2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)案12-概率與統(tǒng)計(jì)(學(xué)生版)

專(zhuān)題十二概率與統(tǒng)計(jì)

(-)知識(shí)梳理

1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有n類(lèi)不同的方案，在第一類(lèi)方案中有加種不同的方法，在第二類(lèi)方案中有他種

不同的方法，……,在第〃類(lèi)方案中有如種不同的方法，則完成這件事情，共有N=M+M2

+…+，小種不同的方法.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事情需要分成〃個(gè)不同的步驟，完成第一步有如種不同的方法，完成第二步有如種

不同的方法.......完成第"步有人種不同的方法，那么完成這件事情共有N=，MX/n2><…x佃

種不同的方法.

3.兩個(gè)原理的區(qū)別

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù).它們的區(qū)別

在于：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分類(lèi)有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這

件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才

算完成.

4.排列與排列數(shù)公式

(1)排列與排列數(shù)

排

從"個(gè)不同元

按照一定的順序排所有不同列

素中取出

—-列,排列的個(gè)數(shù)數(shù)

機(jī)("區(qū)〃)個(gè)元素

(2)排列數(shù)公式

n!

(〃-1)(“-2)…(〃-〃?+1)=(〃_刈！

(3)排列數(shù)的性質(zhì)

①②0!—1.

5.組合與組合數(shù)公式

(1)組合與組合數(shù)

(2)組合數(shù)公式

A?_〃（，L1）（〃一2）...（〃一，〃+1）

C1；=____21

Cmm!ml（〃一/%）!,

(3)組合數(shù)的性質(zhì)

①c2=i；②c#=c「,"；③cr+ck?=c;7+1.

6.排列與組合問(wèn)題的識(shí)別方法

識(shí)別方法

若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問(wèn)

排列

題，即排列問(wèn)題與選取元素順序有關(guān)

若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，則是組合問(wèn)

組合

題，即組合問(wèn)題與選取元素順序無(wú)關(guān)

7.二項(xiàng)式定理

⑴定理：

（a+b）"=C"+Clan~'b+...+C如”一鏟+...+C'；,b'\nGN*）.

（2）通項(xiàng):

第&+1項(xiàng)為：7ki=C￡"L%”.

（3）二項(xiàng)式系數(shù)：

二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：C6(Z=O,1,2........n).

8.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

對(duì)稱(chēng)性一與首末等距的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即

當(dāng)rv粵時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的

增減性一當(dāng)早時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的

性

乙_____________________________________________

與最大值

L當(dāng)兀為偶數(shù)時(shí),的二項(xiàng)式系數(shù)最大

質(zhì)

當(dāng)口為奇數(shù)時(shí)，的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大

\------C?+C：+…+C；+“.+C：=2"

二項(xiàng)式一

系數(shù)的和

c濟(jì)髭+C升?“=C：+a+a+…=22

9.概率與頻率

(1)在相同的條件S下重復(fù)〃次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)〃次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次

數(shù)nA為事件4出現(xiàn)的頻數(shù)，稱(chēng)事件A出現(xiàn)的比例力,(4)=拳為事件A出現(xiàn)的頻率.

(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,在相同條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)

常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個(gè)常數(shù)來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小，并把這

個(gè)常數(shù)稱(chēng)為隨機(jī)事件4的概率，記作戶(川.

10.事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義符號(hào)表示

包含B^A

如果事件4發(fā)生，則事件8一定發(fā)生，這時(shí)稱(chēng)事件8

包含事件A(或稱(chēng)事件A包含于事件B)

關(guān)系（或AUB）

相等若82A且AQB,那么稱(chēng)事件4與事件B相等A=B

關(guān)系

并事件UB

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，A

則稱(chēng)此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)

(和事件)(或A+B)

交事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，4nB

則稱(chēng)此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)

(積事件)(或AB)

互斥

若ACB為不可能事件，則稱(chēng)事件A與事件B互斥ADB=°

事件

對(duì)立

若ACB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱(chēng)AQB=0；

事件A與事件B互為對(duì)立事件

事件P(AUB)=P(A)+P(B)=1

11.理解事件中常見(jiàn)詞語(yǔ)的含義：

(1)A,8中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為ADBDAB；

(2)A,8都發(fā)生的事件為AB；

(3)A,B都不發(fā)生的事件為通；

(4)A,B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為AUB；

(5)A,8至多一個(gè)發(fā)生的事件為AUBU通.

12.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：O<P(A)<1.

(2)必然事件的概率：尸(￡)=1.

(3)不可能事件的概率：P(F)=Q.

(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則尸(AU8)=尸(A)+P(B).

(5)對(duì)立事件的概率

若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則P(A)=\-P(B).

