專題10 幾何模型之全等三角形綜合問題專練（解析版）-【考點培優(yōu)尖子生專用】2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊專題訓(xùn)練（滬教版）

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數(shù)學(xué)第二學(xué)期研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做5-8題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題10幾何模型之全等三角形綜合問題專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的頂點A在△ECD的斜邊DE上．下列結(jié)論：①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝CD；④△ABD是直角三角形．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，則可根據(jù)“SAS”證明△ACE≌△BCD，于是可對①進行判斷；利用三角形外角性質(zhì)得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，則可得對②進行判斷；利用CE＝CD和三角形三邊之間的關(guān)系可對③進行判斷；根據(jù)△ACE≌△BCD得到∠BDC＝∠E＝45°，則可對④進行判斷．【詳解詳析】∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），所以①正確；∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，而∠CAB＝∠E＝45°，∴∠DAB＝∠ACE，所以②正確；∵AE+AC＞CE，CE＝CD，∴AE+AC＞CD，所以③錯誤；∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC＝∠E＝45°，∵∠CDE＝45°，∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，∴△ADB為直角三角形，所以④正確．故選：C．【名師指路】本題是考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)等知識,熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知銳角∠AOB．在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC的長為半徑作弧，交射線OB于點D，連結(jié)CD；分別以點C，D為圓心，CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點P，連結(jié)CP，DP；作射線OP，交CD于點Q．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，有下列結(jié)論①CP//OB；②∠AOP=∠BOP；③OP⊥CD．其中正確的結(jié)論（）A．①②③ B．②③ C．①③ D．③【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】證明△OCP≌△ODP，得到∠AOP=∠BOP，故②正確；根據(jù)OC=OD，∠AOP=∠BOP，得到OQ⊥CD，故③正確；根據(jù)∠CPO不一定等于∠BOP，得到CP不一定平行OB，故①不正確，問題得解．【詳解詳析】解：由題意得，OC=OD，PC=PD，又∵OP=OP，∴△OCP≌△ODP，∴∠AOP=∠BOP，故②正確；∵OC=OD，∠AOP=∠BOP，∴OQ⊥CD，即OP⊥CD，故③正確；由△OCP≌△ODP，∴∠AOP=∠BOP，∠CPO=∠DPO，但∠CPO不一定等于∠BOP，∴CP不一定平行OB，故①不正確．故選：B【名師指路】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識，理解尺規(guī)作圖，得到OC=OD，PC=PD，進而得到△OCP≌△ODP是解題關(guān)鍵．3．如圖，AB＝AC，點D、E分別在AC、AB上，且AE＝AD，連接EC，BD，EC交BD于點M，連接AM，過點A分別作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分別為F、G，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．△EBM≌△DCMB．若S△BEM＝S△ADM，則E是AB的中點C．MA平分∠EMDD．若E是AB的中點，則BM+AC＜EM+BD【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)分別證明△ABD≌△ACE，△EBM≌△DCM，△AEM≌△ADM即可判斷選項A、B、C，延長ME至N，使得EN=EM，連接AN，證明△ANE≌△BME，得到AN=BM，由CE=BD和三角形三邊關(guān)系可判斷選項D．【詳解詳析】解：∵AB=AC，∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠C，BD=CE，∵AB=AC，AE＝AD，∴AB－AE=AC－AD，∴BE=CD，又∠B＝∠C，∠EMB＝∠DMC，∴△EBM≌△DCM（AAS），故選項A正確，不符合題意；∴ME=MD，又AE=AD，AM=AM，∴△AEM≌△ADM（SSS），∴∠AME＝∠AMD，S△AEM=S△ADM，∴MA平分∠EMD，故選項C正確，不符合題意；若S△BEM＝S△ADM，則S△BEM＝S△AEM，∴ME為△AMB的中線，∴點E為AB的中點，故選項B正確，不符合題意；延長ME至N，使得EN=EM，連接AN，若E是AB的中點，則AE=BE，又EN=EM，∠AEN＝∠BEM，∴△ANE≌△BME(SAS)，∴AN=BM，又BD=CE，∴BM+AC=AN+AC＞CN=EN+CE=EM+BD，即BM+AC＞EM+BD，故選項D錯誤，符合題意，故選：D．

