專題15 難點(diǎn)探究專題：線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題壓軸題三種模型全攻略（解析版）

專題15難點(diǎn)探究專題：線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一線段上動(dòng)點(diǎn)線段和差問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二線段上動(dòng)點(diǎn)定值問(wèn)題】 6【考點(diǎn)三線段上動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問(wèn)題】 9【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 13【典型例題】【考點(diǎn)一線段上動(dòng)點(diǎn)線段和差問(wèn)題】例題：（2022秋·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B在直線l上，且AB＝18cm，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且PB＝5cm，則CP＝cm；(2)若點(diǎn)Q是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是AQ、BQ的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)．【答案】(1)14或4(2)9cm【分析】（1）分點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊和點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊，兩種情況計(jì)算即可；（2）首先畫出圖形，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義計(jì)算．【詳解】（1）解：∵AB＝18cm，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴CB＝AB＝9cm，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊時(shí)，CP＝CB﹣PB＝9﹣5＝4（cm），當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊時(shí)，CP＝CB+PB＝9+5＝14（cm），故CP＝14cm或4cm．故答案為：14或4；（2）解：如圖，∵M(jìn)為AQ的中點(diǎn)，N為BQ的中點(diǎn)，∴MQ＝AQ，NQ＝BQ，∴MN＝AQ﹣BQ＝AB＝9cm．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，線段的和差關(guān)系，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義與線段的和差是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為8，點(diǎn)B在A點(diǎn)的左邊，且．若有一動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)解決問(wèn)題：①當(dāng)時(shí)，寫出數(shù)軸上點(diǎn)B，P所表示的數(shù)；②若點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒與點(diǎn)Q相距3個(gè)單位長(zhǎng)度？(2)探索問(wèn)題：若M為AQ的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段MN與線段PQ的數(shù)量關(guān)系（寫出過(guò)程）．【答案】(1)①點(diǎn)B表示-4，點(diǎn)P表示5；②1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)已知可得B點(diǎn)表示的數(shù)為8-12；點(diǎn)P表示的數(shù)為8-3t；②點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，與Q相距2個(gè)單位長(zhǎng)度，則AP=3x，BQ=2x，根據(jù)AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B在A點(diǎn)左邊，AB=12，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是8-12=-4，∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P表示的數(shù)是8-3×1=5．②設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，與Q相距3個(gè)單位長(zhǎng)度，則AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15解得：x=3．∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1.8秒或3秒時(shí)與點(diǎn)Q相距3個(gè)單位長(zhǎng)度．（2）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右側(cè)時(shí)有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左側(cè)時(shí)有：2MN-PQ=12．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和一元一次方程的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分兩種情況進(jìn)行討論．2．（2023春·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知，點(diǎn)C、D分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，求的值；(2)如圖1，若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持，求OA的長(zhǎng)；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長(zhǎng)BO到點(diǎn)M，使，點(diǎn)P是直線OB上一點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求出，，根據(jù)，求出，，最后求出結(jié)果即可；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，求出，，根據(jù)，得出，求出，再根據(jù)求出結(jié)果即可；（3）當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，根據(jù)，得出，，求出，根據(jù)求出，根據(jù)，得出，求出，最后求出比值即可；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，可得，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，，∵，∴，∴，∵，∴；

（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，∴，，∵，∴，∴∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，，，∵，∴點(diǎn)P在點(diǎn)O右邊，當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，∴，∵，∴，∴，∴．

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，∵，，∴，∴；綜上，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出結(jié)果．【考點(diǎn)二線段上動(dòng)點(diǎn)定值問(wèn)題】例題：（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)南陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知線段，，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長(zhǎng)度．(2)當(dāng)線段在線段上從左向右或從右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，如果不變，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)度；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不變，還是，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可得，，結(jié)合中點(diǎn)的含義可得；（2）由已知可得，，再由，結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)即可解．【詳解】（1）解∶，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，；（2）線段的長(zhǎng)度不發(fā)生變化．點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差運(yùn)算，中點(diǎn)的含義；熟練掌握線段的和差運(yùn)算，靈活應(yīng)用中點(diǎn)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)．

(1)若，求線段的長(zhǎng)；(2)若C為線段上任一點(diǎn)，滿足，其他條件不變，你能猜想的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)直接寫出你的答案．(3)若C在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足，M、N分別為的中點(diǎn)，你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)，圖及理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解；（3）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∴∴線段的長(zhǎng)為．（2）解∶∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如圖:

∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，明確題意、準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）探究題：如圖①，已知線段，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)．(1)若點(diǎn)恰好是中點(diǎn)，則____________；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，設(shè)“”，請(qǐng)說(shuō)明不論取何值（不超過(guò)），的長(zhǎng)不變．【答案】(1)6(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出，，結(jié)合圖形即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）根據(jù)（1）的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)，，．故答案為：6；（2）解：，，．點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)，，，；（3）解：設(shè)，則，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)，∴，，不論取何值（不超過(guò)），的長(zhǎng)不變；【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段和差的計(jì)算，掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三線段上動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問(wèn)題】例題：（2023秋·云南臨滄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C是線段上一點(diǎn)，，，點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度沿向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B；點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s

