2022-2023學(xué)年浙江省寧波市余姚市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市余姚市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.若復(fù)數(shù)z=a2—4+（a—2）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.2B.2或一2C.-2D.-4

2.在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知爐+c?—小=%，若siM/+

sin2B=sin2C,則角8的大小為（）

A.30°B,45°C.60°D.90°

3.已知正三角形邊長(zhǎng)為2,用斜二測(cè)畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（）

A.—B.—C.2。D.2AT6

44

4.已知平面向量落至滿足（3萬一2萬）1（5五+可且五?石=；,若I初=1,則|3|=（）

A.1B.5C.V7D.V2

5.下列命題正確的是（）

①平行于同一條直線的兩條直線平行；

②平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行；

③平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行；

④平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.

A.①②B.③④C.①④D.②③

6.某圖書館統(tǒng)計(jì)了某個(gè)月前8天紙質(zhì)圖書的借閱情況，整理數(shù)據(jù)得到如圖折線圖.根據(jù)折線圖,

下列結(jié)論正確的是（）

A.這8天里，每天圖書借出數(shù)的極差大于50

B.這8天里，每天圖書借出數(shù)的平均數(shù)大于105

C.這8天里，每天圖書借出數(shù)的中位數(shù)大于101

D.前4天圖書借出數(shù)的方差小于后4天圖書借出數(shù)的方差

7.在正四棱錐S-力BCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面是腰長(zhǎng)為小%的等腰三角形，則

正四棱錐S-ABCD的外接球的體積為（）

B.97rD.18兀

8.如圖,在平面四邊形4BCD中,AB1BC,AD1CD,乙BAD=120°,

AB=2。=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則麗.麗的最小值為（

D.2

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.甲乙兩臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，己知甲機(jī)床的正品率是0.8,乙機(jī)床的正品率

為0.9,分別從它們制造的產(chǎn)品中任意抽取一件，則（）

A.兩件都是次品的概率為0.02

B.事件“至多有一件正品”與事件“至少有一件正品”是互斥事件

C.恰有一件正品的概率為0.26

D.事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”是對(duì)立事件

10.已知復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z=1+33則（）

A.\z\=AT2B.W在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.z4=4D.z滿足方程z?—2z+2=0

11.在△力BC中，角力，B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若a?+c2-b2>0,則44BC為銳角三角形

B.若4>B,則sinA>sinB

C.若b=3,a=4,B=也則此三角形有2解

D.若s譏24=sin2B,則△ABC為等腰三角形

12.己知正四棱柱48CD-&B1GD1的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M為側(cè)棱CG上的動(dòng)點(diǎn)（

包括端點(diǎn)），AM1平面a,下列說法正確的有（）

A.異面直線2M與/C可能垂直

B.直線BC與平面a可能垂直

C.4B與平面a所成角的正弦值的范圍為[?,?]

D.若〃6戊且。用=用6,則平面a截正四棱柱所得截面多邊形的周長(zhǎng)為3c

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量為=(3,—1),b=(2,fc),且2與b共線，則五?6=.

14.在△ABC中，AB=2相,AC=Z-BAC=90°,則△ABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周

所形成的幾何體的表面積為.

15.如圖所示，摩天輪的直徑為110相，最高點(diǎn)距離地面的高度為

120m,摩天輪按逆時(shí)針方向做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且每30nl譏轉(zhuǎn)一圈.若游客

甲在最低點(diǎn)坐上摩天輪座艙，則在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5根譏后距離地面的高度

為___m.

16.△ABC中，AB=1,AC=4,Nd=60。，AD是BC邊上的中線，E,F分另!j為線段力B,AC

上的動(dòng)點(diǎn)，EF交4。于點(diǎn)6.若44EF面積為△48c面積的一半，則而?前的最小值為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎(jiǎng)問答比賽》活動(dòng)，某場(chǎng)比賽中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)

回答一道有關(guān)環(huán)保知識(shí)的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是,,甲、丙兩個(gè)家庭都回

答錯(cuò)誤的概率是白，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是:若各家庭回答是否正確互不影響.

1Z4

(1)求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；

(2)求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率.

18.(本小題12.0分)

如圖，已知等腰AABC中，AB=AC^3,BC=4,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若點(diǎn)P是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，試用向量荏，前表示向量存;

⑵求而.(屈+旅)的值.

19.(本小題12.0分)

如圖①，在正方體4BCD-A/IGDL中，E,F,G分另!］為48,BC,的中點(diǎn).