【名師指路】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、三角形的中線性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，并能靈活的運用是解答的關(guān)鍵．4．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，OC四個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③PQ=OC；④．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，可知①正確；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知②正確；③根據(jù)ASA證明△ACP≌△BCQ，得出CP=CQ，推出△PCQ為正三角形,得出PQ=CQ≠OC，可知③錯誤；④根據(jù)SAS證明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CAD=∠CBE，由∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，可得∠AOB=60°，可知④正確．【詳解詳析】①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點A，C，E在同一條直線上，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，故本選項正確；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CBQ=∠CAP，∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CQ=CP，∵∠PCQ=60°，∴△PCQ為等邊三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴，故本選項正確；③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP=CQ，∵∠PCQ=60°，∴△PCQ為正三角形,∴PQ=CQ≠OC，故本選項錯誤；④∵△ABC、△DCE為正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本選項正確．故選：C．【名師指路】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的判定，需要多次證明三角形全等，綜合性較強，但難度不是很大，是熱點題目，仔細分析圖形是解題的關(guān)鍵．5．在以下三個圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷射線AD平分∠BAC的是（）A．圖2 B．圖1與圖2 C．圖1與圖3 D．圖2與圖3【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】利用基本作圖可對圖1和圖2進行判斷；利用基本作圖和全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線性質(zhì)定理的逆定理對圖3進行判斷．【詳解詳析】在圖1中，利用基本作圖可判斷AD平分∠BAC；

在圖2中，利用基本作圖得到D點為BC的中點，則AD為BC邊上的中線；

在圖3中，根據(jù)作法可知：

AE=AF，AM=AN，

在△AMF和△ANE中，，

∴△AMF≌△ANE（SAS），

∴∠AMD=∠AND，∵AE=AF，AM=AN，

∴ME=NF，

在△MDE和△NDF中，，

∴△MDE≌△NDF（AAS），

所以D點到AM和AN的距離相等，

∴AD平分∠BAC．綜上，不能判斷射線AD平分∠BAC的是圖2．故選：A．【名師指路】本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的作法．6．如圖，D為∠BAC的外角平分線上一點，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，且滿足∠FDE＝∠BDC，則下列結(jié)論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】利用AAS證明△CDE≌△BDF，可判斷①④正確；再利用HL證明Rt△ADE≌Rt△ADF，可判斷②正確；由∠BAC＝∠EDF，∠FDE＝∠BDC，可判斷③正確．【詳解詳析】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，∠DFB＝∠DEC＝90°，∵∠FDE＝∠BDC，∴∠FDB＝∠EDC，在△CDE與△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（AAS），故①正確；∴CE＝BF，在Rt△ADE與Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正確；∵∠DFA＝∠DEA＝90°，∴∠EDF+∠FAE＝180°，∵∠BAC+∠FAE＝180°，∴∠FDE＝∠BAC，∵∠FDE＝∠BDC，∴∠BDC＝∠BAC，故③正確；∵∠FAE是△ABC的外角，∴2∠DAF＝∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠DBC+∠ACB，∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠ABD＝∠DCE，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∴2∠DAF＝∠DCE+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB＝2∠DBC，∴∠DAF＝∠CBD，故④正確故選：D．【名師指路】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，外角的性質(zhì)等，熟悉掌握全等三角形的判定方法，靈活尋找條件是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC的右側(cè)以AC為邊構(gòu)造等腰Rt△ACD，其中∠CAD為90°，在BC的延長線上取一點E，使∠ADE＝∠ACB．若DE＝BC，且四邊形ACED的面積為8，則AB的長為（）

A．2 B．4 C． D．8【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】連接AE，根據(jù)SAS證明，得出，求出為等腰直角三角形，即可求出AB的長．【詳解詳析】