13.互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系

互斥事件與對(duì)立事件都是兩個(gè)事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事

件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥

事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件.

14.基本事件的特點(diǎn)

(1)任意兩個(gè)基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

15.古典概型

(1)定義：具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

(2)古典概型的概率公式：P(A)=包黑篇點(diǎn)墨?

16.幾何概型

(1)定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱(chēng)這

樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型.

/c、T-八f?、構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)

(2)幾1何概型的概率/、式：P(A)_試驗(yàn)的所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積).

17.條件概率及其性質(zhì)

(1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率,

用符號(hào)產(chǎn)出⑷來(lái)表示，其公式為P(用人)=鬻興=喏2.

(2)條件概率具有的性質(zhì)：

①0WP(8|A閆；

②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BUC\A)=P(B\A)+P(C\A).

18.相互獨(dú)立事件

(1)對(duì)于事件A、B,若A的發(fā)生與5的發(fā)生互不影響，則稱(chēng)A、8是相互獨(dú)立事件.

(2)若A與8相互獨(dú)立，則P(B|A)=P(B),尸(A8)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).

(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與萬(wàn)，N與8,X與萬(wàn)也都相互獨(dú)立.

(4)若尸(A8)=尸(A)P(B),則A與B相互獨(dú)立.

19.離散型隨機(jī)變量

隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，常用字母X,匕卻小…表示.所有取值可以

一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量.

20.離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)

(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為乃，念，…，X，…，X”，X取每一個(gè)值X?

—1,2,〃)的概率P(X=?)=p"則表

XXIX2XiXn

PP\P2PiPn

稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列.

(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：

n

①p侖0(i=l,2,…，”)；②動(dòng)1=1-

21.常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列

(1)兩點(diǎn)分布：

若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則其分布列為

X01

其中p=P(X=1)稱(chēng)為成功概率.

(2)超幾何分布

在含有何件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件｛X=k｝發(fā)生的概率為

A/VM

P(X=k)=r?,左=0,1,2,m,其中，"=min{M,〃},S.n<N,M<N,n,M,N《M,

LN

稱(chēng)分布列為超幾何分布列.

X01m

PC%C*M

CMLN-MC-C"Mc%

C%

C〃N

(3)二項(xiàng)分布

①獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的-一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)

中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一

樣的.

②在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,

則P(X=A)=C￡//(1-p)"-*(Z=0,l,2,…，")，此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為X?8(",

p),并稱(chēng)p為成功概率.

22.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

n

<2>方差：稱(chēng)Q(X)=N(x「E(X))2p,?為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)

的平均偏離程度，其算術(shù)平方根，礪為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

<3>均值與方差的性質(zhì)

(l)E(aX+?=

(a,8為常數(shù)).

(2)￡)(aX+6)=

<4>兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差

XX服從兩點(diǎn)分布X?p)

Empip為成功概率)np

DWP(l-p)np{\—p)

](A.)2

23.正態(tài)分布：若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)可以表不為2,，則稱(chēng)服

從正態(tài)分布，記為xN(〃,cy2),其中%€(-8,+8).

24.正態(tài)曲線的特點(diǎn)

(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交;

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng);

(3)曲線在X=R處達(dá)到峰值1歷；

(4)曲線與x軸之間的面積為1；

(5)當(dāng)。一定時(shí)，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移；

(6)當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定.”越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；。越大，

曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

(7)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)(不需記憶)

①P(JM-<7<X<M+<7)=0.6826；

②PQL2C(X%+2。)=0.9544；

③尸儀一3c<X$u+3b)=0.9974.

25.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(1)定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取〃個(gè)個(gè)體作為樣本54V),

且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就稱(chēng)這樣的抽樣方法為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

(2)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.

26.系統(tǒng)抽樣

(1)步驟：①先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；

②根據(jù)樣本容量〃，當(dāng)?是整數(shù)時(shí)，取分段間隔％=“；

③在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)/(/$%);

④按照一定的規(guī)則抽取樣本.

(2)適用范圍：適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí).

27.分層抽樣

(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定

數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.

(2)適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個(gè)部分組成時(shí).

28.三種抽樣方法的比較

類(lèi)別各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍共同點(diǎn)

簡(jiǎn)單隨機(jī)從總體中總體中的個(gè)體

最基本的抽樣方法

抽樣數(shù)較少

逐個(gè)抽取

抽樣過(guò)程

系統(tǒng)將總體平均分成幾部在起始部分抽樣

總體中的個(gè)體中每個(gè)個(gè)

分，按事先確定的規(guī)則時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)

數(shù)較多體被抽到

抽樣分別在各部分中抽取抽樣

的可能性

將總體分成幾層，按各相等

分層各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)總體由差異明

層個(gè)體

單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)顯的幾部分組

抽樣抽樣

數(shù)之比抽取成

29.作頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差).