(1)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，求t的值；(2)是否存在某一時(shí)刻，使得C、P、Q這三個(gè)點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)?若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)滿足條件的值為4或7或【分析】（1）根據(jù)相遇時(shí)間=路程和速度和，列出方程計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；【詳解】（1）由題意可得：，，∴當(dāng)P、Q重合時(shí)，，解得：；（2）由題意可得：，∴①當(dāng)點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；②當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：③當(dāng)點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；綜上所述，滿足條件的值為4或7或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論以防遺漏【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南安陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為8．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．(1)當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為______，點(diǎn)P表示的有理數(shù)為______；(2)若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為______；(3)當(dāng)時(shí)，求t的值．【答案】(1)6，4(2)3(3)當(dāng)時(shí)，t的值為4或6【分析】（1）根據(jù)路程速度時(shí)間進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)中點(diǎn)公式進(jìn)行求解即可；（3）先求出，再由，得到，然后分點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)和右側(cè)兩種情況，利用線段的和差關(guān)系求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為，故答案為：6，4；（2）解：∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為8，∴點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，故答案為：3；（3）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，則，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，∵，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，∵，∴，∴；綜上所述，當(dāng)時(shí)，t的值為4或6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，線段的和差計(jì)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知線段AB，按下列要求完成畫圖和計(jì)算：（1）延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C，使BC＝3AB（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，且AB＝2，求線段AD的長(zhǎng)度；（3）在以上的條件下，若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在某時(shí)刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出時(shí)間t：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）5；（3）時(shí)間t為2．【分析】（1）延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C，使BC＝3AB即可；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，且AB＝2，即可求線段AD的長(zhǎng)度；（3）在以上的條件下，若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在某時(shí)刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出時(shí)間t．【詳解】解：（1）如圖所示：延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C，使BC＝3AB；（2）∵AB＝2，∴BC＝3AB＝6，∴AC＝AB+BC＝8，∵點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，∴BD＝BC＝3，∴AD＝AB+BD＝5．答：線段AD的長(zhǎng)度為5；（3）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，PB＝PA﹣PC即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）解得t＝2或（舍去）．答：時(shí)間t為2．【點(diǎn)睛】本題考查作圖－基本作圖、兩點(diǎn)間的距離，掌握尺規(guī)作圖的方法和各線段之間的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022秋·重慶梁平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)．則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．3.5 C．5 D．6【答案】D【分析】由點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)可得，再由進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，線段的和差，根據(jù)題意得出是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽蚌埠·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，C為射線AB上一點(diǎn)，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③當(dāng)PB＝BQ時(shí)，t＝12，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)AC比BC的多5可分別求出AC與BC的長(zhǎng)度，然后分別求出當(dāng)P與Q重合時(shí)，此時(shí)t=30s，當(dāng)P到達(dá)B時(shí)，此時(shí)t=15s，最后分情況討論點(diǎn)P與Q的位置．【詳解】解：設(shè)BC＝x，∴AC＝x+5∵AC+BC＝AB∴x+x+5＝30，解得：x＝20，∴BC＝20，AC＝10，∴BC＝2AC，故①成立，∵AP＝2t，BQ＝t，當(dāng)0≤t≤15時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)∴MB＝BP＝15﹣t∵QM＝MB+BQ，∴QM＝15，∵N為QM的中點(diǎn)，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，當(dāng)15＜t≤30時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB外，且點(diǎn)P在Q的左側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)∴BM＝BP＝t﹣15∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N為QM的中點(diǎn)，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，當(dāng)t＞30時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在Q的右側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)∴BM＝BP＝t﹣15∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N為QM的中點(diǎn)，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，綜上所述，AB＝4NQ，故②正確，當(dāng)0＜t≤15，PB＝BQ時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，∴AP＝2t，BQ＝t∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，∴30﹣2t＝t，∴t＝12，當(dāng)15＜t≤30，PB＝BQ時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB外，且點(diǎn)P在Q的左側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝t，t＝20，當(dāng)t＞30時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在Q的右側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝t，t＝20，不符合t＞30，綜上所述，當(dāng)PB＝BQ時(shí)，t＝12或20，故③錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是求出P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的時(shí)間，以及點(diǎn)P與Q重合時(shí)的時(shí)間，涉及分類討論的思想．二、填空題3．（2023秋·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，若，點(diǎn)N是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則．【答案】1或【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段上，當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段上，如圖：