如圖，連接AE，∵是等腰直角三角形，∴，，在與中，，∴，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，即，解得：．故選：B．【名師指路】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意做出輔助線，找全等三角形進行代換是解題的關(guān)鍵．8．如圖，正三角形△ABC和，A，C，E在同一直線上，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．①AD=BE；②PQAE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的結(jié)論有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】先根據(jù)三角形全等的判定定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的判定即可判斷②；根據(jù)即可判斷③；先根據(jù)可得，再在中可得，由此可判斷④；根據(jù)可得，即可判斷⑤．【詳解詳析】解：和都是等邊三角形，，，即，在和中，，，，結(jié)論①成立；由得：，即，，，在和中，，，，又，是等邊三角形，，，結(jié)論②成立；由上已證：，，結(jié)論③成立；由上已證：，，即，在中，，，，結(jié)論④不成立；，，即，結(jié)論⑤成立；綜上，成立的結(jié)論為①②③⑤，共有4個，故選：C．【名師指路】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．9．如圖，AB＝AC，點D、E分別在AB、AC上，補充一個條件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】根據(jù)全等三角形的判定定理進行判斷即可．【詳解詳析】解：根據(jù)題意可知：AB＝AC，，若，則根據(jù)可以證明△ABE≌△ACD，故A不符合題意；若AD＝AE，則根據(jù)可以證明△ABE≌△ACD，故B不符合題意；若BE＝CD，則根據(jù)不可以證明△ABE≌△ACD，故C符合題意；若∠AEB＝∠ADC，則根據(jù)可以證明△ABE≌△ACD，故D不符合題意；故選：C．【名師指路】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解本題的關(guān)鍵．10．如圖，已知等邊和等邊，點P在的延長線上，的延長線交于點M，連接；下列結(jié)論：①；②；③平分；④，其中正確的有（）．A．①③④ B．①② C．②③④ D．①②③④【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】證明△APB≌△CEB得到AP＝CE，即可判斷①；由△APB≌△CEB，得到∠APB＝∠CEB，再由∠MCP＝∠BCE，推出∠PME＝∠PBE＝60°，即可判斷②；過點B作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，證明△BNP≌△BFE得到BN＝BF，得到BM平分∠AME，即可判定③；在BM上截取BK＝CM，連接AK，先證明∠ACM＝∠ABK，即可證明△ACM≌△ABK得到AK＝AM，推出△AMK為等邊三角形，則AM＝MK，AM+MC＝BM，即可判斷④．【詳解詳析】證明：①∵等邊△ABC和等邊△BPE，∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBE＝60°，BP＝BE，在△APB和△CEB中，∴△APB≌△CEB（SAS），∴AP＝CE，故此選項正確；②∵△APB≌△CEB，∴∠APB＝∠CEB，∵∠MCP＝∠BCE，則∠PME＝∠PBE＝60°，故此選項正確；③過點B作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，∵△APB≌△CEB，∴∠BPN＝∠FEB，在△BNP和△BFE中，，∴△BNP≌△BFE（AAS），∴BN＝BF，∴BM平分∠AME，故此選項正確；④在BM上截取BK＝CM，連接AK，由②知∠PME＝60°，∴∠AMC＝120°，由③知：BM平分∠AME，∴∠BMC＝∠AMK＝60°，∴∠AMK=∠ACB=60°，又∵∠AHM=∠BHC，∴∠∠CAM=∠CBH，∵∠CAM+∠ACM=∠EMP=60°，∴∠CBH+∠ACM=60°，∴∠ABK+∠PBM＝60°＝∠PBM+∠ACM，∴∠ACM＝∠ABK，在△ABK和△ACM中∴△ACM≌△ABK（SAS），∴AK＝AM，∴△AMK為等邊三角形，則AM＝MK，故AM+MC＝BM，故此選項正確；故選D．【名師指路】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．二、填空題11．如圖，已知ABC和DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下列結(jié)論：①AE＝BD；②AG＝BF；③FGBE；④∠BOC＝∠EOC．其中正確結(jié)論有_______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】①②③④【思路指引】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得①正確；又由全等三角形的對應(yīng)角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根據(jù)ASA，證得△BCF≌△ACG，即可得到②正確，同理證得CF＝CG，得到△CFG是等邊三角形，易得③正確．過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，想辦法證明CN＝CM即可判斷④正確；【詳解詳析】解：∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，（①正確）∠CBD＝∠CAE，∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG＝BF，（②正確）同理：△DFC≌△EGC（ASA），∴CF＝CG，∴△CFG是等邊三角形，∴∠CFG＝∠FCB＝60°，∴FG∥BE，（③正確）過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，∵△BCD≌△ACE，∴∠BDC＝∠AEC，∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，∴△CDN≌△CEM，∴CM＝CN，∵CM⊥AE，CN⊥BD，∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）∴∠BOC＝∠EOC，∴④正確；故答案為：①②③④．【名師指路】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．12．如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于點O，連接OA．下列結(jié)論：①BE＝CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB＝45°．其中結(jié)論正確的是_____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】①②④【思路指引】根據(jù)全等三角形的判定可得，再利用全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；②由全等三角形的性質(zhì)可得，再由，證得即可判斷②；過點A分別作AM⊥CD與M，AN⊥BE于N，根據(jù)全等三角形面積相等和，證得，即AO平分即可判斷④；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明OA平分即可判斷③．【詳解詳析】解：∵和都是等腰三角形，，∴，，，在與中，，∴，∴，，故①正確；∵，∴，∴，∴，∴BE⊥CD，故②正確；如圖，過點A分別作AM⊥CD與M，AN⊥BE于N，∵，∴，∴，∴OA平分，∵BE⊥CD，∴，∴，故④正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明OA平分，故③錯誤，正確選項為①②④，故答案為：①②④．【名師指路】題目主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與定義，以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解答本題的關(guān)鍵．13．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．∠ABC的角平分線交AC于點E，AD⊥BE交BE于點F，交BC于點D．O為BC的中點，連接OF，若DF＝a，EF＝b，則BF＝__________．（用含a，b的式子表示）【標(biāo)準(zhǔn)答案】2a＋b【思路指引】根據(jù)題意連接OA交BE于G．首先證明△ABF≌△CAD（ASA），推出AD=BG，再證明FG=EF，AF=DF即可得出答案.【詳解詳析】解：連接OA交BE于G．