(1)求證：平面￡TG1平面BBiAD；

(2)將該正方體截去八個(gè)與四面體B-EFG相同的四面體得到一個(gè)多面體(如圖②)，若該多面

體的體積是與，求該正方體的棱長(zhǎng).

20.(本小題12.0分)

某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的

分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù)，滿分為100)作為樣本(樣本容量為2進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照［50,60),［60,70),

［70,80),［80,90),［90,100］的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在［50,60),［90,100］的頻

數(shù)分別為8,2.

(1)求樣本容量71和頻率分布直方圖中的x,y的值；

(2)估計(jì)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；

(3)在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求所抽取

的2名學(xué)生中至少有一人得分在［90,100］內(nèi)的概率.

21.(本小題12.0分)

如圖，在平面四邊形48CD中，AC=4,BC1CD.

(1)若4B=2,BC=3,CD=7^5.求AACD的面積;

(2)若3=*求(F+$4D—BC的最大值.

22.(本小題12.0分)

已知一圓形紙片的圓心為0,直徑4B=2,圓周上有C、D兩點(diǎn).如圖，。。14B,^AOB=￡

點(diǎn)P是曲上的動(dòng)點(diǎn).沿28將紙片折為直二面角，并連結(jié)P。，PD,PC,CD.

(1)當(dāng)48〃平面PCD時(shí)，求PD的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)三棱錐P-COD的體積最大時(shí)，求二面角。—PD—C的余弦值.

C

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：復(fù)數(shù)2=a2一4+（。-2）?為純虛數(shù)，則卜2—4=0,解得a=—2.

故選：C.

根據(jù)純虛數(shù)的定義，得到方程組卜2二4=0,求解即可.

（a-2W0

本題考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：：+C?-a?=6c,.,.由余弦定理可得cos4=5；?4=60。.

又???siMZ+sin2B=sin?。，.?.由正弦定理可得：a2+b2=c2.

???cosC=0,C=90°,B=30°.

故選：A.

根據(jù)已知條件，出現(xiàn)較多邊的平方項(xiàng)，自然選擇余弦定理，第一個(gè)式子解出乙4的值，第二個(gè)式子

運(yùn)用正余弦定理可求出NC,即可求解NB.

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

3.【答案】B

【解析】解：???三角形在其直觀圖中對(duì)應(yīng)一個(gè)邊長(zhǎng)為2正三角形，

???直觀圖的面積是x2x2xsin60°=C，

s_

由斜二測(cè)畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系要里=

S原圖4

???直觀圖的面積為與X空x22=華，

444

故選:B.

求出直觀圖三角形的面積，利用平面圖形的面積是直觀圖面積的24攵倍，求出直觀圖的面積即可.

本題考查平面圖形的三視圖，由三視圖還原實(shí)物圖，是一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算題目，解題的關(guān)鍵是對(duì)于

這兩個(gè)對(duì)應(yīng)的圖形的面積之比要掌握.兩個(gè)面積可以互相推出.

4.【答案】C

【解析】解：:平面向量五，3滿足（3五一23）1（5五+9），

15a2-7a-b-2b2=0.又五%=與且|可=1,

15-1-2|b|2=0，2|石『=14，.?.|K|=<7.

故選：C.

根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，方程思想，即可求解.

本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：①由平行公理可得，平行于同一條直線的兩條直線平行，故①正確；

②平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行或相交，故②錯(cuò)誤；

③平行于同一個(gè)平面的兩條直線有三種位置關(guān)系，即平行、相交或異面，故③錯(cuò)誤；

④由平面與平面平行的判定可得，平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，故④正確.

正確的命題是①④.

故選：C.

由平行公理判斷①；由平行于同一直線的兩平面的位置關(guān)系判斷②；由平行于同一平面的兩直線

的位置關(guān)系判斷③；由面面平行的判定判斷④.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，

是基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：4：每天圖書借出數(shù)的極差為130-80=50,錯(cuò)；

5:每天圖書借出數(shù)的平均數(shù)86+1°8+8。+13"。3+97+1。1+121=孚<錯(cuò)；

o4

C：由數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?0,86,97,101,103,108,121,130,則中位數(shù)為"甘坦=102>101,

對(duì)；

D-.前4天平均數(shù)86+1°8；80+130=10],則方差為:富=式々—101）2=389,

后4天平均數(shù)103+97；01+121=105.5,則方差為立屋（%-105.5）2=84.75,

所以前4天圖書借出數(shù)的方差大于后4天圖書借出數(shù)的方差，錯(cuò).