(2)決定組距與組數(shù).

(3)將數(shù)據(jù)分組.

(4)列頻率分布表.

(5)畫(huà)頻率分布直方圖.

30.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線

圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)這條光滑曲線為總體密度曲線.

31.莖葉圖

統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)

出來(lái)的數(shù).

32.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(2)中位數(shù)：把"個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

⑶平均數(shù)：把"'+"2：…稱(chēng)為=〃2,…，如這〃個(gè)數(shù)的平均數(shù).

(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)X”X2,冷，…，%的平均數(shù)為三，則這組數(shù)據(jù)

標(biāo)準(zhǔn)差為5=yj^[(JC|—Xy+(X2—X)2+…+(%—X)2]

1_—一

2

方差為$2=G(X1—X)2+(松一X)+...+(Xn—X月

33.變量間的相關(guān)關(guān)系

(1)常見(jiàn)的兩變量之間的關(guān)系有兩類(lèi)：一類(lèi)是函數(shù)關(guān)系，另一類(lèi)是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，

相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.

(2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱(chēng)為正相關(guān),

點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān).

34.兩個(gè)變量的線性相關(guān)

(1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱(chēng)兩個(gè)

變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線.

〃___

=2d____________

b=----------nr

2-2

(2)回歸直線方程為y=笈+a,其中]]：(王一元產(chǎn)

/x1-nx

/=1Z=1

a=y-bx

n

X

(3)通過(guò)求Q=z=l(yi-bxi-a)2的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)

據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.

(4)相關(guān)系數(shù)：

當(dāng)，＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；

當(dāng)K0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

『的絕對(duì)值越接近于1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的絕對(duì)值越接近于0,表明兩個(gè)變

量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常閉大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.

35.獨(dú)立性檢驗(yàn)

假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和匕它們的取值分別為5,及｝和出，”｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱(chēng)為2x2

列聯(lián)表）為：

y>2總計(jì)

X]aba+b

X2cdc+d

總計(jì)a~\~cb+da+b+c+d

公=（“十份（：7?）（然（c+力（其中〃=a+"c+d為樣本容量）?

（-）考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：二項(xiàng)式的多項(xiàng)展開(kāi)問(wèn)題

例1:（1）兩項(xiàng)展開(kāi)之積］（1+2x）3（l—》）4展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為.

（2）三項(xiàng)展開(kāi)問(wèn)題］（f+x+yp的展開(kāi)式中，//的系數(shù)為.

考點(diǎn)釋疑：（1）（。+份"'（c+@’的多項(xiàng)展開(kāi)問(wèn)題分別用通項(xiàng)公式之積進(jìn)行化簡(jiǎn)，對(duì)應(yīng)指

數(shù)后，討論，1，「2的取值.

（2）（a+b+c）"的展開(kāi)型，轉(zhuǎn)化為3+3+c］"二項(xiàng)展開(kāi)求解，但注意a,b,c的結(jié)合或用展開(kāi)的

方式借助組合知識(shí)求解.

考點(diǎn)二：二項(xiàng)式的展開(kāi)式系數(shù)和問(wèn)題

例2：（a+x）（l+x）4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次基項(xiàng)的系數(shù)之和為32,貝lja=.

考點(diǎn)釋疑：（D“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如（依十勿"、（以2+6x+c）"S、

beR）的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x=l即可；對(duì)形如（以+勿，）"（〃，

0CR）的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=l即可.

(2)若7(X)=4O+GX+42『+…+。渭'，則_/U)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為H1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為

_/(1)+/(-1)屈料.英物多有％,,,_/(1)-/(-1)

ao+fl2+?4+...--------------------------，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為0+03+05+i=--------------------------.

22

考點(diǎn)三：條件概率

例3：(1)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)

良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是

(2)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆/K

子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示(o]

事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)“，

則①P(A)=；②P(B|A)=.

考點(diǎn)釋疑：條件概率的求法：

p

①利用定義，分別求P(4)和尸(A8),得尸(B|A)='學(xué)一,這是通用的求條件概率的方法.

r/A

②借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)”(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事

MAZ?

件B包含的基本事件數(shù)，即“(A8),得P(邱!)=n,黑.

考點(diǎn)四：相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

例4：甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8,計(jì)算:

⑴兩人都擊中目標(biāo)的概率；

(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率;

(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率.

考點(diǎn)釋疑：(1)正確分析所求事件的構(gòu)成，將其轉(zhuǎn)化為兒個(gè)彼此互斥事件的和或相互獨(dú)立事件的

積，然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.(2)注意根據(jù)問(wèn)題情境正確判斷事件的獨(dú)立性.(3)在應(yīng)用相互

獨(dú)立事件的概率公式時(shí)，對(duì)含有“至多有一個(gè)發(fā)生”“至少有一個(gè)發(fā)生”的情況，可結(jié)合對(duì)立事件

的概率求解.