∵AB=AC，∠BAC=90°，OB=OC，

∴OA=OB=OC，

∴∠OAB=∠ABO=∠OAC=∠C=45°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABG=22.5°，

∵AD⊥BE，

∴∠AFB=90°，

∴∠BAF=67.5°，

∴∠CAD=∠ABF=22.5°，

∵∠BAG=∠ACD，AB=AC，

∴△ABF≌△CAD（ASA），

∴AD=BG，

∵∠FGA=∠FAE=22.5°，∠AFG=∠AFE=90°，

∴∠AGF=∠AEF=67.5°，

∴AG=AE，∵AF⊥EG，

∴FG=FE，

∵∠BAF=∠BDF=67.5°，

∴BD=BA，∵BF⊥AD，

∴AF=DF，

∴AD=2OF=2a，

∴BF=BG+FG=AD+EF=2a+b，

故答案為：2a+b．【名師指路】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．14．如圖，點D為△ABC的邊AB上一點，且AD＝AC，∠B＝45°，過D作DE⊥AC于E，若四邊形BDEC的面積為8，則DE的長為___．【標(biāo)準(zhǔn)答案】4【思路指引】過點C作CF⊥AB于點F，DE與CF交于O點，先證明△ADE≌△ACF，再證明△DOF≌△COE，得到S△BFC＝四邊形BDEC的面積＝8，根據(jù)△BFC為等腰直角三角形求出CF，故可求解．【詳解詳析】解：過點C作CF⊥AB于點F，DE與CF交于O點∵DE⊥AC，∴∠AFC＝∠BFC＝∠AED＝90°，∵∠A＝∠A，AD＝AC，∴△ADE≌△ACF（AAS），∴AF=AE∴DF=AD-AF=AC-AE=CE即DF=CE∵∠DOF=∠COE，∠DFO=∠CEO=90°∴△DOF≌△COE∴S△DOF=S△COE∵四邊形BDEC的面積為8，∴S△BFC＝四邊形BDEC的面積＝8，∵∠B＝45°，∴△BFC為等腰直角三角形∴∴FC=BF＝4，∴DE=CF=4故答案為：4．