故選：c.

利用折線圖求出極差、平均數(shù)、中位數(shù)判斷力、B、C；應(yīng)用方差的求法分別求出前4天、后4天圖

書借出數(shù)方差判斷0.

本題主要考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：設(shè)外接球的球心為。，半徑為R,底面中心為E,連接SE,

BO,BE,

因?yàn)樵谡睦忮FS-4BCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面是腰長(zhǎng)為

的等腰三角形，

所以BE=C,SE=VSB2-BE2=2，

在RtAABC中,R2=0E2+BE2,BP/?2=(2-/?)2+(<7)2,

解得R=|,所以外接球的體積為卜=^兀/?3=57r.

故選：c.

設(shè)外接球的球心為0,半徑為R，底面中心為E,連接SE,BO,BE,在ABC中，由底=0E2+BE2

求解.

本題考查了多面體的外接球問題，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：由于4B1BC,AD1CD,

如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ZM,DC為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,

連接4C,由于45=40=1,貝IJA4DC三△4BC,

而=120°,故NCH。=/.CAB=60°,則NBA*=60°,

則D(O,O),A(I,O),BG，?),C(O,0,

設(shè)E(0,y),0Wy<q，則而=(l,-y)，麗=(|,?—y),

故說.麗=|+y2_.y=(y-半產(chǎn)+能

當(dāng)y=\I時(shí)，瓦？?麗有最小值工，

J416

故選：A.

建立平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得麗，麗的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函

數(shù)知識(shí)，即可求得答案.

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：甲乙兩臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床的正品率是0.8,乙機(jī)床的正

品率為0.9,

分別從它們制造的產(chǎn)品中任意抽取一件，

對(duì)于4若取出的兩件都是次品，其概率P=(1—0.8)x(l-0,9)=0.2x01=0.02,故A正確；

對(duì)于B,事件“至多有一件正品”包含有兩件次品、一件正品和一件次品，

“至少有一件正品”包含有兩件正品、一件正品和一件次品，

??.B中兩個(gè)事件不是互斥事件，故2錯(cuò)誤；

對(duì)于C,恰有一件正品，其概率P=08x(1—0.9)+(1—0.8)x0.9=0.08+0.18=0.26,故C

正確；

對(duì)于D,事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”是對(duì)立事件，故。正確；

故選：ACD.

利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式判斷力；利用互斥事件定義判斷出利用相互獨(dú)立事件概率乘法公

式判斷C；利用對(duì)立事件判斷D.

本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件、對(duì)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于力：z==1+i,|z|=V"-2>故A正確；

對(duì)于B：5=1-i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故8錯(cuò)誤;

對(duì)于C：z4=(1+i)4=[(1+O2]2=(2i)2=-4,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：z?—2z+2=(l+i)2—2(1++2=2i—2+2i+2=0,故D正確.

故選：AD.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于力項(xiàng)，因?yàn)閍?+c2—〉0,所以COSB=Q±SU>0，

2ac

所以B為銳角，但△力BC不一定是銳角三角形，故A項(xiàng)不成立；

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?>B=>a>b,所以由正弦定理可知，sinA>sinB,故2項(xiàng)正確;

對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示，

因?yàn)閍sinB<b<a,

所以此三角形有2解，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于。項(xiàng)，因?yàn)閟in2A=0<A<TT,0<B<TT,

所以24=28或24+2B=兀，即：A=B或A+B=(

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故D項(xiàng)不成立.

故選：BC.

運(yùn)用余弦定理可判斷4項(xiàng)，運(yùn)用大邊對(duì)大角及正弦定理可判斷B項(xiàng)，作圖可判斷C項(xiàng)，解三角函數(shù)

方程可判斷。項(xiàng).

本題主要考查三角形形狀的判斷，正余弦定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

12.【答案】AD

【解析】解：在平面BCG%內(nèi)作BM1交CG于點(diǎn)M

在正四棱柱4BCD-4當(dāng)弓A中，

因?yàn)锳B1平面BCG/,BiCuC平面BCG4,

所以4B1B±C,

又BMu平面ABM,ABu平面ABM,BMCAB=B,

所以/Cl平面ABM,又4Mu平面4BM,

所以8道1AM.故A說法正確；

B.AM,BC不可能平行，故8c與a不可能垂直，故8說法錯(cuò)誤;

C.如圖：

連接AC,2G，等同于48與AM所成角8的余弦值的范圍，

在直角三角形4BM中，cosd=cosZ-MAB=黑=±e[率,

當(dāng)點(diǎn)M由C點(diǎn)向G移動(dòng)時(shí)，AM逐漸增大，

在直角三角形ABC中，AC=VAB2+BC2=Vl2+l2=/攵，

2

在直角三角形ACC1中，ACr=7AC+CCf=J(4)2+22=4%，

y[~2<AM<V_6^

則焉

則cos。”？,詈］,故c錯(cuò)誤,

D如圖：

由題意知M。為CC］的中點(diǎn)，連接BM,DM,AM,MB「MD「D?

