2xsinx(sinx23x)2xsin2x23sinxx3sin2x2x312sin2x2x2262sin2x,……………………4分令22x2,則x,262366所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,,kZ.…………7分3613（2）因2sin2x1,因為0BAC,所以2BAC,666即2BAC,故BAC;…………9分663由余弦定理得4b222bcos606,即b2b20,2所以b31(負舍),……………11分所以ABCABDACD,1121即2(3sin602ADsin30(3ADsin30,22所以AD2.………………………15分3c3317.(15分)解:(1)由e，知，所以ca，……………2分2a22因為PFF的周長是423,所以2a2c423,……………4分12所以ac3,故b2a2c1,2x2所以橢圓C的方程為y1.…………6分24(2)分析知直線l的斜率存在,且不為0,設l的方程為:xmy3,11與橢圓方程聯(lián)立:2xy212m2m1,得1yy0,……………8分4424xmy3214m24mAB1m2yy1m2;12m2m24414124m2m12同理:DE,……………………10分14m4m24m24m2322所以,解得m2,…………12分m2414m24所以DE,直線l2的方程為y2(x3),31243223所以d2,故ODE2.……………15分18.(17分)解:(1)當a0時,f(x)xxx,f(x)x,令f(x)x1,列表分析x—)+10f(x)f(x)單調遞減單調遞增故f(x)的單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為).………………4分a(2)f(x)(xa)lnxxa,f(x)lnx,其中x0,x令g(x)xlnxa,分析g(x)的零點情況.1g(x)x1,令g(x)x,列表分析e1e1e1,exg(x)g(x)—0+單調遞減單調遞增1e1g(x)ga,...........6分e2因為a0,e21e11e1所以ga0,即flnae1ae0,eea12e2a0,22ae22222而fe2aefee2e2222因此f(x)在e,e有一個零點,f(x)在e,e內(nèi)有一個極值點;2內(nèi)有一個極值點.……10分當a0時,f(x)在e2,e2e2（3）猜想：xa),f(x)a1恒成立.……………11分1e證:由(2)得g(x)在,上單調遞增,且ga0,g(1a)a)a)a.11a0.因為當x1時,lnx1,所以a)a)1xa1故g(x)在a)上存在唯一的零點,設為x0.由x,1a0x0x0f(x)f(x)-0+單調遞減單調遞增知,xa),f(x)ffa)}.…………13分又fa)a)1,而x1時,lnxx1,所以fa)(a11a1f.即xa),f(x)a1.所以對任意的正數(shù)a,存在t1,使對任意的x(t,ta),使f(x)a1.……15分補充證明(*):111x1令F(x)lnxx1.F(x)0,所以F(x)在)上單調遞增.xxx2x21所以x1時,F(x)F0,即lnx1.x補充證明(**)1令G(x)lnxxxG(x)10,所以G(x)在)上單調遞減.x所以x1時,G(x)G0,即lnxx1.……………………17分319.(17分)解：(1)該顧客第一次取到寫有B卡片的概率為,……..1分8339該顧客第二次取到寫有B卡片的概率,………………..2分87563233該顧客第三次取到寫有B卡片的概率,……………3分8765632133該顧客第四次取到寫有B卡片的概率,………4分；……5分8765280213933該顧客取到寫有B卡片的概率為8565628035(2)①這4條燈謎的位置從第1個到第4個排序,有要摘到那條最適合燈謎,有以下兩種情況:A種情況,………………7分44336種情況;（i）最適合燈謎是第3個,其它的隨意在哪個位置,有（ii）最適合燈謎是最后1個,第二適合燈謎是第1個或第2個,其它的隨意在哪個位置,有況,………………9分A2A4種情22645故所求概率為;……………………10分2412②記事件A表示最適合燈謎被摘到,事件i表示最適合燈謎排在第i個,1則PB,inn1nPABPB∣∣,PAi由全概率公式知:P()iini1i10；當??k時,最適合燈謎在前k條中,不會被摘到,此時P∣i當k??n時,最適合燈謎被摘到,當且僅當前i1條燈謎中