考點(diǎn)五：離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用

例5：⑴隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為尸(X=〃)=-三一(〃=1,2,3,4),其中。是常數(shù)，則尸(；

<x<|)的值為.

(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.3m

求①2X+1的分布列;

②區(qū)一1|的分布歹I」.

考點(diǎn)釋疑：離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用：

①利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)；

②若。為隨機(jī)變量，則么+1,匕-II等仍然為隨機(jī)變量，求它們的分布列時(shí)可先求出相應(yīng)的隨

機(jī)變量的值，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的概率寫(xiě)出分布列.

考點(diǎn)六：離散型隨機(jī)變量的均值與方差

例6：袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上〃號(hào)的有〃個(gè)（“=1,2,3,4）.現(xiàn)

從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào).

（1）求X的分布列、期望和方差；

（2）若y="x+b,E（r）=i,z）（y）=ii,試求“，人的值.

考點(diǎn)釋疑：求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫(xiě)出隨機(jī)變量

的分布列，正確運(yùn)用均值、方差的公式進(jìn)行計(jì)算.

考點(diǎn)七：超幾何分布

例7：盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球.規(guī)定取出1個(gè)紅

色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得一1分，現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球.設(shè)^

為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求^的分布列.

考點(diǎn)釋疑：超幾何分布的特點(diǎn)：

(1)從形式上看超幾何分布模型中的物品是由明顯的兩部分構(gòu)成；

(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量取值

的概率實(shí)質(zhì)上是古典概型.

考點(diǎn)八：二項(xiàng)分布

例8：某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4

個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2

個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng).若

某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的分布列.

考點(diǎn)釋疑：利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程，但需要注意檢查該概率模型是

否滿足公式P.伏)=Cf”(l—p)"f的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)

P；(2)〃次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的;

(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.

考點(diǎn)九：正態(tài)分布

例9：在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)岑服從正態(tài)分布，即j?MIO?！埂?已知滿分為150分.

(1)試求考試成績(jī)。位于區(qū)間80,120］內(nèi)的概率；

(2)若這次考試共有2000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù).

考點(diǎn)釋疑：解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

①對(duì)稱(chēng)軸X=〃；②標(biāo)準(zhǔn)差（7；

③分布區(qū)間.利用對(duì)稱(chēng)性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由〃，“，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分

布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3。特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱(chēng)軸才為x=0.

（三）歷年高考真題訓(xùn)練

1、（2011年高考全國(guó)卷I）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越

好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱(chēng)為A配方和B配

方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：

A配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組90,94)94,98)98,102)102,106)106,110]

頻數(shù)82042228

B配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組90,94)94,98)98,102)102,106)106,110]

頻數(shù)412423210

（I）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；

（II）己知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值1的關(guān)系式為

-2,r<94

y=<2,94Kf<102從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為X（單位：元），求X的

4"2102

分布列及數(shù)學(xué)期望.（以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入

相應(yīng)組的概率）

2、（2012年高考全國(guó)卷I）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每

枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

（I）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：

枝，nwN）的函數(shù)解析式；

（II）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求量14151617181920

頻數(shù)10201616151310

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)

期望及方差：

（ii）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由.

3、（2013年高考全國(guó)卷I）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4

件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為幾如果"=3,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若

都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果〃=4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，

則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn).

假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為上，且各件產(chǎn)品是否

2

為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.

（I）求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；

（II）已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量

檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

4、（2014年高考全國(guó)卷I）從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)

值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

(I)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差52(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值

作代表);

(II)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(〃,S2),其中〃

近似為樣本平均數(shù)，3?近似為樣本方差一.

⑴利用該正態(tài)分布，求利(187.8<Z<212.2)；

(ii)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間

(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用(i)的結(jié)果，求EX.

附：7150-12.2.

若Z?N(〃,8),則尸(〃一5Vz<4+3)=0.6826,尸(〃-26Vz<〃+23)=0.9544.

5、（2015年高考全國(guó)卷1）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x

（單位：千元）對(duì)年銷(xiāo)售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣

傳費(fèi)者和年銷(xiāo)售量,（=1,2,…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的

值.

620"

600-

580-

560-

540-

520-

500-

480343638^2444648505254$6

年宣傳費(fèi)/1元

8_8_8__8__

方（％）

yW-X2Z（x,7）（y-y）￡（叱一w）（y「y）

Z=1i=li=li=l

46.65636.8289.81.61469108.8

表中卬,=北>卬叱

o/=1

（I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d五哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回

歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不