在直角三角形BCM中，BM=VBC2+CM2=Vl2+I2=

同理=V'至，由題意知B2=2,所以BM?+/M2=BB爾

所以BM1BM

在正四棱柱4BCD-4當(dāng)弓氏中，因?yàn)榱_L平面BCCiBi，u平面BCQB］,

所以AB1BrM,

又BMu平面ABM,ABu平面ABM,BMCiAB=B,

所以&M1平面4BM,

又AMu平面ABM,

所以BiM14M,

同理。iM1AM,

又當(dāng)Mu平面MD/i，DiMu平面MD/i，S1MnD1M=M,

所以AM_L平面MD/i，

所以平面MD/i即平面a,

三角形MDi當(dāng)即平面a截正四棱柱所得截面的多邊形，

其周長(zhǎng)為名〃+。1加+/。1=，9+，至+，2=3，至，故D正確，

故選：AD.

根據(jù)空間直線和平面垂直的位置關(guān)系以及線面角的定義分別進(jìn)行求解證明即可.

本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間位置關(guān)系的判斷，空間角的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量

較大，是個(gè)難題.

13.【答案】y

【解析】解：向量N=(3,-1),3=(2,k)，且N與方共線,

可得3k=-2,所以k=—|,

則向不=3x2+(—1)X(一|)=

故答案為：y.

利用向量共線，求解b,然后求解向量的數(shù)量積即可.

本題考查向量的數(shù)量積的求法，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】61^71

【解析】解：如圖所示，

△248c中，AB=2、5，AC=75,Z-BAC=90。，

則△ABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在

一起，

其中若母線長(zhǎng)為AB=2V"虧，AC=A/-5,

又BC=J(2廣)2+(產(chǎn)尸=5，。。=祭=卷=1，

所以底面圓的半徑為R=VAC2—OC2=V5—1=2;

該組合體的表面積為S=TIR(AB+AC)=7TX2X(2AT5+7_5)=6AT5TT.

故答案為：6-x/-5rr.

由題意知該幾何體是兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在一起，計(jì)算底面圓的半徑，再求它的表面積.

本題考查了圓錐體的表面積計(jì)算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】37.5

【解析】解：由題意可知，距離地面的高度八與時(shí)間t所滿足的關(guān)系式為九=4S譏(3t+0)+k,

因?yàn)槟μ燧喌闹睆綖?10小，最高點(diǎn)距離地面的高度為120小，

所以『甘解得力=55,k=65,

l—A+k=10

因?yàn)槊?07n譏轉(zhuǎn)一圈，所以丁=4=30,3=為

0)13

當(dāng)力=0時(shí)，h=10,所以siriR=-1,所以可取9=

所以h=55sin(—t-+65,

所以當(dāng)t=5時(shí),h=55s譏(一？)+65=37.5.

o

故答案為：37.5.

由題意可知，距離地面的高度八與時(shí)間t所滿足的關(guān)系式為h=Asin^t+租)+k,然后根據(jù)條件求

出解析式可得答案.

本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】2

(AG=XAD

【解析】解：設(shè)/荏=巾荏，由向量共線的充要條件不妨設(shè)而=xZ^+y/(x+y=1)，

尸=nAC

則24G=xAE+yAF=A.AD—g{AB+AC}=xmAB+ynACnxm=yn=

即;+--=!>

2m2n

.小_,、r—/口^xsin60°-AE-AFii

又卜AEF面積為△ABC面積的一半可得：\-----------=弓=mn=

^xsin600-AB-AC22

所以+mA=1=4=22

2m2mz+l

AG-EF^^(AB+AC)(nAC-mAB)=9An-^=-l+^^,

1

易知???nG(0,1]mG[1,1]n4m2+26[3,6]

當(dāng)爪=1時(shí)，即E,B重合時(shí)取得最小值一9+?=2.

L6

故答案為：2.

利用平面向量的共線定理結(jié)合基底表示數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可.