，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上，如圖：

，，，，綜上所述：的值為1或，故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，分兩種情況進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·四川綿陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，1，9．它們分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度、1個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．若，，三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則的值為．【答案】1或4或16．【分析】當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2t-3，點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-t+1，點(diǎn)C在效軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-4t+9，然后分三種情況：點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)、點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)及點(diǎn)A為線段CB的中點(diǎn)，找出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)A始終在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2t-3，點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-t+1，點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-4t+9，當(dāng)點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，-t+1-（-2t-3）=-4t+9-（-t+1），解得：t=1；當(dāng)點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，-4t+9-（-2t-3）=-t+1-（-4t+9），解得：t=4；當(dāng)點(diǎn)A為線段CB的中點(diǎn)時(shí)，-2t-3-（-4t+9）=-t+1-（-2t-3）解得：t=16.故答案為：1或4或16．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2023秋·河北承德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）應(yīng)用題：如圖，已知線段，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若為的中點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)試著說(shuō)明，不論點(diǎn)在線段上如何運(yùn)動(dòng)，只要不與點(diǎn)和重合，那么的長(zhǎng)不變．【答案】(1)(2)(3)說(shuō)明見(jiàn)解析【分析】（1）首先根據(jù)線段的和差關(guān)系求出，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求出，，進(jìn)而求和可解；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求解即可；（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求解即可．【詳解】（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)．所以，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)．所以，所以；（2）∵為的中點(diǎn)，∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)∴；（3）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)．所以因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)．所以，所以，所以，的長(zhǎng)不變．【點(diǎn)睛】此題考查了線段的和差計(jì)算，線段中點(diǎn)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在直線l上順次取A、B、C三點(diǎn)，已知，點(diǎn)M、N分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)M的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)度為________；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合?(3)若點(diǎn)Р為中點(diǎn)，點(diǎn)Q為中點(diǎn)．問(wèn)：是否存在時(shí)間t，使長(zhǎng)度為5?若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)2t(2)20(3)30或50【分析】（1）由點(diǎn)M的速度為2即可得出答案；（2）根據(jù)題意可得出，當(dāng)M、N兩點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系即可列出關(guān)于t的等式，解出t即可；（3）根據(jù)題意可得：，，且．由此可求出．再根據(jù)或，即可列出關(guān)于t的等式，解出t即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)M的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴．故答案為：；（2）根據(jù)題意可知．當(dāng)M、N兩點(diǎn)重合時(shí)，有，解得：．故t為20時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；（3）根據(jù)題意可得：，，且．∴．∴或，即或解得：或．故存在時(shí)間t，使長(zhǎng)度為5，此時(shí)t的值為30或50．【點(diǎn)睛】本題考查與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線段的和與差，與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算以及解一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意找到線段間的數(shù)量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．7．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)在線段上，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)線段的長(zhǎng)為______．(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)相遇時(shí)，求的值．(3)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求的值．(4)當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度(4)【分析】（1）根據(jù)即可求解；（2）依題意，，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)相遇時(shí)，解方程即可求解；（3）分相遇前和相遇后分別列出方程，解方程即可求解；（4）分點(diǎn)在線段上和線段上，分別討論，列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在線段上，，，∴，故答案為：．（2）解：依題意，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)相遇時(shí)，解得：；（3）解：相遇前點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，，解得：，相遇前點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，則，解得：，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度；（4）∵，當(dāng)在線段上時(shí)，，此時(shí)，∵，∴，解得：（舍去）當(dāng)在線段上時(shí)，，此時(shí)，∵，∴，解得：，∴【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·河北唐山·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以的速度往返運(yùn)動(dòng)次，是線段的中點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）．(1)當(dāng)時(shí)，①；②求線段的長(zhǎng)度；(2)用含的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的長(zhǎng)；(3)當(dāng)時(shí)，求的值；(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若的中點(diǎn)為，則的長(zhǎng)是否變化？若不變，求出的長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①；②(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(3)或(4)不變，【分析】（1）①根據(jù)即可得出結(jié)論；②先求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的中點(diǎn)即可得出的長(zhǎng)；（2）分兩種情況進(jìn)行討論即可；（3）根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度計(jì)算即可；（4）根據(jù)中點(diǎn)定義即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵是線段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以的速度往返運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，．故答案為：；②∵，，∴，∵是線段的中點(diǎn)，∴．∴線段的長(zhǎng)度為．（2）∵是線段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以的速度往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)時(shí)，，∴當(dāng)點(diǎn)沿點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，這時(shí)：，；當(dāng)點(diǎn)沿點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，這時(shí)：，；（3）當(dāng)點(diǎn)沿點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，（），∴，又∵，∴，解得：，當(dāng)點(diǎn)沿點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，（），∴，又∵，∴，解得：，綜上所述，當(dāng)時(shí)，求的值為或；（4）不變．∵的中點(diǎn)為，是線段的中點(diǎn)，，∴，，∴，即：的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，線段的和與差，中點(diǎn)的定義，一元一次方程的應(yīng)用，本題運(yùn)用了分類討論的方法．利用線段中點(diǎn)的定義及線段的和差得出相應(yīng)的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．9．（2021秋·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段，，線段在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），若．（1）求線段，的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，，求線段的長(zhǎng)；（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是線段的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①是定值，②是定值，請(qǐng)選擇你認(rèn)為正確的一個(gè)并加以說(shuō)明．【答案】（1），；（2）9；（3）②正確，，見(jiàn)解析【分析】（1）利用兩個(gè)非負(fù)數(shù)和為0，可得每個(gè)非負(fù)數(shù)為0，可求，即可；（2）分類考慮當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)和點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，利用中點(diǎn)可求AM，DN，利用線段和差求AD，可求MN=AD