【名師指路】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面積為58，△ADC的面積為30，則△ABD的面積等于______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】28【思路指引】延長交于，由證明，得出，得出，進而得出，即可得出結(jié)果．【詳解詳析】如圖所示，延長交于，∵平分，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，，∴．故答案為：28．【名師指路】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的計算，證明三角形全等得出是解題關(guān)鍵．16．如圖，AE與BD相交于點C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝5cm，點P從點A出發(fā)，沿A→B方向以2cm/s的速度運動，點Q從點D出發(fā)，沿D→E方向以1cm/s的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)．當(dāng)點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（s）．（1）AP的長為___cm．（用含t的代數(shù)式表示）（2）連接PQ，當(dāng)線段PQ經(jīng)過點C時，t＝___s．

【標(biāo)準(zhǔn)答案】2【思路指引】（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間求解即可；（2）根據(jù)全等三角形在判定證明△ACB≌△ECD可得AB=DE，∠A=∠E，當(dāng)PQ經(jīng)過點C時，可證得△ACP≌△ECQ，則有AP=EQ，進而可得出t的方程，解方程即可．【詳解詳析】解：（1）由題意知：AP=2t，0＜t≤，故答案為：2t；（2）∵AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，BC＝DC，∴△ACB≌△ECD（SAS），∴DE=AB=5cm，∠A＝∠E，當(dāng)PQ經(jīng)過點C時，∵∠A＝∠E，AC＝EC，∠ACP＝∠ECQ，∴△ACP≌△ECQ（ASA），∴AP=EQ，又∵AP=2t，DQ=t，∴2t=5－t，解得：t=，故答案為：．【名師指路】本題考查全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．三、解答題17．如圖，是等腰直角三角形，，．動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度在射線上運動．點出發(fā)后，連接，以為直角邊向右作等腰直角三角形，使，連接，設(shè)點的運動時間為秒．（1）的邊上高為______；（2）求的長（用含的式子表示）；（3）就圖中情形求證：≌；（4）當(dāng)：：時，直接寫出的值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）3；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）見解析；（4）的值為或．【思路指引】（1）由題意利用等腰三角形三線合一結(jié)合直角三角形斜邊中線是斜邊的一半進行分析計算即可；（2）根據(jù)題意先得出點在線段上運動的時間，進而即可用含的式子表示的長；（3）根據(jù)題意直接利用全等三角形的SAS進行分析求證即可；（4）由題意分當(dāng)：：時，當(dāng)時，以及當(dāng)：：時，當(dāng)時，兩種情況進行分析求解即可.【詳解詳析】解：（1）是等腰直角三角形，，，的邊上高，故答案為：；（2），動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度在射線上運動，點在線段上運動的時間為秒，當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）證明：是等腰直角三角形，，，，，，，，在與中，，≌；（4）≌，，當(dāng)：：時，當(dāng)時，，解得：，當(dāng)：：時，當(dāng)時，，解得：，綜上所述，的值為或．【名師指路】本題考查三角形上的動點問題和等腰三角形性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和對動點問題要進行分類討論是解題的關(guān)鍵.18．（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為BC的中點，E、F分別為邊AC、AB上兩點，若滿足∠EDF＝90°，則AE、AF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．（類比應(yīng)用）（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D為BC的中點，E、F分別為邊AC、AB上兩點，若滿足∠EDF＝60°，試探究AE、AF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（拓展延伸）（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，點D為BC的中點，E、F分別為直線AC、AB上兩點，若滿足CE＝1，∠EDF＝60°，請直接寫出AF的長．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝AB，理由見解析；（3）或【思路指引】（1）證明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，從而證明AB＝AF+AE；（2）取AB中點G，連接DG，利用ASA證明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF；（3）分兩種情況：當(dāng)點E在線段AC上時或當(dāng)點E在AC延長線上時，取AC的中點H，連接DH，同理證明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，從而求解．【詳解詳析】（1）如圖1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵D為BC中點，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDF＝∠ADE，∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，∴△BDF≌△ADE（ASA），∴BF＝AE，∴AB＝AF+BF＝AF+AE；故答案為：AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝AB．理由是：如圖2，取AB中點G，連接DG，∵點G是斜邊中點，∴DG＝AG＝BG＝AB，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，點D為BC的中點，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，∴∠GDF＝∠ADE，∵DG＝AG，∠BAD＝60°，∴△ADG為等邊三角形，∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，∴△GDF≌△ADE（ASA），∴GF＝AE，∴AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF，∴AE+AF＝AB；（3）當(dāng)點E在線段AC上時，如圖3，取AC的中點H，連接DH，當(dāng)AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°時，AE＝4，此時F在BA的延長線上，同（2）可得：△ADF≌△HDE（ASA），∴AF＝HE，∵AH＝CH＝AC＝，CE＝1，∴，當(dāng)點E在AC延長線上時，如圖4，同理可得：；綜上：AF的長為或．【名師指路】本題考查三角形綜合問題，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵19．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（感知）（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，易證△ADC≌△CEB（不需要證明），進而得到DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（探究）（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，求證：DE＝AD－BE．（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，直接寫出DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）DE＝AD＋BE；（2）見解析；（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）【思路指引】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案；