本題考查向量的線性運(yùn)算，向量數(shù)量積的最值的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)思想，屬中檔題.

17.【答案】解：(I)設(shè)事件a表示“甲家庭回答正確這道題”，事件8表示“乙家庭回答正確這道

題”，

事件C表示“丙家庭回答正確這道題”，

由題意得：\[1—P(A)][1—P(C)]=:，

[P(B)P(C)=

解得乙家庭回答正確這道題的概率P(B)=|,

丙家庭回答正確這道題的概率P(C)=|.

(2)甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率為：

P=P^ABC}+P(ABC~)+P^ABC)+PQ4BC)

332.132.352,331

=4X§X3+?X§X3+^X§X3+?X§X3

21

=32'

【解析】(1)設(shè)事件力表示“甲家庭回答正確這道題”，事件B表示“乙家庭回答正確這道題”，

事件C表示“丙家庭回答正確這道題”，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式列出方程組，能求出結(jié)

果.

(2)利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題

的概率.

本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)已知等腰△4BC中，AB=AC=3,BC=4,

點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，

又點(diǎn)P是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，

則Z?=AB+BP=AB+=AB+I(ZC-AB)=|AB+|ZC；

(2)取BC的中點(diǎn)D,連接力D,

則力。1BC,

則都?(同+而)=2AP-AD=2\AD\\AP\COSAPAD=2\AD\2=2x(AB2-BD2)=2X(9-

4)=10.

【解析】(1)由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理求解即可；

(2)由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

19.【答案】(1)證明：在正方體4BCD中，BBi_L平面4BCD,

又???EFu平面力BCD,BBi1EF,

連接AC,在△2BC中，E,F分別是AB,8c的中點(diǎn)，EF//AC,

在正方形4BCD中，???力C1BD,EF1BD,

又,；BB］CBD=B,8。＜=平面881。1。，幽u平面88也。，

???EF1平面BB/iD,

而EFu平面EFG,平面EFG1平面BBL；

（2）解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,由（1）知，四面體B-EFG的體積為：

111。3

4BEF,BG="3BE-BF-BG吟,

33Z

???所得多面體的體積為03—8x嗎=孚，解得a=4.

即該正方體的棱長(zhǎng)為4.

【解析】（1）由已知得BBi_L平面力BCD,則BBilEF,再由已知可得EF〃AC,得到EF1BD,由

直線與平面垂直的判定可得EF，平面從而得到平面EFG1平面^當(dāng)。/；

（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,結(jié)合（1）求得四面體B-EFG的體積，得到多面體的體積，由此列關(guān)于a的

方程求解.

本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，是

中檔題.

20.【答案】解：（1）由題意可知，樣本容量n=恒=50,

U0.U=loX/J.U

2

丫=旃=°.004'

%=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030；

（2）設(shè)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為小，

貝IJ（0.016+0.03）x10+（m-70）x0.040=0.5,

解得TH=71,

???本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為71；

（3）由題意可知，分?jǐn)?shù)在［80,90）內(nèi)的學(xué)生有5人，

記1^5人分力（I為a］，a2,,CI41,

分?jǐn)?shù)在［90,100］內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為b，b2.

抽取的2名學(xué)生的所有情況有21種，分別為：

（。1,a?）,（。1，。4），（。1，瓦），（。11°2），（。2,。3），（。2，。4），（。2,。5），（。2,瓦），（。2，力2），

（。31力2），（。41。5）‘（。4’仇），（.a4>^2）9（。51瓦），（。51°2），（瓦1°2），

其中2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)都不在［90,100］內(nèi)的情況有10種，分別為：

。3），（“2,。3），

（。2,。4），（。2,。5），（。3,^4），（。3，。5），（。4，。5），

?,?所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在［90,100］內(nèi)的概率P=1-署=奈

【解析】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的

合理運(yùn)用.

（1）由題意先求出樣本容量，由此能求出n和頻率分布直方圖中的x,y的值.

（2）設(shè)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為小，由頻率分布直方圖列出方程，能求出本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的

中位數(shù).

（3）由題意可知，分?jǐn)?shù)在［80,90）內(nèi)的學(xué)生有5人，分?jǐn)?shù)在［90,100］內(nèi)的學(xué)生有2人，由此利用列舉法

能求出所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在［90,100］內(nèi)的概率.

21.【答案】解:（1）在A4BC中,

AC=4,4B=2,BC=3,

則ECB=應(yīng)喘”7

—9

8

BC1CD,

7

sin/LACD=cosZ-ACB=

o

??.