（3）與（1）（2）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案；【詳解詳析】解：（1）證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∵DC+CE=DE，

∴DE=AD+BE．（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°．∴∠CAD＝∠BCE．∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB．∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE－CD＝AD－BE；（3）DE=BE-AD，

理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠ECB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB+∠ACE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）．【名師指路】本題考查了鄰補角的意義，同角的余角相等，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強．20．已知△ABC是等邊三角形，點D是AC的中點，點P在射線BC上，點Q在線段AB上，∠PDQ＝120°．（1）如圖1，若點Q與點B重合，求證：DB＝DP；（2）如圖2，若點P在線段BC上，AC＝6，求AQ+PC的值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）見解析；（2）3【思路指引】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明，再利用三角形的內(nèi)角和定理求解，從而可得結(jié)論；（2）過點D作交于點E，先證明為等邊三角形，再證明，可得，從而可得答案．【詳解詳析】（1）∵為等邊三角形，∴∵D為的中點，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖，過點D作交于點E．∵為等邊三角形，，點D是的中點，∴．∵，∴．，∴為等邊三角形，，∴，∴,∵，∴．∵，∴，∴，∴．【名師指路】本題考查的是等腰三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．21．如圖1，AM為△ABC的BC邊的中線，點P為AM上一點，連接PB．（1）若P為線段AM的中點．①設(shè)△ABP的面積為S1，△ABC的面積為S，求的值；②已知AB＝5，AC＝3，設(shè)AP＝x，求x的取值范圍．（2）如圖2，若AC＝BP，求證：∠BPM＝∠CAM．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）①，②；（2）證明見解析【思路指引】（1）①由中線定義即可得，故②過C點作AB平行線，過B點作AC平行線，相交于點N，連接ME，可得，AB=CE，則在中，有兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊，即可求出AE的取值范圍，即，又因為P為線段AM，故．（2）延長PM到點D使PM=DM，連接DC，由邊角邊可證明，則對應(yīng)邊BP=CD相等，由等角對等邊即可求得∠BPM=∠CDM，同理可得∠CAM=∠CDM，所以∠BPM＝∠CAM．【詳解詳析】（1）①由AM為△ABC的BC邊的中線可知由P為線段AM的中點可知則，故②過C點作AB平行線，過B點作AC平行線，相交于點N，連接ME∵AB//CE∴∠ABC=∠BCE，∠BAE=∠AEC，BM=MC∴（AAS）∴AB=CE在中有即得即∵P為線段AM的中點∴AM=2AP，∴即．（2）延長PM到點D使PM=DM，連接DC，∵PM=DM，∠BMP=∠CMD，BM=CM∴（SAS）∴BP=CD，∠BPM=∠CDM又∵AC＝BP∴AC＝CD∴∠CAM=∠CDM∴∠BPM＝∠CAM【名師指路】本題考查了三角形的綜合問題，其中三角形的一條中線把原三角形分成兩個等底同高的三角形，因此分得的兩個三角形面積相等，利用這一特點可以求解有關(guān)的面積問題；三角形三邊的關(guān)系：任意兩邊的和都大于第三邊；任意兩邊之和都要小于第三邊等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．已知∠MAN，AC平分∠MAN，D為AM上一點，B為AN上一點．（1）如圖①所示，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：AB+AD＝AC；（2）如圖②所示，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．

【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）見解析；（2）成立，見解析【思路指引】（1）根據(jù)AC平分∠MAN，可得CB＝CD，∠CAB＝60°，即可證明RT△ACD≌RT△AC